CN111859838B - 分析含半导体微波电路电热特性的高效时域方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种分析含半导体微波电路电热特性的高效时域方法。该方法首先利用共形时域有限差分法求解线性电磁场结构，通过计算线性场‑路耦合矩阵方程，在电磁场结构中的场‑路连接位置处加载边界条件，通过计算线性场‑路耦合矩阵方程，提取线性的电磁结构的时域冲击响应信号；将提取的时域冲击响应信号与非线性半导体器件耦合计算得到该非线性场‑路耦合系统端口位置处的时域信息；接下来通过时域谱元法对基于物理模型的半导体微波电路进行电热耦合效应分析，将漂移扩散方程组和热传导方程进行耦合求解。使用本发明的方法能够处理更为复杂的微波电路，提高了非线性微波电路的计算效率。

Description

分析含半导体微波电路电热特性的高效时域方法
技术领域
本发明涉及半导体物理模型的微波电路技术领域，具体是一种分析含半导体微波电路电热特性的高效时域方法。
背景技术
现如今，电磁仿真技术在电子设备的性能的评估以及设计中至关重要。电磁仿真技术的核心主要是对经典的麦克斯韦方程组进行数值求解，麦克斯韦方程组描述了电场和磁场之间的耦合规律。大部分的电磁仿真技术的研究都侧重于不同的电磁场数值计算方法在计算的精度以及效率上进行的改进和提高。随着计算机技术的迅速进步，各种电磁场的数值计算方法在分析实际问题的能力方面也得到了快速的发展。
时域有限差分方法是将时间和空间上微分形式的麦克斯韦方程组直接转化成差分形式的求解方程，可以直接采用蛙跳迭代格式进行迭代求解，无需填充关于未知量电场和磁场的矩阵信息，大大的节省了计算的内存以及时间。CFDTD可以对一些网格进行共形处理，可以处理任意几何形状的介质目标。但时域有限差分法方法求解过程中存在色散误差以及对于曲面电磁结构需要阶梯近似，导致其精度严重下降，限制它对复杂几何结构分析的能力。
时域谱元方法使用一种高阶正交基函数，由于基函数的正交性，得到的矩阵方程中的质量矩阵是块对角特性。因此很容易进行LU分解或者直接求逆的操作，导致计算过程效率的提高。同时时域谱元法具有高阶的谱精度，数值计算结果精准。
发明内容
本发明的目的在于提供一种分析含半导体微波电路电热特性的高效时域方法。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种分析含半导体微波电路电热特性的高效时域方法，步骤如下：
第一步，利用共形时域有限差分法CFDTD对含半导体微波电路中的线性电磁场结构建立求解模型，采用四面体对模型进行剖分，得到模型的结构信息，包括四面体的单元信息及节点信息；建立非线性电路部分的求解模型，并采用曲六面体对模型进行剖分，得到模型的结构信息，包括六面体的单元信息及节点信息；
第二步，从麦克斯韦方程方程组出发，利用共形时域有限差分的原理，分析吸收边界条件和稳定性条件，通过时域分割法对微波电路中线性电磁结构进行全波分析，将多端口电路分割为若干独立的部分，在各端口添加时域冲击响应，进而求解得每个端口的时域信息；
第三步，利用得到的时域冲击响应信号，将每个端口连接的电路结构耦合起来，得到耦合的电压和电流的信息，再联立含非线性半导体部分的电路，得到非线性的系统矩阵方程；非线性半导体部分利用时域谱元法求解载流子浓度以及电势，将所要求解的载流子浓度以及电势在各节点上展开，采用伽辽金法测试将漂移扩散方程组和热传导方程进行耦合求解，求解牛顿迭代的初值和半导体边界处的边界条件，得到半导体内部的载流子和电势的分布，最终得到微波半导体电路结构中的瞬态电流分布，完成仿真过程。
本发明与现有技术相比，其显著优点：(1)通过时域分割法的思想结合共形时域有限差分法和时域谱元法可以处理更为复杂的微波电路。(2)微波半导体电路的物理特性方程是从半导体漂移-扩散方程组出发，将所要求解的载流子浓度以及电势在各节点上展开，对方程采用伽辽金法测试，利用牛顿迭代法求解得到各节点的载流子以及电势分布，相比于等效电路模型更能准确的分析PIN管的物理过程，同时可以进一步进行微波电路的电热一体化分析。(3)将线性电磁结构和半导体部分分开计算可以节省内存，降低牛顿迭代过程的计算复杂度，大大节省计算时间，提高了基于半导体物理模型的微波电路计算效率。.
附图说明
图1是本发明算例电路模型图。
图2是本发明算例双PIN管限幅器端口的时域波形。
图3是本发明算例半导体内部的最大温度随时间变化。
具体实施方式
下面结合说明书附图对本发明作进一步说明。
一、CFDTD的基本原理
共形差分时域有限差分法(CFDTD)已被用于求解任意形状的理想导电物体，该算法具有精度高、稳定性好、节省时间等优点。对于位于非导电区域，则采用通常的FDTD方法，而对于金属区域中的单元，则采用需要特殊处理。
方程(1.1)是麦克斯韦积分方程：
Figure BDA0002013981710000031
在方程(1.2)中给出了方程(1.1)的离散形式，它是更新磁场的一种传统离散形式。
Figure BDA0002013981710000032
lx，ly分别是沿x轴和y轴的非导区域长度，S(i,j)指非导电区域面积。电场的更新迭代只需要根据普通的FDTD计算就可以了。
引入线比和面积比的概念后
Figure BDA0002013981710000033
其中
Figure BDA0002013981710000034
为网格中非金属区域的占比，
Figure BDA0002013981710000035
为棱线非金属部分的占比，且令
Figure BDA0002013981710000036
代入(2.4.2)可以得到下式：
Figure BDA0002013981710000037
这样处理后发现和普通FDTD的磁场迭代公式非常相似，利于编程。而电场的迭代公式保持不变，为了和磁场统一起来，电场的迭代公式可以写为：
Figure BDA0002013981710000038
其中
Figure BDA0002013981710000039
上式是对于无耗的情形，其余方向的电场磁场做类似处理。金属共形会存在稳定性的问题，将等效的
Figure BDA00020139817100000310
与
Figure BDA00020139817100000311
代入Courant稳定条件可得到：
Figure BDA00020139817100000312
其中
Figure BDA0002013981710000041
为共形网格所要满足的稳定条件，而ΔtCFL为普通FDTD迭代满足的稳定条件的上限。
二、半导体的物理模型求解
针对PIN管物理模型而言，求解的漂移扩散方程的未知量是电子、空穴和电势的物理量信息。首先考虑电子电流连续性方程的求解，对于时间的求导，使用后向欧拉公式得到无条件稳定的差分格式，如下式所示：
Figure BDA0002013981710000042
这里，
Figure BDA0002013981710000043
nm表示在时间刻mΔt时的电子载流子的密度，方程(4.2.1)可写成下式：
Figure BDA0002013981710000044
将方程(2.2)通过泰勒级数展开后，只保留一阶项之后，即可得到牛顿迭代的公式：
Figure BDA0002013981710000045
这里的
Figure BDA0002013981710000046
表示第l次牛顿迭代的结果。通过使用伽辽金测试对方程(2.3)，可以得到：
Figure BDA0002013981710000047
再使用GLL基函数进行展开求解的未知量信息：
Figure BDA0002013981710000048
注意，
Figure BDA00020139817100000513
表示基函数的总个数。把方程(2.5)带入到方程(2.4)中，简化矩阵方程的形式可以得到方程：
Figure BDA0002013981710000051
针对其他的物理方程重复上述的过程，最终可以得到下式的矩阵方程的形式：
Figure BDA0002013981710000052
Figure BDA0002013981710000053
Figure BDA0002013981710000054
Figure BDA0002013981710000055
Figure BDA0002013981710000056
Figure BDA0002013981710000057
Figure BDA0002013981710000058
Figure BDA0002013981710000059
Figure BDA00020139817100000510
Figure BDA00020139817100000511
[PN]ij＝∫Ni·NjdV (2.17)
[PP]ij＝∫Ni·NjdV (2.18)
Figure BDA00020139817100000512
Figure BDA0002013981710000061
方程(2.7)中的xm,l+1和xm,l是在时间刻mΔt下第l和l+1牛顿迭代步的未知量的信息。矩阵
Figure BDA0002013981710000062
是雅克比矩阵以及向量f(xm,l)是残差向量。
由于提出的时域冲击响应技术结合场-路耦合求解方案可以将电磁场结构的计算和半导体结构分隔开计算，所以可以方便进一步分析半导体内部的电热耦合效应。基于物理模型的半导体微波电路进行电热耦合效应分析是将漂移扩散方程组和热传导方程进行耦合求解，热传导方程的一般形式如下：
Figure BDA0002013981710000063
其中，ρm是物体的密度，cm是比热容，T是温度，Kt是导热系数，Vs是冷却流的热流容积，Ta是冷却流的温度，Pd是热源的功率密度。一般求解的时候，可忽略上式中冷却流的作用，此时，热传导方程可以简化为如下形式：
Figure BDA0002013981710000064
其中
Figure BDA0002013981710000065
Dt是热扩散功率，它表征了物体内部热量传播的速度。
半导体内部的热量传输原理通过方程(2.22)进行描述，为了求得方程(2.22)的唯一解，还需要确定求解过程中采用的初值以及边界条件。下面分别介绍在半导体器件温度求解过程中使用的初始条件和边界条件。
初始条件是半导体器件内部的初始时刻的温度分布，表示为：
T|t＝0＝T0 (2.24)
其中，T0(K)为常数，表示半导体器件初始时刻温度分布。本文温度的单位为K(0K≈-273℃)。一般情况下，半导体器件的初始温度设为室温，即300K。
对于PIN二极管结构而言，PIN管两端的金属极一般设置为第一类边界条件，即该边界处温度为已知，即：
T|Γ＝Tw (2.25)
其中，Γ表示适用于该条件的边界，Tw为该边界处的的温度。
PIN二极管其余边界处的边界条件由第二类边界条件与第三类边界条件同时确定。第二类边界条件指的是该边界处的热流密度为已知，即：
Figure BDA0002013981710000071
其中，q0(W/m2)为已知热流密度，在计算过程中令q0＝0，代表将该边界设为绝热边界条件，由于仅靠绝热边界条件不能确定温度场，所以还需引入第三类边界条件。
第三类边界条件也可以称为傅里叶条件，表明了该边界处物体与环境温度间的传热规律，用公式表示为：
Figure BDA0002013981710000072
其中。Tair表示环境温度(一般设为300K)，h为对流换热系数，一般可以设置为常数，在PIN二极管温度计算中，令对流换热系数h＝10W(m2·K)。
接下来利用时域谱元法(SETD)对热传导方程进行求解。利用变分原理和伽辽金测试，热传导方程可以转化为残量形式：
Ri＝∫ΩNirdΩ＝0 (2.28)
其中Ni为测试基函数，残量r为
Figure BDA0002013981710000073
在每个单元中任意一点的温度可用测试基函数Nj表示为：
Figure BDA0002013981710000074
上式中，n为单元内节点的个数，Tj为该节点的温度。将式(2.29)和式(2.30)代入式(2.28)，并利用矢量恒等式
Figure BDA0002013981710000075
及
Figure BDA0002013981710000076
后得到：
Figure BDA0002013981710000077
在半导体器件与外部空气的交界面上，利用第三类边界条件：
Figure BDA0002013981710000078
n为边界面的单位法向矢量，T为半导体器件的表面温度。将式(2.32)代入式(2.31)可以得到：
Figure BDA0002013981710000081
将式(2.33)写成紧凑格式为：
Figure BDA0002013981710000082
对式(61)中的时间偏导项采用CN格式进行差分，得到：
Figure BDA0002013981710000083
经过推导，可以得到：
Figure BDA0002013981710000084
式(2.36)中，Tt为当前时刻所求温度，Tt-1为上一个时刻已求得的温度。
半导体器件产热的热源主要是电子和空穴产生的焦耳热，热源可以表示为：
Pd＝J·E (2.37)
在求得载流子浓度n、p以及电势
Figure BDA00020139817100000817
分布之后，通过计算电流密度方程以及电势
Figure BDA00020139817100000818
的梯度，可以得到PIN管内部电流密度J和电场E，从而计算出功率密度Pd，代入热传导方程即可以求得温度分布。然后将和温度相关的电参数(迁移率以及碰撞电离项)进行更新。紧接着进入下一个时刻漂移扩散方程的求解，这便是微米级半导体器件电热耦合分析的过程。
三、时域冲击响应提取
将Diakoptics思想运用于微波电路的全波分析，通过将电路分割为若干独立的部分，根据每部分的具体结构采用不同的网格，独立地对各个部分进行全波时域分析，算例模型如图1所示。
1端口：
Figure BDA0002013981710000085
为入射电压，
Figure BDA0002013981710000086
为反射电压，
Figure BDA0002013981710000087
为总电压；
Figure BDA0002013981710000088
为入射电流，
Figure BDA0002013981710000089
为反射电流，
Figure BDA00020139817100000810
为总电流；
2端口：
Figure BDA00020139817100000811
为入射电压，
Figure BDA00020139817100000812
为反射电压，
Figure BDA00020139817100000813
为总电压；
Figure BDA00020139817100000814
为入射电流，
Figure BDA00020139817100000815
为反射电流，
Figure BDA00020139817100000816
为总电流；
对于端口的总电压是入射电压与反射电压的叠加，因此，对于1端口总电压表示为入射电压和反射电压之和。由传输线任意位置的总电压电流通解可知：(端口位置)
Figure BDA0002013981710000091
Figure BDA0002013981710000092
这里Z01为特性阻抗。
由(3.2)式可知：
Figure BDA0002013981710000093
由(3.3)式可知：
Figure BDA0002013981710000094
将(3.4)代入(3.1)式可知：
Figure BDA0002013981710000095
考虑将(3.5)式中1端口的反射电压未知，所以利用冲击响应函数来表达端口反射电压。
二端口网路的入射与反射电压的时域冲击响应分别为：
Figure BDA0002013981710000096
这里电压信号是实际电路的总的入射和多次反射信号。
将(3.6)代入(3.5)得：
Figure BDA0002013981710000097
同时由(3.1)(3.2)可得：
Figure BDA0002013981710000098
(3.8)式可以得到关于
Figure BDA0002013981710000099
的表达式
Figure BDA0002013981710000101
Figure BDA0002013981710000102
(3.9)、(3.10)代入(3.7)式可得：
Figure BDA0002013981710000103
至此，得到1端口电压的表达式。
对于2端口总电压也同样表示为入射电压和反射电压之和。由传输线任意位置的总电压电流通解可知：(端口位置)
Figure BDA0002013981710000104
Figure BDA0002013981710000105
由(13)可知：
Figure BDA0002013981710000106
将(14)代入(12)
Figure BDA0002013981710000107
考虑将(15)式中2端口的反射电压未知，所以利用冲击响应函数来表达端口反射电压。
二端口网路的入射与反射电压的时域冲击响应分别为：
Figure BDA0002013981710000108
将(16)代入(15)得：
Figure BDA0002013981710000109
由(9)、(10)可得：
Figure BDA0002013981710000111
至此，得到2端口总电压的表达式。
由两端口总电压和总电流与S参数的关系式(方程(3.11)和(3.18))结合非线性电路的方程重新构成求解系统。
其中非线性电路1和非线性电路2的抽象函数分别为：
Figure BDA0002013981710000112
Figure BDA0002013981710000113
非线性电路的方程组：
Figure BDA0002013981710000114
写成矩阵形式：(插值)
Figure BDA0002013981710000115
本发明通过共形时域有限差分法和时域谱元法，特别是利用线性响应提取技术将两种方法结合在一起，提高了非线性微波电路的计算效率。如图2、图3所示，仿真结果与商用软件comsol进行对比，结果吻合的很好，验证了本发明分析含半导体的微波电路的电热特性的高效时域方法的准确性。

Claims (3)

1.一种分析含半导体微波电路电热特性的高效时域方法，其特征在于，步骤如下：
第一步，利用共形时域有限差分法CFDTD对含半导体微波电路中的线性电磁场结构建立求解模型，采用四面体对模型进行剖分，得到模型的结构信息，包括四面体的单元信息及节点信息；建立非线性电路部分的求解模型，并采用曲六面体对模型进行剖分，得到模型的结构信息，包括六面体的单元信息及节点信息；
第二步，从麦克斯韦方程方程组出发，利用共形时域有限差分的原理，在电磁场结构中的场-路连接位置处加载边界条件，并分析稳定性条件，求解线性电磁场结构得到线性场-路耦合矩阵方程；通过时域分割法对微波电路中线性电磁结构进行全波分析，将多端口电路分割为若干独立的部分，在各端口添加时域冲击响应，进而求解得每个端口的时域信息；线性场-路耦合矩阵方程的计算次数等于线性的电磁结构中的端口数；
第三步，利用得到的时域冲击响应信号，将每个端口连接的电路结构耦合起来，得到耦合的电压和电流的信息，再联立含非线性半导体部分的电路，得到非线性的系统矩阵方程；非线性半导体部分利用时域谱元法求解载流子浓度以及电势，将所要求解的载流子浓度以及电势在各节点上展开，采用伽辽金法测试将漂移扩散方程组和热传导方程进行耦合求解，求解牛顿迭代的初值和半导体边界处的边界条件，得到半导体内部的载流子和电势的分布，最终得到微波半导体电路结构中的瞬态电流分布，完成仿真过程。
2.根据权利要求1所述的分析含半导体微波电路电热特性的高效时域方法，其特征在于：所述第二步中，通过在线性的电磁结构部分每个端口加载时域冲击信号，得到每个端口加载时域冲击信号情况下，在每个端口的时域冲击响应信号；针对多端口的电路网络，采用时域冲击响应函数描述整个系统每个端口之间的关系，公式如下：
Figure FDA0002013981700000011
Vsm(t)＝Vm(t)+RmIm(t),m＝1,…,n (2)
Vm(t)和Im(t)分别表示每个时间在每个端口m位置的总的电压和电流，Vsm(t)是时域冲击信号源的信息，Rm是每个端口m位置处连接的电阻，gmn(t)是总的时域冲击响应信息，它表示在端口n位置处加载时域冲击信号源Vsn(t)时，每个端口m位置处的时域响应信号。
3.根据权利要求1所述的分析含半导体微波电路电热特性的高效时域方法，其特征在于：所述第三步中，含半导体微波电路中线性电磁场结构和非线性电路部分采用不同的时域分析方法，将冲击响应关系耦合基于物理模型的非线性半导体方程，得到非线性的系统矩阵方程。
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