CN112100893A - 一种用于有限元计算的非连续域的优化方法 - Google Patents

一种用于有限元计算的非连续域的优化方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种用于有限元计算的非连续域的优化方法，用于解决由于有限元计算量大而导致传统算法难以找到最优解的问题，同时也提供了用于非连续域优化的一种方法。本发明方法首先通过拉丁超立方采样与K均值聚类算法对初始设计空间进行辨识，产生k个非连续可行子设计空间用于缩小优化范围，从而为优化算法节省计算资源，随后使用具有竞争机制与变异操作的多种群粒子群算法对非连续子设计空间进行优化。仿真结果表明，与其他算法相比，改进的多种群粒子群算法可提高粒子的全局搜索能力与计算资源的利用率，优化结果的精度得到极大提高。

Description

一种用于有限元计算的非连续域的优化方法
技术领域
本发明属于最优化算法技术研究领域，具体涉及一种用于有限元计算的非连续域的优化方法。
背景技术
有限元法作为一种强有力的计算方法在诸多工程设计领域得到了广泛应用，如电机设计、汽车、机械制造、船舶及土木等。通过有限元来对结构进行优化已使得产品性能得到提高。然而在实际工程中，大多数都是带有约束的优化问题，并且有限元计算往往面临计算量过大的问题从而导致优化算法很难找到全局最优解。
为减少计算量，胡宸提出基于K均值聚类算法对设计空间识别并对子空间依次优化。(胡宸.面向汽车轻量化设计的数据挖掘技术研究[D].重庆:重庆大学,2018.)。该算法通过K均值算法产生k个簇，利用簇内聚类中心与样本的最远距离作为球半径以此构成k个非连续子空间，然后再依次对每个子空间进行等计算资源的优化。然而用距离确定子空间会使得取值范围大的变量覆盖范围小的变量，并且对子空间的等资源优化会使得在较差子空间消耗过多计算资源，并使得优秀子空间的算法搜索精度降低。
在有约束域的工程优化中，Yongfei Xue(Y.Xue,Y.Wang and D.Shang, "Parameter Optimization of Hydrocracker using Multi-block Kriging Metamodelingwithin Discontinuous Operating Space,"2019 12th Asian Control Conference(ASCC),Kitakyushu-shi,Japan,2019,pp.254-259.)为了提高 kriging模型的精度，从有约束的设计空间中得到k个满足约束的子空间，并分别对子空间建模并进行等资源优化，然而同样会造成计算资源浪费。
非连续域优化问题在工程应用中普遍存在，目前的优化算法注重连续区域优化而忽视了非连续的影响，这在具有大计算量的有限元应用领域更值得关注。
发明内容
本发明的目的在于提供一种用于有限元计算的非连续域的优化方法，以解决现有技术存在的问题，本发明能够有效利用计算资源，提高算法的搜索精度。
为达到上述目的，本发明采用如下技术方案：
一种用于有限元计算的非连续域的优化方法，包括以下步骤：
步骤1：通过拉丁超立方采样在q维设计空间中产生n个样本，计算出每个样本的目标函数值并判断约束条件是否满足；
步骤2：通过K均值聚类算法对设计空间进行辨识，对于有约束条件的优化问题，得到满足约束条件的k个簇；对于无约束条件的优化问题，得到适应度值较好的k个簇；
步骤3：根据步骤2所得的k个簇确定k个非连续可行子设计空间的取值范围；
步骤4：使用改进的多种群粒子群优化算法在k个子设计空间中对目标函数进行优化，其中，多种群粒子群算法引入竞争机制。
进一步地，步骤3中k个非连续子设计空间的确定过程为：
对于第i个簇，0<i<＝k，首先依据簇内粒子的变量值确定每维度的取值范围，随后依次对第j维度进行范围扩张处理，0<j<＝q，在其它维度的范围内，将第j维的范围向两端扩张直至接触不符合约束条件的粒子或其他簇的粒子或初始设计空间的边界。
进一步地，步骤4中改进的多种群粒子群优化算法为：
步骤4.1：设定粒子群的总粒子规模为m，并确定每个子空间中的粒子个数；
步骤4.2：初始化每个子空间中与算法有关的参数，包括粒子数目S、维数D、最大迭代次数MaxIt、惯性权重wa、学习因子c1和c2、粒子的位置范围、粒子的速度范围、粒子群的竞争开启时刻p1、粒子群的竞争周期p2、变异率Pm、竞争失败的损失粒子数b；
步骤4.3：初始化每个子空间中各粒子的位置与速度，计算各粒子的适应值以确定各子空间中粒子的个体最优值及全局最优；
步骤4.4：当粒子群满足竞争条件时，非零粒子群分别所对应的全局最优值进行比较，失败的粒子群减少粒子，获胜的粒子群增加粒子，同时更新每个粒子群的粒子个数；否则，执行步骤4.5；
步骤4.5：当粒子群为参与竞争的失败粒子群，且满足变异条件时执行变异操作；否则，更新惯性权重及粒子群中粒子的位置、速度；
步骤4.6：求解各非零粒子群中粒子所对应的适应值，更新各粒子群所对应的全局最优值及各粒子的个体最优值；
步骤4.7：判断改进的粒子群算法是否收敛或者是否达到最大迭代次数，若是，则输出全局最优解的位置，否则，跳至步骤4.4。
进一步地，所述步骤4.1中，各子空间的粒子个数的确定方法由各空间大小的比值确定，如公式(1)所示：
Figure RE-GDA0002763287100000031
式中，Vi为各子空间的体积，Si为各子空间的粒子群个数。
进一步地，所述步骤4.4中，粒子群进行竞争所满足的条件为当前粒子群的迭代次数大于竞争开启时刻p1且须为竞争周期p2的整数倍；在每一次的子空间竞争中，失败粒子群每次减小b个粒子，获胜种群增加失败种群所失去的总粒子个数。
进一步地，所述步骤4.5中失败粒子进行变异所满足的变异条件为：随机数rand()<pm；
满足变异条件的失败粒子群中粒子的变异操作如公式(2)所示：
xid k+1＝(Md-Sd)*rand()+Sd (2)
式中，i代表粒子的序数，Md为该子空间中第d维的最大值，Sd为该子空间中第d维的最小值，rand()为[0,1]之间的随机数字；
粒子群的速度及位置更新公式为：
vid k+1＝wavid k+c1r1(pbid k-xid k)+c2r2(gbd k-xid k) (3)
xid k+1＝xid k+vid k+1 (4)
其中：式(3)为速度更新，式(4)为位置更新；i代表粒子的序数，d 代表粒子的维数的序数；r1和r2是[0,1]之间的均匀随机数；pb代表个体最优位置，gb代表全局最佳位置；
采用线性递减来对wa做动态调整，如式(5)所示
wa＝wmax-(wmax-wmin)*Iter/MaxIt (5)
其中：wmax为最大惯性权重，wmin为最小惯性权重，Iter为当前粒子群的迭代次数，MaxIt为最大迭代次数。
与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：
本发明通过引入多种群及变异操作提高算法的全局搜索能力，同时通过竞争策略提高算法的搜索精度，从而在有限计算资源的情况下，提高算法的优化性能，由于实际工程问题多数带有约束条件且计算量大，本发明对此提出了一种可用于非连续域的优化算法以解决工程实际问题。针对Schwefel测试函数的优化，标准PSO算法由于易早熟收敛导致优化结果最差，本发明所提算法通过引入多种群及变异操作使得优化不易陷入局部最优解。其次，由于本发明所提算法引入竞争策略使得优秀粒子群的规模增加，算法的搜索精度优于等资源PSO算法，并且本发明所提算法的方差最低，说明算法稳定。在工程实例车用永磁同步电机的优化中，将优化结果进行比较，由于多种群、变异操作及竞争策略的引入使得本发明所提算法的优化效果最好。优化结果与初始设计相比，损耗降低194.17w，与等资源PSO算法结果比较，损耗降低25.33w，从优化结果的比较中说明本发明的有效性。
附图说明
图1为本发明的用于有限元计算的非连续域的优化算法的流程图。
图2为本发明的引入竞争策略的多种群粒子群算法的流程图。
图3为子空间的确定效果图。
图4为有约束的测试函数的三维图。
图5为测试函数K均值聚类算法的实施效果图。
图6为永磁电机结构示意图。
图7为电机优化中K均值聚类算法的实施效果图。
具体实施方式
下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细描述：
参见图1，本发明提供一种用于有限元计算的非连续域的优化算法，首先通过拉丁超立方采样与K均值聚类算法对初始设计空间进行辨识，产生k 个非连续可行子设计空间用于缩小优化范围，随后使用具有竞争机制的多种群粒子群算法对非连续子设计空间进行优化。
具体包括以下步骤：
步骤1：通过拉丁超立方采样在q维设计空间中产生n个样本，计算出每个样本的目标函数值并判断约束条件是否满足。
步骤2：通过K均值聚类算法对设计空间进行辨识。对于有约束条件的优化问题，得到满足约束条件的k个簇；对于无约束条件的优化问题，得到适应度值较好的k个簇。
本发明主要针对有约束条件的优化问题，对于无约束条件优化问题k个簇的获取可考虑以下2种方法：1.考虑到簇内的粒子数不易过少，根据采样点函数值通过K聚类算法将种群分为3-4个簇，将最差性能的簇去掉，对余下的簇进行优化。2.将目标函数值纳入约束变量，即将无约束优化问题转变为有约束优化问题，如对于最小值优化问题，设定阈值变量f,当样本点的函数值大于f即视为不可行解,从而将无约束转换为有约束优化问题。
步骤3：根据步骤2所得的k个簇以确定k个非连续可行子设计空间的取值范围。
步骤4：使用改进的多种群粒子群优化算法在k个子设计空间中对目标函数进行优化，其中，多种群粒子群算法引入竞争机制。
在本发明中，步骤3中，k个非连续子设计空间的确定过程为：
对于第i个簇(0<i<＝k),首先依据簇内粒子的变量值确定每维度的取值范围，随后依次对第j维度(0<j<＝q)进行范围扩张处理：在其它维度的范围内，将第j维的范围向两端扩张直至接触不符合约束条件的粒子或其他簇的粒子或初始设计空间的边界。
参考图2，本发明所述的一种用于有限元计算的非连续域的优化算法包括以下步骤：
步骤4.1：设定粒子群的总粒子规模为m，并确定每个子空间中的粒子个数。
步骤4.2：初始化每个子空间中与算法有关的参数，包括粒子数目S、维数D、最大迭代次数MaxIt、惯性权重wa、学习因子c1和c2、粒子的位置范围、粒子的速度范围、粒子群的竞争开启时刻p1、粒子群的竞争周期p2、变异率Pm、竞争失败的损失粒子数b。
步骤4.3：初始化每个子空间中各粒子的位置与速度，计算各粒子的适应值以确定各子空间中粒子的个体最优值及全局最优。
步骤4.4：当粒子群满足竞争条件时，非零粒子群分别所对应的全局最优值进行比较,失败的粒子群减少粒子，获胜的粒子群增加粒子，同时更新每个粒子群的粒子个数。否则，执行步骤4.5。
步骤4.5：当粒子群为参与竞争的失败粒子群，且满足变异条件时执行变异操作。否则，更新惯性权重及粒子群中粒子的位置、速度。
步骤4.6：求解各非零粒子群中粒子所对应的适应值，更新各粒子群所对应的全局最优值及各粒子的个体最优值。
步骤4.7：判断改进的粒子群算法是否收敛或者是否达到最大迭代次数，若是，则输出全局最优解的位置，否则，跳至步骤4.4。
在本发明中，步骤4.1中，各子空间的粒子个数的确定方法由各空间大小的比值确定，如公式(1)所示：
Figure RE-GDA0002763287100000071
式中，Vi为各子空间的体积，Si为各子空间的粒子群个数。
在本发明中，步骤4.4中，粒子群进行竞争所满足的条件为当前粒子群的迭代次数大于竞争开启时刻p1且须为竞争周期p2的整数倍。在每一次的子空间竞争中，失败粒子群每次减小b个粒子，获胜种群增加失败种群所失去的总粒子个数。
在本发明中，步骤4.5中，失败粒子进行变异所满足的变异条件为：随机数rand()<pm。
满足变异条件的失败粒子群中粒子的变异操作如公式2所示：
xid k+1＝(Md-Sd)*rand()+Sd (2)
式中，i代表粒子的序数，Md为该子空间中第d维的最大值，Sd为该子空间中第d维的最小值，rand()为[0,1]之间的随机数字。
粒子群的速度及位置更新公式为：
vid k+1＝wavid k+c1r1(pbid k-xid k)+c2r2(gbd k-xid k) (3)
xid k+1＝xid k+vid k+1 (4)
其中：式(3)为速度更新，式(4)为位置更新；i代表粒子的序数，d 代表粒子的维数的序数；r1和r2是[0,1]之间的均匀随机数；pb代表个体最优位置，gb代表全局最佳位置。
采用线性递减来对wa做动态调整，如式(5)所示
wa＝wmax-(wmax-wmin)*Iter/MaxIt (5)
其中：wmax为最大惯性权重，wmin为最小惯性权重，Iter为当前粒子群的迭代次数，MaxIt为最大迭代次数。
参考图3，通过实例，本发明中所述的子空间的确定方法可以考虑各变量取值范围不同的影响，如果采用半径来确定子空间，较小变量将被忽略，在该维上为初始完整范围。并且本发明所述方法可针对采样点的不足，尽可能扩大有效空间。
参考图4，带约束条件的测试函数Schwefel function很复杂，具有许多的局部最小值，函数表达式如式(6)所示：
Figure RE-GDA0002763287100000081
s.t.g1(x)＝|x1|＞＝200
g2(x)＝|x2|＞＝200
x1,x2∈[-500,500] (6)
参考图5，测试函数的2维初始设计空间通过拉丁超立方采样产生120 个样本点，进而确定4个可行子设计空间的取值范围。其中，可行采样点为菱形，不可行点为实心圆，可行设计空间为矩形内的区域。
本发明所提的改进多种群粒子群优化算法、标准PSO算法、每个子空间等资源优化算法对测试函数Schwefel function优化的比较结果如表1所示。总的粒子数规模是40，粒子的迭代次数为20，测试次数为500次。测试函数最小值为0，考虑实际工程应用中有限元计算量大，所以算法迭代次数即计算资源有限，算法的计算精度分0.1和0.01两种情况，即当优化结果小于0.1 或0.01代表优化成功。子空间等资源优化算法针对4个可行子设计空间进行优化，每个子空间10个粒子。标准PSO算法则对全局初始设计空间进行搜索。在此优化问题中，对本发明所提算法，p1取10、p2取1、pm取0.3、b 取1。
从表1中可以发现：本发明所提算法的性能最佳，而标准PSO算法的优化结果最差，因为测试函数较为复杂使得标准粒子群算法易早熟收敛，且计算资源有限，所以优化效果很不理想。本发明所提算法和等资源PSO算法属于多种群粒子群优化算法，所以优化结果均值较低，不容易陷入局部最优解。在搜索结果成功次数方面，本发明所提算法的成功次数优于等资源PSO，尤其是在0.01精度下，效果更为明显，这是由于竞争策略的引入使得优秀子空间中粒子群的规模增加，使得算法的搜索精度大大提高，从而极大的利用了计算资源。并且本发明所提算法的方差最低，说明算法稳定。
表1三种优化算法的计算结果
算法 均值 方差 0.1精度 0.01精度
本发明 0.6753 76.9407 490 408
标准PSO 101.8177 7484.2513 167 108
等资源PSO 4.9863 564.8571 473 323
参考图5，对于工程实例，本发明针对一台8级48槽的车用内置式永磁同步电机通过2D有限元进行优化以提高电机效率，电机额定转速3000rpm, 额定转矩96N。选择定子齿宽、定子槽深、气隙作为优化变量，参数取值如表2所示。优化中电机满足的约束条件包括：1.电机空载转矩脉动低于9.3％。2.电机槽满率低于83％。3.电机外径不超过212mm。4.各变量取值不造成电机结构冲突。
参考图6，电机的3维初始设计空间通过拉丁超立方采样产生100个样本点，进而确定3个可行子设计空间的取值范围。其中，可行采样点为菱形，不可行点为实心圆，可行设计空间为立方体内区域。
通过本发明所提的改进粒子群算法及每个子空间等资源优化算法对电机进行优化，电机性能如表3所示。由于有限元计算量大，总的粒子数规模选择24，粒子的迭代次数为15次。在此优化问题中，对本发明所提算法， p1取值8、p2取值1、pm取值0.3、b取值1。
从表3中可得：针对本发明所提优化算法，优化后的电机效率较初始设计提高了0.61％，损耗降低194.17w。且与等资源PSO算法相比较，本发明的优化效果更好，说明本发明的有效性。
表2电机设计变量及取值范围
参数 初始参数 取值范围
槽深/mm 25 12.5-37.5
齿宽/mm 5 2.5-7.5
气隙/mm 0.9 0.45-1.35
表3电机性能
Figure RE-GDA0002763287100000101

Claims (6)

1.一种用于有限元计算的非连续域的优化方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：通过拉丁超立方采样在q维设计空间中产生n个样本，计算出每个样本的目标函数值并判断约束条件是否满足；
步骤2：通过K均值聚类算法对设计空间进行辨识，对于有约束条件的优化问题，得到满足约束条件的k个簇；对于无约束条件的优化问题，得到适应度值较好的k个簇；
步骤3：根据步骤2所得的k个簇确定k个非连续可行子设计空间的取值范围；
步骤4：使用改进的多种群粒子群优化算法在k个子设计空间中对目标函数进行优化，其中，多种群粒子群算法引入竞争机制。
2.根据权利要求1所述的一种用于有限元计算的非连续域的优化方法，其特征在于，步骤3中k个非连续子设计空间的确定过程为：
对于第i个簇，0<i<＝k，首先依据簇内粒子的变量值确定每维度的取值范围，随后依次对第j维度进行范围扩张处理，0<j<＝q，在其它维度的范围内，将第j维的范围向两端扩张直至接触不符合约束条件的粒子或其他簇的粒子或初始设计空间的边界。
3.根据权利要求1所述的一种用于有限元计算的非连续域的优化方法，其特征在于，步骤4中改进的多种群粒子群优化算法为：
步骤4.1：设定粒子群的总粒子规模为m，并确定每个子空间中的粒子个数；
步骤4.2：初始化每个子空间中与算法有关的参数，包括粒子数目S、维数D、最大迭代次数MaxIt、惯性权重wa、学习因子c1和c2、粒子的位置范围、粒子的速度范围、粒子群的竞争开启时刻p1、粒子群的竞争周期p2、变异率Pm、竞争失败的损失粒子数b；
步骤4.3：初始化每个子空间中各粒子的位置与速度，计算各粒子的适应值以确定各子空间中粒子的个体最优值及全局最优；
步骤4.4：当粒子群满足竞争条件时，非零粒子群分别所对应的全局最优值进行比较，失败的粒子群减少粒子，获胜的粒子群增加粒子，同时更新每个粒子群的粒子个数；否则，执行步骤4.5；
步骤4.5：当粒子群为参与竞争的失败粒子群，且满足变异条件时执行变异操作；否则，更新惯性权重及粒子群中粒子的位置、速度；
步骤4.6：求解各非零粒子群中粒子所对应的适应值，更新各粒子群所对应的全局最优值及各粒子的个体最优值；
步骤4.7：判断改进的粒子群算法是否收敛或者是否达到最大迭代次数，若是，则输出全局最优解的位置，否则，跳至步骤4.4。
4.根据权利要求3所述的一种用于有限元计算的非连续域的优化方法，其特征在于，所述步骤4.1中，各子空间的粒子个数的确定方法由各空间大小的比值确定，如公式(1)所示：
Figure FDA0002702353060000021
式中，Vi为各子空间的体积，Si为各子空间的粒子群个数。
5.根据权利要求3所述的一种用于有限元计算的非连续域的优化方法，其特征在于，所述步骤4.4中，粒子群进行竞争所满足的条件为当前粒子群的迭代次数大于竞争开启时刻p1且须为竞争周期p2的整数倍；在每一次的子空间竞争中，失败粒子群每次减小b个粒子，获胜种群增加失败种群所失去的总粒子个数。
6.根据权利要求3所述的一种用于有限元计算的非连续域的优化方法，其特征在于，所述步骤4.5中失败粒子进行变异所满足的变异条件为：随机数rand()<pm；
满足变异条件的失败粒子群中粒子的变异操作如公式(2)所示：
xid k+1＝(Md-Sd)*rand()+Sd (2)
式中，i代表粒子的序数，Md为该子空间中第d维的最大值，Sd为该子空间中第d维的最小值，rand()为[0,1]之间的随机数字；
粒子群的速度及位置更新公式为：
vid k+1＝wavid k+c1r1(pbid k-xid k)+c2r2(gbd k-xid k) (3)
xid k+1＝xid k+vid k+1 (4)
其中：式(3)为速度更新，式(4)为位置更新；i代表粒子的序数，d代表粒子的维数的序数；r1和r2是[0,1]之间的均匀随机数；pb代表个体最优位置，gb代表全局最佳位置；
采用线性递减来对wa做动态调整，如式(5)所示
wa＝wmax-(wmax-wmin)*Iter/MaxIt (5)
其中：wmax为最大惯性权重，wmin为最小惯性权重，Iter为当前粒子群的迭代次数，MaxIt为最大迭代次数。
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