CN112947070A - 一种基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法，该方法包括以下步骤：首先，引入交叉微分反馈，将四自由度电磁轴承刚性转子系统解耦为两个两自由度系统；其次，利用特征结构配置法，得到比例微分反馈矩阵的参数化表达式；然后，构造一个多目标优化问题，在把闭环特征值限定在复平面上给定区域内的同时，使系统对偏置电流变化的灵敏度、最大不平衡振动响应幅值以及最大不平衡控制电流响应幅值最小化；最后，利用多目标遗传算法求解该多目标优化问题。本发明所设计的鲁棒比例微分反馈控制器可以使电磁轴承刚性转子系统在保证稳定运行和保持期望动态性能的同时，具备较强的对于偏置电流变化和不平衡外扰力的鲁棒性。

Description

一种基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计 方法

技术领域

本发明属于电磁轴承控制技术领域，具体是涉及到一种电磁轴承刚性转子系统的基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法。

背景技术

电磁轴承利用电磁力，克服转子重力，使转子悬浮于空中，彻底消除了由于轴承和转子之间的机械接触带来的不利影响。采用电磁轴承的高速电机具有额定转速高、功率密度大、寿命长、能够对转子系统的振动进行主动控制等优点，在压缩机、制冷机、涡轮分子泵、高速飞轮储能等领域得到了广泛应用。然而，在电磁轴承刚性转子系统运行在高转速区时，陀螺效应和不平衡力会恶化系统的运行性能。除此之外，由于功放的不理想性，电磁轴承中的偏置电流的变化同样也会影响系统的正常运行。为了保证电磁轴承刚性转子系统的高性能运行，需要同时考虑上述因素的影响。

电磁轴承刚性转子系统的陀螺效应抑制、不平衡抑制以及鲁棒控制都已经开展了多年的研究。抑制转子陀螺效应的方法主要有交叉反馈控制、逆系统解耦和内模控制等。而抑制转子不平衡的方法，根据控制目标的不同，主要可分为以抑制为不平衡振动位移目标的控制方法和以抑制不平衡控制力为目标的控制方法这两类，目前缺少一种能够同时抑制不平衡振动位移和不平衡控制力的方法。此外，现有的不平衡振动抑制方法往往只适用于定转速工况，对于转子在全转速范围内的恒加速工况并不适用。另外，为了使电磁轴承刚性转子系统对偏置电流等系统参数的变化具有较强的鲁棒性，各种鲁棒控制方法，如H^∞鲁棒控制、μ综合控制等，也被广泛应用于该系统中。然而，在实际工作场合下，这些鲁棒控制方法往往难以与陀螺效应抑制方法和不平衡抑制方法有效结合。

因此，现有技术中缺少一种方法，能够在抑制系统陀螺效应、不平衡振动响应和不平衡控制力响应的同时，保证系统对偏置电流的变化具有较强的鲁棒性，同时能够使系统能够在全转速范围内稳定可靠运行。

发明内容

本发明目的在于针对现有技术的不足，提出一种电磁轴承刚性转子系统的基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法，该方法主要用于解决电磁轴承刚性转子系统的陀螺效应抑制问题、不平衡振动及不平衡控制电流抑制问题，并提高系统对偏置电流变化的鲁棒性。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法，该方法包括以下步骤：

(1)在四自由度电磁轴承刚性转子系统中的主控制器处引入基于变转速的交叉微分反馈，将四自由度电磁轴承刚性转子系统解耦为两个相同的两自由度系统；

(2)针对其中一个两自由度系统，采用特征结构配置方法，得到比例微分反馈矩阵的参数化表达式；

(3)构造一个多目标优化问题，给定约束条件为系统闭环特征值位于复平面上给定的区域内，选择的优化目标为系统对偏置电流变化的灵敏度、全转速范围内的不平衡振动响应峰值以及不平衡控制电流响应峰值；

(4)采用多目标遗传算法求解步骤(3)中的多目标优化问题，得到一系列可行的Pareto最优解，在权衡各优化目标后选择一个合适的控制点，从而确定鲁棒比例微分反馈控制器的最优参数。

进一步地，所述步骤(1)的具体过程如下：

(1.1)根据四自由度电磁轴承刚性转子系统的系统参数，计算需引入的交叉微分反馈矩阵K_g，表示如下：

其中，

是坐标变换矩阵，

是坐标变换矩阵L₁的转置，l_a和l_b分别是A端和B端电磁轴承中心至转子质心位置处的轴向长度。

是电磁轴承电流刚度矩阵，k_i是电磁轴承的电流刚度系数。

是电磁轴承刚性转子系统的陀螺矩阵，J_z是转子绕z轴的转动惯量，ω是转子转速。

(1.2)将矩阵K_g引入到电磁轴承刚性转子系统中，抵消电磁轴承刚性转子系统的陀螺矩阵的耦合作用，得到在主控制律为比例微分反馈控制策略的条件下的其中一个关于转子绕y轴转动和沿x轴平动的两自由度系统的动力学模型。

进一步地，所述步骤(2)的具体过程如下：

(2.1)将两自由度转子系统运动微分方程写成特征结构形式，得到有关闭环特征值s_i、闭环右特征向量v_i和控制向量w_i的关系式，i＝1,2,3,4。

(2.2)确定矩阵H_i，i＝1,2,3,4，的表达式，使H_i满足以下条件：

其中，0_2×2是2×2的零矩阵。

(2.3)对矩阵H_i进行奇异值分解，并将奇异值分解后得到的其中一个4×4的酉矩阵Q_i进行分块得到四个2×2矩阵，其中右上方和右下方的2×2矩阵记为N_i和D_i，之后将

表示为

各列的线性组合。

(2.4)根据四个列向量v_i，i＝1,2,3,4，可以得到闭环特征向量矩阵V，根据四个列向量w_i，i＝1,2,3,4，可以得到控制矩阵W。

(2.5)得到比例微分反馈矩阵[K₁ K₂]的参数化表达式如下：

其中，L^T为矩阵L的转置，

是两自由度转子系统的坐标变换矩阵，l_a和l_b分别是A端和B端电磁轴承中心至转子质心位置处的轴向长度。Λ＝diag(s₁,s₂,s₃,s₄)是由四个闭环特征值s_i，i＝1,2,3,4构成的对角矩阵。

进一步地，所述步骤(3)的具体过程如下：

(3.1)为了保证电磁轴承刚性转子系统能稳定运行且具备期望动态性能，将电磁轴承刚性转子系统特征值s_i，i＝1,2,3,4限定在复平面给定区域Ω_i，i＝1,2,3,4内表示如下：

其中，s_1R、s_2R、s_1I和s_2I分别满足以下条件：

式中，

和

分别是给定的s_iR的下界和上界，

和

分别是给定的s_iI的下界和上界。

(3.2)为了提高闭环系统对偏置电流i₀的变化的鲁棒性，构造关于系统对偏置电流变化的灵敏度的优化目标函数J₁的表达式如下：

其中，g_i∈C^2×1，i＝1,2,3,4是自由向量。α_i，i＝1,2,3,4是权重系数，

和

分别是(·)的实部和虚部，A_c是闭环电磁轴承刚性转子系统状态空间方程形式的系统矩阵，

和ψ_i分别是矩阵A_c关于特征值s_i的右特征向量和左特征向量，且满足

其中i＝1,2,3,4。

(3.3)为了抑制闭环转子系统在全转速范围内的不平衡振动响应峰值，构造关于不平衡振动响应峰值的优化目标函数J₂的表达式如下：

其中，β₁和β₂是权重系数。||(·)||_∞为(·)的无穷范数。G_fxa(s)和G_fxb(s)分别为单位正弦力输入信号到A端和B端的电磁轴承处转子在x方向上的位移输出信号的传递函数。

(3.4)为了抑制闭环转子系统在全转速范围内的不平衡控制电流响应峰值，构造关于不平衡控制电流响应峰值的优化目标函数J₃的表达式如下：

其中，γ₁和γ₂是权重系数。G_fixa(s)和G_fixb(s)分别为单位正弦力输入信号到A端和B端的电磁轴承在x方向上的控制电流的传递函数。

(3.5)构造多目标优化问题如下：

进一步地，由于引入的交叉微分反馈矩阵K_g中的元素值是随转子转速ω的变化而变化的，在实际应用过程中需要利用转速传感器实时测量转子转速ω的实际值。

进一步地，所述步骤(4)中，采用多目标遗传算法NSGA-II对步骤(3)中的多目标优化问题进行求解。

进一步地，为了提高闭环系统对偏置电流i₀的变化的鲁棒性，构造的优化目标函数J₁实质上是闭环系统的模态阻尼比对偏置电流的偏导数的加权平方和。

进一步地，为了抑制闭环系统的不平衡振动响应峰值和不平衡控制电流响应峰值，在构造优化目标函数J₂和J₃的过程中引入了从单位不平衡正弦力输入到电磁轴承处位移输出和电磁轴承控制电流输出的传递函数的无穷范数。优化目标函数J₂和J₃实质上是相应传递函数的无穷范数的加权平方和。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明引入了基于变转速的交叉微分反馈控制，实现了陀螺效应的抑制，并将刚性转子的四自由度模型简化为了两自由度模型，方便了后续控制器的设计；

(2)本发明采用的特征结构配置方法，能够直接建立闭环特征值和特征向量与比例微分反馈矩阵之间的数量关系，意义明确，思路清晰；

(3)本发明通过构造并求解一个多目标优化问题，使得最终得到的比例微分反馈矩阵能够使闭环系统在保持对偏置电流不灵敏的同时，具有较小的不平衡振动响应峰值和不平衡控制电流响应峰值，使系统能够满足多种性能指标要求；

(4)本发明通过在构造优化问题的过程中给出特征值的约束范围，实现了在约束范围内得到的比例微分反馈矩阵能够保证闭环系统能够的稳定性，且系统的稳定裕度能够通过调节特征值约束范围来改变，无需考虑引入这种控制方法会导致系统失稳的问题；

(5)本发明中最终得到的比例微分反馈矩阵结构简单，易于实现，占用控制系统的资源很小；

(6)本发明不仅适用于转子系统的恒转速运行工况，还同样适用于转子在全转速范围内的恒加速运行工况。

附图说明

图1为实施例采用的电磁轴承刚性转子系统的结构图。

图2为本发明方法的闭环系统框图。

图3为实施例中的多目标优化过程中的最后一代的Pareto边界以及所选择的控制点P的位置。

图4为实施例中的控制点P对应的比例微分反馈矩阵控制下的在不同偏置电流i₀下起浮时的转子质心在y方向上的位移响应曲线。

图5为实施例中的控制点P对应的比例微分反馈矩阵控制下的恒加速转子在A端电磁轴承处的振动响应曲线。

图6为实施例中的控制点P对应的比例微分反馈矩阵控制下的恒加速转子在A端电磁轴承处的振动响应瀑布图。

图7为实施例中的控制点P对应的比例微分反馈矩阵控制下的转子在恒加速运行过程中的A端电磁轴承的控制电流响应曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细说明。

本实施例中采用的电磁轴承刚性转子系统的结构图如图1所示。该转子关于z轴对称，轴向受一对永磁轴承(未在图中画出)支承，径向由两个电磁轴承支承。假设平衡转子的几何中心O所在平面为Π，A端和B端电磁轴承所在平面分别为Π_A和Π_B，A端和B端位移传感器所在平面分别为Π_sA和Π_sB，这些平面均与xy平面平行。转子的质心为C，由于轴对称性，质心C必定与几何中心O重合。设质心C到平面Π_A和Π_B的距离分别为l_a和l_b，质心C到平面Π_sA和Π_sB的距离分别为l_sa和l_sb。

建立Oxyz坐标系，其中x方向为转子径向水平方向，y方向为转子径向竖直方向，z方向为转子轴向，x、y和z方向遵循右手定则。转子径向四个自由度的运动可用质心C在x和y方向上的平动位移x和y和绕x轴和y轴的转动角θ_x和θ_y来描述。

利用转子动力学理论，可以得到电磁轴承刚性转子系统在非稳态运动过程中的运动微分方程为：

其中，m为转子质量；J_z及J_xy分别为转子绕z轴及绕x(或y)轴的转动惯量；U_u＝m_uε为不平衡量，m_u为附加不平衡质量，ε和ε_z分别为不平衡量径向偏移量和轴向偏移量；f_xa、f_xb、f_ya及f_yb分别为A端和B端电磁轴承在x和y方向上施加给转子的电磁力；ω和

分别为转子的旋转角速度和旋转角度，且满足

式(1)可用矩阵形式表示为：

其中，M₁和G₁分别为电磁轴承刚性转子系统的质量矩阵和陀螺矩阵，F_1G为转子所受重力向量，F_1AMB为两端电磁轴承的广义电磁力向量，F_1ε为不平衡力向量，q₁是转子的广义坐标向量。它们分别定义如下：

电磁轴承的线性化电磁力向量可表示为：

F_1AMB＝L₁u_f1＝L₁(K_i1I₁+K_h1q_b1) (3)

其中，

是坐标变换矩阵。u_f1＝[f_xa f_xb f_ya f_yb]^T是两端电磁轴承的电磁力向量。K_i1＝diag[k_i,k_i,k_i,k_i]和K_h1＝diag[k_h,k_h,k_h,k_h]分别是电磁轴承的电流刚度矩阵和位移刚度矩阵，k_i和k_h分别是电磁轴承的电流刚度系数和位移刚度系数。I₁＝[i_xai_xb i_ya i_yb]^T是控制电流向量，i_xa、i_xb、i_ya和i_yb分别是A端和B端电磁轴承在x和y方向上的控制电流。

是转子在两端电磁轴承处的位移向量，x_a、x_b、y_a和y_b分别表示转子在A端和B端电磁轴承位置处的x和y方向上的位移。

为了抑制陀螺效应并解耦转子系统，在控制电流向量I₁中引入一种基于变转速的交叉微分反馈控制K_g，使得下式成立：

进一步可以得到：

引入交叉微分反馈矩阵K_g后，并将不平衡力视为外扰力先不予考虑，得到关于转子绕y轴旋转和沿x轴平动的一组两自由度转子系统的运动方程如下：

其中，q＝[θ_y x]^T是两自由度转子系统的广义坐标向量，M＝diag[J_xy,m]是两自由度转子系统的质量矩阵，F_AMB＝[f_xal_a-f_xbl_b f_xa+f_xb]^T是电磁轴承在所选择的两个自由度上的广义电磁力向量。

电磁轴承的线性化电磁力向量可表示为：

F_AMB＝Lu_f＝L(K_iI+K_hq_b) (7)

其中，

是两自由度转子系统的坐标变换矩阵。

是两端电磁轴承在x方向上的电磁力向量。

和

分别是电磁轴承的电流刚度矩阵和位移刚度矩阵。

是x方向上的控制电流向量。q_b＝[x_a x_b]^T＝L^Tq是转子在两端电磁轴承处的x方向上的位移向量。

当采用比例微分反馈控制时，控制电流向量I可表示为：

其中，K₁,K₂∈R^2×2分别是比例和微分反馈矩阵。

根据式(6)、式(7)和式(8)，可以得到采用比例微分反馈控制的两自由度转子系统的运动微分方程如下：

或写成：

其中，

是由电磁轴承的位移刚度项产生的刚度矩阵。

在比例微分反馈控制和交叉微分反馈控制下的闭环电磁轴承刚性转子系统的框图如图2所示。图中，T_s是采样时间；i_ya0和i_yb0是恒定的偏置电流分量，用于抵消转子重力；x_aref、x_bref、y_aref和y_bref分别是转子在A端和B端电磁轴承的x和y方向上的参考位移信号；T是坐标变换矩阵，定义如下：

下面以关于转子绕y轴旋转和沿x轴平动的一组两自由度转子系统为例，对本发明采用的特征结构配置方法进行说明，具体实施例及其实施过程如下：

(1)将式(10)写成特征结构形式，可以得到：

其中，s_i是闭环系统的第i个特征值，v_i和w_i是闭环系统关于特征值s_i的右特征向量和控制向量，w_i定义如下：

可以将式(12)改写成以下形式：

(2)令

并对矩阵H_i进行奇异值分解，得到：

其中，P_i∈C^2×2和Q_i∈C^4×4都是酉矩阵。(·)^H是矩阵(·)的共轭转置。Λ_si＝[diag(σ_i1,σ_i2)0_2×2]，且σ_i1和σ_i2是矩阵H_i的奇异值。

(3)将矩阵Q_i分块，得到：

其中，E_i、N_i、C_i和D_i∈C^2×2是矩阵Q_i的子矩阵，

的各列即为矩阵H_i的零空间内的基向量。

(4)由于向量

必定位于矩阵H_i的零空间内，故可以将

写成

各列的线性组合，表示如下：

其中，g_i∈C^2×1是自由向量。

(5)闭环特征向量矩阵V和控制矩阵W的各列分别由v_i和w_i组成，它们的参数化表达式可表示如下：

V＝[N₁g₁ N₂g₂ N₃g₃ N₄g₄] (18)

W＝[D₁g₁ D₂g₂ D₃g₃ D₄g₄] (19)

(6)比例微分反馈矩阵[K₁ K₂]可最终表示为：

下面以关于转子绕y轴旋转和沿x轴平动的一组两自由度转子系统为例，对本发明构造的多目标优化问题进行说明，具体实施例及其实施过程如下：

(1)为保证闭环系统稳定性，并使闭环系统具有期望的动态性能，将所有闭环系统的特征值s_i，i＝1,2,3,4，分别限定在复平面的四个给定矩形区域Ω_i，i＝1,2,3,4内，即

其中，s_1R、s_2R、s_1I和s_2I分别满足以下条件：

式中，

和

分别是给定的s_iR的下界和上界，

和

分别是给定的s_iI的下界和上界。

(2)为保证闭环系统对偏置电流i₀的变化的不敏感性，使闭环系统在不同的偏置电流条件下保持良好的动态性能，在目标函数的构造过程中考虑闭环系统的模态阻尼比ζ_i关于偏置电流i₀的灵敏度，可表示如下：

其中，α_i，i＝1,2,3,4是权重系数。

闭环系统的模态阻尼比ζ_i关于偏置电流i₀的灵敏度可进一步表示为：

其中，

和

分别是特征值s_i的实部和虚部。

闭环系统特征值s_i关于偏置电流i₀的灵敏度可表示为：

其中，A_c是闭环电磁轴承刚性转子系统状态空间方程形式的系统矩阵，

和ψ_i分别是矩阵A_c关于特征值s_i的右特征向量和左特征向量，且满足

其中i＝1,2,3,4。系统矩阵A_c可表示如下：

其中，I_2×2是2行2列的单位矩阵。

由于电流刚度系数k_i、位移刚度系数k_h和偏置电流i₀近似满足以下关系：

其中，k_ii和k_hi是电磁轴承的固有参数。

系统矩阵A_c关于偏置电流i₀的偏导数可表示为：

由式(24)和式(25)可以得到优化目标函数J₁的表达式如下：

(3)为保证闭环转子系统在全转速范围内具有较小的不平衡振动响应峰值，在目标函数的构造过程中考虑单位不平衡正弦力输入信号f_ε(s)到转子在电磁轴承处的x方向上的位移信号q_b(s)的传递函数。

采用比例微分反馈控制的带有转子不平衡的闭环转子系统的运动方程可表示如下：

其中，

由于在高转速范围内

不平衡力中的惯性力分量

可以被忽略，不平衡力可以重新写成如下形式：

其中，β是转子在初始时刻的角度。

F_ε可以进一步表示如下：

其中，f_ε＝-cos(ωt+β)是用于描述不平衡力的单位正弦输入信号。

在式(32)的等号两侧同时应用Laplace变换，可以得到：

那么，转子在电磁轴承处的x方向上的位移向量q_b(s)与f_ε(s)的关系如下：

其中，G₁(s)＝[s²M+sLK_iK₂L^T+L(K_iK₁-K_h)L^T]^-1。

式(34)可以改写为以下形式：

其中，

优化目标函数J₂可构造如下：

其中，β₁和β₂是权重系数，||(·)||_∞为(·)的无穷范数。

(4)为保证闭环转子系统在全转速范围内具有较小的不平衡控制电流响应峰值，在目标函数的构造过程中考虑单位不平衡正弦力输入信号f_ε(s)到两端电磁轴承在x方向上的控制电流信号I(s)的传递函数。

由式(8)可知，控制电流向量I(s)与转子在电磁轴承处的位移向量q_b(s)存在如下关系：

I(s)＝-(K₁+sK₂)q_b(s) (39)

根据式(35)和式(39)，可以得到f_ε(s)与I(s)之间的关系如下：

其中，

式中，K_ia和K_ib分别是矩阵K_i，i＝1,2的第一行和第二行。

优化目标函数J₃可构造如下：

式中，γ₁和γ₂是权重系数，||(·)||_∞为(·)的无穷范数。

(5)结合上述分析，构造最终的多目标优化问题如下：

之后，本实施例采用多目标遗传算法NSGA-II对该多目标优化问题进行求解，得到一系列可行的Pareto最优解，权衡各优化目标后选择一个合适的控制点，从而确定鲁棒比例微分反馈控制矩阵的最优参数，得到一个鲁棒比例微分反馈控制器。该算法首先随机生成包含200个个体的初始种群并启动迭代过程。在每次迭代中，基于每个个体的J₁、J₂和J₃的具体数值，选择出父代种群，并通过交叉和变异得到子代种群，然后将父代和子代种群合并，重新选择合适的个体组成下一代种群。由于第110代和第111代的种群的Pareto边界变化很小，算法停止迭代。最后一代种群的Pareto边界Pareto边界如图3所示。折中考虑到多目标优化问题的三个优化性能指标，选择的控制点P已在图3中标出。

本实施例中的控制点P对应的比例微分反馈矩阵控制下的在不同偏置电流情况下起浮时的转子质心在y方向上的位移响应曲线如图4所示。可见，在偏置电流分别为0.6A、1A和1.4A的条件下，闭环转子系统均能快速稳定地悬浮至给定位置，这表明鲁棒比例微分反馈控制下的闭环系统对于偏置电流的变化具有较强的鲁棒性。

本实施例中的控制点P对应的比例微分反馈矩阵控制下的恒加速转子在A端电磁轴承处的振动响应曲线和振动响应瀑布图如图5和图6所示。可见，在恒加速过程中，转子在全转速范围内的实际振动响应峰值和同频振动响应峰值均处于较低水平，远小于转子至保护轴承单边间隙0.25mm。这表明本发明提出的鲁棒比例微分反馈控制方法能够有效抑制转子的不平衡振动。

本实施例中的控制点P对应的比例微分反馈矩阵控制下的转子在恒加速运行过程中的A端电磁轴承的控制电流响应曲线如图7所示。可见，在恒加速过程中，系统在全转速范围内的控制电流响应峰值也处于一个较低的水平，远小于偏置电流1A。这表明本发明提出的鲁棒比例微分反馈控制方法能够有效抑制转子的不平衡控制电流。

上述实施例用来解释说明本发明，而不是对本发明进行限制，在本发明的精神和权利要求的保护范围内，对本发明作出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范围。

Claims (8)

1.一种基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

(1)在四自由度电磁轴承刚性转子系统中的主控制器处引入基于变转速的交叉微分反馈，将四自由度电磁轴承刚性转子系统解耦为两个相同的两自由度系统；

(2)针对其中一个两自由度系统，采用特征结构配置方法，得到比例微分反馈矩阵的参数化表达式；

(3)构造一个多目标优化问题，给定约束条件为系统闭环特征值位于复平面上给定的区域内，选择的优化目标为系统对偏置电流变化的灵敏度、全转速范围内的不平衡振动响应峰值以及不平衡控制电流响应峰值；

(4)采用多目标遗传算法求解步骤(3)中的多目标优化问题，得到一系列可行的Pareto最优解，在权衡各优化目标后选择一个合适的控制点，从而确定鲁棒比例微分反馈控制器的最优参数。

2.根据权利要求1所述的一种基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法，其特征在于：所述步骤(1)的具体过程如下：

(1.1)根据四自由度电磁轴承刚性转子系统的系统参数，计算需引入的交叉微分反馈矩阵K_g，表示如下：

其中，

是坐标变换矩阵，

是坐标变换矩阵L₁的转置，l_a和l_b分别是A端和B端电磁轴承中心至转子质心位置处的轴向长度。

是电磁轴承电流刚度矩阵，k_i是电磁轴承的电流刚度系数。

是电磁轴承刚性转子系统的陀螺矩阵，J_z是转子绕z轴的转动惯量，ω是转子转速。

(1.2)将矩阵K_g引入到电磁轴承刚性转子系统中，抵消电磁轴承刚性转子系统的陀螺矩阵的耦合作用，得到在主控制律为比例微分反馈控制策略的条件下的其中一个关于转子绕y轴转动和沿x轴平动的两自由度系统的动力学模型。

3.根据权利要求1所述的一种基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法，其特征在于：所述步骤(2)的具体过程如下：

(2.1)将两自由度转子系统运动微分方程写成特征结构形式，得到有关闭环特征值s_i、闭环右特征向量v_i和控制向量w_i的关系式，i＝1,2,3,4。

(2.2)确定矩阵H_i，i＝1,2,3,4，的表达式，使H_i满足以下条件：

其中，0_2×2是2×2的零矩阵。

(2.3)对矩阵H_i进行奇异值分解，并将奇异值分解后得到的其中一个4×4的酉矩阵Q_i进行分块得到四个2×2矩阵，其中右上方和右下方的2×2矩阵记为N_i和D_i，之后将

表示为

各列的线性组合。

(2.4)根据四个列向量v_i，i＝1,2,3,4，可以得到闭环特征向量矩阵V，根据四个列向量w_i，i＝1,2,3,4，可以得到控制矩阵W。

(2.5)得到比例微分反馈矩阵[K₁ K₂]的参数化表达式如下：

其中，L^T为矩阵L的转置，

是两自由度转子系统的坐标变换矩阵，l_a和l_b分别是A端和B端电磁轴承中心至转子质心位置处的轴向长度。Λ＝diag(s₁,s₂,s₃,s₄)是由四个闭环特征值s_i，i＝1,2,3,4构成的对角矩阵。

4.根据权利要求1所述的一种基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法，其特征在于：所述步骤(3)的具体过程如下：

(3.1)为了保证电磁轴承刚性转子系统能稳定运行且具备期望动态性能，将电磁轴承刚性转子系统特征值s_i，i＝1,2,3,4限定在复平面给定区域Ω_i，i＝1,2,3,4内表示如下：

其中，s_1R、s_2R、s_1I和s_2I分别满足以下条件：

式中，

和

分别是给定的s_iR的下界和上界，

和

分别是给定的s_iI的下界和上界。

(3.2)为了提高闭环系统对偏置电流i₀的变化的鲁棒性，构造关于系统对偏置电流变化的灵敏度的优化目标函数J₁的表达式如下：

其中，g_i∈C^2×1，i＝1,2,3,4是自由向量。α_i，i＝1,2,3,4是权重系数，

和

分别是(·)的实部和虚部，A_c是闭环电磁轴承刚性转子系统状态空间方程形式的系统矩阵，

和ψ_i分别是矩阵A_c关于特征值s_i的右特征向量和左特征向量，且满足

其中i＝1,2,3,4。

(3.3)为了抑制闭环转子系统在全转速范围内的不平衡振动响应峰值，构造关于不平衡振动响应峰值的优化目标函数J₂的表达式如下：

其中，β₁和β₂是权重系数。||(·)||_∞为(·)的无穷范数。G_fxa(s)和G_fxb(s)分别为单位正弦力输入信号到A端和B端的电磁轴承处转子在x方向上的位移输出信号的传递函数。

(3.4)为了抑制闭环转子系统在全转速范围内的不平衡控制电流响应峰值，构造关于不平衡控制电流响应峰值的优化目标函数J₃的表达式如下：

其中，γ₁和γ₂是权重系数。G_fixa(s)和G_fixb(s)分别为单位正弦力输入信号到A端和B端的电磁轴承在x方向上的控制电流的传递函数。

(3.5)构造多目标优化问题如下：

5.根据权利要求2所述的一种基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法，其特征在于：由于引入的交叉微分反馈矩阵K_g中的元素值是随转子转速ω的变化而变化的，在实际应用过程中需要利用转速传感器实时测量转子转速ω的实际值。

6.根据权利要求1所述的一种基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法，其特征在于：所述步骤(4)中，采用多目标遗传算法NSGA-II对步骤(3)中的多目标优化问题进行求解。

7.根据权利要求4所述的一种基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法，其特征在于：为了提高闭环系统对偏置电流i₀的变化的鲁棒性，构造的优化目标函数J₁实质上是闭环系统的模态阻尼比对偏置电流的偏导数的加权平方和。

8.根据权利要求4所述的一种基于特征结构配置的鲁棒比例微分反馈控制器的设计方法，其特征在于：为了抑制闭环系统的不平衡振动响应峰值和不平衡控制电流响应峰值，在构造优化目标函数J₂和J₃的过程中引入了从单位不平衡正弦力输入到电磁轴承处位移输出和电磁轴承控制电流输出的传递函数的无穷范数。优化目标函数J₂和J₃实质上是相应传递函数的无穷范数的加权平方和。

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