CN111736617B - 一种基于速度观测器的可底栖式水下机器人预设性能轨迹跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于速度观测器的可底栖式水下机器人预设性能轨迹跟踪控制方法，属于水下机器人控制技术领域。为了解决现有的AUV控制方法没有比较全面的考虑影响控制精度的因素导致控制精度比较低的问题，以及现有的预设性能控制方法很难通过搭载的传感器设备测量所需的状态信息导致控制效果不理想的问题，本发明设计控制器与状态观测器使可底栖式水下机器人在存在建模不确定性、海流扰动与推进器故障的情况下，其位置与姿态量仍然能够跟踪期望值，并使跟踪误差具有预先给定的动态性能及稳态响应情况；本发明还引入一种可预设收敛时间的性能函数，利用该性能函数可以在预期时间内实现预定的轨迹跟踪性能。主要用于可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制。

Description

一种基于速度观测器的可底栖式水下机器人预设性能轨迹跟 踪控制方法

技术领域

本发明涉及可底栖式水下机器人预设性能轨迹跟踪控制方法。属于水下机器人控制技术领域。

背景技术

伴随着海洋科学研究和资源开发的进展，以海底油气资源勘探、海底油气管线监测和失事飞机及轮船搜救等为代表的海洋工程作业与应急搜寻任务，对自主式水下机器人(Autonomous underwater vehicle,AUV)及其配套的水下定位、导航和自动控制技术提出了更高要求。在海底油气资源勘探、定点数据传输、军事侦察等应用需求刺激下，催生出一类可长期部署于深海海底的可底栖式水下机器人。一种全驱动式的可底栖式水下机器人模型，如图1所示，该方案采用了6个推进器的全驱动模型，用于抵抗海流实现动力定位以及精确降落于海床表面。

由于可底栖式水下机器人通常需要大规模自主布放在海底指定位置，因此，不仅需要克服复杂海洋环境造成扰动，跟踪期望的轨迹完成部署，还需要控制轨迹跟踪误差的收敛过程，避免在部署中出现与海床碰撞的情况。

建模不确定性、海流扰动和推进器故障是AUV控制中常见的影响因素，可底栖式水下机器人作为一种特殊的AUV，在为其设计轨迹跟踪控制策略时，也需要考虑上述因素对控制精度造成的影响。现有的AUV轨迹跟踪方面的文献的研究思路对海流扰动、建模不确定性和推进器故障等影响控制精度的因素没有考虑或是考虑的不全面，而且仅针对单一影响因素给出了独立的解决方法，例如为推进器故障单独设计故障诊断处理模型，再设计其他的控制算法处理AUV的建模不确定性和海洋环境的扰动影响，其处理过程过于复杂。

现有的预设性能控制方法在应用中，通常依赖于系统全状态可测的假设条件。由于水下环境的特殊性，可底栖式水下机器人在实际工作中很难通过搭载的传感器设备测量所需的状态信息。所以现有的控制方法在实际应用过程中往往不能够取得理想的效果。

发明内容

本发明是为了解决现有的AUV控制方法没有比较全面的考虑影响控制精度的因素导致控制精度比较低的问题，以及现有的预设性能控制方法很难通过搭载的传感器设备测量所需的状态信息导致控制效果不理想的问题。进而提出一种基于速度观测器的可底栖式水下机器人预设性能轨迹跟踪控制方法。

一种基于速度观测器的可底栖式水下机器人预设性能轨迹跟踪控制方法，包括以下步骤：

S1、采用Fossen大纲六自由度非线性动力学模型作为可底栖式水下机器人的动力学模型；

采用推力分配矩阵形式表示可底栖式水下机器人的推进器的故障影响，定义为ΔB；可底栖式水下机器人实际的控制力与力矩τ改写为τ+Δτ：

τ+Δτ＝(B₀-KB)u＝(B₀+ΔB)u

式中：B₀代表可底栖式水下机器人推力分配矩阵的标称值，B为可底栖式水下机器人的推力分配矩阵，u代表可底栖式水下机器人推进器的控制输出，K是一个对角矩阵，其元素k_ii∈[0,1]，表示相应的推进器故障程度，其中1代表故障程度最高，推进器完全失效；

根据可底栖式水下机器人的动力学模型，有：

式中：M_η＝MJ^-1，M为质量惯性矩阵，J是大地坐标系与运动坐标系之间的转换矩阵；η表示可底栖式水下机器人在大地坐标系下的六自由度位置与姿态；

C_RB表示可底栖式水下机器人刚体的科氏力和向心力矩阵；C_Aη＝C_A(v_r)J^-1，C_A表示可底栖式水下机器人附加质量的科氏力和向心力矩阵；D_η＝D(v_r)J^-1，g_η为可底栖式水下机器人重力和浮力产生的力和力矩向量；下标0表示对应变量的标称值，C_RBη0即代表C_RBη的标称值，其他含有下标0的参数定义方式相同；

F表示系统的总不确定度，其表达式如下：

式中：

表示海流扰动对可底栖式水下机器人造成的影响；符号Δ表示对应的变量的不确定值，ΔM即代表可底栖式水下机器人质量惯性矩阵M的不确定值，其他含有Δ的参数定义相同；

令

代表控制系统的状态变量，则可底栖式水下机器人的动力学方程改用状态变量表示对应的紧凑形式如下：

式中：

H＝[I_n 0]，I_n为n阶单位矩阵；

S2、引入性能函数：

式中：

ρ₀和ρ_∞分别为性能函数在初始时刻和终点时刻的值，T₀代表性能函数到达终点时刻的值所需的时间；l₁、l₂和k为预先给定的正常数，且l₁＜l₂；

可底栖式水下机器人运动轨迹的六个自由度分别被性能函数约束，如下所示：

-ρ_i(t)＜e_i(t)＜ρ_i(t)

式中：e_i(t)＝x_i-x_di＝η_i-η_di，x_di＝η_di表示第i个自由度下期望的运动轨迹，e_i(t)表示第i个自由度下实际运动轨迹与期望值的偏差；

S3、采用误差变换方式将约束下的跟踪控制问题转化为无约束的稳定控制问题；令z_i(t)＝e_i(t)/ρ_i(t)，在区间(-∞,+∞)上定义一种变换误差ε_i(t)：

S4、引入径向基函数神经网络RBFNN逼近由海流扰动、建模不确定性和推进器故障组成的系统集总不确定性F；

S5、系统状态观测器的设计：

针对可底栖式水下机器人的动力学方程改用状态变量表示的系统，设计径向基函数神经网络状态观测器，并将观测器写成一种更紧凑的形式：

式中，L＝[L₁,L₂]^T，L₁和L₂为对角增益矩阵；

表示状态变量x和输出变量y的观测值；令

代表状态观测误差，可得：

式中：

代表系统集总不确定性F的估计值；

S6、设计可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制器与权重矩阵的自适应律：

式中：K₂是增益矩阵，β是常数；ε＝[ε₁,ε₂,ε₃,ε₄,ε₅,ε₆]^T为变换误差；x_e1表示x₁的观测误差；

代表已知项，K₁是增益矩阵；V＝diag[v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆]，v₁至v₆表示六个自由度下的v；R＝diag[r₁,r₂,r₃,r₄,r₅,r₆]，

所有带下标i的参数均表示第i个自由度下对应的参数；

根据设计的可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制器与权重矩阵的自适应律实现可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制。

进一步地，所述的增益矩阵L、K₁、K₂和β需要满足：

其中，λ_min(·)、λ_max(·)分别表示最小特征值、最大特征值，

表示最大的正定特征值；

Q＝-(A-LH)＞0，σ₁、σ₂、σ₃、σ₄为正常数；

从而保证相应的变换误差ε一致最终有界，且跟踪误差e_i限制在预设性能边界内。

进一步地，所述可底栖式水下机器人的动力学模型如下：

式中：M_η＝MJ^-1，M为质量惯性矩阵；J是大地坐标系与运动坐标系之间的转换矩阵；η＝[x_E,y_E,z_E,φ,θ,ψ]^T表示可底栖式水下机器人在大地坐标系下的六自由度位置与姿态，x_E、y_E、z_E分别为Eξ、Eη、Eζ轴方向位移，φ、θ、ψ分别为横倾角度、纵倾角度、摇首角度；v＝[u,a,w,p,q,r]^T表示可底栖式水下机器人在运动坐标系下的速度与角速度，u、a、w分别为纵荡速度、横荡速度、垂荡速度，p、q、r分别为横倾角速度、纵倾角速度、摇首角速度；

C_RB表示可底栖式水下机器人刚体的科氏力和向心力矩阵；C_Aη＝C_A(v_r)J^-1，C_A表示可底栖式水下机器人附加质量的科氏力和向心力矩阵，v_r＝v-v_c，v_c为运动坐标系下海流的速度；D_η＝D(v_r)J^-1，g_η为可底栖式水下机器人重力和浮力产生的力和力矩向量，τ为可底栖式水下机器人推进系统产生的控制力和力矩。

进一步地，可底栖式水下机器人的动力学方程改用状态变量表示对应的紧凑形式的确定过程如下：

基于可底栖式水下机器人的动力学模型

令

代表控制系统的状态变量，则可底栖式水下机器人的动力学方程改用状态变量表示：

将上式改写为紧凑的形式，得到：

进一步地，针对可底栖式水下机器人的动力学方程改用状态变量表示的系统，设计径向基函数神经网络状态观测器，并将观测器写成一种更紧凑形式的过程如下：

针对改用状态变量表示的可底栖式水下机器人的动力学方程：

径向基函数神经网络状态观测器被设计如下：

式中：

分别代表状态变量x_s1、x_s2和输出变量y的观测值，L₁和L₂为对角增益矩阵；

代表系统集总不确定性F的估计值；

表示状态变量x和输出变量y的观测值；

将上述观测器写成紧凑的形式，得到：

有益效果：

本发明针对海流扰动、建模不确定性与推进器故障等影响因素，提出了一种基于速度观测器的海底飞行节点预设性能轨迹跟踪控制方法，并且在观测器中引入了径向基函数神经网络用于处理系统总不确定性产生的影响，用于可底栖式水下机器人一类的AUV轨迹跟踪控制器设计。此外，本发明还引入一种可预设收敛时间的性能函数，利用该性能函数可以在预期时间内实现预定的轨迹跟踪性能。

附图说明

图1为全驱动式的可底栖式水下机器人模型；

图2全驱动可底栖式水下机器人的推进器配置图；

图3推进器间歇故障下可底栖式水下机器人轨迹跟踪误差曲线(平动自由度)；

图4推进器间歇故障下可底栖式水下机器人轨迹跟踪误差曲线(转动自由度)。

具体实施方式

本发明的核心为设计控制器与状态观测器使可底栖式水下机器人在存在建模不确定性、海流扰动与推进器故障的情况下，其位置与姿态量η仍然能够跟踪期望值η_d，并使跟踪误差e＝η-η_d具有预先给定的动态性能及稳态响应情况。状态观测器是根据系统的输入变量和输出变量的测量值得出状态变量估计值的一类动态系统。

本发明的核心还包括了利用到预设性能控制，预设性能控制是一种通过引入性能函数与误差变换，将原始的“约束”系统转换为等效的“无约束”系统，并用李雅普诺夫理论证明该“无约束”系统的稳定性，从而使收敛速度、超调以及跟踪误差获得预先设定的性能的方法。

在说明本实施方式之前，首先对参数定义进行一下说明：

η＝[x_E,y_E,z_E,φ,θ,ψ]^T——固定坐标系下可底栖式水下机器人的六自由度位置与姿态值；J——固定坐标系与运动坐标系之间的转换矩阵；v＝[u,a,w,p,q,r]^T——运动坐标系下可底栖式水下机器人的速度与角速度量；M——可底栖式水下机器人的质量惯性矩阵；C(v)——可底栖式水下机器人的科氏力和向心力矩阵；D(v)——可底栖式水下机器人的水动力阻尼矩阵；g_η——可底栖式水下机器人重力和浮力产生的力和力矩向量；τ——可底栖式水下机器人推进系统产生的控制力和力矩；B——可底栖式水下机器人的推力分配矩阵；B₀——可底栖式水下机器人推力分配矩阵的标称值；u——可底栖式水下机器人推进器的控制输出。

具体实施方式一：

本实施方式为一种基于速度观测器的可底栖式水下机器人预设性能轨迹跟踪控制方法，包括以下步骤：

步骤一、建立可底栖式水下机器人的动力学模型，并进行变换：

运动坐标系G-xyz：原点G取在可底栖式水下机器人的重心处，x轴、y轴和z轴分别为经过原点的水线面、横剖面和中纵剖面的交线。

大地坐标系(惯性坐标系)E-ξηζ：原点E可选在海面的某一点，Eξ轴和Eη轴置于水平面内且互相垂直，Eξ轴正向指向正北方向。Eζ垂直于Eξη平面，正向指向地心。

采用Fossen大纲六自由度非线性动力学模型：

式中：M_η＝MJ^-1，M为质量惯性矩阵，J(η)简记为J，是大地坐标系与运动坐标系之间的转换矩阵；η＝[x_E,y_E,z_E,φ,θ,ψ]^T表示可底栖式水下机器人在大地坐标系下的六自由度位置与姿态，x_E、y_E、z_E分别为Eξ、Eη、Eζ轴方向位移，φ、θ、ψ分别为横倾角度、纵倾角度、摇首角度；v＝[u,a,w,p,q,r]^T表示可底栖式水下机器人在运动坐标系下的速度与角速度，u、a、w分别为纵荡速度、横荡速度、垂荡速度，p、q、r分别为横倾角速度、纵倾角速度、摇首角速度；

C_RB表示可底栖式水下机器人刚体的科氏力和向心力矩阵；C_Aη＝C_A(v_r)J^-1，C_A表示可底栖式水下机器人附加质量的科氏力和向心力矩阵，v_r＝v-v_c，v_c为运动坐标系下海流的速度；D_η＝D(v_r)J^-1，g_η为可底栖式水下机器人重力和浮力产生的力和力矩向量，τ为可底栖式水下机器人推进系统产生的控制力和力矩。

可底栖式水下机器人的推进器的故障影响可以采用推力分配矩阵形式表示，定义为ΔB。因此，实际的控制力与力矩可以改写为τ+Δτ：

τ+Δτ＝(B₀-KB)u＝(B₀+ΔB)u (3)

式中：B₀代表可底栖式水下机器人推力分配矩阵的标称值，B为可底栖式水下机器人的推力分配矩阵，u代表可底栖式水下机器人推进器的控制输出，K是一个对角矩阵，其元素k_ii∈[0,1]，表示相应的推进器故障程度，其中1代表故障程度最高，推进器完全失效。因此，式(2)可改写为：

式中：下标0表示对应变量的标称值，C_RBη0即代表C_RBη的标称值，以此类推；F表示系统的总不确定度，其表达式如下：

式中：

表示海流扰动对可底栖式水下机器人造成的影响；符号Δ表示对应的变量的不确定值，ΔM即代表可底栖式水下机器人质量惯性矩阵M的不确定值，其他含有Δ的参数定义相同。

为了有效控制轨迹跟踪的误差收敛，在可底栖式水下机器人的动力学模型(4)的基础上，令

代表控制系统的状态变量，则可底栖式水下机器人的动力学方程可以改用状态变量表示：

将式(6)改写为一种紧凑的形式：

式中：

H＝[I_n 0]，I_n为n阶单位矩阵。

步骤二、定义性能函数：

一种性能函数的定义如下所示：

式中：

ρ₀和ρ_∞分别为性能函数在初始时刻和终点时刻的值，T₀代表性能函数到达终点时刻的值所需的时间，可根据实际需要人为调整。l₁、l₂和k为预先给定的正常数，且l₁＜l₂。

可底栖式水下机器人运动轨迹的六个自由度分别被式(8)所代表的性能函数约束，不等式如下所示：

-ρ_i(t)＜e_i(t)＜ρ_i(t) (9)

式中：e_i(t)＝x_i-x_di＝η_i-η_di，x_di＝η_di定义了第i个自由度下期望的运动轨迹，e_i(t)定义了第i个自由度下实际运动轨迹与期望值的偏差。如果误差变量e_i(t)的初始值满足-ρ_i(0)＜e_i(0)＜ρ_i(0)，则可底栖式水下机器人的六自由度运动轨迹向量η则被严格限制在性能边界±ρ_i(t)内。此外，参数k_i限制了跟踪误差的最小收敛速率，而ρ_i∞给定了允许的稳态跟踪误差的上界。

步骤三、误差变换：

本发明采用一种误差变换方式将约束下的跟踪控制问题转化为无约束的稳定控制问题。令z_i(t)＝e_i(t)/ρ_i(t)，在区间(-∞,+∞)上定义一种变换误差ε_i(t)：

通过等式(10)可知，当变换误差ε_i(t)在区间(-∞,+∞)内，则z_i(t)满足-1＜z_i(t)＜1，即变换误差ε_i(t)有界时，不等式(9)也同时被满足。此时，控制目标可等价表示为设计控制器u使得变换误差ε_i(t)有界。注意到误差变量e_i(t)的响应不能受到变换误差ε_i(t)的边界造成的影响。

步骤四、引入径向基函数神经网络逼近系统：

引入径向基函数神经网络RBFNN逼近由海流扰动、建模不确定性和推进器故障组成的系统集总不确定性F。在区间Ω上，系统集总不确定性F的RBFNN估计值可以表述为：

F＝W^*Th(x_N)+μ (11)

式中：

为神经网络输入向量，h(x_N)＝[h₁(x_N),h₂(x_N),...,h_j(x_N),...h_m(x_N)]^T∈R^m，m为网络隐层节点数。h_j(x)可采用高斯基函数的形式。

步骤五、系统状态观测器的设计：

针对系统(6)，径向基函数神经网络状态观测器被设计如下：

式中：

分别代表状态变量和输出变量的观测值，L₁和L₂∈Rⁿ为待设计的对角增益矩阵；

代表系统集总不确定性F的估计值，神经网络的输入x_N可以被表示为

将观测器写成一种更紧凑的形式：

式中，A，C，H的定义与等式(7)中相同，L＝[L₁,L₂]^T。令

代表状态观测误差，可得：

式中：

步骤六、设计轨迹跟踪控制器：

可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制器与权重矩阵的自适应律可以设计如下：

式中：K₂是增益矩阵，β是常数。

选择合适的增益矩阵L，K₁，K₂和参数β满足：

则相应的变换误差ε一致最终有界，且跟踪误差e_i限制在预设性能边界内。

能够利用的本发明的方案及控制器进行实际控制的证明过程如下：

1.1、可底栖式水下机器人的动力学模型：

可底栖式水下机器人可以采用Fossen大纲六自由度非线性AUV动力学模型：

式中：M_η＝MJ^-1，M为质量惯性矩阵，J是大地坐标系与运动坐标系之间的转换矩阵；η＝[x_E,y_E,z_E,φ,θ,ψ]^T为可底栖式水下机器人在大地坐标系下的位置与姿态向量，v＝[u,v,w,p,q,r]^T表示可底栖式水下机器人在运动坐标系下的速度与角速度向量，

C_RB表示可底栖式水下机器人刚体的科氏力和向心力矩阵，C_Aη＝C_A(v_r)J^-1，C_A表示可底栖式水下机器人附加质量的科氏力和向心力矩阵；D_η＝D(v_r)J^-1，D为水动力阻尼矩阵，g_η为重力和浮力产生的力和力矩向量，τ为推进系统产生的控制力和力矩。

推进器是可底栖式水下机器人的重要组成部分，也是故障问题的主要来源。推进器的故障影响可以采用推力分配矩阵形式表示，定义为ΔB。因此，实际的控制力与力矩可以改写为τ+Δτ：

τ+Δτ＝(B₀-KB)u＝(B₀+ΔB)u (20)

式中：B₀代表推力分配矩阵的标称值，u代表推进器的控制输出，K是一个对角矩阵，其元素k_ii∈[0,1],表示相应的推进器故障程度。因此，等式(19)可改写为：

式中：下标0表示标称值；F表示系统的总不确定度，其表达式如下：

式中：

表示海流扰动对可底栖式水下机器人造成的影响；符号Δ表示对应的变量的不确定值，ΔM_η即代表可底栖式水下机器人质量惯性矩阵M_η的不确定值，以此类推。

为了有效控制轨迹跟踪的误差收敛，令

代表控制系统的状态变量，则可底栖式水下机器人的动力学方程可以改用状态变量表示：

这里的

就是公式(6)对应

证明过程中为了书写和表达的方便，直接用

进行表示，所以证明过程中涉及到x中元素对应的x₁、x₂时，就表示

涉及到六个自由度对应的x_i时，就表示每个自由度下对应x。

将等式(23)改写为一种紧凑的形式：

式中：

H＝[I_n 0]。

为了实现可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制，还需要结合下述假设条件：

假设1：系统的集总不确定度有界，即||D||≤χ,其中，χ为未知正常数。

假设2：可底栖式水下机器人的位置与姿态角η可测。

假设3：期望的位置与姿态角η_d与其一阶、二阶导数均已知而且有界。

本发明的控制目标可以表述为：设计控制器u使可底栖式水下机器人在存在海流扰动、建模不确定性与推进器故障的情况下，其位置与姿态量η仍然能够跟踪期望值η_d，并使跟踪误差e＝η-η_d具有预先给定的动态性能及稳态响应情况。

1.2、性能函数与误差变换

若一种平滑的函数ρ(t):R₊→R满足单调递减且

的条件，则这种函数可被定义为一种性能函数。一种具有有限时间收敛形式的性能函数如下所示：

式中：

ρ₀和ρ_∞分别为性能函数在初始时刻和终点时刻的值，T₀代表性能函数到达终点时刻的值所需的时间，可根据实际需要人为调整。l₁、l₂和k为预先给定的正常数，且l₁＜l₂。

证明：考虑Lyapunov备选函数，表达式如下所示：

式中：e_ρ＝ρ(t)-ρ_∞。在t≤T₀时，基于性能函数表达式(25)，对V_ρ求导，可得：

式中：

由于l₁＜l₂，故

此外，当e_ρ≠0时，

因此，基于有限时间理论，e_ρ将在有限时间内收敛至零域。

可底栖式水下机器人运动轨迹的六个自由度分别被性能函数(25)约束，如下不等式所示：

-ρ_i(t)＜e_i(t)＜ρ_i(t) (28)

式中：e_i(t)＝x_i-x_di＝η_i-η_di，x_di＝η_di定义了第i个自由度下期望的运动轨迹，e_i(t)定义了第i个自由度下实际运动轨迹与期望值的偏差。如果误差变量e_i(t)的初始值满足-ρ_i(0)＜e_i(0)＜ρ_i(0)，则可底栖式水下机器人的六自由度运动轨迹向量η则被严格限制在性能边界±ρ_i(t)内。此外，参数k_i限制了跟踪误差的最小收敛速率，而ρ_i∞给定了允许的稳态跟踪误差的上界。因此，设计适当的性能函数ρ_i(t)即可获得期望的系统误差响应。

令z_i(t)＝e_i(t)/ρ_i(t)，在区间(-∞,+∞)上定义一种变换误差ε_i(t)：

通过等式(29)可知，当变换误差ε_i(t)在区间(-∞,+∞)内，则z_i(t)满足-1＜z_i(t)＜1，即变换误差ε_i(t)有界时，不等式(28)也同时被满足。此时，控制目标可等价表示为设计控制器u使得变换误差ε_i(t)有界。注意到误差变量e_i(t)的响应不能受到变换误差ε_i(t)的边界造成的影响。所有带下标i的参数均表示第i个自由度下对应的参数。

1.3、神经网络逼近系统

本发明引入径向基函数神经网络(RBFNN)逼近由海流扰动、建模不确定性和推进器故障组成的系统集总不确定性F。在区间Ω上，系统集总不确定性F的RBFNN估计值可以表述为：

F＝W^*Th(x_N)+μ (30)

式中：

为神经网络输入向量，h(x_N)＝[h₁(x_N),h₂(x_N),...,h_j(x_N),...h_m(x_N)]^T∈R^m，m为网络隐层节点数。h_j(x_N)通常采用高斯基函数的形式，有

式中：c_j为网络中第j个节点的中心向量，c_j＝[c_j1,c_j2,...,c_jq]^T,b_j＞0为节点j的基宽值。

是网络的理想权值阵，μ∈Rⁿ为逼近误差，且满足||μ||≤μ^*,μ^*为未知的正常数。对于权值矩阵W∈R^m×n，理想情况的W^*定义为

假设4：存在理想的权重矩阵W^*使得||μ|≤μ^*当

式中μ^*为未知的正常数。

1.4、状态观测器的设计

在设计可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制策略中，大地坐标系下的位置与姿态向量η与其一阶导数

都是所需的状态信息。然而，由于复杂海洋环境的影响，位置与姿态向量的一阶导数

难以被直接测量。因此，引入观测器技术用于估计该变量。由于可底栖式水下机器人的控制策略设计中包含外部扰动与不确定性，在一种LSO观测器中加入径向基函数神经网络用于逼近外部扰动与不确定性。针对系统(23)，径向基函数神经网络状态观测器被设计如下：

式中：

分别代表状态变量和输出变量的观测值，L₁和L₂∈Rⁿ为待设计的对角增益矩阵，

代表系统集总不确定性F的估计值，神经网络的输入x_N可以被表示为

将观测器写成一种更紧凑的形式：

式中，A，C，H的定义与等式(24)中相同，L＝[L₁,L₂]^T。令

代表了状态观测误差，可得：

式中：

考虑可底栖式水下机器人动力学系统(24)与RBFNN状态观测器(33)估计系统状态变量x，当观测器增益矩阵L满足下式：

λ_min(Q)-σ₁＞0 (36)

式中：Q＝-(A-LH)＞0，σ₁＞0为一常数，且权重估计矩阵

是有界的，则观测误差x_e将会收敛至初始值的邻域内。

证明：考虑Lyapunov备选函数，表达式如下所示：

对V₀求导并代入等式(35)，我们可得：

依据假设4的内容与高斯函数的特性可得||h(x_N)||≤1，对任意给定的常数σ₁＞0，都存在下列不等式：

其中，

我们可得：

因为

有界，故观测误差x_e会收敛到集合：

易知权重估计矩阵

在t→∞时会等于理想权重矩阵W_i ^*，则有

1.5、预设性能轨迹跟踪控制器的设计

本发明基于前述的RBFNN状态观测器(34)、反步法和预设性能方法，构建可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制器。

首先，定义误差变量e₁＝[e₁₁,e₁₂,...,e₁₆]^T和e₂：

式中：x_d＝η_d定义了可底栖式水下机器人期望的轨迹，α₁是待设计的虚拟控制变量。通过1.2中的性能函数与误差变换，可以得到等式(29)中的变换误差ε_i。对变换误差ε_i求导，得：

式中：

令ε＝[ε₁,ε₂,ε₃,ε₄,ε₅,ε₆]^T，R＝diag[r₁,r₂,r₃,r₄,r₅,r₆]，

V＝diag[v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆]，为了表示方便将各自由度i对应的e直接表示为e_i，如果按照公式(43)定义的误差变量e₁和e₂(并非i＝1、2时对应的e_i)进行区分表示，自由度i对应的e₁可以表示为e_1i，即e₁＝[e₁₁,e₁₂,...,e₁₆]^T；这里不对公式(43)定义的误差变量e₁、e₂与e_i进行具体参数形式上的区分，是因为本领域技术人员针对每个公式对应表示能够毫无疑义的确定对应公式中e₁、e₂，或e_i的形式以及具体的含义。

我们可得：

下述步骤给出具体的分析与推导过程。

Step 1：选择Lyapunov备选函数，如下所示：

式中：p＝R^-1，求取V₁关于时间的导数并代入等式(45)，可得：

设计虚拟控制变量α₁

式中：K₁是正定的增益矩阵。将式(48)代入式(47)，可得：

应用Young不等式：

式中：σ₂是一个正常数。将式(40)和(50)代入式(49)，可得：

式中：

代表了最大的正定特征值。

Step 2：为了进一步证明，定义新的Lyapunov函数V₂。

计算V₂关于时间的一阶导数，

式中：Γ＝diag[τ₁,τ₂,...,τ_n]为增益矩阵。因为

式中：

代表已知项。可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制器与权重矩阵的自适应律可以设计如下：

式中：K₂是增益矩阵，β是常数。将式(55)和(54)代入式(53)，我们可得：

与式(50)相似，可得：

式中：σ₃，σ₄为正常数。将式(50)和(58)代入式(57)，可得：

当我们选择合适的增益矩阵L，K₁，K₂和参数β满足：

则观测误差x_e，变换误差ε，误差e₂以及权重估计误差

均有界，且分别收敛于集合

结合1.2中性能函数与误差变换的定义，可知可底栖式水下机器人的六自由度轨迹跟踪误差都被严格限制在了由性能函数定义的边界内，即控制系统获得了期望的动态性能及稳态响应。

实施例

按照具体实施方式一的内容进行仿真实验。

仿真准备：

一种全驱动模式的可底栖式水下机器人模型被引入作为仿真对象用于证明本发明所提出的控制方法的有效性。上述的可底栖式水下机器人外形如图1所示，可底栖式水下机器人的推进器布置如图2所示，图中的6个推进器(T-1至T-6)型号相同且独立工作，可输出正反双向的推力。针对推进器的输出饱和限制，本发明假设可底栖式水下机器人单个推进器可输出的推力临界值为±85N。可底栖式水下机器人在固定坐标系下的初始位置与姿态向量η(0)＝[-1.5；-1.5；1.5；1.5；1.5；1.5]，可底栖式水下机器人在运动坐标系下的初始速度与角速度向量v(0)＝[0；0；0；0；0；0]。可底栖式水下机器人对应的水动力系数和惯性系数分别如表1和2所示。

表1全驱动可底栖式水下机器人的水动力系数

表2全驱动可底栖式水下机器人的惯性系数

本实施例假设在可底栖式水下机器人轨迹跟踪的局部区域内，海流的方向是固定的，与地球坐标系下与x轴正方向相同，海流流速的表达式如下:

与海流扰动的处理过程相似，本发明将建模不确定性量化处理。考虑将模型标称值的20％作为建模误差，并将其作为扰动的一部分并入仿真模块。

为了展示本发明所设计的控制器对推进器故障影响具有一定的鲁棒性，本发明引入一种推进器间歇故障的形式用于仿真分析，对应的表达式如下所示：

本发明在仿真分析引入一种螺旋线作为可底栖式水下机器人的期望轨迹，其表达式如下所示：

η_d＝[2sin(0.1t)；2cos(0.1t)+2；-0.5144t；0；0；0] (64)

针对每一个控制自由度，本发明所期望的可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制性能设计为：(1)稳态跟踪误差不超过0.001；(2)最大收敛时间不超过40s；(3)系统响应无超调。据此可以确定性能函数ρ_i(t)和δ_i的取值，如表3所示。

表3性能函数的参数值

可底栖式水下机器人的状态观测器(33)，轨迹跟踪控制器(55)和自适应律(56)的增益分别如下所示：L₁＝diag[50；50；50；50；50；50]、L₂＝[800；800；800；800；800；800]、K₁＝[0.1；0.1；0.1；0.1；0.1；0.1]、K₂＝[1；1；1；1；1；1]。RBFNN的隐藏层节点数为m＝7，高斯基函数的基宽b_j＝50，中心c如下所示：

仿真结果：

在这一部分仿真分析中，期望的轨迹基于等式(64)，在考虑建模不确定性、海流扰动、推进器输出饱和推进器故障对可底栖式水下机器人的影响下的可底栖式水下机器人轨迹跟踪误差曲线。

仿真结果中，应用本发明所提出的预设性能轨迹跟踪控制器(55)、状态观测器(33)和自适应律(56)共同作用下的轨迹跟踪误差曲线对应说明如图3至图4所示。

从图3至图4可以看出，在期望的跟踪轨迹为螺旋线时，本发明所提出的预设性能控制器可以使轨迹跟踪误差保持在由性能函数预先设定的边界内，并在规定的时间内收敛到预设的稳态控制精度。实施例验证了本发明算法的有效性。

需要注意的是，具体实施方式仅仅是对本发明技术方案的解释和说明，不能以此限定权利保护范围。凡根据本发明权利要求书和说明书所做的仅仅是局部改变的，仍应落入本发明的保护范围内。

Claims (5)

1.一种基于速度观测器的可底栖式水下机器人预设性能轨迹跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、采用Fossen大纲六自由度非线性动力学模型作为可底栖式水下机器人的动力学模型；

采用推力分配矩阵形式表示可底栖式水下机器人的推进器的故障影响，定义为ΔB；可底栖式水下机器人实际的控制力与力矩τ改写为τ+Δτ：

τ+Δτ＝(B₀-KB)u＝(B₀+ΔB)u

式中：B₀代表可底栖式水下机器人推力分配矩阵的标称值，B为可底栖式水下机器人的推力分配矩阵，u代表可底栖式水下机器人推进器的控制输出，K是一个对角矩阵，其元素k_ii∈[0,1]，表示相应的推进器故障程度，其中1代表故障程度最高，推进器完全失效；

根据可底栖式水下机器人的动力学模型，有：

式中：M_η＝MJ^-1，M为质量惯性矩阵，J是大地坐标系与运动坐标系之间的转换矩阵；η表示可底栖式水下机器人在大地坐标系下的六自由度位置与姿态；

C_RB表示可底栖式水下机器人刚体的科氏力和向心力矩阵；C_Aη＝C_A(v_r)J^-1，C_A表示可底栖式水下机器人附加质量的科氏力和向心力矩阵；D_η＝D(v_r)J^-1，g_η为可底栖式水下机器人重力和浮力产生的力和力矩向量；下标0表示对应变量的标称值，C_RBη0即代表C_RBη的标称值，其他含有下标0的参数定义方式相同，v＝[u,a,w,p,q,r]^T表示可底栖式水下机器人在运动坐标系下的速度与角速度，u、a、w分别为纵荡速度、横荡速度、垂荡速度，p、q、r分别为横倾角速度、纵倾角速度、摇首角速度，v_r＝v-v_c，v_c为运动坐标系下海流的速度；

F表示系统的总不确定度，其表达式如下：

式中：

表示海流扰动对可底栖式水下机器人造成的影响；符号Δ表示对应的变量的不确定值，ΔM即代表可底栖式水下机器人质量惯性矩阵M的不确定值，其他含有Δ的参数定义相同；

令

代表控制系统的状态变量，则可底栖式水下机器人的动力学方程改用状态变量表示对应的紧凑形式如下：

式中：

H＝[I_n 0]，I_n为n阶单位矩阵；

S2、引入性能函数：

式中：

ρ₀和ρ_∞分别为性能函数在初始时刻和终点时刻的值，T₀代表性能函数到达终点时刻的值所需的时间；l₁、l₂为预先给定的正常数，且l₁＜l₂；

可底栖式水下机器人运动轨迹的六个自由度分别被性能函数约束，如下所示：

-ρ_i(t)＜e_i(t)＜ρ_i(t)

式中：e_i(t)＝x_i-x_di＝η_i-η_di，x_di＝η_di表示第i个自由度下期望的运动轨迹，e_i(t)表示第i个自由度下实际运动轨迹与期望值的偏差；

S3、采用误差变换方式将约束下的跟踪控制问题转化为无约束的稳定控制问题；令z_i(t)＝e_i(t)/ρ_i(t)，在区间(-∞,+∞)上定义一种变换误差ε_i(t)：

S4、引入径向基函数神经网络RBFNN逼近由海流扰动、建模不确定性和推进器故障组成的系统集总不确定性F；

S5、系统状态观测器的设计：

针对可底栖式水下机器人的动力学方程改用状态变量表示的系统，设计径向基函数神经网络状态观测器，并将观测器写成一种更紧凑的形式：

式中，L＝[L₁,L₂]^T，L₁和L₂为对角增益矩阵；

表示状态变量x和输出变量y的观测值；

令

代表状态观测误差，可得：

式中：

代表系统集总不确定性F的估计值；

S6、设计可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制器与权重矩阵的自适应律：

式中：K₂是增益矩阵，β是常数；ε＝[ε₁,ε₂,ε₃,ε₄,ε₅,ε₆]^T为变换误差；x_e1表示x₁的观测误差；

代表已知项，K₁是增益矩阵；V＝diag[v₁,v₂,v₃,v₄,v₅,v₆]，v₁至v₆表示六个自由度下的v；R＝diag[r₁,r₂,r₃,r₄,r₅,r₆]，

所有带下标i的参数均表示第i个自由度下对应的参数，e₁＝[e₁₁,e₁₂,...,e₁₆]^T和e₂是误差变量，x_d是可底栖式水下机器人期望的轨迹，τ_i是第i个自由度下推进系统产生的控制力和力矩；

根据设计的可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制器与权重矩阵的自适应律实现可底栖式水下机器人的轨迹跟踪控制。

2.根据权利要求1所述的一种基于速度观测器的可底栖式水下机器人预设性能轨迹跟踪控制方法，其特征在于，所述的增益矩阵L、K₁、K₂和β需要满足：

其中，λ_min(·)、λ_max(·)分别表示最小特征值、最大特征值，

表示最大的正定特征值；Q＝-(A-LH)＞0，σ₁、σ₂、σ₃、σ₄为正常数；

从而保证相应的变换误差ε一致最终有界，且跟踪误差e_i限制在预设性能边界内。

3.根据权利要求1或2所述的一种基于速度观测器的可底栖式水下机器人预设性能轨迹跟踪控制方法，其特征在于，所述可底栖式水下机器人的动力学模型如下：

式中：M_η＝MJ^-1，M为质量惯性矩阵；J是大地坐标系与运动坐标系之间的转换矩阵；η＝[x_E,y_E,z_E,φ,θ,ψ]^T表示可底栖式水下机器人在大地坐标系下的六自由度位置与姿态，x_E、y_E、z_E分别为Eξ、Eη、Eζ轴方向位移，φ、θ、ψ分别为横倾角度、纵倾角度、摇首角度；v＝[u,a,w,p,q,r]^T表示可底栖式水下机器人在运动坐标系下的速度与角速度，u、a、w分别为纵荡速度、横荡速度、垂荡速度，p、q、r分别为横倾角速度、纵倾角速度、摇首角速度；

C_RB表示可底栖式水下机器人刚体的科氏力和向心力矩阵；C_Aη＝C_A(v_r)J^-1，C_A表示可底栖式水下机器人附加质量的科氏力和向心力矩阵，v_r＝v-v_c，v_c为运动坐标系下海流的速度；D_η＝D(v_r)J^-1，g_η为可底栖式水下机器人重力和浮力产生的力和力矩向量，τ为可底栖式水下机器人推进系统产生的控制力和力矩。

4.根据权利要求2所述的一种基于速度观测器的可底栖式水下机器人预设性能轨迹跟踪控制方法，其特征在于，可底栖式水下机器人的动力学方程改用状态变量表示对应的紧凑形式的确定过程如下：

基于可底栖式水下机器人的动力学模型

令

代表控制系统的状态变量，则可底栖式水下机器人的动力学方程改用状态变量表示：

将上式改写为紧凑的形式，得到：

5.根据权利要求4所述的一种基于速度观测器的可底栖式水下机器人预设性能轨迹跟踪控制方法，其特征在于，针对可底栖式水下机器人的动力学方程改用状态变量表示的系统，设计径向基函数神经网络状态观测器，并将观测器写成一种更紧凑形式的过程如下：

针对改用状态变量表示的可底栖式水下机器人的动力学方程：

径向基函数神经网络状态观测器被设计如下：

式中：

分别代表状态变量x_s1、x_s2和输出变量y的观测值，L₁和L₂为对角增益矩阵；

代表系统集总不确定性F的估计值；

表示状态变量x和输出变量y的观测值；

将上述观测器写成紧凑的形式，得到：

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