CN117556769B - 一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法 - Google Patents

一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法 Download PDF

Info

Publication number
CN117556769B
CN117556769B CN202410021707.4A CN202410021707A CN117556769B CN 117556769 B CN117556769 B CN 117556769B CN 202410021707 A CN202410021707 A CN 202410021707A CN 117556769 B CN117556769 B CN 117556769B
Authority
CN
China
Prior art keywords
electron
term
hole
diffusion
equation set
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Active
Application number
CN202410021707.4A
Other languages
English (en)
Other versions
CN117556769A (zh
Inventor
庄池杰
曾嵘
石清元
彭晞雨
任李鑫
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Tsinghua University
Original Assignee
Tsinghua University
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Tsinghua University filed Critical Tsinghua University
Priority to CN202410021707.4A priority Critical patent/CN117556769B/zh
Publication of CN117556769A publication Critical patent/CN117556769A/zh
Application granted granted Critical
Publication of CN117556769B publication Critical patent/CN117556769B/zh
Active legal-status Critical Current
Anticipated expiration legal-status Critical

Links

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/30—Circuit design
    • G06F30/36—Circuit design at the analogue level
    • G06F30/367—Design verification, e.g. using simulation, simulation program with integrated circuit emphasis [SPICE], direct methods or relaxation methods
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/30—Circuit design
    • G06F30/39—Circuit design at the physical level
    • G06F30/398—Design verification or optimisation, e.g. using design rule check [DRC], layout versus schematics [LVS] or finite element methods [FEM]
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F2111/00—Details relating to CAD techniques
    • G06F2111/10—Numerical modelling

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Computer Hardware Design (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Evolutionary Computation (AREA)
  • Geometry (AREA)
  • General Engineering & Computer Science (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Microelectronics & Electronic Packaging (AREA)
  • Testing Or Measuring Of Semiconductors Or The Like (AREA)

Abstract

本发明提供了一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法，所述方法包括，确立描述半导体器件稳态下的基本控制方程组；确定电子、空穴漂移‑扩散方程满足的边界条件；引入矢量性质的辅助未知量，将基本控制方程组内的方程降阶为仅有一阶微分算子的形式；进行网格划分和控制方程组的空间离散化，由仅有一阶微分算子的控制方程组得到弱形式；将公式中的HDG弱形式中的对流项和扩散项的数值积分通过调和平均技术处理；使用牛顿法求解全部待求未知量。本发明提出了一种通过调和平均技术对高精度有限元格式的弱形式进行变换的方法，可以使得调整后的有限元格式在保持高精度的同时不再出现数值震荡。

Description

一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法
技术领域
本发明属于半导体器件与集成电路领域，尤其涉及一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法。
背景技术
使用数值方法进行半导体方程的求解对于分析半导体器件的工作状态至关重要。在不考虑量子效应的经典半导体物理模型下，半导体器件内部的物理过程由泊松方程和电子、空穴的对流扩散方程共三个方程描述。但由于半导体材料的性质，特别是半导体器件中常见的PN结结构存在，半导体控制方程组不易被数值求解，使用常规的数值离散方法极易引起震荡。
因此，对于半导体方程的数值求解，现在主要有两条路线：
采用基于Scharfetter-Gummel格式（SG格式）的有限体积法对半导体方程组进行离散，由于SG格式保证了矩阵具有M矩阵的性质，所以不会出现数值震荡，但此方法精度较低，在电场强度较高的区域仅有一阶精度，需要使用较密的网格和较多的未知量才能获得准确的计算结果。
采用以局部间断伽辽金（Local Discontinuous Galerkin，LDG）和混合间断伽辽金（Hybridizable Discontinuous Galerkin，HDG）方法为代表的高精度有限元方法对半导体方程组进行离散。此类有限元方法可以通过高阶基函数得到高精度的结果，但在离散半导体的对流扩散方程时会有严重的数值震荡，甚至无法收敛。
发明内容
为解决上述问题，本发明提出了一种通过调和平均技术对高精度有限元格式的弱形式进行变换的方法，可以使得调整后的有限元格式在保持高精度的同时不再出现数值震荡。将此方法应用在HDG有限元格式中，最终可以实现半导体方程的稳定、精确求解。
本发明通过如下技术方案实现：
一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法，所述方法包括，
确立描述半导体器件稳态下的基本控制方程组；
确定电子、空穴漂移-扩散方程满足的边界条件；
引入矢量性质的辅助未知量，将基本控制方程组内的方程降阶为仅有一阶微分算子的形式；
进行网格划分和控制方程组的空间离散化，由仅有一阶微分算子的控制方程组得到弱形式；
将公式中的HDG弱形式中的对流项和扩散项的数值积分通过调和平均变量混合；
使用牛顿法求解全部待求未知量。
进一步地，
半导体器件稳态下的基本控制方程组为
，
其中，为电离施主浓度，/>为电离受主浓度，/>为电子生成率，/>为电子复合率，/>为空穴生成率，/>为空穴复合率，ε为介电常数，/>为单位电荷；电子连续性方程和空穴连续性方程中，电子电流密度/>和空穴电流密度/>为如下的对流项+扩散项的形式
，
其中，单位电荷、电子迁移率空穴/>、空穴迁移率/>、电子扩散系数/>、空穴扩散系数/>均为常数。
进一步地，
所述边界条件包括：
和电极欧姆接触的Dirichlet边界满足的方程
，
其中为半导体电极外加的电压，/>为半导体中的热电压，/>为本征载流子浓度；
和绝缘介质接触的Neumann边界满足的方程为零边界通量
。
进一步地，
将基本控制方程组无量纲化，并引入电场强度电子电流密度/>、空穴电流密度/>三个矢量性质的辅助未知量，将方程降阶为仅有一阶微分算子的形式
，
其中，为电场强度基本未知量，/>为电子数基本未知量，/>为空穴数基本未知量。
进一步地，
记全部网格单元的集合为，记函数的内积为/>，记网格的集合为，记网格分界面的集合为/>，
分别对其中的6个未知量使用测试函数/>进行积分，并且通过分部积分引入分界面未知量/>，最终得到弱形式为
，
其中，在网格单元边界上的矢量通量/>的定义为
，
其中，为电子稳定系数，实际计算时根据方程中对流项和扩散项的大小指定。
进一步地，
电子连续性方程中，将分界面未知量在网格单元边界上的积分重新通过分部积分，得到对网格单元内的“对流项+扩散项”的体积分的形式
，
首先将网格单元内的“对流项和扩散项”合为一个未知量进行积分
，
然后将该HDG弱形式的积分项，完整展开为i点的测试函数的形函数和j点的试探函数的形函数/>的乘积的积分，并将积分中的/>使用i,j两点的/>的调和平均变量/>替代，并且将其从积分中移出，得到
，
对其中的积分进行等价转换，将其改写为
，
再将调和平均变量展开，得到
，
其中，为伯努利函数；/>为全部待求未知量。
与现有技术相比，本发明具有如下优点：
将本发明提出的调和平均技巧应用于HDG等高精度有限元格式中，可以在保证较高空间离散精度的同时，也消除数值震荡和不收敛的现象，最终实现半导体方程的稳定、精确数值求解。
本发明的其它特征和优点将在随后的说明书中阐述，并且，部分地从说明书中变得显而易见，或者通过实施本发明而了解。本发明的目的和其他优点可通过在说明书、权利要求书以及附图中所指出的结构来实现和获得。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1示出了本发明的仿真方法的流程图；
图2示出了某实施例中使用本发明的仿真方法获得的半导体器件内的电势分布图；
图3示出了某实施例中使用本发明的仿真方法获得的半导体器件内的电子浓度分布图。
具体实施方式
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地说明，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明的一种采用调和平均变量的半导体器件运行状态仿真方法，包含在以下描述中。
对半导体器件工作状态的仿真模拟，首先需要确立描述半导体器件稳态下的基本控制方程组。
考虑求解半导体器件的稳态，忽略时间项，需要求解的未知量为电势和电子浓度/>、空穴浓度/>，分别建立关于电势的泊松方程、关于电子浓度的电子连续性方程、关于空穴浓度的空穴连续性方程，因此，描述半导体器件稳态下的工作状态的偏微分方程组为
（1），
其中，为电离施主浓度，/>为电离受主浓度，/>为电子生成率，/>为电子复合率，/>为空穴生成率，/>为空穴复合率，ε为介电常数，/>为单位电荷；电子连续性方程和空穴连续性方程中，电子电流密度/>和空穴电流密度/>为如下的对流项+扩散项的形式
（2），
为简化考虑，上述方程组（1）和（2）中的单位电荷、电子迁移率空穴/>、空穴迁移率/>、电子扩散系数/>、空穴扩散系数/>均考虑为常数。
半导体器件结构中电子、空穴漂移-扩散方程组满足特定的边界条件，通常考虑电极欧姆接触和绝缘介质接触两种边界条件，分别对应Dirichlet边界和Neumann边界。其中和电极欧姆接触的Dirichlet边界满足的方程为
（3），
其中为半导体电极外加的电压。/>为半导体中的热电压，/>为本征载流子浓度。
而和绝缘介质接触的Neumann边界满足的方程为零边界通量
（4），
最终，使用控制方程组（1）描述的偏微分方程系统和方程组（3）描述的边界条件可以求解得到稳态下半导体器件内部的三个基本物理量的分布，进一步可以计算得到半导体器件的端电流、半导体器件内电场分布等其他物理量，从而完成半导体器件运行状态的模拟计算。
对控制方程组（1）的求解，首先将基本控制方程组无量纲化，并引入三个矢量性质的辅助未知量，将方程降阶为仅有一阶微分算子的形式
（5）。
而后进行网格划分和控制方程组的空间离散化，求解基本未知量和辅助未知量/>，以及网格单元之间的分界面上的分界面未知量/>。
其中
（6），
记全部网格单元的集合为，记函数的内积为/>，记网格的集合为，记网格分界面的集合为/>，
分别对方程（5）中的6个未知量使用测试函数/>进行积分，并且通过分部积分引入分界面未知量/>，最终得到弱形式为
（7），
其中，在网格单元边界上的矢量通量/>的定义为
（8），
其中，为电子稳定系数，实际计算时根据方程中对流项和扩散项的大小指定。
上述公式定义了在网格单元内的方程，HDG格式还需要满足网格单元之间的连续性条件
（9），
其中为单元分界面上未知量/>所对应的有限元测试函数。
为了避免PN结等位置处的未知量的大梯度分布导致离散后的矩阵性质恶化，需要更换上面方程组(7)中弱形式的数值积分的处理方式。
重新回到方程组(7)，以电子连续性方程为例，将分界面未知量在网格单元边界上的积分重新通过分部积分，得到对网格单元内的“对流项+扩散项”的体积分的形式
（10），
首先将网格单元内的“对流项和扩散项”合为一个未知量进行积分
（11），
然后将该HDG弱形式的积分项，完整展开为i点的测试函数的形函数和j点的试探函数的形函数/>的乘积的积分，并将积分中的/>使用i,j两点的/>的调和平均变量/>替代，并且将其从积分中移出，得到
（12），
由于有限元形函数具有性质，所以可以对公式(12)中的积分进行等价转换/>，将其改写为
（13），
再将调和平均变量展开，得到
（14），
其中表示伯努利函数。
通过上述步骤，我们将公式中的HDG弱形式中的对流项和扩散项的直接数值积分通过调和平均变量混合在了一起，这样可以保证得到的系数矩阵是M矩阵，从而得到稳定、收敛的结果。
将调和平均技巧(14)引入HDG格式的方程组(7)中，得到半导体方程离散后的非线性的代数方程组，其中/>为全部待求未知量/>。对方程中的非线性项求导得到雅可比矩阵，使用牛顿法求解，最终得到该非线性方程组的解。
实施例
考虑一个均匀掺杂的一维突变PN结器件，器件长度为，P型掺杂区域和N型掺杂区域等长，掺杂浓度均为/>，两侧分别为阴极和阳极电极接触。
给阳极施加0.8V的电压偏置，使该二极管正向导通，使用本文提出的带有调和平均技巧的HDG方法进行求解，得到器件内的电势的分布和电子浓度/>的分布如图2、图3所示。
尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

Claims (6)

1.一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法，其特征在于，所述方法包括，
确立描述半导体器件稳态下的基本控制方程组；
确定电子、空穴漂移-扩散方程满足的边界条件；
引入矢量性质的辅助未知量，将基本控制方程组内的方程降阶为仅有一阶微分算子的形式；
进行网格划分和基本控制方程组的空间离散化，由仅有一阶微分算子的控制方程组得到弱形式；
将弱形式中的对流项和扩散项的数值积分通过调和平均变量混合；
使用牛顿法求解全部待求未知量。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，
半导体器件稳态下的基本控制方程组为
，
其中，为电离施主浓度，/>为电离受主浓度，/>为电子生成率，/>为电子复合率，为空穴生成率，/>为空穴复合率，ε为介电常数，/>为单位电荷；
电子连续性方程和空穴连续性方程中，电子电流密度和空穴电流密度/>为如下的对流项+扩散项的形式
，
其中，单位电荷、电子迁移率空穴/>、空穴迁移率/>、电子扩散系数/>、空穴扩散系数均为常数。
3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，
所述边界条件包括：
和电极欧姆接触的Dirichlet边界满足的方程
，
其中为半导体电极外加的电压，/>为半导体中的热电压，/>为本征载流子浓度；
和绝缘介质接触的Neumann边界满足的方程为零边界通量
。
4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，
将基本控制方程组无量纲化，并引入电场强度电子电流密度/>、空穴电流密度/>三个矢量性质的辅助未知量，将基本控制方程组内的方程降阶为仅有一阶微分算子的形式
，
其中，为电场强度基本未知量，/>为电子数基本未知量，/>为空穴数基本未知量。
5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，
记全部网格单元的集合为，记函数的内积为/>，记网格的集合为/>，记网格分界面的集合为/>，
分别对6个未知量使用测试函数/>进行积分，并且通过分部积分引入分界面未知量/>，最终得到HDG弱形式为
，
其中，在网格单元边界上的矢量通量/>的定义为
，
其中，为电子稳定系数，实际计算时根据方程中对流项和扩散项的大小指定。
6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，
电子连续性方程中，将分界面未知量在网格单元边界上的积分重新通过分部积分，得到对网格单元内的“对流项+扩散项”的体积分的形式
；
首先将网格单元内的“对流项和扩散项”合为一个未知量进行积分
，
然后将该HDG弱形式的积分项，完整展开为i点的测试函数的形函数和j点的试探函数的形函数/>的乘积的积分，并将积分中的/>使用i,j两点的/>的调和平均变量替代，并且将其从积分中移出，得到
，
对其中的积分进行等价转换，将其改写为
，
再将调和平均变量展开，得到
，
其中，表示伯努利函数；/>为待求未知量/>。
CN202410021707.4A 2024-01-05 2024-01-05 一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法 Active CN117556769B (zh)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN202410021707.4A CN117556769B (zh) 2024-01-05 2024-01-05 一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN202410021707.4A CN117556769B (zh) 2024-01-05 2024-01-05 一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法

Publications (2)

Publication Number Publication Date
CN117556769A CN117556769A (zh) 2024-02-13
CN117556769B true CN117556769B (zh) 2024-04-30

Family

ID=89818782

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
CN202410021707.4A Active CN117556769B (zh) 2024-01-05 2024-01-05 一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法

Country Status (1)

Country Link
CN (1) CN117556769B (zh)

Citations (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN111859838A (zh) * 2019-04-01 2020-10-30 南京理工大学 分析含半导体微波电路电热特性的高效时域方法
CN114510892A (zh) * 2022-01-25 2022-05-17 浙江大学 一种模拟mosfet器件总剂量效应的高性能仿真方法
CN115859843A (zh) * 2022-01-30 2023-03-28 西安交通大学 基于全电流定律的绝缘介质放电脉冲仿真方法

Family Cites Families (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN115879385A (zh) * 2022-01-30 2023-03-31 西安交通大学 考虑偏移与分叉的绝缘介质放电流注仿真方法

Patent Citations (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN111859838A (zh) * 2019-04-01 2020-10-30 南京理工大学 分析含半导体微波电路电热特性的高效时域方法
CN114510892A (zh) * 2022-01-25 2022-05-17 浙江大学 一种模拟mosfet器件总剂量效应的高性能仿真方法
CN115859843A (zh) * 2022-01-30 2023-03-28 西安交通大学 基于全电流定律的绝缘介质放电脉冲仿真方法

Non-Patent Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
三维半导体器件漂移扩散模型的并行有限元方法研究;王芹;马召灿;白石阳;张林波;卢本卓;李鸿亮;;数值计算与计算机应用;20200614(02);正文第2节 *
基于有限元方法的半导体器件电-热分析;任振;;计算机仿真;20091015(10);全文 *

Also Published As

Publication number Publication date
CN117556769A (zh) 2024-02-13

Similar Documents

Publication Publication Date Title
Onno et al. Passivation, conductivity, and selectivity in solar cell contacts: Concepts and simulations based on a unified partial-resistances framework
Lun et al. An explicit approximate I–V characteristic model of a solar cell based on padé approximants
CN107622172B (zh) 芯片-器件层级联合的压接式igbt温度场有限元建模方法
Brendel Modeling solar cells with the dopant‐diffused layers treated as conductive boundaries
Froitzheim et al. AFORS-HET: a computer-program for the simulation of heterojunction solar cells to be distributed for public use
Wong Griddler: Intelligent computer aided design of complex solar cell metallization patterns
Segev et al. Equivalent circuit models for triple-junction concentrator solar cells
Yuan et al. A transfer function type of simplified electrochemical model with modified boundary conditions and Padé approximation for Li-ion battery: Part 1. lithium concentration estimation
Fong et al. Accurate series resistance measurement of solar cells
Farivar et al. A new approach for solar module temperature estimation using the simple diode model
Steiner et al. Validated front contact grid simulation for GaAs solar cells under concentrated sunlight
Park et al. Systematic analytical solutions for minority-carrier transport in semiconductors with position-dependent composition, with application to heavily doped silicon
Munson et al. Model of Ni-63 battery with realistic PIN structure
Cuevas Physical model of back line-contact front-junction solar cells
CN116738736A (zh) 一种涉及热边界条件的微器件电热耦合建模分析方法
CN115017757A (zh) 一种基于可杂化间断有限元的半导体多物理效应仿真方法
Gaury et al. Sesame: a 2-dimensional solar cell modeling tool
Lu et al. Influence of environmental temperature and device temperature difference on output parameters of c-Si solar cells
Hara et al. Theory of open-circuit voltage and the driving force of charge separation in pn-junction solar cells
Liu et al. An improved algorithm for solving equations for intra-band tunneling current in heterojunction solar cells
Fell et al. Detailed 3D full-cell modeling in Quokka3: Quantifying edge and solder-pad losses in an industrial PERC cell
CN117556769B (zh) 一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法
Yadir et al. A new technique for extracting physical parameters of a solar cell model from the double exponential model (DECM)
Daliento et al. 3D Analysis of the performances degradation caused by series resistance in concentrator solar cells
Edmonds Extension of the ADC charge-collection model to include multiple junctions

Legal Events

Date Code Title Description
PB01 Publication
PB01 Publication
SE01 Entry into force of request for substantive examination
SE01 Entry into force of request for substantive examination
GR01 Patent grant
GR01 Patent grant