CN112910472B - 基于2范数箱型admm的ldpc码惩罚译码方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种码间干扰ISI信道下低密度校验LDPC码的改进的2范数箱型ADMM惩罚译码方法，主要解决现有技术在某些特殊ISI信道下LDPC码的2范数箱型ADMM迭代译码性能较低的问题。其实现方案是：初始化译码参数；计算每个变量节点接收到的码间干扰ISI信道信息，并据此构建优化模型；由优化模型和引入的惩罚函数列出增广拉格朗日函数；对增广拉格朗日函数中的向量分别进行更新；由更新后的向量获取码字向量，并通过判断其是否满足奇偶校验的条件，完成译码。本发明降低了2范数箱型ADMM译码中伪码字出现的概率，提高了译码性能，可用于码间干扰ISI信道下高速移动无线电系统和航空通信系统的信息传输。

Description

基于2范数箱型ADMM的LDPC码惩罚译码方法

技术领域

本发明属于通信技术领域，特别涉及一种低密度奇偶校验LDPC码的惩罚译码方法，可用于码间干扰ISI信道下高速移动无线电系统和航空通信系统的信息传输。

背景技术

LDPC码由于其逼近香农限的良好性能已经被802.11n、802.16e等现代通信标准普遍采纳，并在深空通信、无线通信和磁记录存储系统领域得到了广泛的应用。码间干扰ISI信道以其长的存储特性，可用于模拟高速移动无线电系统和航空通信系统。因此，码间干扰信道下LDPC码译码方法的研究已经成为近年来信道编码领域的一类非常重要的问题。

ISI信道下LDPC码通常采用Turbo均衡TE或基于优化的方法来进行译码，但是，这些译码方法的不足之处是其译码复杂度与信道存储器长度呈指数级关系，或者其高信噪比区域的译码性能有损失。

西安电子科技大学在其专利文献“基于最小多面体模型的LDPC码线性规划译码方法”(申请公布日：2016年04月22日，申请公布号：CN 105959015A，申请号：2016102550594)中公开了一种基于最小多面体模型的LDPC码线性规划译码方法。该专利申请中的译码方法通过引入分解校验节点的方法将LDPC码的最大似然译码松弛为基于最小多面体的线性规划LP模型，然后，利用基于最小多面体的LP模型中矩阵的稀疏性和正交性,建立相应增广拉格朗日函数并采用交替方向乘子法ADMM方法进行迭代译码，与现有基于ADMM算法的LP译码方法相比，在不降低LP误码性能的前提下，提高了译码速度，但该方法在高信噪比区域的译码性能仍然存在损失。

Jiao等人在其发表的论文“Linear-complexity ADMM updates for decodingLDPC codes in partial response channels”(IEEE Commun.Lett.，2019，23，(12)，pp.2200-2204.)中提出了一种适用于部分响应PR信道的LDPC码的ADMM惩罚译码方法，该译码方法可以降低LDPC码的译码复杂度，即其复杂度与信道存储器长度呈线性关系，这特别适用于具有长存储器的ISI信道。然而，现有的ISI信道下LDPC码的ADMM惩罚译码方法的不足之处是：对于某些特殊的ISI信道，例如PR16信道，其在高信噪比区域的译码性能与TE方法相比仍然有损失。

发明内容

本发明的目的在于针对上述已有技术的不足，提出一种基于2范数箱型ADMM的LDPC码惩罚译码方法，以提高译码性能，并保持低译码复杂度。

本发明的技术思路是：通过在2范数箱型ADMM译码中引入惩罚函数，降低该译码中伪码字出现的概率，从而提高译码性能。

根据上述思路，本发明的实现方案包括如下：

(1)初始化译码参数：

(1a)将码间干扰ISI信道的系数设置为{h₀,h₁,...,h_t,...,h_D}，其中，h_t表示第t位ISI信道的系数，t的取值范围为[0,D]，D表示信道存储长度；

(1b)将交替方向乘子法ADMM译码中初始迭代次数设置为0；

(1c)将拉格朗日乘子向量λ₁初始值设置为全0向量，将第二个辅助向量z初始值设置为全0.5向量，将拉格朗日乘子向量λ₂设置为全0向量，将第一个辅助向量y初始值设置为全0.5向量，变量节点信息向量x初始化为全0.5向量；

(2)计算每个变量节点接收到的码间干扰ISI信道信息：

其中，r_i表示第i个变量节点接收到的信道信息，x_i-t表示第i-t个变量节点码字比特通过二进制相移键控BPSK调制后的值，n_i表示第i个变量节点对应的均值为0、方差为σ²独立同分布高斯随机噪声；

(3)根据信道系数h_t和信道信息r_i，得到LDPC码在码间干扰ISI信道ADMM译码的目标函数f(x)，并根据发送的码字与校验矩阵的内积关系和2范数箱型定理设定约束条件s.t.，得到ISI信道下LDPC码译码的优化模型：

s.t.：P_jx＝z_j，x＝y，

其中，x∈[0,1]^N表示变量节点信息，N表示LDPC码码长，x_i-t表示第i-t个变量节点的当前信息，i的取值范围为[1,N]，P_j表示第j个校验节点的转换矩阵，j∈M，M表示校验节点的个数，z_j表示第j个校验节点对应的第二个辅助向量z的第j个分量，

表示校验多胞体，1_N表示长度为N的全1向量，

表示2-范数的平方；

(4)由上述优化模型，依据拉格朗日乘数法，得出增广拉格朗日函数

其中，μ₁表示第一惩罚参数，μ₂表示第二惩罚参数，λ_1,j表示拉格朗日乘子向量λ₁的第j个分量，σ(x)表示惩罚函数；

(5)对增广拉格朗日函数中的向量x、y、z、λ₁和λ₂分别进行更新：

(5a)对x进行更新，即由第k-1次迭代生成的x^k-1、y^k-1、z^k-1、λ₁ ^k-1和λ₂ ^k-1，生成变量节点的当前信息x^k；

(5b)对y进行更新，即由变量节点当前信息x^k和上一次迭代的λ₂ ^k-1生成当前第一个辅助向量y^k；

(5c)对z进行更新，即由变量节点当前信息x^k和上一次迭代的λ₁ ^k-1生成当前第二个辅助向量z^k；

(5d)对λ₁进行更新，即由变量节点当前信息x^k、当前第二个辅助向量z^k和上一次迭代的λ₁ ^k-1生成当前拉格朗日乘子向量λ₁ ^k；

(5e)对λ₂进行更新，即由变量节点当前信息x^k、当前第一个辅助向量y^k和上一次迭代的λ₂ ^k-1生成当前拉格朗日乘子向量λ₂ ^k；

(6)根据变量节点当前信息x^k，获取每个码字比特的硬判决值：

其中，

表示第i个码字比特在第k次迭代结束后对应的硬判决值，

表示第i个变量节点的当前信息；

(7)判断码字向量

是否满足奇偶校验的条件，若是，则停止译码，否则，执行(8)；

(8)判断当前迭代次数是否达到最大迭代次数900，若是，则停止译码，否则，迭代次数加1后返回(5)。

本发明与现有技术相比具有以下优点：

第一，本发明由于通过2范数箱型定理来设置优化模型约束条件，并在增广拉格朗日函数引入惩罚函数，从而降低2范数箱型ADMM译码中伪码字出现的概率，提高了ISI信道下LDPC码ADMM译码的译码性能。

第二，本发明由于每个更新步骤可以并行执行，克服了串行执行的缺点，从而能够保持较低的复杂度。

附图说明

图1是本发明的实现流程图；

图2是用本发明与现有方法在EPR4信道下对C₁码译码的块误码率性能对比图；

图3是本发明与现有基于ADMM的译码器在多个信噪比下的平均迭代次数对比图；

图4是用本发明与现有方法在PR16信道下对C₁码译码的块误码率性能对比图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明的实施例和效果作进一步描述。

参照图1，本实例的实现步骤如下：

步骤1，初始化译码参数。

将码间干扰ISI信道的系数设置为{h₀,h₁,...,h_t,...,h_D}，其中，h_t表示第t位ISI信道的系数，t的取值范围为[0,D]，D表示信道存储长度；

将交替方向乘子法ADMM译码中初始迭代次数设置为0；

将拉格朗日乘子向量λ₁初始值设置为全0向量，将第二个辅助向量z初始值设置为全0.5向量，将拉格朗日乘子向量λ₂设置为全0向量，将第一个辅助向量y的初始值设置为全0.5向量，变量节点信息向量x初始化为全0.5向量。

步骤2，计算每个变量节点接收到的码间干扰ISI信道信息。

2.1)计算第i-t个变量节点码字比特通过二进制相移键控BPSK调制后的值1-2x_i-t，其中，x_i-t表示第i-t个变量节点的当前信息；

2.2)根据调制后的值和第i个变量节点对应的均值为0、方差为σ²独立同分布高斯随机噪声n_i，由如下公式，计算得到第i个变量节点接收到的信道信息r_i：

步骤3，构建ISI信道下LDPC码译码的优化模型。

根据信道系数h_t和信道信息r_i，得到LDPC码在码间干扰ISI信道ADMM译码的目标函数f(x)，并根据发送的码字与校验矩阵的内积关系和2范数箱型定理设定约束条件s.t.，得到ISI信道下LDPC码译码的优化模型：

s.t.：P_jx＝z_j，x＝y，

其中，x∈[0,1]^N表示变量节点信息，N表示LDPC码码长，x_i-t表示第i-t个变量节点的当前信息，i的取值范围为[1,N]，P_j表示第j个校验节点的转换矩阵，j∈M，M表示校验节点的个数，z_j表示第j个校验节点对应的第二个辅助向量z的第j个分量，

表示校验多胞体，1_N表示长度为N的全1向量，

表示2-范数的平方。

步骤4，列出增广拉格朗日函数。

由上述优化模型，依据拉格朗日乘数法，得出增广拉格朗日函数

其中，μ₁表示第一惩罚参数，μ₂表示第二惩罚参数，λ_1,j表示拉格朗日乘子向量λ₁的第j个分量，σ(x)表示惩罚函数，该罚函数σ(x)有两种类型：

第一种是l₁罚函数：σ(x)＝α₁||x-0.5||₁，其中，α₁表示针对具体信道、具体码字，根据误码率大小优化得到的l₁罚函数的惩罚参数，||·||₁表示1-范数；

第二种是l₂罚函数：

其中，α₂表示针对具体信道、具体码字，根据误码率大小优化得到的l₂罚函数的惩罚参数，

表示2-范数的平方。

步骤5，对增广拉格朗日函数中的向量x、y、z、λ₁和λ₂分别进行更新。

5.1)更新变量节点的当前信息x的值：

由增广拉格朗日函数对x求偏导，可得x的更新公式如下：

其中，x_i表示第i个变量节点的当前信息，Π_[0,1]表示在区间[0,1]内做欧几里德投影操作，j表示第j个校验节点，N_v(i)表示与第i个变量节点相邻的校验节点的索引集，

表示第j个校验节点对应的辅助向量z_j中与第i个变量节点对应的向量位，

表示第j个校验节点对应的拉格朗日乘子向量λ_1,j中与第i个变量节点对应的向量位，y_i表示第一个辅助向量y的第i个分量，

表示拉格朗日乘子向量λ₂中与第i个变量节点对应的向量位，

表示的是

中与x_i不相关的剩余项，

表示目标函数对x_i的偏导，|·|表示的是集合的基数，A(x)表示拉格朗日函数对x_i求偏导后分子中与罚函数相关项，B(x)表示拉格朗日函数对x_i求偏导后分母中与罚函数相关项，根据罚函数σ(x)类型，A(x)和B(x)有不同的取值，若使用l₁罚函数，则A(x)＝α₁·sgn(x_i-0.5)，B(x)＝0，其中，·表示数乘运算，sgn(·)表示符号函数；若使用l₂罚函数，则A(x)＝-α₂，B(x)＝-2α₂。

5.2)更新第一个辅助向量y的值：

由增广拉格朗日函数对y求偏导，可得y的更新公式如下：

其中，y_i表示第一个辅助向量y对应的第i个分量，λ_2,i表示拉格朗日乘子向量λ₂的第i个分量，1_N表示长度为N的全1向量，||·||₂表示2-范数；

5.3)更新第二个辅助向量z的值：

由增广拉格朗日函数对z求偏导，可得z的更新公式如下：

其中，

表示在第j个校验节点对应的校验多胞体

上做欧几里德投影操作，λ_1,j表示拉格朗日乘子向量λ₁的第j个分量；

5.4)更新拉格朗日乘子向量λ₁的值：

根据更新后的x、z和上一次迭代的

由如下公式更新λ₁：

其中，

表示当前拉格朗日乘子向量λ₁的第j个分量，k表示第k次迭代；

5.5)更新拉格朗日乘子向量λ₂的值：

根据更新后的x、y和上一次迭代的

由如下公式更新λ₂：

其中，

表示当前拉格朗日乘子向量λ₂的第i个分量，i的取值范围为[1,N]，N表示LDPC码码长，x_i表示第i个变量节点的当前信息，y_i表示第一个辅助向量y对应的第i个分量。

步骤6，判断译码的完成情况。

6.1)根据变量节点当前信息x，获取每个码字比特的硬判决值，即码字向量：

其中，k表示第k次迭代次数，

表示第i个码字比特在第k次迭代结束后对应的硬判决值，x_i表示第i个变量节点的当前信息。

6.2)判断码字向量

是否满足奇偶校验的条件：若是，则执行步骤6.4)，否则，执行步骤6.3)。

6.3)判断当前迭代次数是否达到最大迭代次数900，若是，则执行步骤6.5)，否则，将当前迭代次数加1后，返回步骤5；

6.4)译码成功，停止交替方向乘子法ADMM译码；

6.5)译码失败，停止交替方向乘子法ADMM译码。

本发明的效果，可以通过以下仿真结果进一步说明：

一.仿真实验使用的译码方法：

1.现有的ADMM惩罚译码方法ADMM-PD-l₂，

2.现有的2范数箱型ADMM译码方法l₂-box-ADMM，

3.本发明带l₁罚函数的2范数箱型ADMM惩罚译码方法l₂-box-ADMM-l₁，

4.本发明带l₂罚函数的2范数箱型ADMM惩罚译码方法l₂-box-ADMM-l₂。

二.仿真内容

仿真1，用上述四种方法在EPR4信道下对C₁码进行译码，对其块误码率性能进行对比。

(1.1)仿真参数设置：

在ADMM-PD-l₂译码方法中，增广拉格朗日函数的惩罚参数μ设置为1.8，惩罚函数的惩罚参数α₂设置为3.8；

在l₂-box-ADMM译码方法中，增广拉格朗日函数的惩罚参数μ₁,μ₂分别设置为1.4、9.9；

在l₂-box-ADMM-l₁译码方法中，参数α₁设置为2.6，参数μ₁,μ₂分别设置为1.2、0.6；

在l₂-box-ADMM-l₂译码方法中，参数α₂设置为3.7，参数μ₁,μ₂分别设置为1.4、1.8。

(1.2)用上述四种方法在其各自设置的参数下分别对C₁码进行译码，得到EPR4信道下针对C₁码的块误码率，如图2所示。其中：

横坐标SNR表示信噪比，纵坐标BLER表示块误码率；

以正三角形标识的曲线表示l₂-box-ADMM译码方法的块误码率性能；

以圆圈标识的曲线表示ADMM-PD-l₂译码方法的块误码率性能；

以方框标识的曲线表示本发明提出的l₂-box-ADMM-l₁译码方法的块误码率性能；

以菱形标识的曲线表示本发明提出的l₂-box-ADMM-l₂译码方法的块误码率性能。

由图2可以看出，本发明与现有技术的ADMM译码方法相比，在EPR4信道高信噪比区域其误码率明显低于现有译码方法。

仿真2，用上述ADMM-PD-l₂、l₂-box-ADMM-l₁、l₂-box-ADMM-l₂这三种方法在多个信噪比下分别进行C₁码的译码，对其平均迭代次数进行对比。

(2.1)仿真参数设置：

在ADMM-PD-l₂译码方法中，增广拉格朗日函数的惩罚参数μ设置为1.8，惩罚函数的惩罚参数α₂设置为3.8；

在l₂-box-ADMM-l₁译码方法中，参数α₁设置为2.6，参数μ₁,μ₂分别设置为1.2、0.6；

在l₂-box-ADMM-l₂译码方法中，参数α₂设置为3.7，参数μ₁,μ₂分别设置为1.4、1.8。

(2.2)用上述三种方法在其各自设置的参数下分别对C₁码进行译码，得到EPR4信道下针对C₁码的平均迭代次数，结果如图3所示。其中：

横坐标表示信噪比SNR，纵坐标表示平均迭代次数ANIs；

以菱形标识的曲线表示l₂-box-ADMM-l₁译码方法在多个信噪比下的平均迭代次数；

以三角形标识的曲线表示l₂-box-ADMM-l₂译码方法在多个信噪比下的平均迭代次数；

以方框标识的曲线表示ADMM-PD-l₂译码方法在多个信噪比下的平均迭代次数。

由图3可以看出，本发明译码方法的平均迭代次数与现有译码方法的平均迭代次数差别较小，即本发明提出的l₂-box-ADMM-l₁与l₂-box-ADMM-l₂译码方法仍然保持了ADMM译码方法低复杂度的优势。

仿真3，用上述四种方法在PR16信道下对C₁码进行译码，对其块误码率性能进行对比。

(3.1)仿真参数设置：

在ADMM-PD-l₂译码方法中，增广拉格朗日函数的惩罚参数μ设置为22.6，惩罚函数的惩罚参数α₂设置为45.8；

在l₂-box-ADMM译码方法中，增广拉格朗日函数的惩罚参数μ₁,μ₂分别设置为19、118；

在l₂-box-ADMM-l₁译码方法中，参数α₁设置为9，参数μ₁,μ₂分别设置为10、76；

在l₂-box-ADMM-l₂译码方法中，参数α₂设置为19，参数μ₁,μ₂分别设置为13、62。

(3.2)用上述四种方法在其各自设置的参数下分别对C₁码进行译码，得到PR16信道下针对C₁码的块误码率，如图4所示。其中：

以正三角形标识的曲线表示l₂-box-ADMM译码方法的块误码率性能；

以圆圈标识的曲线表示ADMM-PD-l₂译码方法的块误码率性能；

以方框标识的曲线表示本发明提出的l₂-box-ADMM-l₁译码方法的块误码率性能；

以菱形标识的曲线表示本发明提出的l₂-box-ADMM-l₂译码方法的块误码率性能。

由图4可以看出，在PR16信道下的高信噪比区域，与现有技术的LDPC码的译码方法比较，本发明所提出的l₂-box-ADMM-l₁与l₂-box-ADMM-l₂译码方法的块误码率显著低于现有的译码方法。

综上所述，本发明的译码方法，既保持了低译码复杂度，又提高了ISI信道下LDPC码ADMM译码的译码性能。

Claims (2)

1.一种低密度奇偶校验LDPC码的2范数箱型ADMM惩罚译码方法，其特征在于，包括如下：

(1)初始化译码参数：

(1a)将码间干扰ISI信道的系数设置为{h₀,h₁,...,h_t,...,h_D}，其中，h_t表示第t位ISI信道的系数，t的取值范围为[0,D]，D表示信道存储长度；

(1b)将交替方向乘子法ADMM译码中初始迭代次数设置为0；

(1c)将拉格朗日乘子向量λ₁初始值设置为全0向量，将第二个辅助向量z初始值设置为全0.5向量，将拉格朗日乘子向量λ₂设置为全0向量，将第一个辅助向量y初始值设置为全0.5向量，变量节点信息向量x初始化为全0.5向量；

(2)计算每个变量节点接收到的码间干扰ISI信道信息：

其中，r_i表示第i个变量节点接收到的信道信息，x_i-t表示第i-t个变量节点码字比特通过二进制相移键控BPSK调制后的值，n_i表示第i个变量节点对应的均值为0、方差为σ²独立同分布高斯随机噪声；

(3)根据信道系数h_t和信道信息r_i，得到LDPC码在码间干扰ISI信道ADMM译码的目标函数f(x)，并根据发送的码字与校验矩阵的内积关系和2范数箱型定理设定约束条件s.t.，得到ISI信道下LDPC码译码的优化模型：

其中，x∈[0,1]^N表示变量节点信息，N表示LDPC码码长，x_i-t表示第i-t个变量节点的当前信息，i的取值范围为[1,N]，P_j表示第j个校验节点的转换矩阵，j∈M，M表示校验节点的个数，z_j表示第j个校验节点对应的第二个辅助向量z的第j个分量，

表示校验多胞体，1_N表示长度为N的全1向量，

表示2-范数的平方；

(4)由上述优化模型，依据拉格朗日乘数法，得出增广拉格朗日函数

其中，μ₁表示第一惩罚参数，μ₂表示第二惩罚参数，λ_1,j表示拉格朗日乘子向量λ₁的第j个分量，σ(x)表示惩罚函数；

(5)对增广拉格朗日函数中的向量x、y、z、λ₁和λ₂分别进行更新：

(5a)对x进行更新，即由第k-1次迭代生成的x^k-1、y^k-1、z^k-1、λ₁ ^k-1和λ₂ ^k-1，生成变量节点的当前信息x^k；其中更新变量节点的当前信息x的值，其公式如下：

其中，x_i表示第i个变量节点的当前信息，Π_[0,1]表示在区间[0,1]内做欧几里德投影操作，j表示第j个校验节点，N_v(i)表示与第i个变量节点相邻的校验节点的索引集，

表示第j个校验节点对应的辅助向量z_j中与第i个变量节点对应的向量位，

表示第j个校验节点对应的拉格朗日乘子向量λ_1,j中与第i个变量节点对应的向量位，y_i表示第一个辅助向量y的第i个分量，

表示拉格朗日乘子向量λ₂中与第i个变量节点对应的向量位，

表示的是

中与x_i不相关的剩余项，

表示目标函数对x_i的偏导，|·|表示的是集合的基数，A(x)表示拉格朗日函数对x_i求偏导后分子中与罚函数相关项，B(x)表示拉格朗日函数对x_i求偏导后分母中与罚函数相关项；

(5b)对y进行更新，即由变量节点当前信息x^k和上一次迭代的λ₂ ^k-1生成当前第一个辅助向量y^k；其中更新第一个辅助向量y的值，其公式如下：

其中，y_i表示第一个辅助向量y对应的第i个分量，λ_2,i表示的是拉格朗日乘子向量λ₂的第i个分量，1_N表示长度为N的全1向量；||·||₂表示的是2-范数；

(5c)对z进行更新，即由变量节点当前信息x^k和上一次迭代的λ₁ ^k-1生成当前第二个辅助向量z^k；其中更新第二个辅助向量z的值，其公式如下：

其中，

表示在第j个校验节点对应的校验多胞体

上做欧几里德投影操作，λ_1,j表示拉格朗日乘子向量λ₁的第j个分量；

(5d)对λ₁进行更新，即由变量节点当前信息x^k、当前第二个辅助向量z^k和上一次迭代的λ₁ ^k-1生成当前拉格朗日乘子向量λ₁ ^k；其中更新拉格朗日乘子向量λ₁的值，其公式如下：

λ_1,j＝λ_1,j+P_jx-z_j，

其中，λ_1,j表示拉格朗日乘子向量λ₁的第j个分量；

(5e)对λ₂进行更新，即由变量节点当前信息x^k、当前第一个辅助向量y^k和上一次迭代的λ₂ ^k-1生成当前拉格朗日乘子向量λ₂ ^k；其中更新拉格朗日乘子向量λ₂的值，其公式如下：

λ_2,i＝λ_2,i+x_i-y_i

其中，λ_2,i表示拉格朗日乘子向量λ₂的第i个分量，i的取值范围为[1,N]，N表示LDPC码码长，x_i表示第i个变量节点的当前信息，y_i表示第一个辅助向量y对应的第i个分量；

(6)根据变量节点当前信息x^k，获取每个码字比特的硬判决值：

其中，

表示第i个码字比特在第k次迭代结束后对应的硬判决值，

表示第i个变量节点的当前信息；

(7)判断码字向量

是否满足奇偶校验的条件，若是，则停止译码，否则，执行(8)；

(8)判断当前迭代次数是否达到最大迭代次数900，若是，则停止译码，否则，迭代次数加1后返回(5)。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，(4)中增广拉格朗日函数式所涉及的惩罚函数σ(x)，有两种类型：

第一种是l₁罚函数：σ(x)＝α₁||x-0.5||₁，其中，α₁表示针对具体信道、具体码字，根据误码率大小优化得到的l₁罚函数的惩罚参数，||·||₁表示1-范数；

第二种是l₂罚函数，

其中，α₂表示针对具体信道、具体码字，根据误码率大小优化得到的l₂罚函数的惩罚参数，

表示2-范数的平方。

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