CN112073170B

CN112073170B - 一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路

Info

Publication number: CN112073170B
Application number: CN202010446369.0A
Authority: CN
Inventors: 马铭磷; 刘颖
Original assignee: Xiangtan University
Current assignee: Xiangtan University
Priority date: 2020-05-25
Filing date: 2020-05-25
Publication date: 2023-07-18
Anticipated expiration: 2040-05-25
Also published as: CN112073170A

Abstract

本发明公开了一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路，包括输入方波电压源V(t)、电容C₁、电容C₂、电感L、电阻R、电阻R_c、参考电压V_ref、‑V_ref、忆阻器R_M、以及电压比较器U₁和U₂；根据比较器的输出电压控制开关的导通与关断，电路一共有三种工作状态。在方波电压源V(t)的幅度取不同值时，通过调节电路中电容电压、电感电流及忆阻器内部变量的初始值，可以观察到单周期极限环与多涡卷混沌吸引子的共存，对称的双周期极限环的共存，以及双周期极限环与多周期极限环的共存。该电路可应用于保密通信、混沌加密、随机数的产生等工程领域，对开关电路中非线性现象的研究具有积极的推动作用。

Description

一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路

技术领域

本发明属于非线性电路，具体涉及开关系统在系统参数不变时，通过改变电路的初始状态，可以得到不同的吸引子状态，实现多种吸引子共存。可作为一种多随机混沌信号源。

背景技术

随着科技的更新换代，互联网信息传输和通信的隐私性越来越重要，对于信息的保密与识别也就显得至关重要。混沌是非线性动力学系统中特有的一种运动形式，具有初始值敏感性和不可预测性，在保密通信中有广泛应用。多稳定性即多吸引子共存现象，是一种在非线性动力学系统中的一种奇异的物理现象，相比于没有共存吸引子存在的系统，有共存吸引子存在的混沌系统具有更加复杂的动力学行为，多稳定性为非线性动力学系统提供了更大的自由空间，因此对具有共存吸引子的混沌系统以及其硬件电路的研究具有重要的意义，同时也使得其在信息加密的领域具有更广阔的应用前景。

对于混沌动力学的研究大多是在光滑动力系统进行的。而近年来，人们发现，在开关系统中存在着丰富的非线性现象，通过将开关电路建模为分段光滑的系统，可对其存在的非线性现象进行研究。而忆阻的非线性和记忆特性，也使得基于忆阻的混沌电路比传统的非线性电路具有更为复杂的混沌特性，本发明为一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路，推动了忆阻器以及开关电路在混沌动力学中的应用。

发明内容

本发明要解决的技术问题是实现一种可以产生多吸引子共存的忆阻混沌电路。

为解决上述技术问题，本发明提供了一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路。如图1所示，包括输入方波电压源V(t)、电容C₁、电容C₂、电感L、电阻R、电阻R_c、参考电压V_ref、-V_ref、忆阻器R_M、以及电压比较器U₁和U₂。

具体连接方式如下：所述方波电压源的第一端连接所述电容C₁的第一端，所述方波电压源的第二端连接所述电容C₂的第二端并且接地。所述电容C₁的第二端连接所述电感L的第一端并且连接所述电阻R_c的第一端以及忆阻R_M的第一端，所述电感L的第二端连接所述电阻R的第一端并且连接所述电压比较器U₁的‘+’输入端以及所述电压比较器U₂的‘-’输入端，所述电阻R的第二端连接所述电容C₂的第一端，电容C₂的第二端接地。所述电压比较器U₁的‘+’输入端电压与所述电压比较器U₂的‘-’输入端电压等于所述电阻R和所述电容C₂的串联电压值，所述电压比较器u₁的‘-’输入端连接所述参考电压V_ref，所述电压比较器u₁的输出电压控制所述开关sw₁，所述开关sw₁的第一端连接所述电阻R_c的第二端，所述开关sw₁的第二端接地。所述电压比较器U₂的‘+’输入端连接所述参考电压-V_ref，所述电压比较器U₂的输出电压控制所述开关sw₂，所述开关sw₂的第一端连接所述忆阻R_M的第二端，所述开关sw₂的第二端接地。

本发明所用忆阻模型为如图3所示的压控忆阻，包括电阻R_a、电阻R_b和电阻R_d、运算放大器U、电容C₀、乘法器M₁和M₂。

具体连接方式：所述电阻R_a的第一端连接所述压控忆阻器的输入端I，所述电阻R_a的第二端连接所述运算放大器U的反向输入端，所述运算放大器U的同向输入端接地。所述电阻R_b的第一端连接所述电容C₀的第一端并连接所述运算放大器U的反向输入端，所述电阻R_b的第二端连接所述电容C₀的第二端并连接所述运算放大器U的输出端，所述乘法器M₁的两个输入端连接所述运算放大器U的输出端，所述乘法器M₁的输出端连接所述乘法器M₂的一个输入端，所述乘法器M₂的另一个输入端连接所述压控忆阻器的输入端I，所述电阻R_d的第一端连接所述压控忆阻器的输入端I，所述电阻R_d的第二端连接所述乘法器M₂的输出端。

本发明所用忆阻模型的等效电路关系式可表示为：

其中，V₀是电容C₀两端的电压，V_m和i_m分别是忆阻两端的电压和流过忆阻的电流，p为乘法器M₂的比例系数。

电路有三种工作模式，每个时间点只在其中一种模式下工作。第1种工作模式如图2(a)所示，当电容C₂与电阻R的串联电压值小于V_ref，并且大于-V_ref时，开关sw₁关断，sw₂关断，电路为电容C₁、电容C₂、电阻R、电感L和方波电压源V(t)串联；根据基尔霍夫电压定律和电流定律列写状态方程为：

第2种工作模式如图2(b)所示，当电容C₂与电阻R的串联电压值大于V_ref，并且大于-V_ref时，开关sw₁导通，sw₂关断，电感L、电阻R、电容C₂串联分支与电阻R_c并联，再与电容C₁、方波电压源V(t)串联；根据基尔霍夫电压定律和电流定律列写状态方程为：

第3种工作模式如图2(c)所示，当电容C₂与电阻R的串联电压值小于V_ref，并且小于-V_ref时，开关sw₁关断，sw₂导通，电感L、电阻R和电容C₂串联分支与忆阻器R_M并联，再与电容C₁、方波电压源V(t)串联；根据基尔霍夫电压定律和电流定律列写状态方程为：

其中，i_L为流经电感L的电流，V_c1为电容C₁的两端电压，V_C2为电容C₂两端的电压，V₀为忆阻器内部电容C₀两端电压。

图4给出了电路中的电容电压、电感电流以及忆阻器内部变量取不同初始值的时候，V_C2关于输入方波电压源V(t)的幅度的分岔图。可以观测到在输入方波电压V＝±1V到V＝±1.4V时，电路存在单周期极限环与混沌状态的共存。在V＝±1.4V到V＝±3.29V时，电路为混沌状态。在V＝±3.29V时V＝±3.7V时，如图4(a)和图4(b)所示，电路存在两种二周期状态的共存。在V＝±3.7V之后，如图4(c)所示，电路出现5周期极限环，与图4(a)、图4(b)所示的对称的二周期极限环共存。

选取电路参数方波电压源V＝±1V，f＝30KHZ，C₁＝C₂＝10nF，L＝20mH，R＝100Ω，R_C＝30Ω，V_ref＝1V，初始值为i_L＝0，V_C1＝0，V_C2＝0，V₀＝-1时，电路始终工作在单周期状态，在此条件下得到对应的MATLAB数值仿真的i_L-V_C2的相轨图，相轨图如图5(d)所示，可以观测到单周期极限环。在此电路参数不变的情况下，改变初始值为i_L＝0，V_C1＝0，V_C2＝1，V₀＝-1时，可以得到对应的MATLAB数值仿真的i_L-V_C2的相轨图，相轨图如图6(d)所示。可以观测到电路从单周期状态进入多吸引子混沌状态。此时，电路存在单周期极限环与多吸引子混沌状态的共存。

选取电路参数方波电压源V＝±2.5V，f＝30KHZ，C₁＝C₂＝10nF，L＝20mH，R＝100Ω，R_C＝30Ω，V_ref＝1V，在此条件下对应的MATLAB数值仿真的i_L-V_C2的相轨图如图7(b)所示。电路工作在混沌态，可以观测到双涡卷混沌现象。

选取电路参数方波电压源V＝±3.5V，f＝30KHZ，C₁＝C₂＝10nF，L＝20mH，R＝100，R_C＝30，V_ref＝1V，当初始值分别为i_L＝-0.1，V_C1＝-3.5，V_C2＝-2.85，V₀＝0.065和i_L＝-0.07，V_C1＝-3.5，V_C2＝-2.85，V₀＝0.065时，在此条件下对应的MATLAB数值仿真的i_L-V_C2的相轨图分别如图8(b)和9(b)所示。可以观测到电路存在对称的双周期共存现象。

选取电路参数方波电压源V＝±4.5V，f＝30KHZ，C₁＝C₂＝10nF，L＝20mH，R＝100，R_C＝30，V_ref＝1V，改变电路的初始值当为i_L＝-0.01，V_C1＝-4.5，V_C2＝-4.1，V₀＝0.05时，得到的MATLAB数值仿真的i_L-V_C2的相轨图与图8(b)一致；当改变初始值为i_L＝0.01，V_C1＝-4.5，V_C2＝-4.1，V₀＝0.05时，得到的i_L-V_C2的相轨图与图9(b)一致；当改变初始值为i_L＝0，V_C1＝-4.5，V_C2＝-4.1，V₀＝0.05时，得到的i_L-V_C2的相轨图如10(b)所示。可以观测到电路存在对称的双周期极限环和多周期极限环的共存。

本发明的有益效果如下：

(1)本发明的一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路，在开关电路中发现了分岔共存的混沌现象，其电路结构简单，相比于一般的混沌电路，该系统的动力学行为更加复杂，在保密通信领域具有明显优势。

(2)本发明的一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路，在电路参数固定的情况下，通过改变初始值可以出现不同的吸引子共存现象，可以作为一种可调的混沌信号发生器。

附图说明

图1为一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路示意图。

图2(a)、图2(b)和图2(c)分别对应电路工作的三种模式。

图3为本发明所用的忆阻器电路模型示意图。

图4(a)为初始值i_L＝0，V_C1＝0，V_C2＝0，V₀＝-1时，V_C2在输入方波电压源V(t)幅度变化时对应的分岔图

图4(b)为初始值i_L＝0，V_C1＝0，V_C2＝1，V₀＝-1时，V_C2在输入方波电压源V(t)幅度变化时对应的分岔图

图4(c)为初始值i_L＝1，V_C1＝1，V_C2＝1，V₀＝-1时，V_C2在输入方波电压源V(t)幅度变化时对应的分岔图

图5(a)、图5(b)为电路参数固定，选取V(t)＝±1V，初始值i_L＝0，V_C1＝0，V_C2＝0，V₀＝-1时，开关sw₁和sw₂的控制电压(1表示导通，0表示关断)。图5(c)为对应的V_C2时序图，图5(d)为对应的i_L-V_C2相轨图。

图6(a)、图6(b)为电路参数固定，选取V(t)＝±1V时，初始值i_L＝0，V_C1＝0，V_C2＝1，V₀＝-1时，开关sw₁和sw₂的控制电压(1表示开关导通，0表示开关关断)。图6(c)为对应的V_C2时序图，图6(d)为对应的i_L-V_C2相轨图。

图7(a)为电路参数固定，选取V(t)＝±2.5V时，对应的V_C2时序图，图7(b)为对应的i_L-V_C2相轨图。

图8(a)为电路参数固定，选取V(t)＝±3.5V，初始值i_L＝-0.1，V_C1＝-3.5，V_C2＝-2.85，V₀＝0.065时，对应的V_C2时序图，图8(b)为对应的i_L-V_C2相轨图。

图9(a)为电路参数固定，选取V(t)＝±3.5V，初始值i_L＝-0.07，V_C1＝-3.5，V_C2＝-2.85，V₀＝0.065时，对应的V_C2时序图，图9(b)为对应的i_L-V_C2相轨图。

图10(a)为电路参数固定，选取V(t)＝±4.5V，初始值i_L＝0，V_C1＝-4.5，V_C2＝-4.1，V₀＝0.05时，对应的V_C2时序图，图10(b)为对应的i_L-V_C2相轨图。

具体实施方式

下面结合附图和优选实施例对本发明作更进一步的详细描述，参见图1-图10。

如图1所示，本发明提出的一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路，包括输入方波电压源V(t)、电容C₁、电容C₂、电感L、电阻R、电阻R_c、参考电压V_ref、-V_ref、忆阻器R_M、以及电压比较器U₁和U₂。

本发明所用忆阻模型为如图3所示的压控忆阻，其等效电路模型包括电阻R_a、电阻R_b和电阻R_d、运算放大器U、电容C₀、乘法器M₁和M₂。

具体连接方式：所述电阻R_a的第一端连接所述压控忆阻器的输入端，所述电阻R_a的第二端连接所述运算放大器U的反向输入端，所述运算放大器U的同向输入端接地。所述电阻R_b的第一端连接所述电容C₀的第一端并连接所述运算放大器U的反向输入端，所述电阻R_b的第二端连接所述电容C₀的第二端并连接所述运算放大器U的输出端，所述乘法器M₁的两个输入端连接所述运算放大器U的输出端，所述乘法器M₁连接所述乘法器M₂的一个输入端，所述乘法器M₂的另一个输入端连接所述压控忆阻器的输入端，所述电阻R_d的第一端连接所述压控忆阻器的输入端，所述电阻R_d的第二端连接所述乘法器M₂的输出端。

本发明所用忆阻模型的等效电路关系式可表示为：

如图2(a-c)，本实施例的一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路在三种电路模式下工作，每个时间点只在其中一种模式下工作。

第1种工作模式如图2(a)所示，当电容C₂与电阻R的串联电压值小于V_ref，并且大于-V_ref时，开关sw₁关断，sw₂关断，电路为电容C₁、电容C₂、电阻R、电感L和方波电压源V(t)串联；根据基尔霍夫电压定律和电流定律列写状态方程为：

在(2)(3)(4)中含有四个内部状态变量分别是：电容C₁的两端电压u₁，电容C₂的两端电压u₂，流经电感L的电流i_L，忆阻器中的电容C₀两端的电压V₀。

利用Matlab数值仿真，选取电路参数为f＝30KHZ，C₁＝C₂＝10nF，L＝20mH，R＝100Ω，R_C＝30Ω，V_ref＝1V，电路初始值i_L＝0，V_C1＝0，V_C2＝0，V₀＝-1时，得到V_C2关于输入方波电压源V(t)的分岔图如图4(a)所示，当改变电路初始值为i_L＝0，V_C1＝0，V_C2＝1，V₀＝-1时，得到V_C2关于输入方波电压源V(t)的分岔图如图4(b)所示,当改变电路初始值为i_L＝1，V_C1＝1，V_C2＝1，V₀＝-1时，得到V_C2关于输入方波电压源V(t)的分岔图如图4(c)所示。在图4(a)中，当输入方波电压V＝±1V时，电路工作状态为单周期工作状态，而在图4(b)和图4(c)中，当输入方波电压V＝±1V时，电路工作状态为混沌状态。这种单周期与混沌状态的共存一直持续到V＝±1.4V。在V＝±1.4V时，图4(a)中的开关sw₁或sw₂被导通，电路发生边界碰撞分岔，进入混沌状态，一直持续到V＝±3.29V。在V＝±3.29V到V＝±3.7V时，如图4(a)和图4(b)所示，电路存在两种二周期状态的共存。如图4(c)所示，在V＝±3.7V之后，电路出现5周期极限环，与图4(a)、图4(b)所示的对称的二周期极限环共存。

利用Matlab数值仿真，选取电路参数为输入方波电压源频率为f＝30KHZ，V＝±1V，C₁＝C₂＝10nF，L＝20mH，R＝100Ω，R_C＝30Ω，V_ref＝1V，电路初始值i_L＝0，V_C1＝0，V_C2＝0，V₀＝-1时，得到V_C2的时序图如图5(c)所示，i_L-V_C2的相轨图如图5(d)所示，表明在此模式下电路工作在单周期极限环状态下，图5(a)和图5(b)分别为此状态下比较器的输出电压，可以看到在此模式下开关sw₁和开关sw₂均未导通，电路始终在如图2(a)所示的模式1状态下工作。在此电路参数固定的情况下，改变系统初始值为i_L＝0，V_C1＝0，V_C2＝1，V₀＝-1时，可以得到图6(a-d)，在图6(a)和图6(b)中可以看出此时开关sw₁和sw₂在电路工作的一些时刻点被导通和关断，电路在三种模式下变换着工作，从图6(c)所示的V_C2的时序图和图6(d)所示的i_L-V_C2的相轨图可以观测到电路此时从单周期状态进入到多吸引子混沌状态。在V＝±1V时，为单周期极限环与多吸引子混沌态的共存。

利用Matlab数值仿真，电路参数不变，在V＝±2.5V时，得到V_C2的时序图如图7(a)所示，i_L-V_C2的相轨图如图7(b)所示，此时电路工作在双涡卷混沌态。在V＝±3.5V，系统初始值分别为i_L＝-0.1，V_C1＝-3.5，V_C2＝-2.85，V₀＝0.065和i_L＝-0.07，V_C1＝-3.5，V_C2＝-2.85，V₀＝0.065时，得到的V_C2的时序图分别为图8(a)和图9(a)所示，i_L-V_C2的相轨图分别为图8(b)和图9(b)所示，可以观测到电路存在共存对称的双周期现象。在V＝±4.5V，初始值分别为i_L＝-0.01，V_C1＝-4.5，V_C2＝-4.1，V₀＝0.05和i_L＝0.01，V_C1＝-4.5，V_C2＝-4.1，V₀＝0.05以及i_L＝0，V_C1＝-4.5，V_C2＝-4.1，V₀＝0.05时，对应的V_C2的时序图以及相图为图8(a-b)、图9(a-b)和图10(a-b)。可以观测到电路存在对称的双周期极限环和多周期极限环的共存。

本发明实现的一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路，在开关电路中发现了分岔共存的混沌现象。其电路结构简单，相比于一般的混沌电路，该系统的动力学行为更加复杂，在保密通信领域具有明显优势，也可以作为一种可调的混沌信号发生器。

以上实施例仅仅是本发明的一些较佳举例，而并非本发明实施方式的限定。对于本领域的其他技术人员，还可以在本发明的基础上做出其他形式的变动或改进，因此，只要是在本发明内容的基础上所做的任何简单修改，均仍属于本发明技术方案保护的范围内。

Claims

1.一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路，其特征在于：包括方波电压源V(t)、电感L、忆阻R_M、电容C₁和C₂、电阻R和R_c、参考电压V_ref和-V_ref、开关sw₁、开关sw₂、以及电压比较器U₁和U₂，所述方波电压源的第一端连接所述电容C₁的第一端，所述方波电压源的第二端连接所述电容C₂的第二端并且接地；所述忆阻R_M为压控忆阻，其等效电路模型包括电阻R_a、电阻R_b、电阻R_d、运算放大器U、电容C₀、乘法器M₁和M₂，具体连接方式为：所述电阻R_a的第一端连接所述忆阻R_M的输入端，所述电阻R_a的第二端连接所述运算放大器U的反向输入端，所述运算放大器U的同向输入端接地，所述电阻R_b的第一端连接所述电容C₀的第一端并连接所述运算放大器U的反向输入端，所述电阻R_b的第二端连接所述电容C₀的第二端并连接所述运算放大器U的输出端，所述乘法器M₁的两个输入端连接所述运算放大器U的输出端，所述乘法器M₁的输出端连接所述乘法器M₂的一个输入端，所述乘法器M₂的另一个输入端连接所述忆阻R_M的输入端，所述电阻R_d的第一端连接所述忆阻R_M的输入端，所述电阻R_d的第二端连接所述乘法器M₂的输出端，所述忆阻R_M的等效电路模型可表示为：

其中，V₀是所述电容C₀两端的电压，V_m和i_m分别是所述忆阻R_M两端的电压和流过所述忆阻R_M的电流，p为所述乘法器M₂的比例系数；所述电容C₁的第二端连接所述电感L的第一端和所述电阻R_c的第一端以及忆阻R_M的第一端，所述电感L的第二端连接所述电阻R的第一端并且连接所述电压比较器U₁的‘+’输入端以及所述电压比较器U₂的‘-’输入端，所述电阻R的第二端连接所述电容C₂的第一端，电容C₂的第二端接地；所述电压比较器U₁的‘+’输入端电压与所述电压比较器U₂的‘-’输入端电压等于所述电阻R和所述电容C₂的串联电压值，所述电压比较器u₁的‘-’输入端连接所述参考电压V_ref，所述电压比较器u₁的输出电压控制所述开关sw₁，所述开关sw₁的第一端连接所述电阻R_c的第二端，所述开关sw₁的第二端接地；所述电压比较器U₂的‘+’输入端连接所述参考电压-V_ref，所述电压比较器U₂的输出电压控制所述开关sw₂，所述开关sw₂的第一端连接所述忆阻R_M的第二端，所述开关sw₂的第二端接地。

2.如权利要求1所述的一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路，其特征在于：当电容C₂与电阻R的串联电压值电压小于V_ref，并且大于-V_ref时，开关sw₁关断，sw₂关断，电路为电容C₁、电容C₂、电阻R、电感L和方波电压源V(t)串联；根据基尔霍夫电压定律和电流定律列写状态方程为：

当电容C₂与电阻R的串联电压值大于V_ref，并且大于-V_ref时，开关sw₁导通，sw₂关断，电感L、电阻R、电容C₂串联分支与电阻R_c并联，再与电容C₁、方波电压源V(t)串联；根据基尔霍夫电压定律和电流定律列写状态方程为：

当电容C₂与电阻R的串联电压值小于V_ref，并且小于-V_ref时，开关sw₁关断，sw₂导通，电感L、电阻R、电容C₂串联分支与忆阻R_M并联，再与电容C₁、方波电压源V(t)串联；根据基尔霍夫电压定律和电流定律列写状态方程为：

其中，i_L为流经电感L的电流，V_c1为电容C₁的两端电压，V_C2为电容C₂两端的电压，V₀为忆阻内部电容C₀两端电压。

3.如权利要求2所述的一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路，其特征在于：当电路参数固定，C₁＝C₂＝10nF，L＝20mH，R＝100Ω，R_C＝30Ω，V_ref＝1V时，方波电压源V(t)的频率f＝30KHZ，V＝±1V，初始值为i_L＝0，V_C1＝0，V_C2＝0，V₀＝-1时，电路始终工作在单周期状态，可以观测到单周期极限环；电路参数固定，改变初始值为i_L＝0，V_C1＝0，V_C2＝1，V₀＝-1时，可以观测到电路从单周期状态进入多吸引子混沌状态，此时，电路存在单周期与混沌状态的共存。

4.如权利要求2所述的一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路，其特征在于：当方波电压源V(t)的频率为f＝30KHZ，V＝±2.5V，C₁＝C₂＝10nF，L＝20mH，R＝100Ω，R_C＝30Ω，V_ref＝1V时，电路工作在混沌态，可以观测到双涡卷混沌现象。

5.如权利要求2所述的一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路，其特征在于：当方波电压源V(t)的频率为f＝30KHZ，V＝±3.5V，C₁＝C₂＝10nF，L＝20mH，R＝100Ω，R_C＝30Ω，V_ref＝1V，初始值分别为i_L＝-0.1，V_C1＝-3.5，V_C2＝-2.85，V₀＝0.065和i_L＝-0.07，V_C1＝-3.5，V_C2＝-2.85，V₀＝0.065时，可以观测到电路存在对称的双周期极限环共存现象。

6.如权利要求2所述的一种分段光滑的多吸引子共存忆阻混沌电路，其特征在于：当方波电压源V(t)的频率为f＝30KHZ，V＝±4.5V，C₁＝C₂＝10nF，L＝20mH，R＝100Ω，R_C＝30Ω，V_ref＝1V，改变电路的初始值分别为i_L＝-0.01，V_C1＝-4.5，V_C2＝-4.1，V₀＝0.05；i_L＝0.01，V_C1＝-4.5，V_C2＝-4.1，V₀＝0.05和i_L＝0，V_C1＝-4.5，V_C2＝-4.1，V₀＝0.05时，可以观测到电路存在对称的双周期极限环和多周期极限环的共存现象。