CN112069715A - 一种基于多材料结构的拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于多材料结构的拓扑优化方法，步骤一、获取待优化构件的不同材料的预设材料个数，各个材料的密度和各个不同材料之间的铰接方式；步骤二、计算体积分数；步骤三、计算质量分数；步骤四、结构的应变能计算公式；以结构应变能为优化目标，求取结构的应变能的最小时的结构和材料分布。

Description

一种基于多材料结构的拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及一种工程结构优化设计领域的设计方法，更具体的是，本发明涉及一种基于多材料结构的拓扑优化方法。

背景技术

拓扑优化技术作为一种面向轻量化设计的结构优化方法，自从19世纪80年代提出以来已取得了长足的进步并广泛应用于实际生产制造之中。拓扑优化技术能够在指定的载荷作用、边界条件及约束条件下寻求宏观结构或材料微结构的材料最佳布局，从而使其某种性能指标达到最优。在实际工程应用中，拓扑优化技术能够突破工程师主观经验限制，为产品设计提供全新的思路，从而提升设计方案的性能。同时在产品设计开发初期，拓扑优化技术能够在多个相互制约的设计条件中找到最佳平衡点，相比于传统的试错法设计流程，极大地简化了设计流程，从而实现快速高效的产品结构设计。

目前的拓扑优化技术主要集中于单一材料的拓扑优化，然而，由于单一材料结构通常难以实现的特定综合性能要求以及实际工程结构通常由多材料组成结构，使得进行多材料结构拓扑优化设计是非常必要的。随着加工工艺和制造技术的不断发展，在结构中采用先进连接工艺很大程度上提升了不同材料间的连接能力，使多材料型构件成为可能并逐渐发展成熟，多材料型构件逐渐走入人们的视野，成为未来工业领域发展的趋势之一。因此将拓扑优化技术与轻质材料相结合所产生的多材料拓扑优化方法可以借助更加宽泛的材料选择范围，为结构设计提供更多的自由度并最终获得更为优质的结构设计方案。综上所述，在拓扑优化技术中考虑多种材料的选择会大大提高结构的综合性能。

发明内容

本发明针对现有技术存在的拓扑优化方法主要集中在单一材料环境下，设计自由度较低，无法直接获得多材料结构的问题，提供了一种基于多材料结构的拓扑优化方法。

一种基于多材料结构的拓扑优化方法，包括：

步骤一、获取待优化构件的不同材料的预设材料个数，各个材料的密度和各个不同材料之间的铰接方式；

步骤二、计算体积分数：

式中：ρ_i为第i个结构单元的单元密度；

步骤三、计算质量分数：

其中，rho_k表示为第k种材料的密度，属于材料密度矩阵rho，矩阵规模为K×1；N₀为设计域内结构单元个数，K为预设材料个数；

代表第k种材料在结构单元i中所占的比重；

步骤四、结构的应变能计算公式如下：

compliance(ρ,o)＝U^TKU

其中，U和K分别为全局位移向量以及全局刚度矩阵；ρ代表单元的密度，o为材料比重分数，表示每种材料在单元中所占的比重；

在步骤二的体积分数小于整体结构体积分数限值和步骤三的质量分数下于整体结构质量分数限值约束下当

时，以结构应变能为优化目标，求取结构的应变能最小时，对应的结构及材料分布。

作为进一步的优选，所述结构的应变能计算公式进一步表示为：

其中，

以及

依次为结构单元、形式A铰接单元以及形式B铰接单元的单元刚度矩阵，E_e、E_i和E_j分别依次为结构单元，形式A铰接单元和形式B铰接单元的杨氏模量；u_e为单元位移向量，u_i为形式A铰接单元位移向量，u_j为形式B单元位移向量；N₀为结构单元总数，N₁为形式A铰接单元总数，N₂为形式B铰接单元总数；K为预设材料个数；

分别依次为结构单元、形式A铰接单元以及形式B铰接单元的材料比重分数；

分别依次为结构单元密度、形式A铰接单元密度和形式B铰接单元密度；p_m为单元密度的惩罚系数。

作为进一步的优选，还包括：

结构-材料两相材料插值模型为：

式中：ρ_i为第i个结构单元的单元密度，

代表第k种材料在结构单元i中所占的比重，p_ρ为单元密度ρ_i的惩罚系数，数值取大于等于3；K为预设材料个数，E^(k)为第k种材料的杨氏模量。

作为进一步的优选，对待优化构件进行离散，离散后的铰接部分分为形式A铰接单元和形式B铰接单元。

作为进一步的优选，形式A铰接单元，其杨氏模量计算表达式为：

式中：ρ₁是结构单元1的单元密度；o₁是结构单元1的材料比重分数；ρ₂是结构单元2的单元密度；o₂是结构单元2的材料比重分数；H为多组件铰接单元杨氏模量矩阵。

作为进一步的优选，对于形式B铰接单元，其杨氏模量计算表达式为：

其中，1、2、3、4代表相邻的四个结构单元的编号；E₁₃和E₂₄分别为以面对角线上的结构单元1、3和结构单元2、4相邻为假设计算所得的虚拟形式A铰接单元弹性模量数值。

本发明所述的有益效果：

本发明的基于多材料结构的拓扑优化方法与当前主要在单一材料环境下的拓扑优化方法相比，能够在拓扑优化过程中同时实现结构不同位置材料的选取，实现多材料结构设计，极大的提高了设计的自由度，提高结构的轻量化和性能要求，最大程度发挥拓扑优化技术的潜力。

附图说明

图1为本发明的基于多材料结构的拓扑优化方法流程框图。

图2为本发明初始设计域离散示意图。

图3为本发明形式A铰接单元与和相邻的结构单元相对位置示意图。

图4为本发明形式B铰接单元与和相邻的结构单元相对位置示意图。

图5为本发明基于多材料结构形式的拓扑优化方法MBB梁加载工况示意图。

图6为本发明MBB梁加载工况整体结构示意图。

图7为本发明MBB梁加载工况钢材料在整体结构中分布示意图。

图8为本发明MBB梁加载工况铝材料在整体结构中分布示意图。

图9为本发明MBB梁加载工况镁材料在整体结构中分布示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的详细说明，以令本领域技术人员参照说明书文字能够据以实施。

目前拓扑优化领域的相关研究所得到的拓扑优化结果往往只有单一材料结构，在当前先进连接工艺的不断发展的环境下，并不能充分发挥材料的性能；而实现多材料结构在实际产品设计生产过程中往往更重要，因此基于实际工程需要，本发明提供一种基于多材料结构的拓扑优化方法。

获取待优化构件的不同材料的预设材料个数，各个材料的密度和各个不同材料之间的铰接方式。

基于SIMP方法建立结构-材料两相材料插值模型

传统的SIMP法以每个单元的密度作为设计变量，在优化过程中通过对中间单元密度值进行惩罚以遏制在优化过程中设计变量产生中间值，使得每个单元的密度收敛于0或1，最终得到性能最优的材料分布。

传统SIMP方法的材料插值模型是：

式中：ρ_i为第i个结构单元的单元密度，p_ρ为单元密度ρ_i的惩罚系数，取值一般大于等于3；E^(S)是结构单元的杨氏模量。

同时考虑结构和材料的插值模型

考虑到优化过程中对于材料的选择，本发明在传统SIMP方法的基础上引入了材料比重分数o_i作为新的设计变量，并与原设计变量单元密度ρ_i一同被分配至第i个结构单元；其中，o_i为K×1的矩阵，K表示在优化过程中预设的材料个数，矩阵中的元素

表示材料k在结构单元i中占的比重。由于各个材料在同一个结构单元中所占比重之和应为1，即保证材料比重分数的归一性，因此存在线性等式约束：

考虑惩罚单元密度ρ_i以及材料比重分数o_i的结构-材料两相材料插值模型为

式中：ρ_i为第i个结构单元的单元密度，

代表第k种材料在结构单元i中所占的比重，p_ρ为单元密度ρ_i的惩罚系数，数值取大于等于3；K为预设材料个数，E^(k)为第k种材料的杨氏模量。

建立考虑材料铰接关系的参数化有限元模型

在考虑拓扑优化过程中需要进行有限元分析，因此在结构设计前应建立有限元模型，作为结构设计的初始设计空间。同时为了实现多材料结构，还应在有限元模型中考虑每种材料的铰接强度。

考虑多材料结构的设计域离散

由于多材料结构中不同材料的铰接强度不同，因此在设计域离散时引入了铰接单元来表示不同材料的连接关系。参阅图2，对连续体结构按图所示进行离散，共划分N个有限元网格。在离散后的设计域中包含两大类单元：结构单元和铰接单元。铰接单元又可分为两类：一种长方形单元和一种小正方形单元，分别命名为形式A铰接单元与形式B铰接单元。结构单元的杨氏模量根据其分配的具体材料的杨氏模量确定，而铰接单元没有分配任何设计变量，因此两种铰接单元的杨氏模量需要利用与之相邻的结构单元或者铰接单元的杨氏模量计算得到。

离散设计域中单元杨氏模量计算

在离散后设计域中形式A和形式B铰接单元分布如图3和图4所示，其弹性模量分别用E_A、E_B表示。

对于形式A铰接单元，其杨氏模量计算表达式为：

式中：ρ₁是结构单元1的单元密度；o₁是结构单元1的材料比重分数；ρ₂是结构单元2的单元密度；o₂是结构单元2的材料比重分数；E^(S1)、E^(S2)、E^(S3)为材料自身的杨氏模量；E^(J12)、E^(J13)、E^(J23)等为异种材料之间相互连接的铰接单元强度。

对于形式B铰接单元，其杨氏模量计算表达式为：

其中，1、2、3、4代表相邻的四个结构单元的编号。E₁₃和E₂₄分别为以面对角线上的结构单元1、3和结构单元2、4相邻为假设计算所得的虚拟形式A铰接单元弹性模量数值，不具有实际意义，只用于构建形式B铰接单元弹性模量表达式。

建立基于多材料结构拓扑优化方法的优化目标

在实际工程应用中，合理的结构在满足轻量化要求的同时具有良好的刚度性能，因此在本发明中将结构的刚度性能作为优化目标，用结构的应变能来评估，结构的应变能越小，结构的刚度越大。在将优化目标设置为结构的应变能最小，以获得最大的刚度。结构的应变能计算公式如下：

其中，U和K分别为全局位移向量以及全局刚度矩阵；

以及

依次为结构单元、形式A铰接单元以及形式B铰接单元的单元刚度矩阵，E_e、E_i和E_j分别为结构单元，形式A铰接单元和形式B铰接单元的杨氏模量；u_e为单元位移向量，u_i为形式A铰接单元位移向量，u_j为形式B单元位移向量；N为结构单元总数，N₁为形式A铰接单元总数，N₂为形式B铰接单元总数；K为预设材料个数。

分别依次为结构单元、形式A铰接单元以及形式B铰接单元的材料比重分数；

分别依次为结构单元密度、形式A铰接单元密度和形式B铰接单元密度；p_m为单元密度的惩罚系数。

建立多材料结构的体积分数和质量分数约束

为了使拓扑优化获得的多材料结构具有一定的轻量化性能，在拓扑优化过程中应设置体积分数约束和质量分数约束。体积分数与整个结构使用的材料的多少相，较低的体积分数意味着结构总的使用的材料总量较少。体积分数的计算表达式如式(8)所示。

在多材料结构中，不同的材料具有不同的密度，因此应对整体结构的质量分数进行约束，来对整个结构的质量进行控制，使其满足一定的轻量化要求。质量分数的计算表达式如下，

其中，rho_k表示为第k种材料的密度，属于材料密度矩阵rho，矩阵规模为K×1。N₀为设计域内结构单元个数，K为预设材料个数。

建立基于多材料结构的拓扑优化理论模型

根据实际工程应用中对结构刚度和轻量化的要求，建立了基于多材料结构的拓扑优化理论模型，如下：

式中：c为结构应变能，用来衡量结构刚度，应变能越小，则结构刚度越大；V^*为整体结构体积分数限值，在保证一定轻量化要求的前提下，结构体积分数限值一般设置在0.4-0.6；M^*为整体结构质量分数限值，质量分数限值一般设置为0.2-0.4；ρ为结构单元密度，o为材料比重分数，K为预设材料个数。

实施例

参阅图5，我们用本发明对二维MBB梁进行求解，得到多种材料构型的结构。

首先，由于MBB梁的对称性，取其一半的设计空间作为研究对象，将一半的MBB梁结构划分为40×20个四边形结构单元，预设材料个数K＝3，三种待选材料依次为铁、铝、镁，材料密度矩阵rho为[1；0.34；0.22]。三种材料之间的铰接方式假定为电阻点焊铰且其刚度弱于结构单元，其铰接单元的杨氏模量矩阵H如式(11)所示。体积分数限值V^*设置为0.6，质量分数设置为0.4；单元密度ρ与组件比重分数m的初值分别为体积约束限值V^*与1/K。离散的设计域中铰接单元与结构单元边长的比值设置为L_J/L_s＝0.2。图6给出了MBB结构工况载荷条件下的最终拓扑优化结果。

拓扑结果显示，优化后的MBB梁结构由三种组件组成。图7为铁材料在整体结构中的分布、图8为铝材料在整体结构中的分布、图9为镁材料在整体结构中的分布。从整体上看，拓扑结果在满足刚度性能要求的同时，具有一定的轻量化性能。在质量分数约束和体积分数约束的共同作用下，整个拓扑优化结果实现了对材料的自主选择。

本发明针对多材料构型的零件提出了基于多材料结构的拓扑优化方法。在拓扑优化求解过程中，提出了同步考虑单元密度以及材料比重分数的材料插值模型，同时设置了体积和质量约束。本发明所给算例表明，该方法能够得到由多种材料构成的结构，并满足一定的刚度和轻量化性能。

尽管本发明的实施方案已公开如上，但其并不仅仅限于说明书和实施方式中所列运用，它完全可以被适用于各种适合本发明的领域，对于熟悉本领域的人员而言，可容易地实现另外的修改，因此在不背离权利要求及等同范围所限定的一般概念下，本发明并不限于特定的细节和这里示出与描述的图例。

Claims (6)

1.一种基于多材料结构的拓扑优化方法，其特征在于，包括：

步骤一、获取待优化构件的不同材料的预设材料个数，各个材料的密度和各个不同材料之间的铰接方式；

步骤二、计算体积分数：

式中：ρ_i为第i个结构单元的单元密度；

步骤三、计算质量分数：

其中，rho_k表示为第k种材料的密度，属于材料密度矩阵rho，矩阵规模为K×1；N₀为设计域内结构单元个数，K为预设材料个数；

代表第k种材料在结构单元i中所占的比重；

步骤四、结构的应变能计算公式如下：

compliance(ρ,o)＝U^TKU

其中，U和K分别为全局位移向量以及全局刚度矩阵；ρ代表单元的密度，o为材料比重分数，表示每种材料在单元中所占的比重；

在步骤二的体积分数小于整体结构体积分数限值和步骤三的质量分数下于整体结构质量分数限值约束下当

时，以结构应变能为优化目标，求取结构的应变能最小时，对应的结构及材料分布。

2.如权利要求1所述的基于多材料结构的拓扑优化方法，其特征在于，所述结构的应变能计算公式进一步表示为：

其中，

以及

依次为结构单元、形式A铰接单元以及形式B铰接单元的单元刚度矩阵，E_e、E_i和E_j分别依次为结构单元，形式A铰接单元和形式B铰接单元的杨氏模量；u_e为单元位移向量，u_i为形式A铰接单元位移向量，u_j为形式B单元位移向量；N₀为结构单元总数，N₁为形式A铰接单元总数，N₂为形式B铰接单元总数；K为预设材料个数；

分别依次为结构单元、形式A铰接单元以及形式B铰接单元的材料比重分数；

分别依次为结构单元密度、形式A铰接单元密度和形式B铰接单元密度；p_m为单元密度的惩罚系数。

3.如权利要求2所述的基于多材料结构的拓扑优化方法，其特征在于，还包括：

结构-材料两相材料插值模型为：

式中：ρ_i为第i个结构单元的单元密度，

代表第k种材料在结构单元i中所占的比重，p_ρ为单元密度ρ_i的惩罚系数，数值取大于等于3；K为预设材料个数，E^(k)为第k种材料的杨氏模量。

4.如权利要求3所述的基于多材料结构的拓扑优化方法，其特征在于，对待优化构件进行离散，离散后的铰接部分分为形式A铰接单元和形式B铰接单元。

5.如权利要求4所述的基于多材料结构的拓扑优化方法，其特征在于，

形式A铰接单元，其杨氏模量计算表达式为：

式中：ρ₁是结构单元1的单元密度；o₁是结构单元1的材料比重分数；ρ₂是结构单元2的单元密度；o₂是结构单元2的材料比重分数；H为多组件铰接单元杨氏模量矩阵。

6.如权利要求4所述的基于多材料结构的拓扑优化方法，其特征在于，对于形式B铰接单元，其杨氏模量计算表达式为：

其中，1、2、3、4代表相邻的四个结构单元的编号；E₁₃和E₂₄分别为以面对角线上的结构单元1、3和结构单元2、4相邻为假设计算所得的虚拟形式A铰接单元弹性模量数值。

Images