CN114510892A - 一种模拟mosfet器件总剂量效应的高性能仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种模拟MOSFET器件总剂量效应的高性能仿真方法，并给出了总剂量效应作用下MOSFET器件内部和外部的电信息。该方法首先通过自由六面体网格对MOSFET器件的几何模型进行剖分；然后，采用控制体积有限元法(CVFEM)离散漂移‑扩散方程组，其中漂移‑扩散方程组的通量项通过六面体矢量基函数、有限差分法以及Scharfetter‑Gummel(SG)方法进行插值计算；最后，采用牛顿迭代法求解离散后的漂移‑扩散方程组，得到MOSFET器件内部的电势和载流子浓度场信息，后处理得到MOSFET器件的电流‑电压曲线。本发明的仿真方法具有高置信度、高数值精度、高数值稳定性和可扩展性等优点。可用于高效、高精度数值模拟MOSFET器件的总剂量等多物理效应，进而提高集成电路的性能、稳健性和可靠性。

Description

一种模拟MOSFET器件总剂量效应的高性能仿真方法

技术领域

本发明涉及芯片领域中一种模拟半导体器件总剂量效应的高性能仿真方法，特别是针对MOSFET器件设计的集成电路数值模拟方法。

背景技术

数值模拟是当今一种实用的计算机辅助设计工具，其可用于半导体器件中的载流子漂移-扩散输运过程求解，解决很多计算量巨大、结构复杂、且解析方法难以获得精确结果的问题。现有技术，中国发明专利《高功率电磁脉冲作用下PIN限幅器电热一体化分析方法》(公开号：CN105718618A)公开了一种高功率电磁脉冲作用下PIN限幅器数值仿真方法，该方法采用时域谱元法计算了半导体漂移-扩散方程组，接着获取了半导体内部电场和电流密度，用于求解热传导方程，进而获得了温度分布。但是，由于半导体器件在空间环境的特殊应用需求，对其提出了模拟总剂量效应的仿真要求，但现有技术尚不能满足高精度和高效率要求。

半导体器件的数值仿真需要高质量网格，在三维结构模拟中，四面体网格得到了广泛的应用(J.Xu,Z.Ma,H.Li,Y.Song,L.Zhang and B.Lu,“A Multi-Time-Step FiniteElement Algorithm for 3-D Simulation of Coupled Drift-Diffusion ReactionProcess in Total Ionizing Dose Effect,”in IEEE Transactions on SemiconductorManufacturing,vol.31,no.1,pp.183-189,Feb.2018,doi:10.1109/TSM.2017.2779058.)，但是四面体网格下网格边与电流密度方向不匹配引起的分裂误差较大，且四面体网格复杂度高。相比于四面体网格，六面体网格具有较高的数值精度，较低的网格复杂度等优点。

针对半导体器件中的载流子漂移-扩散方程具备混合(椭圆/抛物/双曲)性质和扩散-对流特征，出现了Scharfetter-Gummel(SG)、Finite Box Integration SG method(FBSG)、quasi-fermi FEM和streamline upwinding Petrov Galerkin method(SUPG)等多种离散化方案。然而，Quasi-Fermi FEM在一些情况下不满足物理条件，其它方法局限于采用高质量网格，因为应用低质量网格易在求解中造成非物理振荡。而采用SG和CVFEM方法离散漂移-扩散方程能解决该局限性。

针对半导体器件的漂移扩散方程组还具备非线性和强耦合特征，通常采用解耦Gummel迭代方法(Mauri,A.and Bortolossi,A.and Novielli,G.and Sacco,R,“3D FiniteElement Modeling and Simulation of Industrial Semiconductor Devices IncludingImpact Ionization,”in Journal of Mathematics in Industry,vol.5,2015,doi:10.1186/s13362-015-0015-z.)来获取数值解。然而，它的收敛速度呈线性特征，它通常用于模拟低掺杂半导体器件，它在高注入和雪崩场景下可能不收敛，其迭代次数随外加电压的增加而增加。而全耦合牛顿迭代方法在求解该非线性强耦合系统时具有较好的收敛性，其迭代数对施加的电压不敏感，它可用于模拟高掺杂半导体器件。

发明内容

针对现有技术中的缺陷，本发明的目的是提供一种模拟MOSFET器件总剂量效应的高性能仿真方法，包括如下步骤：

第一步：构建MOSFET器件的几何模型，进行六面体网格剖分；

第二步：对剖分后的几何模型确定描述半导体电势、电子浓度和空穴浓度场信息的漂移-扩散方程组的数学形式，所述漂移-扩散方程组包括泊松方程、电流连续性方程和载流子漂移-扩散方程；

第三步：确定所述载流子漂移-扩散方程组的简化栅极边界条件和欧姆接触边界条件；

第四步：通过CVFEM方法对漂移-扩散方程组进行离散，离散过程中关于电势和电流密度的通量项采用六面体矢量基函数、有限差分方法和SG方法进行插值计算；

第五步：采用全耦合牛顿迭代法求解离散以后的漂移-扩散方程组；

第六步：对步骤五进行不断迭代求解，直到求解得到的漂移-扩散方程组的解达到收敛条件，获得半导体器件中电势、电子浓度和空穴浓度场分布。

具体地，步骤二中，所述的泊松方程为：

所述的电流连续性方程为：

所述的载流子漂移扩散方程为：

式中，ε为硅的介电常数，φ为电势，q为单位电荷电量，n和p分别为电子浓度和空穴浓度，

和

分别为电离受主浓度和电离施主浓度；J_n和J_p分别为电子电流密度和空穴电流密度，t为时间，R_n和R_p分别为电子产生复合率和空穴产生复合率；E为电场，μ_n和μ_p分别为电子迁移率和空穴迁移率，D_n和D_p分别为电子扩散系数和空穴扩散系数。

具体地，步骤三中，所述的简化栅极边界条件为：

所述的欧姆接触边界条件为：

φ＝V_app+φ_eq

其中，

为六面体的外法向量，ε_ins为栅极氧化物的介电常数，d_ins为栅极氧化物的厚度，V_metal为金属功函数，V_app为施加的栅极电压，Q_t为界面电荷，φ_eq为内建电势，n_i为本征载流子浓度。

具体地，步骤四为：

将漂移-扩散方程组记作：

其中a,b,u,和h是3×1向量，G是3×3矩阵：

简化栅极边界条件和欧姆接触边界条件分别简化为如下形式：

其中，u_D为欧姆接触边界条件等式右侧三个变量所构成的3×1向量，β和γ是简化栅极边界条件等式右侧三个式子所构成的3×1向量，Γ_D为狄利克雷边界，Γ_M为混合边界；

步骤四中，在六面体的控制体上进行如下积分：

其中，C_i表示步骤一剖分得到的任意六面体Ω_k的顶点i所对应的控制体，所述控制体由顶点i周围所有六面体的重心、顶点i所在面的面心、以顶点i为端点的边的中点所围成的区域组成；dV表示体积分，dS表示面积分；

表示控制体C_i的第k个表面，e_j∈Edge(Ω_k)表示对六面体Ω_k的所有边进行遍历，W^j表示六面体Ω_k第j条边的权重值，⁽⁰⁾g^j、⁽¹⁾g^j、⁽²⁾g^j为六面体Ω_k第j条边的通量项，分别与电场、电子电流密度和空穴电流密度相关，由下式得到：

式中，

分别为六面体Ω_k第j条边两个端点j₁和j₂的电势值，

表示第j条边的长度，

分别为端点j₁和j₂的电子浓度，

分别为端点j₁和j₂的空穴浓度，B₁、B₂以及V_T由下式定义：

式中，k_b为玻尔兹曼常数，T为温度。

具体地，步骤五为：

构建如下系统方程：

式中，N为剖分网格中顶点总数，F_i(u_i)和u_i是3×1向量，F(U)和U是3N×1向量，其中i＝0,1,2,......,N-1；

U的初始值U⁰中的元素

均设置为

其中，

和

分别是电子和空穴的quasi-Fermi能量，E_c和E_v分别为导带底能量和价带顶能量；

在初始值的基础上，对U进行迭代，通过第K步的解U^K计算第K+1步的解U^K+1，如下：

U^K+1＝U^K+rΔU^K

其中r为阻尼因子，取1或0，ΔU^K通过如下方程求解：

JΔU^k＝-F(U^k)

这里J是3N×3N雅可比矩阵，

式中，括号中的0表示相应向量的第1行，1和2分别表示第2、3行，u_j表示与顶点i相关联的顶点j的u矩阵。

具体地，步骤六中，所述的收敛条件为：上一迭代步的解与当前迭代步的解之间，电势绝对误差小于10^-10V，电子和空穴浓度的绝对误差均小于10^-5m^-3。

本发明与现有技术相比，其显著优点：(1)MOSFET和多指MOSFET采用物理模型求解，可以获得总剂量效应作用下器件内部的电特性分布。(2)采用自由六面体网格进行离散，具有较高的数值精度，较低的网格复杂度等优点。(3)采用CVFEM法离散漂移-扩散方程组，通过六面体矢量基函数、有限差分法和Scharfetter-Gummel方法插值计算漂移-扩散方程组的通量项，在低网格质量情况下能保持很好的稳定性。(4)采用牛顿迭代法求解离散后的漂移-扩散方程组，提高了收敛速度，在强电场、高掺杂情况下能保持很好的稳定性。(5)本发明已测试能至少求解2000万的自由度的问题规模。

附图说明

图1是顶点V_i的六面体控制体C_i。

图2是顶点V_i的四边形控制体C_i。

图3是边界

和它对应的区域Ω_izmn，其中一阶矢量基函数W^j用红色箭头标注。

图4是MOSFET几何模型。

图5是MOSFET器件的电子浓度分布。

图6是MOSFET器件的栅极电压-漏极电流曲线。

图7是多指MOSFET的模型配置，其中图7(a)是多指MOSFET的几何尺寸特征，图7(b)是多指MOSFET的物理模型，图(c)是用于计算的六面体网格。

图8是多指MOSFET的三维场分布，其中图8(a)是电势分布，图(b)是电子浓度n分布，图(c)是空穴浓度h分布。

图9是沿着图8中线AB的一维场分布，其中图9(a)是电势分布，图9(b)是电子浓度n分布，图9(c)是空穴浓度h分布。

图10是本发明方法的一种具体流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。以下实例将有助于本领域的技术人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变化和改进。这些都属于本发明的保护范围。

1、半导体器件中载流子漂移-扩散模型可以通过泊松方程，载流子电流连续性方程和载流子的漂移-扩散方程这些偏微分方程来描述。

泊松方程可以表示为：

电流连续性方程可以表示为：

漂移扩散方程可以表示为：

其中ε为硅的介电常数，φ为电势，E为电场，n和p为电子浓度和空穴浓度，

和

为电离受主浓度和电离施主浓度，J_n和J_p为电子电流密度和空穴电流密度。

(1)、(2)和(3)方程包含了半导体器件中电势、电子浓度和空穴浓度场分布规律，我们可以将(1)、(2)和(3)方程描述为统一形式：

这里a,b,u,和h(u)是3×1向量，G(u)是3×3矩阵

2、半导体器件中载流子漂移-扩散模型满足特定的边界条件，栅极氧化物和半导体之间的界面边界条件可以通过简化栅极边界条件描述：

为了描述栅氧层受到的总剂量辐射效应损伤，通常采用等效界面电荷Q_t施加到栅极氧化物和半导体界面做为边界条件。

欧姆接触到边界条件可以写作：

φ＝V_app+φ_eq (7a)

其中

为外法向量，ε_ins为栅极氧化物的介电常数，d_ins为栅极氧化物的厚度，V_metal为金属功函数，V_app为施加的栅极电压，Q_t为界面电荷，

简化栅极边界条件(6)和欧姆接触边界条件(7)分别属于混合边界条件和狄利克雷边界条件，因此可简化为如下形式：

其中，u_D为(7)式右侧三个变量所构成的3×1向量，β和γ是(6)式右侧三个式子所构成的3×1向量，Γ_D为狄利克雷边界，Γ_M为混合边界。

3、在进行多指MOSFET数值求解过程中，需要对(4)进行离散，离散采用CVFEM方法。六面体的控制体C_i如图1所示。这里我们用一个二维例子来更好地描述离散过程，三维情况和二维一样，但是运用三维积分计算。二维四边形控制体C_i(相对应的节点V_i)如图2所示，它由五个四边形组成。

在控制体积有限元算法中，节点V_i的控制体C_i如图2所示，在该控制体上我们进行积分，然后运用散度定理，可以得到

不失一般性，我们以图3为例子，边界

可以拆分成10个边界

因此，(10)的第二项可以离散为：

图中通量项G可以通过矢量基函数而不是标量基函数来获取，因为矢量基函数在强漂移情况下描述电流密度通量项比标量基函数更精确。我们定义G的第d行为^(d)g^T(d＝0,1,2)，在

中间的^(d)g可以通过在它对应的单元进行矢量基函数插值获得。如图7所示，在

中间的^(d)g可以表示为：

^(d)g^j是在第j条边的通量值(j＝0,1,2,3)，它依赖于u，但是W^j是随空间变化的，如图7所示。另e_j1j2代表从节点V_j1到V_j2的第j条边，根据有限差分法和SG方法可以得到：

这里

以及

为伯努利函数。

C_i的积分可以写作：

使用无条件稳定的后向差分，(16)可以转化成求解如下方程：

F_i(u^t+Δt)＝0 (17)

(17)的稳态方程可以简化为：

F_i(u)＝0 (18)

这里的⁽¹⁾g^j和⁽²⁾g^j是关于电势φ的非线性函数，使得(17)或(18)变成了非线性系统，因为无法获得电势、电子浓度和空穴浓度的解析解，这里我们采用全耦合牛顿迭代法进行获取其数值解。

4、在上述组装每个顶点对应的控制体方程(17)或(18)以后，可以获得如下系统方程：

这里F_i和u_i是3×1向量(i＝0,1,2,......,N-1)，F(U)和U是3N×1向量。

为了保证迭代过程的收敛性，全耦合牛顿迭代法的初始值可以设置为：

这里

和

是quasi-Fermi能量。

在第k步，全耦合方法求解如下关联方程：

JΔU^k＝-F(U^k) (22)

这里J是3N×3N雅可比矩阵,其中的导数项通过自动微分获得，

U^k+1可以通过该方程获得

U^k+1＝U^k+rΔU^k (24)

5、通过具体实施方式3中的六面体CVFEM方法和具体实施方式4中的牛顿迭代法，可求解半导体器件中载流子的漂移-扩散方程组，进而获得半导体器件中的电势、电子浓度和空穴浓度场分布，并且通过后处理，获取半导体器件的电流-电压曲线。

6、建立需要求解的MOSFET器件的几何模型，如图4所示，并采用自由六面体网格对该几何模型进行剖分。设置MOSFET器件的掺杂模型，受主浓度N_a设置为10¹⁷cm^-3，施主浓度N_b设置为10²⁰cm^-3，掺杂采用高斯分布，在X和方向结深为0.2um，Y方向的结深为0.1um，在Z方向的结深为0.25um。设置源极(Source)、漏极(Drain)、衬底(Bulk)为欧姆接触边界条件，栅极(Gate)为简化栅极边界条件。在漏极施加10mV的电压，源极和衬底施加0V的电压，对栅极进行0到2V的电压扫描，设置辐射界面电荷Q_t为0，5×10¹¹cm^-3，和1×10¹²cm^-3。计算过程中获取的MOSFET器件的电子浓度分布如图5所示，由计算结果可以看出，由于辐射界面电荷引起的总剂量效应影响，出现了导电沟道。获取了MOSFET器件的栅极电压-漏极电流曲线如图6所示，由计算结果可以看出，由于辐射界面电荷引起的总剂量效应影响，出现了阈值电压漂移和泄漏电流增加的现象。

根据如图7(a)所示的几何特征，建立需要求解的多指MOSFET器件的几何模型，如图所示7(b)所示。采用自由六面体网格对该几何模型进行剖分，如图7(c)所示，用于计算的六面体网格包含1234180网格点以及1168464网格单元，因此，在牛顿迭代计算时需要求解3702540的自由度。设置多指MOSFET器件的掺杂模型，受主浓度N_a设置为10¹⁵cm^-3，施主浓度N_b设置为5×10²⁰cm^-3，掺杂采用高斯分布，在X和Y方向的结深为0.04um，在Z方向的结深为0.015um。设置源极(Source)、漏极(Drain)、衬底(Bulk)为欧姆接触边界条件，栅极(Gate)为简化栅极边界条件。在漏极施加10mV的电压，源极和衬底施加0V的电压，栅极施加0.5V的电压，设置辐射界面电荷Q_t为0和1×10¹²cm^-3。图8是电势、电子浓度和空穴浓度的三维分布。图9是电势、电子浓度和空穴浓度沿着线AB的一维分布，可以观察到由于总剂量效应的影响沟道引起的电势、电子浓度和空穴浓度发生改变。

以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出各种变化或修改，这并不影响本发明的实质内容。

Claims (6)

1.一种模拟MOSFET器件总剂量效应的高性能仿真方法，其特征在于，包括如下步骤：

第一步：构建MOSFET器件的几何模型，进行六面体网格剖分；

第二步：对剖分后的几何模型确定描述半导体电势、电子浓度和空穴浓度场信息的漂移-扩散方程组的数学形式，所述漂移-扩散方程组包括泊松方程、电流连续性方程和载流子漂移-扩散方程；

第三步：确定所述载流子漂移-扩散方程组的简化栅极边界条件和欧姆接触边界条件；

第四步：通过CVFEM方法对漂移-扩散方程组进行离散，离散过程中关于电势和电流密度的通量项采用六面体矢量基函数、有限差分方法和SG方法进行插值计算；

第五步：采用全耦合牛顿迭代法求解离散以后的漂移-扩散方程组；

第六步：对步骤五进行不断迭代求解，直到求解得到的漂移-扩散方程组的解达到收敛条件，获得半导体器件中电势、电子浓度和空穴浓度场分布。

2.如权利要求1所述的模拟MOSFET器件总剂量效应的高性能仿真方法，其特征在于，步骤二中，所述的泊松方程为：

所述的电流连续性方程为：

所述的载流子漂移扩散方程为：

式中，ε为硅的介电常数，φ为电势，q为单位电荷电量，n和p分别为电子浓度和空穴浓度，

和

分别为电离受主浓度和电离施主浓度；_n和J_p分别为电子电流密度和空穴电流密度，t为时间，R_n和R_p分别为电子产生复合率和空穴产生复合率；E为电场，μ_n和μ_p分别为电子迁移率和空穴迁移率，D_n和D_p分别为电子扩散系数和空穴扩散系数。

3.如权利要求2所述的模拟MOSFET器件总剂量效应的高性能仿真方法，其特征在于，步骤三中，所述的简化栅极边界条件为：

所述的欧姆接触边界条件为：

φ＝V_app+φ_eq

其中，

为六面体的外法向量，ε_ins为栅极氧化物的介电常数，d_ins为栅极氧化物的厚度，V_metal为金属功函数，V_app为施加的栅极电压，Q_t为界面电荷，φ_eq为内建电势，n_i为本征载流子浓度。

4.如权利要求3所述的模拟MOSFET器件总剂量效应的高性能仿真方法，其特征在于，步骤四具体为：

将漂移-扩散方程组记作：

其中a,b,u,和h是3×1向量，G是3×3矩阵：

简化栅极边界条件和欧姆接触边界条件分别简化为如下形式：

其中，u_D为欧姆接触边界条件等式右侧三个变量所构成的3×1向量，β和γ是简化栅极边界条件等式右侧三个式子所构成的3×1向量，Γ_D为狄利克雷边界，Γ_M为混合边界；

步骤四中，在六面体的控制体上进行如下积分：

其中，C_i表示步骤一剖分得到的任意六面体Ω_k的顶点i所对应的控制体，所述控制体由顶点i周围所有六面体的重心、顶点i所在面的面心、以顶点i为端点的边的中点所围成的区域组成；dV表示体积分，dS表示面积分；

表示控制体C_i的第k个表面，e_j∈Edge(Ω_k)表示对六面体Ω_k的所有边进行遍历，W^j表示六面体Ω_k第j条边的权重值，⁽⁰⁾g^j、⁽¹⁾g^j、⁽²⁾g^j为六面体Ω_k第j条边的通量项，分别与电场、电子电流密度和空穴电流密度相关，由下式得到：

式中，

分别为六面体Ω_k第j条边两个端点j₁和j₂的电势值，

表示第j条边的长度，

分别为端点j₁和j₂的电子浓度，

分别为端点j₁和j₂的空穴浓度，B₁、B₂以及V_T由下式定义：

式中，k_b为玻尔兹曼常数，T为温度。

5.如权利要求4所述的模拟MOSFET器件总剂量效应的高性能仿真方法，其特征在于，步骤五具体为：

构建如下系统方程：

式中，N为剖分网格中顶点总数，F_i(u_i)和u_i是3×1向量，F(U)和U是3N×1向量，其中i＝0,1,2,......,N-1；

U的初始值U⁰中的元素

均设置为

其中，

和

分别是电子和空穴的quasi-Fermi能量，E_c和E_v分别为导带底能量和价带顶能量；

在初始值的基础上，对U进行迭代，通过第K步的解U^K计算第K+1步的解U^K+1，如下：

U^K+1＝U^K+rΔU^K

其中r为阻尼因子，取1或0，ΔU^K通过如下方程求解：

JΔU^k＝-F(U^k)

这里J是3N×3N雅可比矩阵，

式中，括号中的0表示相应向量的第1行，1和2分别表示第2、3行，u_j表示与顶点i相关联的顶点j的u矩阵。

6.如权利要求5所述的模拟MOSFET器件总剂量效应的高性能仿真方法，其特征在于，步骤六中，所述的收敛条件为：上一迭代步的解与当前迭代步的解之间，电势绝对误差小于10^-10V，电子和空穴浓度的绝对误差均小于10^-5m^-3。

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