CN111695200B - 分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的新型移动单元方法，建立考虑离散的轨道垫块的三层Timoshenko梁振动方程，通过引入随车辆运动的移动坐标，对控制方程进行变换，并采用Galerkin方法建立轨道的质量、刚度和阻尼矩阵；采用非线性Hertz模型将轨道MEM单元和10自由度车辆多体动力学模型进行耦合，最后采用Newton‑Raphson迭代方法和Newmark积分方法进行求解。通过计算移动荷载下轨道动力响应，得到不同使用环境下的轨道实际使用情况或受损状况，并进行相对性设计或整修，增加使用寿命，提高运行安全性，减少使用成本。相比于其它分析方法，可大幅地提高计算效率，更加符合现实，准确有效。

Description

分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法
技术领域
本发明属于无砟轨道技术领域，具体涉及一种分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法。
背景技术
无砟轨道，是以混凝土、沥青砂浆替代离散颗粒道碴道床而组成的轨道结构型式，参照图 1，包括自上至下依次设置的轨道1、轨道垫块2、钢筋混凝土轨道板3、水泥沥青砂浆层4、混凝土基础5以及路基6。无砟轨道具有轨道稳定性高，刚度均匀性好，结构耐久性强和维修工作量少等特点，相较于传统的有砟轨道具有更好的适应性，现已成为我国主流的高速列车轨道结构形式。随着列车运行速度的不断提高，为了不断提升列车运行的安全性和舒适性、并延长轨道使用寿命，关于无砟轨道车轨系统计算模型和仿真技术的研究和开发一直是国内外研究的热点问题之一。
目前，最常用的求解列车轨道问题及研究轨道动态特性的方法是各种解析方法(如：拉普拉斯变换、傅立叶变换、快速傅立叶变换、模态叠加等)和有限元方法(FiniteElement Method，简称FEM)等。其中，解析法仅适合于弹性地基上的无限梁等简单问题的求解。
采用有限元方法进行动力分析时，需要建立多层梁、梁-板或梁-实体单元等一定长度的轨道模型。由于有限元法中采用固定的全局坐标系来建立结构单元矩阵，当车辆移动时，必须同时更新荷载以跟踪车轮的移动。为了得到准确的分析结果，需要较小的计算时间步长和单元网格划分。另外，轨道的计算模型长度也必须足够长，以消除两端的边界效应和避免车辆驶出边界。随着列车运行速度的大幅提升，上述问题将更加突出，从而导致有限元法的计算模型大，计算量大，效率低下。
移动单元法(Moving Element Method，简称MEM)通过将截取的轨道模型离散成与移动车辆一起“流动”的单元，使车辆始终处于模型中心的“静止”状态。该方法不仅消除了跟踪车轮位置(加载点)的必要，而且消除了车辆驶出边界的可能性，因此，可大幅度减小轨道计算模型的规模。鉴于MEM的突出优点，已有研究人员将MEM应用于连续梁上移动荷载和列车轨道问题。例如，华东交通大学雷晓燕教授等将轨道简化为由连续的支撑的三层Euler-Bernoulli 梁(欧拉-伯努利梁)等模型。但据文献资料看，研究人员在应用MEM模拟车轨系统振动时，有以下三个方面不足：(1)轨道多采用Euler-Bernoulli梁模型，计算理论不足；(2)忽略轨道离散支撑的影响，计算模型不足；(3)多是采用密贴模型或线性接触模型处理轮轨耦合问题。
综上所述，为了不断提高列车运行的安全性和平稳性，对于已有研究车辆和轨道动力特性的方法，还有需要进行不断改进。
发明内容
本发明提供了一种分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法，通过计算移动荷载下轨道动力响应，得到不同使用环境下的轨道实际使用情况或受损状况，并进行相对性设计或整修，增加使用寿命，提高运行安全性，减少使用成本。
为达到上述目的，本发明所述一种分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法，
所述技术方案主要包括以下步骤：
S1：将列车-轨道系统分为两部分：第一部分为车辆子系统，第二部分为无砟轨道。车辆子系统采用多体动力学模型建立；无砟轨道将钢轨、轨道板和混凝土基础按三层Timoshenko 梁建立，钢轨与轨道板之间由离散的粘弹性轨道垫块连接，轨道板与混凝土基础之间的CA砂浆层、以及混凝土基础下的路基分别以粘弹性支撑考虑。
采用Timoshenko梁理论，基于d'Alembert's原理分别建立三层梁的动力学方程即无砟轨道的离散化动力学方程；建立车辆动力学方程；建立采用Hertz非线性接触模型的轮轨接触力方程。
S2：定义移动坐标系r，应用链式求导法则，用移动坐标r代替固定坐标x，改写步骤S1 得到的无砟轨道的离散化动力学方程，得到移动坐标下的三层Timoshenko梁模型动力学方程。建立由三层梁单元组成的6节点、12自由度的无砟轨道移动单元，并定义移动坐标系下的单元插值函数。采用Galerkin方法，分别对三层梁模型动力学方程乘以加权函数W，然后按单元长度l进行积分，整理分别得到移动单元各层梁的单元质量矩阵、单元阻尼矩阵和单元刚度矩阵,组装后得到无砟轨道移动单元的质量矩阵Me、阻尼矩阵Ce和刚度矩阵Ke。最后，通过“对号入座”的方式，叠加得到截取计算无砟轨道的总质量矩阵ML，阻尼矩阵CL和刚度矩阵KL。
轨道移动单元模型中，轨道垫块被视为离散的粘弹性支承。考虑离散轨道垫块的影响后，钢轨的支撑位置总是随时间变化，由此引起移动单元刚度、阻尼的变化。鉴于离散轨道垫块的均匀布置，列车移动按一定速度行驶时，移动单元刚度、阻尼的变化也呈现周期性。本发明通过跟踪一定车速下的钢轨支撑位置，计算并存储一个典型周期内，离散轨道垫块不同位置下的移动单元刚度矩阵和阻尼矩阵，组装后得到整个截取轨道的周期变化的总体刚度、阻尼矩阵, 以备后续计算中直接调用。
S3：基于步骤S2中所得改写后的无砟轨道的离散化动力学方程与车辆的动力学方程，引入轮轨接触力方程，得到车轨非线性耦合系统方程。计算中，在每一个时间步内，采用Newton-Raphson(牛顿-拉夫逊)迭代方法进行线性化，并采用Newmark(纽马克法)积分法求解车轨非线性耦合系统方程，达到收敛容差后，再进入下一个时间步求解。如此，完成整个分析过程，可以得到铁轨竖向位移的表达式和接触力的表达式。
S4：基于S1-S3步骤，对从建立无砟轨道移动单元开始至解析车轨非线性耦合系统方程结束的步骤，采用Matlab编程计算程序，输入相应的列车及轨道参数得到动力分析结果，绘图并进行分析。
进一步的，步骤S1中，建立无砟轨道的三层梁模型动力学方程的过程为：
1)取钢轨微段为隔离体，采用d'Alembert's原理，建立钢轨微段的竖向力动力学平衡微分方程如公式(1)所示，建立钢轨微段的力矩动力学平衡微分方程如公式(2)所示：
Figure GDA0003553550010000041
Figure GDA0003553550010000042
其中，ρa表示钢轨密度，Aa表示钢轨截面面积，x表示水平坐标，t表示时间，ka表示钢轨Timoshenko系数，Ga表示钢轨剪切模量，
Figure GDA0003553550010000045
表示轨道的弯曲转角，c1表示支撑钢轨的等距离散垫块的阻尼系数；Ls表示沿轨道相邻的两个垫块之间的间距，n表示所取钢轨微端中离散垫块总数，k1表示支撑钢轨的等距离散垫块的刚度系数；ya表示钢轨梁的垂直位移，m表示所取钢轨微端中轮对总数；Fj表示第j对轮对中的车轮与轨道之间的接触力，Xj表示x轴上第j对轮对的行进距离，δ(·)表示狄拉克函数，Ia表示钢轨面积惯性矩，Ea表示钢轨弹性模量，i表示第i个离散垫块；j表示第j对轮对；
2)取轨道板为隔离体，建立轨道板微段的竖向力动力学平衡微分方程如公式(3)所示，建立轨道板微段的力矩动力学平衡微分方程如公式(4)所示:
Figure GDA0003553550010000043
Figure GDA0003553550010000044
其中，ρb表示轨道板密度，Ab表示轨道板截面面积，Ib表示轨道板面积惯性矩，Eb表示轨道板弹性模量，Gb表示轨道板剪切模量，kb表示轨道板Timoshenko系数，yb表示轨道板的垂直位移，c2表示支撑轨道板的CA砂浆的阻尼系数；k2表示支撑轨道板的CA砂浆的阻尼系数；
3)取混凝土基础为隔离体，建立混凝土基础微段的竖向力动力学平衡微分方程如公式(5) 所示，混凝土基础微段的力矩动力学平衡微分方程如公式(6)所示:
Figure GDA0003553550010000051
Figure GDA0003553550010000052
其中，ρc表示混凝土基础密度，Ac表示混凝土基础截面面积，Ic表示混凝土基础面积惯性矩，Ec表示混凝土基础轨道弹性模量，Gc表示混凝土基础剪切模量，kc表示混凝土基础 Timoshenko系数，yc表示混凝土基础的垂直位移，c3表示支撑混凝土基础的路基的阻尼系数； k3表示支撑混凝土基础的路基的刚度系数；
公式(1)-(6)即为无砟轨道的离散化动力学方程。
进一步的，步骤S2中，改写步骤S1得到的三层梁模型动力学方程的过程如下：
定义移动坐标r：r＝x-Vt (19)
其中，x轴为固定坐标，r轴为随车辆的移动坐标，V为车辆速度，对公式(19)应用链式法则，用移动坐标r代替固定坐标x，带入S1步骤中的式(1)～(6)，将原方程改写为式(20)～式(25)：
Figure GDA0003553550010000053
Figure GDA0003553550010000054
Figure GDA0003553550010000061
Figure GDA0003553550010000062
Figure GDA0003553550010000063
Figure GDA0003553550010000064
其中，Rj表示r轴上第j对轮对的行进距离；
式(20)～(25)为改写后的三层梁模型动力学方程。
进一步的，步骤S1中，建立车辆动力学方程的过程为：
车辆模型具有两个转向架和四个轮对；
建立车辆主体的力的动力学平衡方程如公式(7)所示，车辆主体的力矩的动力学平衡方程如公式(8)所示:
Figure GDA0003553550010000065
Figure GDA0003553550010000066
建立车辆第一个转向架的力的动力学平衡方程如公式(9)所示，车辆第一个转向架的力矩的动力学平衡方程如公式(10)所示，车辆第二个转向架的力的动力学平衡方程如公式(11) 所示，车辆第二个转向架的力矩的动力学平衡方程如公式(12)所示，
Figure GDA0003553550010000067
Figure GDA0003553550010000068
Figure GDA0003553550010000069
Figure GDA0003553550010000071
建立四组轮对的力的动力学平衡方程如公式(13)至公式(16)所示:
Figure GDA0003553550010000072
Figure GDA0003553550010000073
Figure GDA0003553550010000074
Figure GDA0003553550010000075
其中，车辆的集中质量为mv，车辆的惯性矩为Jv；车辆的两个转向架具有相同的集中质量 mbg和惯性矩Jb；yv表示车辆质心的垂直位移；ybr表示后转向架的垂直位移；ybf表示前转向架的垂直位移；ywj表示第j对轮对的垂直位移；θv表示车辆质心的俯仰转角；θbr表示后转向架的俯仰转角；θbf表示前转向架质心处的俯仰转角；kp,cp分别表示一次悬架系统的刚度系数和阻尼系数；ks,cs分别表示二次悬架系统的刚度系数和阻尼系数；2l1表示两个转向架中心之间的距离；2l2表示两个轮对中心之间的距离；g为重力加速度；mw1为第1对轮对的集中质量；mw2为第2对轮对的集中质量；mw3为第3对轮对的集中质量；mw4为第4对轮对的集中质量；F1为第1对轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力；F2为第2对轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力；F3为第3对轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力；F4为第4 对轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力；
由式(7)-(16)，将车辆的集中质量mv、转向架的集中质量mbg、轮对的集中质量mw组合得到车辆的总质量矩阵MU，将一次悬架系统的阻尼系数cp、二次悬架系统的阻尼系数cs组合得到车辆的总阻尼矩阵CU，将一次悬架系统的刚度系数kp、二次悬架系统的刚度系数ks组合得到车辆的总刚度矩阵KU，进而得到车辆的动力学方程如公式(17)所示：
Figure GDA0003553550010000076
其中，ZU表示车辆的位移矢量，FU表示车辆的力矢量。
进一步的，步骤S1中，建立轮轨接触力方程的过程如下：
采用Hertz非线性接触模型，计算轮轨之间的法向接触力，轮轨接触力方程如下：
Figure GDA0003553550010000081
式中，Fj表示在第j轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力，G表示轮轨接触系数，yaj表示轨道在接触点处的位移，yt表示轨道表面不平顺程度，ywj表示在第j轮对与轨道接触时车轮的位移。
进一步的，步骤S2中，得到的无砟轨道动力学方程为：
Figure GDA0003553550010000082
ZL表示轨道的位移矢量；FL表示轨道的力矢量。
进一步的，步骤S3中，得到车轨非线性耦合系统方程的过程如下：
1)首先将步骤S1得到的车辆动力学方程与步骤S2改写后的得到的无砟轨道动力学方程组装，得到公式(50):
Figure GDA0003553550010000083
式中，MU表示车辆的总质量矩阵，ML表示截取无砟轨道计算段的总质量矩阵，ZU表示车辆位移的矢量，ZL表示轨道位移的矢量，CU表示车辆的总阻尼矩阵，CL表示轨道的总阻尼矩阵；KU表示车辆的总刚度矩阵，KL表示截取无砟轨道计算段的总刚度矩阵，FU表示车辆的力的矢量，FL表示轨道的力的矢量；
求解公式(50)得到一个不显含Fj的非线性方程组，即车轨非线性耦合系统方程，如公式 (51)所示：
Figure GDA0003553550010000084
式中，f1～fn表示式(51)中的各个方程，c1～cn表示常数项。
进一步的，步骤S3中，利用Matlab使用Newton-Raphson迭代方法和Newmark积分法来对车轨非线性耦合系统方程进行解析推导，在每一个时间步内，采用Newton-Raphson迭代方法进行线性化，并采用Newmark积分法求解车轨非线性耦合系统方程，达到收敛容差后，再进入下一个时间步求解；完成解析推导后，得到铁轨竖向位移的表达式和接触力的表达式。
与现有技术相比，本发明至少具有以下有益的技术效果：
本发明提出一种新的无砟轨道MEM分析方法来进行列车和轨道的耦合动力计算并可应用于实际轨道生产，建立考虑离散的轨道垫块的三层Timoshenko梁振动方程，通过引入随车辆运动的移动坐标，对控制方程进行变换，并采用Galerkin方法(伽辽金方法)建立轨道的质量、刚度和阻尼矩阵；采用非线性Hertz模型(赫兹模型)将轨道MEM单元和10自由度车辆多体动力学模型进行耦合，最后采用Newton-Raphson迭代方法和Newmark积分方法进行求解。通过计算移动荷载下轨道动力响应，得到不同使用环境下的轨道实际使用情况或受损状况，并进行相对性设计或整修，增加使用寿命，提高运行安全性，减少使用成本。相比于其它分析方法，可大幅地提高计算效率，更加符合现实，准确有效。
本发明所提出的移动单元分析方法，引入随车辆运动的移动坐标，消除了传统有限元方法使用固定坐标、考虑边界条件等一系列弊端，相比传统有限元方法需要建立庞大的计算模型和花费大量的计算时间，本发明减小了计算模型的规模和计算时间，极大地提高了计算效率。
本发明在MEM中采用了三层Timoshenko梁理论，相比使用Euler-Bernoulli梁理论的 MEM，本发明考虑了剪切变形的影响，理论上更加准确。
本发明在MEM中考虑了离散轨道垫块(点支撑)带来的影响，所建立的考虑了离散轨道垫块支撑的三层Timoshenko梁模型更加接近实际。
附图说明
图1是我国CRTSII无砟轨道剖面图；
图2是本发明建立的列车-轨道系统示意图；
图3是本发明建立的移动单元模型图；
图4是本发明建立的典型周期T内离散支撑(轨道垫块)相对于荷载位置图；
图5是本发明数值模拟与雷晓燕等人模拟的轨道竖向位移对比图；
图6是本发明数值模拟与雷晓燕等人模拟的轮轨接触力对比图；
图7是本发明数值模拟与Aggestam等人模拟的轨道静刚度对比图；
图8是本发明数值模拟与Aggestam等人模拟的轮轨接触力对比图；
图9是本发明数值模拟中车轮接触点处轨道竖向位移图(速度72km/h，波长0.5m，振幅 0、0.1、0.3、0.5mm)；
图10是本发明数值模拟中车轮接触点处轮轨接触力图(速度72km/h，波长0.5m，振幅0、 0.1、0.3、0.5mm)。
具体实施方式
为了使本发明的目的和技术方案更加清晰和便于理解。以下结合附图和实施例，对本发明进行进一步的详细说明，此处所描述的具体实施例仅用于解释本发明，并非用于限定本发明。
在本发明的描述中，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括一个或者更多个该特征。在本发明的描述中，除非另有说明，“多个”的含义是两个或两个以上。在本发明的描述中，需要说明的是，除非另有明确的规定和限定。
本发明中模型的建立基于以下假定：(1)只考虑车轨系统的竖向轨道振动，不考虑横向轨道振动，对本发明没有影响；(2)由于车辆及轨道沿轨道中心线对称，只建立1/2的车辆和轨道系统，简化计算；(3)将轨道视为由粘弹性特性的离散垫块支撑的弹性梁，便于计算；(4)将轨道板和混凝土基础分别简化为由连续的CA砂浆层和路基支撑的弹性梁，仅考虑CA砂浆层和路基的粘弹性特性，便于计算。
一种分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法，包括以下步骤：
S1：列车-轨道系统模型如图2所示。图中，钢轨密度以ρa表示，轨道板密度为ρb表示，混凝土基础密度以ρc表示；钢轨截面面积以Aa表示，轨道板截面面积以Ab表示，混凝土基础截面面积以Ac表示；钢轨面积惯性矩以Ia表示，轨道板面积惯性矩以Ib表示，混凝土基础面积惯性矩以Ic表示；钢轨弹性模量以Ea表示，轨道板弹性模量以Eb表示，混凝土基础轨道弹性模量以Ec表示；钢轨剪切模量以Ga表示，轨道板剪切模量以Gb表示，混凝土基础剪切模量以Gc表示；钢轨Timoshenko(铁木辛柯)系数以ka表示，轨道板Timoshenko系数以kb表示，混凝土基础Timoshenko系数以kc表示。ya表示钢轨梁的垂直位移，yb表示轨道板的垂直位移， yc表示混凝土基础的垂直位移，
Figure GDA0003553550010000112
表示轨道的弯曲转角，Fj表示x轴上第j个车轮与轨道之间的接触力，Ls表示沿轨道相邻的两个垫块之间的间距，Xj表示第j对轮对的行进距离，δ(·)表示狄拉克函数。
S1.1:建立无砟轨道的离散化动力学方程
将无砟轨道分成钢轨、轨道板和混凝土基础三部分，按三层Timoshenko梁离散化，建立无砟轨道的离散化动力学方程如下：
取钢轨微段为隔离体，基于Timoshenko梁(铁木辛柯梁)理论，采用d'Alembert's原理建立钢轨微段的动力学微分方程，钢轨微段的动力学微分方程包括钢轨微段的竖向力动力学平衡微分方程和钢轨微段的力矩动力学平衡微分方程。竖向力动力学平衡微分方程如公式(1)所示，钢轨微段的力矩动力学平衡微分方程如公式(2)所示：
Figure GDA0003553550010000111
Figure GDA0003553550010000121
公式(1)和公式(2)中，x表示水平坐标，正方向如图2所示；t表示时间；n表示所取钢轨微端中离散垫块总数；m表示所取钢轨微端中轮对总数；i表示第i个离散垫块；j表示第j对轮对；c1表示支撑钢轨的等距离散垫块的阻尼系数；k1表示支撑钢轨的等距离散垫块的刚度系数。
同理，取轨道板为隔离体，建立轨道板微段的竖向力动力学平衡微分方程如公式(3)所示，轨道板微段的力矩动力学平衡微分方程如公式(4)所示，:
Figure GDA0003553550010000122
Figure GDA0003553550010000123
c2表示支撑轨道板的CA砂浆的阻尼系数；k2表示支撑轨道板的CA砂浆的阻尼系数；
同理，取混凝土基础为隔离体，建立混凝土基础微段的竖向力动力学平衡微分方程如公式 (5)所示，混凝土基础微段的力矩动力学平衡微分方程如公式(6)所示:
Figure GDA0003553550010000124
Figure GDA0003553550010000125
c3表示支撑混凝土基础的路基的阻尼系数；k3表示支撑混凝土基础的路基的刚度系数；
公式(1)-(6)即为无砟轨道的离散化动力学方程。
S1.2、建立车辆的动力学方程和轮轨接触力方程
车辆模型具有两个转向架和四个轮对，如图2所示。建立车辆主体的力、力矩的动力学平衡方程:
Figure GDA0003553550010000126
Figure GDA0003553550010000127
建立两个转向架的力、力矩的动力学平衡方程:
Figure GDA0003553550010000128
Figure GDA0003553550010000131
Figure GDA0003553550010000132
Figure GDA0003553550010000133
Figure GDA0003553550010000134
建立四组轮对的力的动力学平衡方程:
Figure GDA0003553550010000135
Figure GDA0003553550010000136
Figure GDA0003553550010000137
Figure GDA0003553550010000138
式中，车辆的集中质量为mv，车辆的惯性矩为Jv；车辆的两个转向架具有相同的集中质量 mbg和惯性矩Jb，车辆的四个轮对各有一个集中质量mwj，j＝1,2,3,4；四组轮对质量相同；yv表示车辆质心的垂直位移；ybr表示后转向架的垂直位移；ybf表示前转向架的垂直位移；ywj表示第j对轮对的垂直位移。θv表示车辆质心的俯仰转角；θbr表示后转向架的俯仰转角；θbf表示前转向架质心处的俯仰转角。kp,cp分别表示一次悬架系统的刚度系数和阻尼系数；ks,cs分别表示二次悬架系统的刚度系数和阻尼系数；2l1表示两个转向架中心之间的距离；2l2表示两个轮对中心之间的距离；g为重力加速度。mw1为第1对轮对的集中质量；mw2为第2对轮对的集中质量；mw3为第3对轮对的集中质量；mw4为第4对轮对的集中质量。F1为第1对轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力；F2为第2对轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力； F3为第3对轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力；F4为第4对轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力。
由式(7)-(16)，将车辆的集中质量mv、转向架的集中质量mbg、轮对的集中质量mw组合得到车辆的总质量矩阵MU，将一次悬架系统的阻尼系数cp、二次悬架系统的阻尼系数cs组合得到车辆的总阻尼矩阵CU，将一次悬架系统的刚度系数kp、二次悬架系统的刚度系数ks组合得到车辆的总刚度矩阵KU，进而得到车辆的动力学方程如下：
Figure GDA0003553550010000141
其中ZU、FU分别表示车辆的位移矢量、力矢量。
采用Hertz非线性接触模型，计算轮轨之间的法向接触力，轮轨接触力方程如下：
Figure GDA0003553550010000142
式中，Fj表示在第j轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力，G表示轮轨接触系数，yaj表示轨道在接触点处的位移，yt表示轨道表面不平顺程度，ywj表示在第j轮对与轨道接触时车轮的位移。
S2：定义移动坐标r：
r＝x-Vt (19)
如图2所示，x轴为固定坐标，r轴为随车辆的移动坐标，V为车辆速度。对式(19)应用链式法则，用移动坐标r代替固定坐标x，带入S1步骤中的式(1)～(6)，将原方程改写为式(20)～式(25)：
Figure GDA0003553550010000143
Figure GDA0003553550010000144
Figure GDA0003553550010000145
Figure GDA0003553550010000151
Figure GDA0003553550010000152
Figure GDA0003553550010000153
Figure GDA0003553550010000154
其中，Rj表示r轴上第j对轮对的行进距离；
式(20)～(25)即为改写后的无砟轨道的离散化动力学方程。
建立一个由三层Timoshenko梁单元组成的移动单元，即无砟轨道移动单元，该单元包含 6个节点和12个自由度，6个节点分别分布于单元边界与三层Timoshenko梁相交处，如图3 所示。图中，
Figure GDA0003553550010000155
为钢轨节点1的竖向位移，
Figure GDA0003553550010000156
为钢轨节点4的竖向位移，
Figure GDA0003553550010000157
为钢轨节点1的转角，
Figure GDA0003553550010000158
为钢轨节点4的转角；
Figure GDA0003553550010000159
为轨道板节点2的竖向位移，
Figure GDA00035535500100001510
为轨道板节点5的竖向位移，
Figure GDA00035535500100001511
为轨道板节点2的转角，
Figure GDA00035535500100001512
为轨道板节点5的转角；
Figure GDA00035535500100001513
为混凝土基础节点3的竖向位移，
Figure GDA00035535500100001514
为混凝土基础节点6的竖向位移，
Figure GDA00035535500100001515
为混凝土基础节点3的转角，
Figure GDA00035535500100001516
为混凝土基础节点6的转角；rd表示离散支撑在移动单元中的位置。
移动单元的节点位移向量ye表示为：
Figure GDA00035535500100001517
基于移动坐标，引入形函数(插值函数)，则移动单元各节点位移通过ye可表示为：
ya＝Nayye,yb＝Nbyye,yc＝Ncyye (27)
Figure GDA00035535500100001518
Nay＝[Ny1 Ny2 0 0 0 0 Ny3 Ny4 0 0 0 0] (29)
Figure GDA00035535500100001519
Nby＝[0 0 Ny1 Ny2 0 0 0 0 Ny3 Ny4 0 0] (31)
Figure GDA0003553550010000161
Ncy＝[0 0 0 0 Ny1 Ny2 0 0 0 0 Ny3 Ny4] (33)
Figure GDA0003553550010000162
式中，Nay是表示节点1竖向位移的形函数向量；Nby是表示节点2竖向位移的形函数向量； Ncy是表示节点3竖向位移的形函数向量；
Figure GDA0003553550010000163
是表示节点1转角的形函数向量；
Figure GDA0003553550010000164
是表示节点2转角的形函数向量；
Figure GDA0003553550010000165
是表示节点3转角的形函数向量。在这里采用了由Reddy提出的具有三次多项式形状函数Nyj和
Figure GDA0003553550010000166
的超收敛的无锁相依插值元素来表示形函数向量。
对式(20)-(21)分别乘以加权函数W，对一个长度l单元积分，得到积分等式如下：
Figure GDA0003553550010000167
Figure GDA0003553550010000168
对式(35)-(36)采用Galerkin方法，利用上文所述形函数向量Nay,
Figure GDA0003553550010000169
推导三层Timoshenko 梁移动单元中的钢轨梁单元矩阵如下：钢轨单元质量矩阵
Figure GDA00035535500100001610
钢轨单元阻尼矩阵
Figure GDA00035535500100001611
钢轨单元刚度矩阵
Figure GDA00035535500100001612
Figure GDA00035535500100001613
Figure GDA00035535500100001614
Figure GDA00035535500100001615
同理，对式(22)-(25)采用同样方法，利用上文所述形函数向量Nby,
Figure GDA0003553550010000171
Ncy,
Figure GDA0003553550010000172
分别推导三层Timoshenko梁移动单元中的轨道板梁及混凝土基础梁单元矩阵如下：轨道板单元质量矩阵
Figure GDA0003553550010000173
混凝土基础单元质量矩阵
Figure GDA0003553550010000174
轨道板单元阻尼矩阵
Figure GDA0003553550010000175
混凝土基础单元阻尼矩阵
Figure GDA0003553550010000176
轨道板单元刚度矩阵
Figure GDA0003553550010000177
混凝土基础单元刚度矩阵
Figure GDA0003553550010000178
Figure GDA0003553550010000179
Figure GDA00035535500100001710
Figure GDA00035535500100001711
Figure GDA00035535500100001712
Figure GDA00035535500100001713
Figure GDA00035535500100001714
式中()，r和(),rr分别表示对r的一阶和二阶偏导数,包含Dirac-delta函数δ(Sj)的项用来描述离散的垫块的位置的影响。
将以上矩阵叠加，得到一个无砟轨道移动单元的单元质量矩阵如公式(46)所示、单元阻尼矩阵如公式(47)所示，单元刚度矩阵如公式(48)所示：
Figure GDA0003553550010000181
Figure GDA0003553550010000182
Figure GDA0003553550010000183
将单元矩阵“对号入座”，按顺序组合成总矩阵，得到截取无砟轨道计算段的总质量矩阵ML，总阻尼矩阵CL和总刚度矩阵KL。由此，无砟轨道动力学方程可表示为：
Figure GDA0003553550010000184
其中，ZL表示轨道的位移矢量；FL表示轨道的力矢量。
在上述推导移动单元刚度、阻尼矩阵时，轨道垫块被视为离散的粘弹性支撑。考虑离散支撑的影响时，其刚度、阻尼的周期变化可结合图4进行说明。如图所示，由于轨道垫块均匀布置，在一定的速度下，取截取的计算轨道，钢轨位于n个均匀间隔的离散支撑上，T表示移动荷载通过两个相邻支撑的周期。图4中，(a)表示典型周期内，t＝t0时刻，四个车轮分别位于支撑位置；图4中，(b)为典型周期内，t＝t*时刻(t0<t*<t0+T)，离散支撑相对于车轮的位置，此时荷载位于两个离散的支撑之间，支撑1移动出截取轨道范围；图4中，(c)为典型周期内，t＝t0+T时刻，此时周期T结束，支撑j(j＝2～n)到达了该周期开始时支撑j-1的位置，截断梁的右端出现新支撑代替原支撑n，截断梁的支撑情况又与图4中，(a)所示相同。如此，离散支撑不断重复上述周期变化。通过跟踪周期变化的支撑位置，计算一个周期内移动单元的刚度、阻尼矩阵并存储，如此实现了离散轨道垫块的影响。后续分析中，每个时间步的轨道刚度、阻尼按时间周期进行调用即可。
S3：为求得车轨非线性耦合系统方程，首先将车辆动力学方程与步骤S2改写后的得到的无砟轨道动力学方程(49)组装如下:
Figure GDA0003553550010000185
式中，Z表示位移的矢量，F表示轮轨法向接触力的矢量，下标“U”表示车辆，“L”表示轨道，例如ZL表示轨道位移的矢量；CU表示车辆的总阻尼矩阵，MU表示车辆的总质量矩阵，ML表示截取无砟轨道计算段的总质量矩阵，KU表示车辆的总刚度矩阵，KL表示截取无砟轨道计算段的总刚度矩阵；
求解式(50)的步骤如下：
(1)用式(49)替换式(17)中的式(13)～(16)来消去Fj；
(2)将式(18)代入式(13)～(16)来消去式(17)；
(3)此时，式(50)变成一个不显含Fj的非线性方程组，重写式(50)如下，即车轨非线性耦合系统方程为：
Figure GDA0003553550010000191
式中，f1～fn表示式(51)中的各个方程，c1～cn表示常数项。
利用Matlab使用Newton-Raphson迭代方法和Newmark积分法来对式(51)进行解析推导，求解公式(51)得到铁轨竖向位移的表达式，通过铁轨竖向位移的表达式可以进一步利用力与变形的关系推得轮轨接触力的表达式。
(4)在求解式51过程中，进行迭代时，每次均使用Newton-Raphson迭代方法线性化式(49)；
(5)在求解式51过程中，每个时间步中，均采用Newmark积分法进行求解。
S4：根据S1-S3步骤，对从建立无砟轨道移动单元开始至解析车轨非线性耦合系统方程结束的步骤，对应公式(19)-(51)，使用Matlab完成相关程序编制以便于实际应用，输入相应列车及轨道参数即可获得铁轨竖向位移和轮轨接触力。在本发明实例中，车辆模型选用我国 CRH3客车参数，无砟轨道模型选用我国CRTSII轨道参数。
输入参数后经程序计算得到轨道竖向位移和轮轨接触力的模拟结果，并与雷晓燕等人的模拟结果对比如图5和图6所示。图5表明，本发明计算的轨道竖向位移与雷晓燕等人的模拟结果数值接近。图6表示列车运行70m距离的轮轨接触力变化情况。本发明计算的轮轨接触力的变化趋势和均值与雷晓燕等人模拟结果相同，但接触力曲线不是光滑的，而是呈现周期性的振荡。究其原因，这种振荡是由S2步骤中所述离散支撑的周期性影响所致。雷晓燕将无砟轨道简化为连续粘弹支撑的三层Euler-Bernoulli梁模型，而未能考虑离散钢轨垫块的影响。
进一步模拟Aggestam等人研究结果。Aggestam等人建立了三层Timoshenko梁无砟轨道模型，并采用解析方法进行求解。对比Aggestam等人模型与本发明模型轨道刚度计算结果，如图7所示，两种结果数值接近且都呈周期性波动。可见，考虑车辆-轨道垂直动态相互作用的情况下，由于离散轨道垫块的作用，轨道静刚度显然具有周期性的规律。对系统的轮轨接触力研究方面，车速为100km/h时，Aggestam等人模型与本发明模型计算的稳态振动阶段轮轨接触力如图8所示。两种接触力曲线形状相近，轮轨接触力也表现出与图7所示的轨道静态刚度相同的周期变化规律，这是由于离散轨垫引起的周期激励。
以上验证说明了本发明提出模型的正确性。此外，本发明的模型和方法还可方便地研究轨道高低不平顺对系统动态响应的影响。如采用最简单的正弦波来描述轨道高低不平顺：
Figure GDA0003553550010000201
其中，yt为轨道表面不平顺程度，A和B分别表示轨道不平顺的振幅和波长。
依旧选取CRH3列车和CRTSII无砟轨道参数，在火车以每小时72km/h的速度运行情况下，分别考虑波长为0.5m，振幅分别为0(光滑轨道)、0.1、0.3、0.5mm的几种不平顺正弦波，进行数值模拟后绘图。图9为车轮接触点处轨道竖向位移的动态响应，可见，在相同的波长下，轨道竖向位移随轨道不平顺振幅的增大而显著增大。当轨道不考虑不平顺性(即振幅为0)时，由于引入了离散支撑，轨道位移不是常数，而是随着支撑位置略有变化。图10为车轮接触点处，轮轨接触力的动态响应，观察可知，在相同的波长下，轮轨接触力随着轨道不平顺性振幅的增大而增大。结果表明，不平顺性周期对轮轨接触力有显著影响。当不考虑轨道不平顺性时，由于引入了离散支撑，轮轨接触力随着支撑位置的变化而振荡。以上研究表明了车-轨模型中考虑离散支撑的必要性。对于研究高速铁路车轨系统的动力响应，本发明提出的便捷可靠的动力分析模型及方法具有很高的应用价值。
本发明所提出的高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法，极大地减小了计算模型的规模，可简便易行地获取并研究轨道动力特性，进而通过分析，在铺设轨道时提前针对使用环境进行相应设计，或对使用中轨道进行监控，及时更换维修，提高轨道使用安全性及舒适性，增加轨道使用寿命。模型更符合实际，准确度高，计算效率高，也可为列车轨道系统或无限长梁的分析、高速列车轨道设计和针对性改进提供一种便捷而准确的方法。
对所公开的实施例的上述说明，使本领域专业技术人员能够实现和使用本发明。本发明中所定义的一般原理可以在不脱离本发明的精神或范围的情况下，在其它实施例中实现。因此，本发明将不会被限制于本发明所示的这些实施例，而是要符合与本发明所公开的原理和新颖特点相一致的最宽的范围。

Claims (7)

1.一种分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：将列车-轨道系统分为车辆子系统和无砟轨道子系统，采用多体动力学模型建立车辆子系统；将无砟轨道分成钢轨、轨道板和混凝土基础三部分，按三层Timoshenko梁离散化，建立无砟轨道的三层梁模型动力学方程；建立车辆动力学方程；建立采用Hertz非线性接触模型的轮轨接触力方程；
S2：定义移动坐标系r，应用链式求导法则，用移动坐标r代替固定坐标x，改写步骤S1得到的三层梁模型动力学方程，得到移动坐标下的三层梁模型动力学方程：
建立由三层梁单元组成的6节点、12自由度的无砟轨道移动单元，并定义移动坐标系下的单元插值函数；采用Galerkin方法，分别对三层梁模型动力学方程乘以加权函数W，然后按单元长度l进行积分，对积分结果整理后，得到移动单元各层梁的单元质量矩阵、单元阻尼矩阵和单元刚度矩阵，将移动单元各层梁的单元质量矩阵叠加得到截取计算无砟轨道的总质量矩阵ML，将移动单元各层梁的单元阻尼矩阵叠加得到截取计算无砟轨道的总阻尼矩阵CL，将移动单元各层梁的单元刚度矩阵叠加得到截取计算无砟轨道的总刚度矩阵KL；由截取无砟轨道计算段的总质量矩阵ML，总阻尼矩阵CL和总刚度矩阵KL，得到无砟轨道动力学方程；
S3：基于步骤S2中得到的无砟轨道动力学方程与步骤S1得到的车辆的动力学方程，引入步骤S1得到的轮轨接触力方程，得到车轨非线性耦合系统方程，对车轨非线性耦合系统方程进行解析推导，得到铁轨竖向位移的表达式，通过铁轨竖向位移的表达式和力与变形的关系推导出轮轨接触力的表达式；
所述S1中，建立车辆动力学方程的过程为：
车辆模型具有两个转向架和四个轮对；
建立车辆主体的力的动力学平衡方程如公式(7)所示，车辆主体的力矩的动力学平衡方程如公式(8)所示:
Figure FDA0003553548000000011
Figure FDA0003553548000000021
建立车辆第一个转向架的力的动力学平衡方程如公式(9)所示，车辆第一个转向架的力矩的动力学平衡方程如公式(10)所示，车辆第二个转向架的力的动力学平衡方程如公式(11)所示，车辆第二个转向架的力矩的动力学平衡方程如公式(12)所示，
Figure FDA0003553548000000022
Figure FDA0003553548000000023
Figure FDA0003553548000000024
Figure FDA0003553548000000025
建立四组轮对的力的动力学平衡方程如公式(13)至公式(16)所示:
Figure FDA0003553548000000026
Figure FDA0003553548000000027
Figure FDA0003553548000000028
Figure FDA0003553548000000029
其中，车辆的集中质量为mv，车辆的惯性矩为Jv；车辆的两个转向架具有相同的集中质量mbg和惯性矩Jb；yv表示车辆质心的垂直位移；ybr表示后转向架的垂直位移；ybf表示前转向架的垂直位移；ywj表示第j对轮对的垂直位移；θv表示车辆质心的俯仰转角；θbr表示后转向架的俯仰转角；θbf表示前转向架质心处的俯仰转角；kp，cp分别表示一次悬架系统的刚度系数和阻尼系数；ks，cs分别表示二次悬架系统的刚度系数和阻尼系数；2l1表示两个转向架中心之间的距离；2l2表示两个轮对中心之间的距离；g为重力加速度；mw1为第1对轮对的集中质量；mw2为第2对轮对的集中质量；mw3为第3对轮对的集中质量；mw4为第4对轮对的集中质量；F1为第1对轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力；F2为第2对轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力；F3为第3对轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力；F4为第4对轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力；
由式(7)-(16)，将车辆的集中质量mv、转向架的集中质量mbg、轮对的集中质量mw组合得到车辆的总质量矩阵MU，将一次悬架系统的阻尼系数cp、二次悬架系统的阻尼系数cs组合得到车辆的总阻尼矩阵CU，将一次悬架系统的刚度系数kp、二次悬架系统的刚度系数ks组合得到车辆的总刚度矩阵KU，进而得到车辆的动力学方程如公式(17)所示：
Figure FDA0003553548000000031
其中，ZU表示车辆的位移矢量，FU表示车辆的力矢量。
2.根据权利要求1所述的一种分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法，其特征在于，所述步骤S1中，建立无砟轨道的三层梁模型动力学方程的过程为：
1)取钢轨微段为隔离体，采用d′Alembert′s原理，建立钢轨微段的竖向力动力学平衡微分方程如公式(1)所示，建立钢轨微段的力矩动力学平衡微分方程如公式(2)所示：
Figure FDA0003553548000000032
Figure FDA0003553548000000033
其中，ρa表示钢轨密度，Aa表示钢轨截面面积，x表示水平坐标，t表示时间，ka表示钢轨Timoshenko系数，Ga表示钢轨剪切模量，
Figure FDA0003553548000000034
表示轨道的弯曲转角，c1表示支撑钢轨的等距离散垫块的阻尼系数；Ls表示沿轨道相邻的两个垫块之间的间距，n表示所取钢轨微端中离散垫块总数，k1表示支撑钢轨的等距离散垫块的刚度系数；ya表示钢轨梁的垂直位移，m表示所取钢轨微端中轮对总数；Fj表示第j对轮对中的车轮与轨道之间的接触力，Xj表示x轴上第j对轮对的行进距离，δ(·)表示狄拉克函数，Ia表示钢轨面积惯性矩，Ea表示钢轨弹性模量，i表示第i个离散垫块；j表示第j对轮对；
2)取轨道板为隔离体，建立轨道板微段的竖向力动力学平衡微分方程如公式(3)所示，建立轨道板微段的力矩动力学平衡微分方程如公式(4)所示：
Figure FDA0003553548000000041
Figure FDA0003553548000000042
其中，ρb表示轨道板密度，Ab表示轨道板截面面积，Ib表示轨道板面积惯性矩，Eb表示轨道板弹性模量，Gb表示轨道板剪切模量，kb表示轨道板Timoshenko系数，yb表示轨道板的垂直位移，c2表示支撑轨道板的CA砂浆的阻尼系数；k2表示支撑轨道板的CA砂浆的阻尼系数；
3)取混凝土基础为隔离体，建立混凝土基础微段的竖向力动力学平衡微分方程如公式(5)所示，混凝土基础微段的力矩动力学平衡微分方程如公式(6)所示：
Figure FDA0003553548000000043
Figure FDA0003553548000000044
其中，ρc表示混凝土基础密度，Ac表示混凝土基础截面面积，Ic表示混凝土基础面积惯性矩，Ec表示混凝土基础轨道弹性模量，Gc表示混凝土基础剪切模量，kc表示混凝土基础Timoshenko系数，yc表示混凝土基础的垂直位移，c3表示支撑混凝土基础的路基的阻尼系数；k3表示支撑混凝土基础的路基的刚度系数；
公式(1)-(6)即为无砟轨道的离散化动力学方程。
3.根据权利要求2所述的一种分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法，其特征在于，所述步骤S2中，改写步骤S1得到的三层梁模型动力学方程的过程如下：
定义移动坐标r：r＝x-Vt (19)
其中，x轴为固定坐标，r轴为随车辆的移动坐标，V为车辆速度，对公式(19)应用链式法则，用移动坐标r代替固定坐标x，带入S1步骤中的式(1)～(6)，将原方程改写为式(20)～式(25)：
Figure FDA0003553548000000051
Figure FDA0003553548000000052
Figure FDA0003553548000000053
Figure FDA0003553548000000054
Figure FDA0003553548000000055
Figure FDA0003553548000000056
其中，Rj表示r轴上第j对轮对的行进距离；
式(20)～(25)为改写后的三层梁模型动力学方程。
4.根据权利要求1所述的一种分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法，其特征在于，所述步骤S1中，建立轮轨接触力方程的过程如下：
采用Hertz非线性接触模型，计算轮轨之间的法向接触力，轮轨接触力方程如下：
Figure FDA0003553548000000057
式中，Fj表示在第j轮对与轨道之间接触点的赫兹法向接触力，G表示轮轨接触系数，yaj表示轨道在接触点处的位移，yt表示轨道表面不平顺程度，ywj表示在第j轮对与轨道接触时车轮的位移。
5.根据权利要求1所述的一种分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法，其特征在于，所述步骤S2中，得到的无砟轨道动力学方程为：
Figure FDA0003553548000000061
ZL表示轨道的位移矢量；FL表示轨道的力矢量。
6.根据权利要求5所述的一种分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法，其特征在于，所述步骤S3中，得到车轨非线性耦合系统方程的过程如下：
1)首先将步骤S1得到的车辆动力学方程与步骤S2改写后的得到的无砟轨道动力学方程组装，得到公式(50)：
Figure FDA0003553548000000062
式中，MU表示车辆的总质量矩阵，ML表示截取无砟轨道计算段的总质量矩阵，ZU表示车辆位移的矢量，ZL表示轨道位移的矢量，CU表示车辆的总阻尼矩阵，CL表示轨道的总阻尼矩阵；KU表示车辆的总刚度矩阵，KL表示截取无砟轨道计算段的总刚度矩阵，FU表示车辆的力的矢量，FL表示轨道的力的矢量；
求解公式(50)得到一个不显含Fj的非线性方程组，即车轨非线性耦合系统方程，如公式(51)所示：
Figure FDA0003553548000000063
式中，f1～fn表示式(51)中的各个方程，c1～cn表示常数项。
7.根据权利要求6所述的一种分析高速铁路无砟轨道车轨耦合振动的移动单元方法，其特征在于，所述步骤S3中，利用Matlab使用Newton-Raphson迭代方法和Newmark积分法来对车轨非线性耦合系统方程进行解析推导，在每一个时间步内，采用Newton-Raphson迭代方法进行线性化，并采用Newmark积分法求解车轨非线性耦合系统方程，达到收敛容差后，再进入下一个时间步求解；完成解析推导后，得到铁轨竖向位移的表达式和接触力的表达式。
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