CN112836176A - 一种曲线拟合的优化方法、存储介质、电子设备及系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种曲线拟合的优化方法、存储介质、电子设备及系统，其方法包括以下步骤：A、初始化超参数并获取模型数据；B、根据所述超参数利用二分法对所述模型数据进行分段，得到初始分段点列表；C、根据所述超参数利用导数对所述初始分段点列表中的分段点进行迭代优化，得到最终分段点列表，根据所述最终分段点列表对曲线进行拟合。本发明曲线拟合的优化方法可以实现模型自动分段，减少了由于人为干预带来的主观误差，节省了建模时间；同时，在保证曲线拟合精度的条件下，有效降低分段点差值。具有操作简单，拟合精度高的优点。

Description

一种曲线拟合的优化方法、存储介质、电子设备及系统

技术领域

本发明涉及曲线拟合技术领域，特别涉及一种曲线拟合的优化方法、存储介质、电子设备及系统。

背景技术

在工程实践与科学实验中，经常需要研究并量化变量之间的关系，为此我们会通过试验，得到一系列观测数据(x_i,y_i),i＝1,2,....,n。如何根据这些数据，确定自变量x与因变量y之间的函数关系，这就是曲线拟合问题。曲线拟合的应用十分广泛，如在边缘检测领域中来拟合物体的边缘轮廓，在逆向工程领域中对截面线数据进行曲面重构，在传感技术领域中对传感器进行误差补偿和标定。常用的曲线拟合方法是最小二乘法(最小二乘法是通过最优化误差平方和寻找数据的最佳函数匹配)。然而在实际的工程应用中，如果想用一个函数表达一条曲线，得到的函数往往是高次的，高次的函数计算量大，实用性不高。为有效解决上述问题，一般会采用分段曲线拟合，即在每个区间段，分别用最小二乘法进行拟合。

目前存在的用于解决分段曲线拟合问题的方法，都有一定的局限性。有的是根据主观经验来确定经验函数和分段区间，然后进行拟合，这种方法主观性强，技术复杂，难以移植；有的提出分段区间重合的拟合方法，由每四个数据点决定一个三次曲线，这种方法分段区间太密，不适合密集的数据拟合；有的提出多项式基函数的全局连续拟合方法，这种方法只限于两个分段区间，对于需要有多个分段区间的情况不能处理；有的提出来根据误差方差和误差均值，自动确定分段区间，进行分段拟合，这种方法在确定分段点的时候，没有考虑到分段点差值的大小，在一些精密测量的领域中，如传感器标定，分段点差值过大带来的阶跃误差是不能被忽视的。

发明内容

本发明目的在于提供一种分段点差值小、拟合精度高的曲线拟合的优化方法。其采用如下技术方案：

为了解决上述问题，本发明提供了一种曲线拟合的优化方法，其包括以下步骤：

A、初始化超参数并获取模型数据；

B、根据所述超参数利用二分法对所述模型数据进行分段，得到初始分段点列表；

C、根据所述超参数利用导数对所述初始分段点列表中的分段点进行迭代优化，得到最终分段点列表，根据所述最终分段点列表对曲线进行拟合。

作为本发明的进一步改进，所述超参数包括：最小二乘拟合法的最高次数D、模型平均绝对误差阈值E、最大迭代次数N、迭代步长S、分段点差值阈值R，所述模型数据为需要进行分段曲线拟合的有序数据对(x_i,y_i)，其中，x为自变量，y为因变量，i＝1,2,...,n，(n为正整数)。

作为本发明的进一步改进，所述步骤B包括：

B1、令段起始点x_min＝x₀，段终止点x_max＝x_n；

B2、将所述模型数据中自变量x∈[x_min,x_max]的数据对取出，记作测试数据；

B3、判断测试数据的自变量个数是否小于预设值，若是，则当前数据量无法建模，需要对模型数据进行优化或调整模型平均绝对误差阈值E；否则，执行步骤B4；

B4、利用最小二乘法对测试数据分别建立次数由1至D的多项式回归模型组，并从所述多项式回归模型组中选择平均绝对误差值最小的模型作为择优模型；

B5、判断择优模型的平均绝对误差值是否小于等于E，若是，则执行步骤B6，否则，令x_max＝(x_min+x_max)/2，返回步骤B2；

B6、判断x_max＝＝x_n是否成立，若是，则当前分段点列表中的分段点即为初始分段点，将初始分段点列表记为[z₁,...,z_q]，q为正整数，否则，将x_max存入分段点列表中，并令x_min＝x_max，x_max＝x_n，返回步骤B2。

作为本发明的进一步改进，所述步骤C包括：

C1、令当前迭代次数i＝0；

C2、对初始分段点列表[z₁,...,z_q]中的分段点进行微调；

C3、利用最小二乘法对微调后的分段点列表中的每个分段均建立次数由1至D的多项式回归模型组，并从所述多项式回归模型组中选择平均绝对误差值最小的模型作为择优模型，并求出：每段的择优模型平均绝对误差值列表[e₁,e₂,...,e_k]、择优模型总平均绝对误差e_总、分段点差值最大值pe_max；

C4、判断[e₁,e₂,...,e_k]中的最大值是否小于等于E，若是，则执行步骤C5，否则，执行步骤C6；

C5、判断pe_max是否小于等于R，若是，终止迭代，输出当前分段点列表作为最终分段点列表，否则，执行步骤C7；

C6、对于所有平均绝对误差值e_j＞E(j＝1,2,...,k)的段，利用二分法自动分段，并将新增的分段点加入分段点列表；

C7、令i＝i+1，判断i是否小于等于N，若是，返回步骤C2，否则，执行步骤C8；

C8、输出迭代过程中满足e_总<E，且pe_max最小的分段点列表作为最终分段点列表。

作为本发明的进一步改进，所述步骤C2包括以下步骤：

C21、令t＝1，计算d(z_t)，判断d(z_t)＝＝0是否成立，若是，执行步骤C23，否则，执行步骤C22；其中，

g和h分别为当前分段点z_t的两侧拟合多项式；

C22、判断d(z_t)是否大于0，若是，令z_t＝z_t-S，否则，令z_t＝z_t+S；

C23、令t＝t+1，判断t是否小于等于q，若是，返回步骤C21，否则，执行步骤C24；

C24、输出经过微调的分段点列表。

作为本发明的进一步改进，所述测试数据的自变量个数的预设值为20。

作为本发明的进一步改进，所述最小二乘拟合法的最高次数D为3。

为了解决上述问题，本发明还提供了一种计算机可读存储介质，所述存储介质包括存储的程序，其中，所述程序执行上述任意一项所述的曲线拟合的优化方法。

为了解决上述问题，本发明还提供了一种电子设备，包括：一个或多个处理器，存储器以及一个或多个程序，其中，所述一个或多个程序被存储在所述存储器中，并且被配置为由所述一个或多个处理器执行，所述一个或多个程序包括用于执行上述任意一项所述的曲线拟合的优化方法。

为了解决上述问题，本发明还提供了一种曲线拟合的优化系统，其包括：

初始化模块，用于初始化超参数；

模型数据获取模块，用于获取模型数据；

分段模块，用于根据所述超参数利用二分法对所述模型数据进行分段，得到分段模型；

优化模块，用于根据所述超参数利用导数对所述分段模型进行迭代优化，根据所述最终分段点列表对曲线进行拟合。

本发明的有益效果：

本发明曲线拟合的优化方法可以实现模型自动分段，减少了由于人为干预带来的主观误差，节省了建模时间；同时，在保证曲线拟合精度的条件下，有效降低分段点差值。具有操作简单，拟合精度高的优点。

上述说明仅是本发明技术方案的概述，为了能够更清楚了解本发明的技术手段，而可依照说明书的内容予以实施，并且为了让本发明的上述和其他目的、特征和优点能够更明显易懂，以下特举较佳实施例，并配合附图，详细说明如下。

附图说明

图1是本发明优选实施例中曲线拟合的优化方法的流程图；

图2是本发明优选实施例中的模型数据散点图；

图3是本发明优选实施例中用初始分段点拟合的整体效果图；

图4是图3的局部效果图；

图5是本发明优选实施例中用最终分段点拟合的整体效果图；

图6是图5的局部效果图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好地理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。

如图1所示，为本发明优选实施例中的曲线拟合的优化方法，包括以下步骤：

步骤A、初始化超参数并获取模型数据。

可选的，所述超参数包括：

1、最小二乘拟合法的最高次数D。

其中，D根据实际的工程对计算量的限制设置，一般最小二乘的拟合次数不超过3。

2、模型平均绝对误差阈值E。

模型平均绝对误差公式为：

其中，y_i(i＝1,2,...,m)表示原始测量值，

表示模型拟合值。

模型平均绝对误差阈值E表示工程上最大可接受的模型误差，需要事先根据实际需求确定(如在测距传感器的标定中，规定传感器测距精度为±5cm，则E＝5cm)。

3、最大迭代次数N。

分段点优化是一种优化算法，需要进行迭代优化。迭代次数越多，优化效果越好，但算法运行时间会越长。

4、迭代步长S。

迭代步长S表示在每一次迭代时，自变量的变化值。迭代步长S取值过小，会导致优化速度慢，取值过大，会错过局部最优解。(在测距传感器的标定中，取迭代步长取自变量区间长度的

)。

5、分段点差值阈值R。R表示可以接受的分段点差值最大值。

其中，所述模型数据为需要进行分段曲线拟合的有序数据对(x_i,y_i)；其中，x为自变量，y为因变量，i＝1,2,...,n，(n为正整数)。

步骤B、根据所述超参数利用二分法对所述模型数据进行分段，得到初始分段点列表。

其中，利用二分法自动初始化分段点，可以将自变量区间自动分为连续的几段，并保证在每一段上拟合的曲线模型的平均绝对误差e_i≤E，最后，可以给出初始的分段点。

步骤B的理论依据如下：

1、《spss统计分析高级教程》(作者：张文彤)一书中提到，对于回归模型，观测数应该在自变量数的20倍以上，少于此数则可能出现检验效能不足的问题。故本部分的二分法搜索过程中，如果涉及的数据数量不足20，则停止搜索。

2、如果一组模型数据的拟合精度不能达到预设的模型平均绝对误差阈值E，那么原因和解决办法如下：1.数据质量和预设的阈值E不匹配，需要对数据进行优化或者在允许的范围内调整阈值E；2.数据和最小二乘拟合的模型不匹配，需要提高拟合次数或者进行分段拟合。

可选的，步骤B包括以下步骤：

B1、令段起始点x_min＝x₀，段终止点x_max＝x_n；

B2、将所述模型数据中自变量x∈[x_min,x_max]的数据对取出，记作测试数据；

B3、判断测试数据的自变量个数是否小于预设值，若是，则当前数据量无法建模，需要对模型数据进行优化或调整模型平均绝对误差阈值E；否则，执行步骤B4；

B4、利用最小二乘法对测试数据分别建立次数由1至D的多项式回归模型组，并从所述多项式回归模型组中选择平均绝对误差值最小的模型作为择优模型；

B5、判断择优模型的平均绝对误差值是否小于等于E，若是，则执行步骤B6，否则，令x_max＝(x_min+x_max)/2，返回步骤B2；

B6、判断x_max＝＝x_n是否成立，若是，则当前分段点列表中的分段点即为初始分段点，将初始分段点列表记为[z₁,...,z_q]，q为正整数，否则，将x_max存入分段点列表中，并令x_min＝x_max，x_max＝x_n，返回步骤B2。

步骤B中利用二分法自动初始化分段点得到一个初始分段方案，可以保证在每一个段上，择优模型的平均绝对误差值不超过E。

步骤C、根据所述超参数利用导数对所述初始分段点列表中的分段点进行迭代优化，得到最终分段点列表，根据所述最终分段点列表对曲线进行拟合。

步骤C利用导数进行分段点优化，可以在有限的迭代次数内，在保证分段曲线拟合精度的情况下，对步骤B中得到的初始分段方案进行优化，有效降低分段点差值。

步骤C的理论依据如下：

1、最小二乘拟合的多项式为f在其定义域内的每个点上都存在导数，f在x₀处的导数为：

其中，Δx趋近于0。

2、设分段曲线拟合拟合模型的当前分段点z_m(m为正整数)的两侧拟合多项式分别为g和h。则当前分段点z_m的分段点差值为：

如果

则当前分段点差值已满足阈值，不需要再进行优化。下面讨论

的情况。我们希望微调z_m的值，使得分段点差值变小，即：

即：

其中，Δz是一个趋近于0的值，因此可以去除上式中的绝对值符号，并得到以下公式：

即：

由上面的推导，可得出如下结论：对于当前的分段点z_m，若

则将z_m往右移动一个步长(即Δz＞0)；若

则将z_m往左移动一个步长(即Δz＜0)，可使该分段点的差值降低。

可选的，步骤C包括以下步骤：

C1、令当前迭代次数i＝0；

C2、对初始分段点列表[z₁,...,z_q]中的分段点进行微调；

C3、利用最小二乘法对微调后的分段点列表中的每个分段均建立次数由1至D的多项式回归模型组，并从所述多项式回归模型组中选择平均绝对误差值最小的模型作为择优模型，并求出：每段的择优模型平均绝对误差值列表[e₁,e₂,...,e_k]、择优模型总平均绝对误差e_总、分段点差值最大值pe_max；

C4、判断[e₁,e₂,...,e_k]中的最大值是否小于等于E，若是，则执行步骤C5，否则，执行步骤C6；

C5、判断pe_max是否小于等于R，若是，终止迭代，输出当前分段点列表作为最终分段点列表，否则，执行步骤C7；

C6、对于所有平均绝对误差值e_j＞E(j＝1,2,...,k)的段，利用二分法自动分段，并将新增的分段点加入分段点列表；其中，所述二分法与步骤B中二分法相同，在此不多赘述。

C7、令i＝i+1，判断i是否小于等于N，若是，返回步骤C2，否则，执行步骤C8；

C8、输出迭代过程中满足e_总<E，且pe_max最小的分段点列表作为最终分段点列表。

进一步的，所述步骤C2包括以下步骤：

C21、令t＝1，计算d(z_t)，判断d(z_t)＝＝0是否成立，若是，执行步骤C23，否则，执行步骤C22；其中，

g和h分别为当前分段点z_t的两侧拟合多项式；

C22、判断d(z_t)是否大于0，若是，令z_t＝z_t-S，否则，令z_t＝z_t+S；

C23、令t＝t+1，判断t是否小于等于q，若是，返回步骤C21，否则，执行步骤C24；

C24、输出经过微调的分段点列表。

本发明优选实施例还公开了一种计算机可读存储介质，所述存储介质包括存储的程序，其中，所述程序执行上述曲线拟合的优化方法。

本发明优选实施例还公开了一种电子设备，其包括：一个或多个处理器，存储器以及一个或多个程序，其中，所述一个或多个程序被存储在所述存储器中，并且被配置为由所述一个或多个处理器执行，所述一个或多个程序包括用于执行上述曲线拟合的优化方法。

本实施例优选实施例还公开了一种曲线拟合的优化系统，该系统包括以下模块：

初始化模块，用于初始化超参数；

模型数据获取模块，用于获取模型数据；

分段模块，用于根据所述超参数利用二分法对所述模型数据进行分段，得到分段模型；

优化模块，用于根据所述超参数利用导数对所述分段模型进行迭代优化，根据所述最终分段点列表对曲线进行拟合。

本实施例中的计算方法与上述实施例中曲线拟合的优化方法相同，在此不再赘述。

本发明曲线拟合的优化方法可以实现模型自动分段，减少了由于人为干预带来的主观误差，节省了建模时间；同时，在保证曲线拟合精度的条件下，有效降低分段点差值。具有操作简单，拟合精度高的优点。

在其中一实施例中，使用的模型数据为传感器进行误差补偿的部分数据，部分数据如表1所示：

表1

其中，列x为自变量，列y为因变量，需要建立y关于x的预测模型。

模型数据散点图如图2所示，其中，横坐标为x，纵坐标为y。

超参数值设置如下：D＝2,E＝5,N＝50,S＝15,R＝0.5。

然后，执行步骤B，得到初始分段点列表PiecewiseList；

PiecewiseList＝[1596.38,1929.72,2554.73]，其中分段点的数量为3，分段数量为分段点的数量+1，即为3+1＝4。每一段上建立的择优模型的平均绝对误差值ErrorList为[2.17,4.92,3.31,4.44]。用初始分段点拟合的整体效果图如图3所示，图4为图3的局部效果图。

分段点差值如表2所示：

表2

从表2可以看出，经过步骤B中二分法进行分段后，每一段上的多项式回归模型的平均绝对误差值均小于E，但分段点差值均大于R，不满足精度要求。

接下来，执行步骤C，利用导数对初始分段点列表中的分段点进行迭代优化，迭代到第30次终止，找到满足每一段上的择优模型平均绝对误差值均小于E，并且分段点差值小于R的可行分段方案。得到最终分段点列表PiecewiseList为：[1550.87,1861.45,2725.39]，对应的每段择优模型的平均绝对误差值为[2.17,3.17,3.3,3.66]，分段点差值如表3所示：

表3

用最终分段点拟合的整体效果图如图5所示，图6为图5的局部效果图。对比迭代优化前后的效果图，可以发现，利用导数进行分段点迭代优化的效果明显，能在保证曲线拟合精度的条件下，有效降低分段点差值。

以上实施例仅是为充分说明本发明而所举的较佳的实施例，本发明的保护范围不限于此。本技术领域的技术人员在本发明基础上所作的等同替代或变换，均在本发明的保护范围之内。本发明的保护范围以权利要求书为准。

Claims (10)

1.一种曲线拟合的优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

A、初始化超参数并获取模型数据；

B、根据所述超参数利用二分法对所述模型数据进行分段，得到初始分段点列表；

C、根据所述超参数利用导数对所述初始分段点列表中的分段点进行迭代优化，得到最终分段点列表，根据所述最终分段点列表对曲线进行拟合。

2.如权利要求1所述的曲线拟合的优化方法，其特征在于，所述超参数包括：最小二乘拟合法的最高次数D、模型平均绝对误差阈值E、最大迭代次数N、迭代步长S、分段点差值阈值R，所述模型数据为需要进行分段曲线拟合的有序数据对(x_i,y_i)；其中，x为自变量，y为因变量，i＝1,2,...,n，(n为正整数)。

3.如权利要求2所述的曲线拟合的优化方法，其特征在于，所述步骤B包括以下步骤：

B1、令段起始点x_min＝x₀，段终止点x_max＝x_n；

B2、将所述模型数据中自变量x∈[x_min,x_max]的数据对取出，记作测试数据；

B3、判断测试数据的自变量个数是否小于预设值，若是，则当前数据量无法建模，需要对模型数据进行优化或调整模型平均绝对误差阈值E；否则，执行步骤B4；

B4、利用最小二乘法对测试数据分别建立次数由1至D的多项式回归模型组，并从所述多项式回归模型组中选择平均绝对误差值最小的模型作为择优模型；

B5、判断择优模型的平均绝对误差值是否小于等于E，若是，则执行步骤B6，否则，令x_max＝(x_min+x_max)/2，返回步骤B2；

B6、判断x_max＝＝x_n是否成立，若是，则当前分段点列表中的分段点即为初始分段点，将初始分段点列表记为[z₁,...,z_q]，q为正整数，否则，将x_max存入分段点列表中，并令x_min＝x_max，x_max＝x_n，返回步骤B2。

4.如权利要求3所述的曲线拟合的优化方法，其特征在于，所述步骤C包括以下步骤：

C1、令当前迭代次数i＝0；

C2、对初始分段点列表[z₁,...,z_q]中的分段点进行微调；

C3、利用最小二乘法对微调后的分段点列表中的每个分段均建立次数由1至D的多项式回归模型组，并从所述多项式回归模型组中选择平均绝对误差值最小的模型作为择优模型，并求出：每段的择优模型平均绝对误差值列表[e₁,e₂,...,e_k]、择优模型总平均绝对误差e_总、分段点差值最大值pe_max；

C4、判断[e₁,e₂,...,e_k]中的最大值是否小于等于E，若是，则执行步骤C5，否则，执行步骤C6；

C5、判断pe_max是否小于等于R，若是，终止迭代，输出当前分段点列表作为最终分段点列表，否则，执行步骤C7；

C6、对于所有平均绝对误差值e_j＞E(j＝1,2,...,k)的段，利用二分法自动分段，并将新增的分段点加入分段点列表；

C7、令i＝i+1，判断i是否小于等于N，若是，返回步骤C2，否则，执行步骤C8；

C8、输出迭代过程中满足e_总<E，且pe_max最小的分段点列表作为最终分段点列表。

5.如权利要求4所述的曲线拟合的优化方法，其特征在于，所述步骤C2包括：

C21、令t＝1，计算d(z_t)，判断d(z_t)＝＝0是否成立，若是，执行步骤C23，否则，执行步骤C22；其中，

g和h分别为当前分段点z_t的两侧拟合多项式；

C22、判断d(z_t)是否大于0，若是，令z_t＝z_t-S，否则，令z_t＝z_t+S；

C23、令t＝t+1，判断t是否小于等于q，若是，返回步骤C21，否则，执行步骤C24；

C24、输出经过微调的分段点列表。

6.如权利要求3所述的曲线拟合的优化方法，其特征在于，所述测试数据的自变量个数的预设值为20。

7.如权利要求2所述的曲线拟合的优化方法，其特征在于，所述最小二乘拟合法的最高次数D为3。

8.一种计算机可读存储介质，其特征在于，所述存储介质包括存储的程序，其中，所述程序执行权利要求1至7中任意一项所述的曲线拟合的优化方法。

9.一种电子设备，其特征在于，包括：一个或多个处理器，存储器以及一个或多个程序，其中，所述一个或多个程序被存储在所述存储器中，并且被配置为由所述一个或多个处理器执行，所述一个或多个程序包括用于执行权利要求1至7中任意一项所述的曲线拟合的优化方法。

10.一种曲线拟合的优化系统，其特征在于，包括：

初始化模块，用于初始化超参数；

模型数据获取模块，用于获取模型数据；

分段模块，用于根据所述超参数利用二分法对所述模型数据进行分段，得到分段模型；

优化模块，用于根据所述超参数利用导数对所述分段模型进行迭代优化，根据所述最终分段点列表对曲线进行拟合。

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