CN112485518B - 一种双通道多指数衰减正弦信号欠采样方法 - Google Patents

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CN112485518B CN202011239897.5A CN202011239897A CN112485518B CN 112485518 B CN112485518 B CN 112485518B CN 202011239897 A CN202011239897 A CN 202011239897A CN 112485518 B CN112485518 B CN 112485518B
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Abstract

一种双通道多指数衰减正弦信号欠采样方法，对生成的MEDS信号进行采样，然后通过零化滤波器法对该信号进行谱估计，估算出参数
Figure DDA0002768027110000011
其次通过复频率联合估计算法对该信号进行频率估计，从而完成参数测量进行重构，最后在上位机中显示重构效果。采用本发明方法，可以从少至3K个样本中测量出已知分量个数为K的MEDS信号；同时，本发明还提供了硬件原型来实现所提系统，通过仿真和实验结果验证了方案的有效性。

Description

一种双通道多指数衰减正弦信号欠采样方法
技术领域
本发明属于信号处理技术领域，具体涉及一种双通道多指数衰减正弦信号欠采样方法。
背景技术
如何高效地测量多指数衰减正弦(Multiple Exponentially Damped Sinusoids，MEDS)信号的参数是很多实际应用中多次出现的问题，如语音分析，核磁共振成像等其他应用。为了能够方便快捷地测量MEDS信号的参数，许多研究者提出了各种各样的方法。Umesh等学者提出了快速最大似然(FML)估计来进行参数估计。Fotinea等学者针对谱估计提出了一种状态空间方法。但是，以上方法均建立在著名的奈奎斯特采样理论的基础之上，该理论要求采样速率是信号带宽的两倍。面对宽带信号，由于需要大量的采样值以及繁杂的参数测量，这些方法就需要非常高的采样速率。
考虑如下形式的连续时间MEDS信号z(t)：
Figure BDA0002768027090000011
其中，ck,k＝1,2,…K(分量个数K是已知的)是复振幅，sk＝rk+j2πfk是复频率，rk是阻尼因子，fk是极点频率。假设以速率fs对信号z(t)进行采样，则采样值表示为：
Figure BDA0002768027090000012
其中，
Figure BDA0002768027090000013
m∈Z+。利用零化滤波器方法，我们可以从2K个Z[m]的样本中估算出参数ck和uk。设
Figure BDA0002768027090000014
为估计值，由于三角函数的周期性，欠采样会导致频谱混叠现象。
近来，由于许多应用中MEDS信号的参数测量问题多次出现，很多研究者对该问题给予了不少关注，同时也提出了很多测量方法。众所周知，如果采用欠奈奎斯特对待测信号的采样值进行参数测量，我们需要解决的关键问题就是频谱混叠。R.G.Baraniuk等学者提出了一种基于压缩感知(Compressed Sensing，CS)理论的测量方法，但是CS要求对待测信号进行随机采样，该要求对于硬件实现难度较大。S.Qin等人提出了一个具有互质速率的双通道欠奈奎斯特采样和参数测量方案，但是，该方案被S.Huang等人证明了在某些情况下不能获得唯一解。S.Huang等人提出了一种具有成对互质速率的三通道欠奈奎斯特采样和参数测量方案，虽然该方案能够解决频谱混叠问题，但是需要很多的采样样本才能获得唯一解。可以看出这些系统并非为MEDS信号参数测量而专门设计的，而且这些系统需要知道频率个数。然而，现有方法大多数是基于奈奎斯特采样理论的，需要大量的采样值，因此，如何在通过较少的采样值测量MEDS信号的参数的同时解决欠奈奎斯特采样带来的频谱混叠问题仍然是一个关键难题。
发明内容
为了解决MEDS信号的欠采样引发的频谱混叠和参数测量问题，为了克服已有技术的不足，本发明提供了一种双通道多指数衰减正弦信号欠采样方法，可以从少至3K个样本中测量出已知分量个数为K的MEDS信号。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：
一种双通道多指数衰减正弦信号欠采样方法，包括以下步骤：
步骤一，生成待测MEDS信号：用上位机Labview软件控制NI PXIe-6363任意波形发生器生成待测信号，待测MEDS信号形式表示为如下形式：
Figure BDA0002768027090000031
其中，K为分量个数，并且K为已知量，ck是复振幅，sk＝rk+j2πfk是复频率，rk是阻尼因子，fk是极点频率；
步骤二，模拟预处理过程：采用模拟预处理模块将待测信号分流至两个通道中，模拟预处理模块包括功分器、噪声滤波器和信号放大器；
步骤三，低速ADC采样过程：采用上位机Labview软件控制NI PXI-6251模块板卡，使用两个AI通道分别对模拟信号进行采样，其中一个通道的采样时钟与另一个通道的采样时钟跳变频率相同，但是上升沿相差一个较小的时间差Te，且满足Te≤1/fmax，fmax表示信号的最大频率，所以该部分称为时钟交错采样系统；
步骤四，运行零化滤波器谱估计算法：在上位机中，首先对采集到的样本进行离散傅立叶变换，从而获取Fourier系数；然后运行谱估计算法，从获取到的Fourier系数中估计出MEDS信号的参数
Figure BDA0002768027090000032
步骤五，运行复频率联合估计算法，通过参数
Figure BDA0002768027090000033
采样速率fs，主、次通道采样时钟上升沿相差的时间间隔Te以及N′≥K个连续采样值ze[n′]联合估计出阻尼因子rk以及极点频率fk的估计值
Figure BDA0002768027090000034
算法的输入为参数
Figure BDA0002768027090000035
采样速率fs、交错时间Te以及N′≥K个连续采样值ze[n′]，输出为阻尼因子rk和极点频率fk的估计值
Figure BDA0002768027090000036
进一步，所述步骤三中，信号采样过程的数学模型描述如下：
3.1，在主采样通道中，信号z(t)根据时钟CLK1被均匀采样，并且采样可表示为如下形式：
Figure BDA0002768027090000041
其中，K为分量个数，并且K为已知量，ck是复振幅，
Figure BDA0002768027090000042
sk＝rk+j2πfk是复频率，rk是阻尼因子，fk是极点频率，m∈Z+；
3.2，在次采样通道中，信号z(t)根据时钟CLK2被均匀采样，并且采样由下式给出：
Figure BDA0002768027090000043
其中，
Figure BDA0002768027090000044
是复振幅ck的估计值，sk＝rk+j2πfk是复频率，rk是阻尼因子，fk是极点频率，Ts是采样周期，Te是主、次通道采样时钟上升沿相差的时间间隔，n′∈Z+。
再进一步，所述步骤五的算法过程如下：
5.1，估计阻尼因子rk。阻尼因子rk可以很容易地从
Figure BDA0002768027090000045
中估算出来，估算过程如下：由
Figure BDA0002768027090000046
与sk＝rk+j2πfk得
Figure BDA0002768027090000047
则得阻尼因子rk的估计值如下式：
Figure BDA0002768027090000048
同时得到极点频率fk的估计值如下式：
Figure BDA0002768027090000049
其中，∠(·)表示(·)的幅角主值，且0≤∠(·)＜2π；
5.2，由公式(3)和公式(4)得
Figure BDA0002768027090000051
其中，
Figure BDA0002768027090000052
是已知的，
Figure BDA0002768027090000053
是未知的；
5.3，求解bk的估计值：利用N′≥K个连续采样值ze[n′](1≤n′≤K)构建一个N′×1的向量，该向量形式如下：
ze＝[xe[0],xe[1],…,xe[N′-1]]T (8)
利用
Figure BDA00027680270900000515
的幅角主值创建一个K×N′的范德蒙矩阵，该矩阵形式如下：
Figure BDA0002768027090000054
利用
Figure BDA0002768027090000055
和
Figure BDA0002768027090000056
的幅角主值创建一个N′×K的对角矩阵
Figure BDA0002768027090000057
通过求解
Figure BDA0002768027090000058
得到系数矩阵
Figure BDA0002768027090000059
5.4，求解极点频率fk的估计值，由于三角函数的周期性，估计的归一化频率
Figure BDA00027680270900000510
与
Figure BDA00027680270900000511
的参数相差2πmk，即：
Figure BDA00027680270900000512
其中，∠(·)是(·)的幅角主值，0≤∠(·)＜2π，mk∈Z,k∈{1,2,…,K}，因为
Figure BDA00027680270900000513
fmax表示信号的最大频率，得到如下不等式：
Figure BDA00027680270900000514
进一步化简公式(12)得如下不等式：
Figure BDA0002768027090000061
记
Figure BDA0002768027090000062
公式(13)可转换为：
Figure BDA0002768027090000063
因为
Figure BDA0002768027090000064
Q∈Z+，则有
Figure BDA0002768027090000065
如果设置主、次通道采样时钟上升沿相差的时间间隔
Figure BDA0002768027090000066
则有：
Figure BDA0002768027090000067
与公式(14)相结合，则有：
0≤mkfsTe＜1 (16)
所以对于
Figure BDA0002768027090000068
mk有唯一解，其解如下式：
Figure BDA0002768027090000069
其中，
Figure BDA00027680270900000610
极点频率fk的估计值由
Figure BDA00027680270900000611
唯一确定。
本发明设计了一种双通道时钟交错欠采样系统对生成的MEDS信号进行采样，然后通过零化滤波器法对该信号进行谱估计，估算出参数
Figure BDA00027680270900000612
其次通过复频率联合估计算法对该信号进行频率估计，从而完成参数测量进行重构，最后在上位机中显示重构效果。
本发明的有益效果主要表现在：采用本发明方法，可以从少至3K个样本中测量出已知分量个数为K的MEDS信号；同时，本发明还提供了硬件原型来实现所提系统，通过仿真和实验结果验证了方案的有效性。
附图说明
图1是双通道MEDS信号欠采样硬件系统的框图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步描述。
参照图1，一种双通道多指数衰减正弦信号欠采样方法，包括以下步骤：
步骤一，生成待测MEDS信号：用上位机Labview软件控制NI PXIe-6363任意波形发生器生成待测信号，待测MEDS信号形式表示为如下形式：
Figure BDA0002768027090000071
其中，K为分量个数，并且K为已知量，ck是复振幅，sk＝rk+j2πfk是复频率，rk是阻尼因子，fk是极点频率；
步骤二，模拟预处理过程：采用模拟预处理模块将待测信号分流至两个通道中，模拟预处理模块包括功分器、噪声滤波器和信号放大器；
步骤三，低速ADC采样过程：采用上位机Labview软件控制NI PXI-6251模块板卡，使用两个AI通道分别对模拟信号进行采样，其中一个通道的采样时钟与另一个通道的采样时钟跳变频率相同，但是上升沿相差一个较小的时间差Te，且满足Te≤1/fmax，fmax表示信号的最大频率，所以该部分称为时钟交错采样系统，信号采样过程的数学模型描述如下：
3.1，在主采样通道中，信号z(t)根据时钟CLK1被均匀采样，并且采样可表示为如下形式：
Figure BDA0002768027090000081
其中，K为分量个数，并且K为已知量，ck是复振幅，
Figure BDA0002768027090000082
sk＝rk+j2πfk是复频率，rk是阻尼因子，fk是极点频率，m∈Z+；
3.2，在次采样通道中，信号z(t)根据时钟CLK2被均匀采样，并且采样由下式给出：
Figure BDA0002768027090000083
其中，
Figure BDA0002768027090000084
是复振幅ck的估计值，sk＝rk+j2πfk是复频率，rk是阻尼因子，fk是极点频率，Ts是采样周期，Te是主、次通道采样时钟上升沿相差的时间间隔，n′∈Z+；
步骤四，运行零化滤波器谱估计算法：在上位机中，首先对采集到的样本进行离散傅立叶变换，从而获取Fourier系数；然后运行谱估计算法，从获取到的Fourier系数中估计出MEDS信号的参数
Figure BDA0002768027090000085
步骤五，运行复频率联合估计算法。通过参数
Figure BDA0002768027090000086
采样速率fs，主、次通道采样时钟上升沿相差的时间间隔Te以及N′≥K个连续采样值ze[n′]联合估计出阻尼因子rk以及极点频率fk的估计值
Figure BDA0002768027090000087
本过程是关键的一步，算法的输入为参数
Figure BDA0002768027090000088
采样速率fs、交错时间Te以及N′≥K个连续采样值ze[n′]，输出为阻尼因子rk和极点频率fk的估计值
Figure BDA0002768027090000089
算法过程如下：
5.1，估计阻尼因子rk。阻尼因子rk可以很容易地从
Figure BDA00027680270900000810
中估算出来，估算过程如下：由
Figure BDA00027680270900000811
与sk＝rk+j2πfk得
Figure BDA00027680270900000812
则得阻尼因子rk的估计值如下式：
Figure BDA00027680270900000813
同时得到极点频率fk的估计值如下式：
Figure BDA0002768027090000091
其中，∠(·)表示(·)的幅角主值，且0≤∠(·)＜2π；
5.2，由公式(3)和公式(4)得
Figure BDA0002768027090000092
其中，
Figure BDA0002768027090000093
是已知的，
Figure BDA0002768027090000094
是未知的；
5.3，求解bk的估计值：利用N′≥K个连续采样值ze[n′](1≤n′≤K)构建一个N′×1的向量，该向量形式如下：
ze＝[xe[0],xe[1],…,xe[N′-1]]T (8)
利用
Figure BDA00027680270900000913
的幅角主值创建一个K×N′的范德蒙矩阵，该矩阵形式如下：
Figure BDA0002768027090000095
利用
Figure BDA0002768027090000096
和
Figure BDA0002768027090000097
的幅角主值创建一个N′×K的对角矩阵
Figure BDA0002768027090000098
通过求解
Figure BDA0002768027090000099
得到系数矩阵
Figure BDA00027680270900000910
5.4，求解极点频率fk的估计值，由于三角函数的周期性，估计的归一化频率
Figure BDA00027680270900000911
与
Figure BDA00027680270900000912
的参数相差2πmk，即：
Figure BDA0002768027090000101
其中，∠(·)是(·)的幅角主值，0≤∠(·)＜2π，mk∈Z,k∈{1,2,…,K}，因为
Figure BDA0002768027090000102
fmax表示信号的最大频率，得到如下不等式：
Figure BDA0002768027090000103
进一步化简公式(12)得如下不等式：
Figure BDA0002768027090000104
记
Figure BDA0002768027090000105
公式(13)可转换为：
0≤mk≤(Q-1) (14)因为
Figure BDA0002768027090000106
Q∈Z+，则有
Figure BDA0002768027090000107
如果设置主、次通道采样时钟上升沿相差的时间间隔
Figure BDA0002768027090000108
则有：
Figure BDA0002768027090000109
与公式(14)相结合，则有：
0≤mkfsTe＜1 (16)
所以对于
Figure BDA00027680270900001010
mk有唯一解，其解如下式：
Figure BDA00027680270900001011
其中，
Figure BDA00027680270900001012
极点频率fk的估计值由
Figure BDA00027680270900001013
唯一确定。
本实施例的双通道MEDS信号欠采样硬件系统。该系统由两个具有相同采样率的欠奈奎斯特采样通道组成，其中一个采样通道的采样时钟与另一个采样通道的采样时钟具有相同的频率，但是上升沿错开一个很小的时段。
实验对比：为了验证本发明方法的优势，我们将本发明方法与S.Qin提出的延时采样系统和S.Huang提出的三通道互质采样系统进行了比较，比较结果如表1所示。
方法 频谱混叠 采样数
Qin所提系统 适用 4K
Huang所提系统 适用 需要大量采样数
本发明方法 适用 3K
表1
可以看出，本发明所提出的系统仅用3K个样本就可以解决频谱混叠，所需样本个数比其他采样系统所需要的采样数少得多。
本发明还进行了其他的相关实验，从而检测了系统的有效性。对于MEDS信号
Figure BDA0002768027090000111
本发明仍然能够有效地完成参数测量。假设MEDS信号x(t)含有K个频率分量且K已知，具有最大频率fmax＝10KHz，复振幅ck在(0,1+i)内随机取值，阻尼因子rk在(0,1)上随机分布，并且极点频率fk在(0,fmax)上分布。为了方便比较，我们尽可能的设置相似的系统参数：Qin的系统和本发明方法的信道采样率设置为fs＝fmax/4＝2.5KHz；Huang的系统的三条信道采样率分别设置为fs＝2,2.5,3.3KHz。
首先，在无噪声的情况下，我们用少量样本来验证本发明所用采样系统的有效性。设置待测MEDS信号x(t)的分量个数K＝5。假设K是已知的，并且从Qin的系统中选取4K＝20个采样值，同时，从Huang的系统中选取188个采样值恢复信号。在本发明方法中，只要3K＝15个采样值(K是已知的)就能恢复信号。无噪声情况下的恢复结果对比如
表2所示。
Figure BDA0002768027090000112
Figure BDA0002768027090000121
表2
从表2可以看出，三个都系统能够估计所有的极点频率，但是Qin和Huang的系统不能估计复振幅ck和阻尼因子rk，而本发明能够估计这两个参数，更重要的是，本发明方法的采样值个数远少于Qin和Huang的系统所需要的采样值。

Claims (2)

1.一种双通道多指数衰减正弦信号欠采样方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：
步骤一，生成待测MEDS信号：用上位机Labview软件控制NI PXIe-6363任意波形发生器生成待测信号，待测MEDS信号形式表示为如下形式：
Figure FDA0003601200770000011
其中，K为分量个数，并且K为已知量，ck是复振幅，sk＝rk+j2πfk是复频率，rk是阻尼因子，fk是极点频率；
步骤二，模拟预处理过程：采用模拟预处理模块将待测信号分流至两个通道中，模拟预处理模块包括功分器、噪声滤波器和信号放大器；
步骤三，低速ADC采样过程：采用上位机Labview软件控制NI PXI-6251模块板卡，使用两个AI通道分别对模拟信号进行采样，其中一个通道的采样时钟与另一个通道的采样时钟跳变频率相同，但是上升沿相差一个较小的时间差Te，且满足Te≤1/fmax，fmax表示信号的最大频率，即采用时钟交错采样系统；
步骤四，运行零化滤波器谱估计算法：在上位机中，首先对采集到的样本进行离散傅立叶变换，从而获取Fourier系数；然后运行谱估计算法，从获取到的Fourier系数中估计出MEDS信号的参数
Figure FDA0003601200770000012
步骤五，运行复频率联合估计算法，通过参数
Figure FDA0003601200770000013
采样速率fs，主、次通道采样时钟上升沿相差的时间间隔Te以及N′≥K个连续采样值ze[n′]联合估计出阻尼因子rk以及极点频率fk的估计值
Figure FDA0003601200770000014
输入为参数
Figure FDA0003601200770000015
采样速率fs、交错时间Te以及N′≥K个连续采样值ze[n′]，输出为阻尼因子rk和极点频率fk的估计值
Figure FDA0003601200770000016
所述步骤三中，信号采样过程的数学模型描述如下：
3.1，在主采样通道中，信号z(t)根据时钟CLK1被均匀采样，并且采样可表示为如下形式：
Figure FDA0003601200770000017
其中，K为分量个数，并且K为已知量，ck是复振幅，
Figure FDA0003601200770000018
sk＝rk+j2πfk是复频率，rk是阻尼因子，fk是极点频率，n∈Z+；
3.2，在次采样通道中，信号z(t)根据时钟CLK2被均匀采样，并且采样由下式给出：
Figure FDA0003601200770000021
其中，
Figure FDA0003601200770000022
是复振幅ck的估计值，sk＝rk+j2πfk是复频率，rk是阻尼因子，fk是极点频率，Ts是采样周期，Te是主、次通道采样时钟上升沿相差的时间间隔，n′∈Z+。
2.如权利要求1所述的一种双通道多指数衰减正弦信号欠采样方法，其特征在于，所述步骤五的算法过程如下：
5.1，估计阻尼因子rk，估算过程如下：由
Figure FDA0003601200770000023
与sk＝rk+j2πfk得
Figure FDA0003601200770000024
则得阻尼因子rk的估计值如下式：
Figure FDA0003601200770000025
同时得到极点频率fk的估计值如下式：
Figure FDA0003601200770000026
其中，∠(·)表示(·)的幅角主值，且0≤∠(·)＜2π；
5.2，由公式(3)和公式(4)得
Figure FDA0003601200770000027
其中，
Figure FDA0003601200770000028
是已知的，
Figure FDA0003601200770000029
是未知的；
5.3，求解bk的估计值：利用N′≥K个连续采样值ze[n′]构建一个N′×1的向量，1≤n′≤K，该向量形式如下：
ze＝[xe[0],xe[1],…,xe[N′-1]]T (8)
利用
Figure FDA00036012007700000210
的幅角主值创建一个K×N′的范德蒙矩阵，该矩阵形式如下：
Figure FDA00036012007700000211
利用
Figure FDA00036012007700000212
和
Figure FDA00036012007700000213
的幅角主值创建一个N′×K的对角矩阵
Figure FDA0003601200770000031
通过求解
Figure FDA0003601200770000032
得到系数矩阵
Figure FDA0003601200770000033
5.4，求解极点频率fk的估计值，由于三角函数的周期性，估计的归一化频率
Figure FDA0003601200770000034
与
Figure FDA0003601200770000035
的参数相差2πmk，即：
Figure FDA0003601200770000036
其中，∠(·)是(·)的幅角主值，0≤∠(·)＜2π，mk∈Z,k∈{1,2,…,K}，因为
Figure FDA0003601200770000037
fmax表示信号的最大频率，得到如下不等式：
Figure FDA0003601200770000038
进一步化简公式(12)得如下不等式：
Figure FDA0003601200770000039
记
Figure FDA00036012007700000310
公式(13)可转换为：
0≤mk≤(Q-1) (14)
因为
Figure FDA00036012007700000311
Q∈Z+，则有
Figure FDA00036012007700000312
设置主、次通道采样时钟上升沿相差的时间间隔
Figure FDA00036012007700000313
则有：
Figure FDA00036012007700000314
与公式(14)相结合，则有：
0≤mkfsTe＜1 (16)
所以对于
Figure FDA00036012007700000315
mk有唯一解，其解如下式：
Figure FDA00036012007700000316
其中，
Figure FDA00036012007700000317
极点频率fk的估计值由
Figure FDA00036012007700000318
唯一确定。
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