CN112947077B - 一种基于切换性能函数技术的auv鲁棒轨迹跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于切换性能函数技术的AUV鲁棒轨迹跟踪控制方法，本发明涉及AUV鲁棒轨迹跟踪控制方法。本发明的目的是为了解决传统的预设性能控制方法在存在外界干扰的情况下，不能在规定的时间内收敛，输出的超调量较大的问题。过程为：一、基于水下机器人的控制力和力矩，获取推进器故障影响下的实际控制力与力矩；二、定义改进后的性能函数，基于改进后的性能函数设置误差上界和误差下界；三、基于误差上界和误差下界设置转换后的误差；四、基于转换后误差中跟踪误差与预警边界的关系，确定转换后误差中误差上界和下界的取值；五、基于三设计反步法虚拟控制器；六、基于五设计预设性能跟踪控制器。本发明用于AUV鲁棒轨迹跟踪控制领域。

Description

一种基于切换性能函数技术的AUV鲁棒轨迹跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及AUV鲁棒轨迹跟踪控制方法。

背景技术

国际上水下机器人轨迹跟踪控制技术在经过各国科研人员多年的研究，各项技术指标都有了很大进步。随着科技的发展和进步，控制对象的结构越来越复杂，而且要求实时性强、精度高。复合型控制算法能够解决系统的稳定性和对于系统参数摄动的鲁棒性问题，但普遍将研究重心放在了确保其提出的控制器能够使系统保持稳定上，而忽视了控制器的品质问题，比如系统输出的超调量较大、误差收敛速度不易控制、系统达到稳态的时间不易确定等等。总的来说，现有的控制方法对于进一步提高控制性能方面的研究相比还比较匮乏。在此背景下，预设性能控制方法应运而生，为解决性能控制的问题提供了一种崭新的研究思路和视角^[1]([1]胡云安,张雷,耿宝亮.预设性能控制研究进展[J].海军航空工程学院学报,2016,31(01):1-6+50.)。然而，传统的预设性能控制方法存在一定缺陷，其引入的性能函数通常采用普通的指数收敛形式，导致设计的性能函数的参数和实际的误差收敛速率之间较难建立一个明确的数学关系。并且在存在误差干扰的情况下，误差曲线有可能触碰甚至超出预先设定的边界，导致控制方程不可解，控制算法跳出。

发明内容

本发明的目的是为了解决传统的预设性能控制方法在存在外界干扰的情况下，不能在规定的时间内收敛，输出的超调量较大的问题，而提出一种基于切换性能函数技术的AUV鲁棒轨迹跟踪控制方法。

一种基于切换性能函数技术的AUV鲁棒轨迹跟踪控制方法具体过程为：

步骤一、基于水下机器人的控制力和力矩，获取推进器故障影响下的实际控制力与力矩；

步骤二、定义改进后的性能函数，基于改进后的性能函数设置误差上界和误差下界；

步骤三、基于误差上界和误差下界设置转换后的误差；

步骤四、基于转换后误差中跟踪误差与预警边界的关系，确定转换后误差中误差上界和下界的取值；

步骤五、基于步骤三设计反步法虚拟控制器；

步骤六、基于步骤五设计预设性能跟踪控制器。

本发明的有益效果为：

本文的控制目标可以表述为：设计控制器u使AUV在存在推进器故障的情况下，其位置与姿态量η仍然能够跟踪期望值η_d，并使跟踪误差e＝η-η_d具有预先给定的动态性能及稳态响应情况。

本发明针对AUV更高精度轨迹跟踪控制问题，设计了基于改进性能函数和切换性能函数的预设性能跟踪控制方法，使AUV轨迹跟踪误差在存在外界干扰的情况下能够在规定的时间内收敛，并且超调较小。

附图说明

图1为本发明流程图；

图2为AUV推进器布置示意图，T-1为推进器1，T-2为推进器2，T-3为推进器3，T-4为推进器4，T-5为推进器5，T-6为推进器6；

图3为存在推进器故障时轨迹跟踪误差曲线图，e为纵荡跟踪误差(Surgetracking error)，P_r为误差上界，P_l为误差下界。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1说明本实施方式，本实施方式一种基于切换性能函数技术的AUV鲁棒轨迹跟踪控制方法具体过程为：

相关关键技术

AUV一般模型方程为：

其中M＝M_RB+M_A，为惯性矩阵；C(v)＝C_RB(v)+C_A(v)，为包含附加质量项的科里奥利向心力矩阵；D(v)＝D_l+D_n(v)，为水阻尼矩阵；g(η)为重力和浮力作用在AUV产生的恢复力和恢复力矩向量；τ是水下机器人的控制力和力矩。η表示AUV在固定坐标系下的六自由度位置与姿态，v表示载体坐标系下的速度与角速度，J∈R^3×3代表固定坐标系与载体坐标系之间的坐标转换矩阵；M_RB表示刚体质量矩阵，M_A表示附加质量矩阵，C_RB(v)表示向心力矩阵，C_A(v)表示因附加质量引起的附加向心力矩阵；

水下机器人的控制力和力矩τ可写为：

τ＝B(v)u

其中B(v)∈R^6×6为水下机器人推力分配矩阵，u为控制输入矢量。

预设性能控制方法：该方法通过引入性能函数与误差变换，使收敛速度、超调以及跟踪误差获得预先设定的性能，一定程度上放宽了对控制参数选取的要求。

发明专利的关键步骤

为了使用基于切换性能函数的预设性能跟踪控制方法，实现对AUV更高精度的轨迹跟踪控制，本发明专利的控制目标是：设计一个改进性能函数的预设性能控制律u，确保轨迹跟踪误差e＝η-η_d在存在推进器故障的情况下，满足期望的瞬态和稳态响应。

步骤一、基于水下机器人的控制力和力矩，获取推进器故障影响下的实际控制力与力矩；

步骤二、定义改进后的性能函数，基于改进后的性能函数设置误差上界和误差下界；

步骤三、基于误差上界和误差下界设置转换后的误差；

步骤四、基于转换后误差中跟踪误差与预警边界的关系，确定转换后误差中误差上界和下界的取值；

步骤五、基于步骤三设计反步法虚拟控制器；

步骤六、基于步骤五设计预设性能跟踪控制器。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是，所述步骤一中基于水下机器人的控制力和力矩，获取推进器故障影响下的实际控制力与力矩；具体过程为：

针对本发明专利考虑的推进器故障，考虑其可行的数学表达形式。

推进器的故障影响可以采用推力分配矩阵形式表示，定义为ΔB；因此，实际的控制力与力矩可以改写为τ+Δτ:

τ+Δτ＝(B₀-KB)u＝(B₀+ΔB)u (1)

其中B₀是推力分配矩阵的标称值，u是预设性能跟踪控制器(控制输入矢量)，K是一个对角矩阵，其元素k_ii∈[0,1]，表示相应的推进器故障程度，B为水下机器人推力分配矩阵，τ是水下机器人的控制力和力矩，Δτ为推进器故障对控制力与力矩的影响。

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是，所述步骤二中定义改进后的性能函数，基于改进后的性能函数设置误差上界和误差下界；具体过程为：

本发明专利所采用的改进后的性能函数为

其中ρ₀，ρ_∞，T₀为预定义的设计参数；ρ₀为初始值，ρ₀＝ρ(0)；ρ_∞为稳态时跟踪误差的最大允许值；T₀为预先设定的收敛时间，t为时间；

通过改进的性能函数，可以预先设定收敛时间T₀，并且可以直观的总结出预先设定的收敛时间T₀越小，则在相同性能要求下误差精度达到ρ_∞的收敛速度越快。

接下来基于改进后的性能函数对预设性能跟踪控制器采用的约束条件进行定义；

采用的约束不等式为

P_l(t)＜e(t)＜P_r(t) (3)

其中轨迹跟踪误差e(t)＝η-η_d；

误差上界P_r(t)和下界P_l(t)定义如下

其中δ₁、δ₂为设计参数，0≤δ₁≤1，0≤δ₂≤1；sign代表符号函数；e(t)为跟踪误差，e(0)为跟踪误差初值，η表示AUV在固定坐标系下的六自由度位置与姿态，η_d表示期望位置与姿态。

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是，所述步骤三中基于误差上界和误差下界设置转换后的误差；具体过程为：

直接解决约束下的跟踪控制问题比较困难，因此需要采用一种误差变换方式将有约束的问题转换为无约束的稳定控制问题。由于本发明专利对传统的性能函数进行了改进，传统误差转换方法不再适用，因此需要采用一种新的误差变换方法。

本发明专利采用的转换后的误差ε(t)为

其中θ(t)为中间变量，

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是，所述步骤四中基于转换后误差中跟踪误差与预警边界的关系，确定转换后误差中误差上界和下界的取值；具体过程为：

采用上述预设性能控制方法时，跟踪误差e(t)存在约束不等式P_l(t)＜e(t)＜P_r(t)。当误差e(t)非常接近预设边界时，转换后误差ε(t)会趋于无穷大。而当跟踪误差e(t)接触或超出预设边界时，与约束不等式P_l(t)＜e(t)＜P_r(t)矛盾，此时转换后误差ε(t)不可解。因此当系统存在外界大干扰的情况下，跟踪误差e(t)可能在外界干扰的影响下接触或超出预设边界，导致转换后误差ε(t)不可解，控制算法失败跳出。

为了解决这个问题，本发明专利采用一种切换边界的性能函数。

取误差上界P_r(t)的0.9倍和误差下界P_l(t)的1.1倍，即0.9P_r(t)和1.1P_l(t)作为预警边界；

当跟踪误差e(t)大于等于0.9P_r(t)时，说明误差曲线过于接近预设边界P_r(t)；将误差上界P_r(t)切换为1.1P_r(t)，使上界范围扩大，以便增强算法在外界干扰下的鲁棒性；

当跟踪误差e(t)小于等于1.1P_l(t)时，说明误差曲线过于接近预设边界P_l(t)；将误差下界P_l(t)切换为0.9P_l(t)，使下界范围扩大；

当跟踪误差e(t)满足1.1P_l(t)＜e(t)＜0.9P_r(t)时，说明误差曲线已足够远离预设边界，误差上界将重新由1.1P_r(t)切换回P_r(t)，使上界范围缩小，从而确保能够在规定的时间内收敛，并且超调较小；误差下界将重新由0.9P_l(t)切换回P_l(t)，使下界范围缩小。

其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是，所述步骤五中基于步骤三设计反步法虚拟控制器；具体过程为：

采用反步法对虚拟控制器进行推导；

选择李雅普诺夫函数为

则李雅普诺夫函数V₁对时间t求导有

其中η表示水下机器人在固定坐标系下的六自由度位置与姿态，v表示载体坐标系下的速度与角速度，J代表固定坐标系与载体坐标系之间的坐标转换矩阵，η_d表示期望位置与姿态，

表示η_d的一阶导数，

表示ε的一阶导数，

表示P_r的一阶导数，

表示P_l的一阶导数，α表示虚拟控制器，z表示虚拟误差，z＝v-α；

虚拟控制器α为

其中c₁为待设计的控制参数。

其它步骤及参数与具体实施方式一至五之一相同。

具体实施方式七：本实施方式与具体实施方式一至六之一不同的是，所述步骤六中基于步骤五设计预设性能跟踪控制器；具体过程为：

选择李雅普诺夫函数为

则李雅普诺夫函数V₂对时间t求导有

又因为函数z对时间t求导有

所以李雅普诺夫函数V₂对时间t的导数为

考虑到推进器发生故障的问题，本发明提出如下预设性能跟踪控制器：

其中c₂为待设计的控制参数，M为惯性矩阵，B(v)为水下机器人推力分配矩阵，B(v)＝B₀+ΔB，C(v)为包含附加质量项的科里奥利向心力矩阵，D(v)为水阻尼矩阵，g(η)为重力和浮力作用在艇体产生的恢复力和恢复力矩向量，

为α一阶导数，

为V₁的一阶导数，

为V₂的一阶导数，

为z的一阶导数，

为v的一阶导数，u为预设性能跟踪控制器。

其它步骤及参数与具体实施方式一至六之一相同。

理论基础

AUV系统模型

AUV一般模型方程为：

其中M＝M_RB+M_A，为惯性矩阵；C(v)＝C_RB(v)+C_A(v)，为向心力矩阵；D(v)＝D_l+D_n(v)，为水阻尼矩阵；g(η)为恢复力和力矩；τ是控制力和力矩。

水下机器人的控制力和力矩τ可写为：

τ＝B(v)u(14)

其中B(v)∈R^6×6为水下机器人推力分配矩阵，u为控制输入矢量。

针对本发明专利考虑的推进器故障，考虑其可行的数学表达形式。推进器的故障影响可以采用推力分配矩阵形式表示，定义为ΔB。因此，实际的控制力与力矩可以改写为τ+Δτ:

τ+Δτ＝(B₀-KB)u＝(B₀+ΔB)u(15)

式中，B₀是推力分配矩阵的标称值，u是推进器的控制作用，K是一个对角矩阵，其元素k_ii∈[0,1],表示相应的推进器故障程度。

本文的控制目标可以表述为：设计控制器u使AUV在存在推进器故障的情况下，其位置与姿态量η仍然能够跟踪期望值η_d，并使跟踪误差e＝η-η_d具有预先给定的动态性能及稳态响应情况。

结合实际工程背景提出2个假设：

假设1位置与姿态角η与其一阶导数

可测。

假设2期望的位置与姿态角η_d与其一阶、二阶导数均已知而且有界。

预设性能函数及误差变换

一种常见的性能函数如下所示：

ρ(t)＝(ρ₀-ρ_∞)e^-kt+ρ_∞ (16)

式中ρ₀、ρ_∞和k为预先给定的正常数。其满足如下条件：

(1)ρ(t)单调递减且恒为正；

(2)

则称ρ(t)为一个性能函数。

利用性能函数可以将跟踪误差表示为

式中e_i(t),i＝1,2,3,4,5,6为AUV位置与姿态角误差，0≤δ_i≤1。根据性能函数(16)和式(17)的形式可知，如果跟踪误差初值满足0≤||e_i(0)||≤ρ_i(0)，则参数k_i限制了跟踪误差的最小收敛速率，而ρ_i∞给定了允许的稳态跟踪误差的上界，同时系统响应的超调不会超过δ_iρ_i(t)。因此，设计适当的性能函数ρ_i(t)及δ_i即可获得期望的系统误差响应。

显然，传统性能函数的收敛速度依赖于指数项e^-kt。然而，在参数k和收敛速度之间建立一个明确的数学关系是十分困难的，难以对具体的误差收敛时间进行确定。此外，参数k的选择办法并不清楚。因此，本发明专利对传统的性能函数进行了改进。改进的性能函数为

其中ρ₀，ρ_∞，T₀为预定义的设计参数。ρ₀＝ρ(0)，为初始值；ρ_∞为稳态时跟踪误差的最大允许值；T₀为预先设定的收敛时间。

接下来基于提出的改进后的性能函数对AUV预设性能控制器进行推导。采用的约束不等式为

P_l(t)＜e(t)＜P_r(t) (19)

误差上界P_r(t)和下界P_l(t)定义如下

其中0≤δ₁≤1，0≤δ₂≤1，为设计参数。

通常为解决由式(17)表示的预设性能控制问题，需要采用一种误差变换方式将约束下的跟踪控制问题转化为无约束的稳定控制问题。定义函数S_i(ε_i)，具有以下性质：

(1)S_i(ε_i)光滑且严格单调递增；

(2)

(3)

其中ε_i∈(-∞,+∞)称为变换误差。满足上述条件的一个函数S_i(ε_i)由下式给出：

根据S_i(ε_i)的特性，式(17)可等价表示为

e_i(t)＝ρ_i(t)S_i(ε_i) (22)

因为S_i(ε_i)是严格单调递增的，所以存在反函数

如果能够控制ε_i有界，则可以保证式(17)成立，进在性能函数ρ_i(t)的约束下使跟踪误差达到期望目标。此时系统(13)的跟踪控制问题便转化为以ε_i为变量的闭环系统的稳定控制问题。

由于本发明专利对传统的性能函数进行了改进，传统误差转换方法不再适用，因此需要采用一种新的误差变换方法。

本发明专利采用的转换后误差ε(t)为

其中

预设性能控制器设计

首先，轨迹跟踪误差e的导数为

转换后误差ε对时间t求导

其中

备注1：为了便于描述和表达，对所有的时间变量t进行了省略。之后的e(t)、ε(t)、θ(t)和ρ(t)等一概简写为e、ε、θ、ρ。

下面将使用反步法对AUV轨迹跟踪控制器进行推导。定义以下函数

z＝v-α (27)

其中α为虚拟控制器。那么有

v＝z+α (28)

第一步：选择李雅普诺夫函数为

则李雅普诺夫函数V₁对时间t求导有

因此，虚拟控制器α可以选为

此时李雅普诺夫函数V₁对时间t的导数为

第二步：选择李雅普诺夫函数为

则李雅普诺夫函数V₂对时间t求导有

又因为函数z对时间t求导有

所以李雅普诺夫函数V₂对时间t的导数为

至此，水下机器人的真实控制器设计为

其中z＝v-α。此时李雅普诺夫函数V₂对时间t的导数

是负定的，因此系统渐近稳定。

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

与现有技术方案的比较：在AUV的实际应用中，随着任务需求的复杂化，对水下机器人控制系统的精度提出了更高的要求，而高度非线性、交叉耦合的系统动力学特性和不可预测的复杂水下环境，导致水下机器人控制器的设计往往比较困难。因此，如何对AUV进行高精度控制一直是水下机器人研究的热点。目前常见的水下机器人控制方法有：PID控制、滑动模态控制、自适应控制、神经网络控制、模糊控制和反步法等^[2]([2]李金林.水下机器人—机械手结构设计及自适应神经网络控制研究[D].哈尔滨工程大学,2018.)。除了本发明算法外还有基于神经网络控制的方案、传统预设性能控制等方案，以下简单介绍这两种方案，并将它们与本发明算法进行比较。

基于模糊控制的方案

模糊控制的概念是利用模糊数学的思想和模糊数学的基本理论的一种控制方法。模糊控制的优点是不需要所设计的系统有着精确的数学模型，比较容易实现对具有不确定性的系统以及具有强非线性的系统进行有效控制，对控制过程及参数的变化有着较强的鲁棒性，其抗干扰的能力也相对较强。文献^[3]([3]于浩洋,李普强.无缆自主式水下机器人航向的模糊控制[J].黑龙江工程学院学报,2017,31(05):33-36.)建立了AUV一种近似的航向控制数学模型，把PID控制与模糊控制相结合，设计了一种带有积分环节的模糊控制器，与此同时对该模糊控制器的控制机理进行了分析，并给出了该积分型模糊控制器的基本结构。该积分型模糊控制器的仿真结果表明，这种带有积分环节的模糊控制方法能够有效地提高水下机器人控制系统的控制性能，并具有较好的鲁棒性。

但是与本发明算法相比，上述方案需要较大的模糊数据库。本发明算法通过引入预设性能方法与误差变换，可以对收敛速度和收敛时间进行预先设定，更贴近实际的工程需求。

基于经典PID控制的方案

在工程实际应用中，用得最为广泛的误差控制算法还是比例、积分、微分三项组合控制，简称PID控制。PID控制方法从首次提出到现在已经有将近70年的时间，该方法凭借其结构简单、稳定性强、鲁棒性好和参数选取十分方便的优点，逐渐成为工业过程控制中所采用的主要控制方式。在文献^[4]([4]张用.遗传算法PID控制在AUV运动控制中的应用[D].哈尔滨工程大学,2009.)中，哈尔滨工程大学的张用把PID控制与遗传算法结合起来。因为遗传算法的寻优能力十分优异，可以依靠该特性对PID控制参数进行自动选定。文献^[5]([5]田甜,刘健,刘开周.自适应模糊PID控制在AUV控制中的应用[J].微计算机信息,2008(07):4-6+81.)将PID控制跟模糊控制结合起来，该算法不仅有着PID控制所具有的简便性特点，还结合了模糊控制所具有的灵活性的特点，并且算法的鲁棒性也较强。

但是与本发明算法相比，上述方案虽鲁棒性较好，但没有考虑控制的超调问题以及收敛时间问题。本发明算法对传统预设性能控制方法进行了改进，采用了改进的性能函数和新的误差变换方法，可以对系统超调进行限制，并改善了预设性能控制方法的鲁棒性，能够在存在外界干扰的情况下，于规定的时间内获得所需的稳态精度。

仿真算例

仿真准备：为验证本文所设计控制方法的有效性，将其应用到一种AUV模型中进行仿真验证，并考虑外界扰动以及推进器故障所造成的影响。AUV模型相应的水动力系数、惯性系数以及位置与姿态初值分别如表1-表3所示。

表1 AUV水动力系数

表2 AUV惯性系数

表3 AUV位置与姿态仿真初值表

考虑所期望跟踪的轨迹较为复杂，可以涵盖大部分情况从而具有代表性。因此，本发明选择一种螺旋式下降的航行轨迹作为期望轨迹，其具体表达式如下：

x_d＝2 sin(0.1t)+0.5,y_d＝2 cos(0.1t)+2.5,z_d＝-0.5144t

φ_d＝0,θ_d＝0,ψ_d＝0

根据给出的水下机器人初始位置和姿态，以及期望的水下机器人运动轨迹，我们现在可以确定预设性能控制器参数如表4所示。

表4 预设性能控制器参数

由于AUV的推进器布置采用全驱动模式，各向布置基本相同，如图2所示。

因此在仿真中，仅考虑某一固定的推进器出现故障，即可代表任一推进器的故障情况。本文假设1号推进器为故障推进器，其故障模式如下所示

针对外界干扰问题，本发明在0.5s于纵荡方向上增加一个πt的误差，在1.5s于纵荡方向上增加一个2πt的误差。

仿真分析

采用改进性能函数和切换性能函数的控制器时，水下机器人在1号推进器故障情况下纵荡轨迹跟踪误差曲线如图3所示。

由图3可以看出，本专利所提出的改进性能函数的预设性能轨迹跟踪控制算法可以保证跟踪误差处于预先设定的范围内，并能在规定的时间内获得所需的稳态精度。

从图3还可以看出，上界曲线进行了切换。当第0.5秒和第1.5秒时由于外力增加了误差，误差曲线有短暂波动。但在控制器作用下，该波动很快恢复平稳，轨迹跟踪误差仍能处于预先设定的范围内。在第6秒左右，上界切换回原上界，证明该算法在推进器故障和外界干扰情况下可以在规定的时间内获得所需的稳态精度。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于切换性能函数技术的AUV鲁棒轨迹跟踪控制方法，其特征在于：所述方法具体过程为：

步骤一、基于水下机器人的控制力和力矩，获取推进器故障影响下的实际控制力与力矩；

步骤二、定义改进后的性能函数，基于改进后的性能函数设置误差上界和误差下界；

步骤三、基于误差上界和误差下界设置转换后的误差；

步骤四、基于转换后误差中跟踪误差与预警边界的关系，确定转换后误差中误差上界和下界的取值；

步骤五、基于步骤三设计反步法虚拟控制器；

步骤六、基于步骤五设计预设性能跟踪控制器；

所述步骤一中基于水下机器人的控制力和力矩，获取推进器故障影响下的实际控制力与力矩；具体过程为：

推进器的故障影响采用推力分配矩阵形式表示，定义为ΔB；实际的控制力与力矩改写为τ+Δτ:

τ+Δτ＝(B₀-KB)u＝(B₀+ΔB)u (1)

其中B₀是推力分配矩阵的标称值，u是预设性能跟踪控制器，K是一个对角矩阵，B为水下机器人推力分配矩阵，τ是水下机器人的控制力和力矩，Δτ为推进器故障对控制力与力矩的影响；

所述步骤二中定义改进后的性能函数，基于改进后的性能函数设置误差上界和误差下界；具体过程为：

改进后的性能函数为

其中ρ₀为初始值，ρ₀＝ρ(0)；ρ_∞为稳态时跟踪误差的最大允许值；T₀为预先设定的收敛时间，t为时间；

基于改进后的性能函数对预设性能跟踪控制器采用的约束条件进行定义；

采用的约束不等式为

P_l(t)＜e(t)＜P_r(t) (3)

其中轨迹跟踪误差e(t)＝η-η_d；

误差上界P_r(t)和下界P_l(t)定义如下

其中δ₁、δ₂为设计参数，0≤δ₁≤1，0≤δ₂≤1；sign代表符号函数；e(t)为跟踪误差，e(0)为跟踪误差初值，η表示AUV在固定坐标系下的六自由度位置与姿态，η_d表示期望位置与姿态；

所述步骤三中基于误差上界和误差下界设置转换后的误差；具体过程为：

转换后的误差ε(t)为

其中θ(t)为中间变量，

所述步骤四中基于转换后误差中跟踪误差与预警边界的关系，确定转换后误差中误差上界和下界的取值；具体过程为：

取误差上界P_r(t)的0.9倍和误差下界P_l(t)的1.1倍，即0.9P_r(t)和1.1P_l(t)作为预警边界；

当跟踪误差e(t)大于等于0.9P_r(t)时，将误差上界P_r(t)切换为1.1P_r(t)；

当跟踪误差e(t)小于等于1.1P_l(t)时，将误差下界P_l(t)切换为0.9P_l(t)；

当跟踪误差e(t)满足1.1P_l(t)＜e(t)＜0.9P_r(t)时，误差上界将重新由1.1P_r(t)切换回P_r(t)；误差下界将重新由0.9P_l(t)切换回P_l(t)；

所述步骤五中基于步骤三设计反步法虚拟控制器；具体过程为：

选择李雅普诺夫函数为

则李雅普诺夫函数V₁对时间t求导有

其中η表示水下机器人在固定坐标系下的六自由度位置与姿态，v表示载体坐标系下的速度与角速度，J代表固定坐标系与载体坐标系之间的坐标转换矩阵，η_d表示期望位置与姿态，

表示η_d的一阶导数，

表示ε的一阶导数，

表示P_r的一阶导数，

表示P_l的一阶导数，α表示虚拟控制器，z表示虚拟误差，z＝v-α；

虚拟控制器α为

其中c₁为待设计的控制参数；

所述步骤六中基于步骤五设计预设性能跟踪控制器；具体过程为：

选择李雅普诺夫函数为

则李雅普诺夫函数V₂对时间t求导有

又因为函数z对时间t求导有

所以李雅普诺夫函数V₂对时间t的导数为

提出如下预设性能跟踪控制器：

其中c₂为待设计的控制参数，M为惯性矩阵，B(v)为水下机器人推力分配矩阵，B(v)＝B₀+ΔB，C(v)为包含附加质量项的科里奥利向心力矩阵，D(v)为水阻尼矩阵，g(η)为重力和浮力作用在艇体产生的恢复力和恢复力矩向量，

为α一阶导数，

为V₁的一阶导数，

为V₂的一阶导数，

为z的一阶导数，

为v的一阶导数。

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