CN111506991B - 磁悬浮转台磁力建模方法、系统及存储介质 - Google Patents

Abstract

公开了一种磁悬浮转台磁力建模方法、系统及存储介质，所述方法包括：步骤S1，根据磁悬浮转台的动子圆周型磁阵列空间的实际磁场分布规律，提出一种同时考虑圆周型磁阵列径向和切向磁场变化的磁通密度求解方法‑二维谐波法；步骤S2，根据磁悬浮转台的结构模型，利用洛伦茨积分和高斯求积法进行磁悬浮转台执行器所受磁力和力矩求解；本发明提供了圆周型磁阵列磁通密度精确求解的解析表达式和磁悬浮转台的磁力建模方法，解决了磁阵列磁通密度径向分布的边缘效应，提高了磁悬浮转台磁力建模的准确性，有利于磁悬浮系统六自由度运动控制。

Description

磁悬浮转台磁力建模方法、系统及存储介质

技术领域

本发明至少一个实施例涉及一种磁悬浮转台磁力建模方法、系统及存储介质。

背景技术

磁悬浮系统由于其无机械摩擦、能实现多自由度运动等优势，在各行各业得到了越来越多的应用，而磁悬浮转台作为一种利于实现无限制旋转运动的精密动台，同时能够实现高精度的多自由度运动，在半导体制造、微机加工、精密定位等领域具有较好的应用价值。针对目前的磁悬浮转台系统，其磁力建模方法在圆周型磁阵列磁通密度求解时，仅通过考虑磁阵列切向的周期性磁场分布进行计算，而假设永磁体沿磁阵列的径向非周期方向为无限长模型，没有考虑磁阵列沿径向磁场分布的边缘效应，在圆周型磁阵列的非永磁体径向中心处磁通密度求解存在较大误差。磁悬浮转台在多自由度大行程运动时，磁力建模误差将会影响其运动精度，所以研究一种新的磁悬浮转台磁力建模方法，提高磁力和力矩求解准确性具有重要意义。由于现有的磁悬浮转台磁力建模方法在磁场求解时存在误差，执行器所受磁力和力矩计算时一般仅计算位于磁场计算准确区域的线圈电流产生的驱动力，而忽略的部分有效电流同样影响磁力和力矩的计算精度，同时考虑磁阵列空间磁场真实分布规律和执行器所受驱动力准确计算的磁悬浮转台磁力建模方法还没有被提出。

发明内容

本发明的至少一个实施例提供一种磁悬浮转台磁力建模方法、系统及存储介质，用于解决现有磁悬浮转台磁力建模方法在圆周型磁阵列磁通密度求解和执行器所受磁力和力矩计算时误差较大的技术问题。

本发明的至少一个实施例提供一种磁悬浮转台磁力建模方法，包括以下步骤：

步骤S1,建立动坐标系{r}、定坐标系{s}和线圈坐标系{c}，其中动坐标系{r}原点^ro位于磁悬浮转台圆周型磁阵列底面几何中心处，定坐标系{s}原点^so位于磁悬浮转台所有线圈的上表面构成平面的中心位置，线圈坐标系{c}原点^co位于线圈的体几何中心处，坐标轴的方向与定坐标系{s}保持一致；

步骤S2，利用傅里叶级数形式，对圆周型磁阵列进行径向伪周期性和切向周期性综合展开，建立圆周型磁阵列的磁化矢量函数：

步骤S3，根据无传导电流的静磁场空间的基本方程及圆周型磁阵列的磁化矢量函数，建立圆周型磁阵列磁通密度求解的解析表达式；

步骤S4，先将线圈坐标系{c}下的线圈节点转换到动坐标系{r}下表示，然后将动坐标系{r}下线圈节点表示代入磁通密度求解的解析表达式得到动坐标系{r}下该线圈节点的磁通密度，最后将动坐标系{r}下的磁通密度转换到线圈坐标系{c}下表示；

步骤S5，将磁悬浮转台的线圈分为矩形区域和圆弧区域，根据线圈坐标系{c}下的磁通密度，逐一计算矩形区域和圆弧区域有效电流对磁悬浮转台执行器的磁力和力矩，以及执行器所受总的磁力和总的力矩，即所有线圈的各有效电流对执行器的合磁力和合力矩。

在上述的磁悬浮转台磁力建模方法，圆周型磁阵列沿径向进行伪周期展开的傅里叶级数表示为：

上式(1)中，l是径向谐波数，odd表示累加时l取奇数，r是极坐标半径，L_m是圆周型磁阵列中永磁体的长度，R为圆周型磁阵列4中的永磁体中心所构成圆的半径，T为径向傅立叶展开周期；

圆周型磁阵列沿按切向磁化和垂向磁化分别进行切向周期性展开的傅里叶级数表示为：

上式(2)中，k是切向谐波数，θ是极坐标极角，W_m是圆周型磁阵列中永磁体的宽度，φ为两相邻永磁体间夹角。

在上述的磁悬浮转台磁力建模方法，圆周型磁阵列的磁化矢量函数为：

式(3)中：

B_r为永磁体的剩余磁化强度，μ₀为真空磁导率，k和l分别为切向和径向的谐波数，φ为两相邻永磁体间夹角。

在上述的磁悬浮转台磁力建模方法，无传导电流的圆周型磁阵列静磁场空间基本方程为：

上式(4)中^rB为磁通量密度，^rH为磁场强度，μ_r为相对磁导率，^rM为磁化矢量，

为磁标量势；

线圈所处的区域磁标势表达式为：

式(5)中，

^ra和^rb分别为磁阵列上、下表面在动坐标系中的z轴坐标值，^rz为z轴坐标值；

圆周型磁阵列磁通密度求解的解析表达式为：

式(6)中：

^ra和^rb分别为圆周型磁阵列上、下表面在动坐标系{r}中的z轴坐标值。

在上述的磁悬浮转台磁力建模方法，按下式(7)将线圈坐标系{c}下的线圈节点^cX＝[^cx；^cy；^cz]转换到动坐标系{r}：

按下式(8)将动坐标系{r}下表示的磁通密度转换到线圈坐标系{c}下：

式(7)、式(8)中，

l是线圈坐标系{c}在定坐标系{s}中的坐标向量；p是磁悬浮转台执行器的平移量；α、β、γ分别为执行器相对旋转量q＝[α；β；γ]中各分量；

在上述的磁悬浮转台磁力建模方法，执行器所受总的磁力和总的力矩分别为：

式(9)中，V₁代表对线圈进行体积分，^cJ表示线圈电流密度，^cR代表从动坐标系原点到线圈体积元的力臂。

本发明的至少一个实施例提供一种磁悬浮转台磁力建模系统，包括：处理器；用于存储处理器可执行指令的存储器；其中，所述处理器被配置为执行所述的方法的步骤。

本发明的至少一个实施例提供一种可读存储介质，其上存储有计算机程序，所述计算机程序被处理器执行时实现所述方法的步骤。

总体而言，通过本发明所提出的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的磁悬浮转台磁力建模方法主要具有以下有益效果：本发明提出的磁悬浮转台磁力建模方法，通过同时考虑圆周型磁阵列径向非周期性和切向周期性磁场变化规律进行磁通密度求解，解决了磁阵列径向磁通密度分布的边缘效应，极大提高了圆周型磁阵列的磁通密度求解精度；利用高斯求积法实现洛伦茨积分的数值计算过程，考虑线圈各有效电流区域对执行器的驱动作用，提高了执行器所受磁力和力矩计算的准确性；该磁悬浮转台磁力建模方法具有较好的通用性，可广泛用于各类磁悬浮转台的磁力建模过程，有利于推广应用。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例的附图作简单地介绍。

图1为本发明一实施例提供的磁悬浮转台结构拆分图。

图2a为本发明一实施例提供的线圈和圆周型磁阵列部分顶视图。

图2b为本发明一实施例提供的磁悬浮转台左视图。

图3a为本发明一实施例提供的圆周型磁阵列径向伪周期永磁体分布区域图。

图3b为本发明一实施例提供的圆周型磁阵列切向周期性永磁体分布图

图4为本发明一实施例提供的线圈按几何特征划分区域标示图。

图5为本发明一实施例提供的一种磁悬浮转台磁力建模方法的流程图。

具体实施方式

图1为本发明一实施例提供的磁悬浮转台拆分图。如图1，所述磁悬浮转台包括底座1、线圈支持架2、跑道线圈3、圆周型磁阵列4、背板5。动子圆周型磁阵列4由多个沿不同方向磁化(垂直方向或切向)的永磁体沿半径为R的圆周均匀分布组成，磁化方向的排列顺序如图2a线圈和圆周型磁阵列部分顶视图中标识所示，可以是每4个相邻永磁体的磁化方向作为一个周期进行重复磁化，且圆周型磁阵列4与背板5固定构成所述磁悬浮转台的执行器；定子包括固定在底座1上线圈支持架2上的跑道线圈3，跑道线圈3的数量可以是8个，各跑道线圈3的电流正方向在图2a线圈和圆周型磁阵列部分顶视图中为逆时针方向。

下面以图1所示的磁悬浮转台对磁悬浮转台磁力建模方法进行说明，但该建模方法适用于各类磁悬浮转台的磁力建模过程。磁力建模过程即磁悬浮转台执行器所受各种大小的线圈电流提供驱动时，执行器处于空间各种姿态时所受的磁力和力矩的计算过程。

图2a线圈和圆周型磁阵列部分顶视图、图2b磁悬浮转台左视图中定义了磁悬浮转台磁力建模的坐标系，笛卡尔坐标系：动坐标系{r}原点^ro位于圆周型磁阵列4底面几何中心处，定坐标系{s}原点^so位于所有线圈3的上表面构成平面的中心位置，各线圈3的坐标系{c}原点^co位于线圈3的体几何中心处，坐标轴的方向与定坐标系{s}保持一致。同时定义圆周型磁阵列4的极坐标系原点与笛卡尔坐标系{r}原点重合，极轴与坐标轴^rx重合。在一种可能的实施方式中，线圈3可包含8个跑道线圈(3-1至3-8)。

根据各坐标系定义后，确定磁悬浮转台执行器的姿态表示，其中执行器的相对平移量p＝[^px；^py；^pz]用原点^ro在坐标系{s}中的坐标进行表示，相对旋转量q＝[α；β；γ]用坐标系{r}各坐标轴相对于坐标系{s}对应坐标轴的旋转角度表示；原点^cO在坐标系{s}中的坐标用向量

表示，其值因不同的线圈坐标系{c}原点而不同。

根据傅里叶级数求解圆周型磁阵列4的磁化矢量函数，具体将圆周型磁阵列4空间的磁化方向在坐标系中用傅里叶级数表示，在磁化矢量函数定义中综合径向伪周期性和切向周期性展开的傅里叶级数形式，即可得到该磁化方向排列下圆周型磁阵列4的磁化矢量函数。

图3a圆周型磁阵列径向伪周期永磁体分布区域图，假想等大反向永磁体4^*，两个斜面分别表示圆周型磁阵列4上部空气区域的无穷远处和下部空气区域的无穷远处。在进行伪周期展开时，通过在一个伪周期内假想增加反向磁化的永磁体4^*，可得到极简的磁化矢量函数和磁通密度解析式，减少程序计算量。

根据圆周型磁阵列4的永磁体沿非周期径向为有限长和磁场沿该方向的实际分布特点，进行伪周期展开的傅里叶级数表示为：

上式(1)中，l是径向谐波数，odd表示累加时l取奇数，r是极坐标半径，L_m是圆周型磁阵列4中永磁体的长度，R为圆周型磁阵列4中的永磁体中心所构成圆的半径，T为径向傅立叶展开周期，周期T确定依据是假想永磁体4^*的磁场分布不会对实际永磁体和关心区域Δ的磁场分布造成影响。

图3b圆周型磁阵列切向周期性永磁体分布图，圆周型磁阵列4、永磁体间间隙4-1，展示了圆周型磁阵列4沿切向周期性分布的永磁体的磁化方向。

根据磁阵列磁化方向(垂向或切向)沿切向的周期性排列特点，切向磁化和垂向磁化分别进行切向周期性傅里叶展开，则切向磁化和垂向磁化的傅里叶级数分别表示为：

上式(2)中，k是切向谐波数，θ是极坐标极角，W_m是圆周型磁阵列中永磁体的宽度，φ为两相邻永磁体间夹角。

综合考虑切向周期性展开和径向伪周期性展开的傅里叶级数，即可得到圆周型磁阵列4全空间域的磁化矢量，则磁化矢量函数^rM_θ和^rM_z：

由于没有沿径向磁化的永磁体，故^rM_r＝0。

上式(3)中，

B_r为永磁体的剩余磁化强度，μ₀为真空磁导率，k和l分别为切向和径向的谐波数，φ为两相邻永磁体间夹角。

在没有传导电流的圆周型磁阵列4产生的静磁场空间，根据麦克斯韦理论其基本方程可表述为：

上式(4)中^rB为磁通量密度，^rH为磁场强度，μ_r为相对磁导率，^rM为磁化矢量，

为磁标量势。

图3b根据圆周型磁阵列4的空间位置将动坐标系{r}的z方向分为三个区域，其中区域Ⅱ为磁阵列4所在的区域，区域Ⅰ和区域Ⅲ分别为磁阵列4的上部空气区域和下部空气区域，在空气区域有^rM＝0。运用磁标势法求解磁场方程，联立上述公式(4)即可得到各区域的拉普拉斯方程为：

上式(5)中，

的下标代表所在区域。

根据相邻区域间的边值关系和无穷远处磁标势为零的限定条件，运用变量分离的方法，求解得到跑道线圈3所处区域Ⅲ的磁标势表达式为：

上式(6)中，

^ra和^rb分别为磁阵列4上、下表面在动坐标系{r}中的z轴坐标值，^rz为z轴坐标值。

圆周型磁阵列4磁通密度求解表达式，通过区域Ⅲ的麦克斯韦方程组中磁通密度求解公式即可计算得到：

上式(7)中，

在磁悬浮转台磁力建模过程中，涉及到各计算量在各坐标系之间的转换，由于单个线圈3有效电流产生磁力在坐标系{c}下进行求解，故需要将各线圈节点转换到动坐标系{r}下计算磁通密度，再变换回线圈坐标系{c}计算线圈产生的磁力。下面列出相关转换关系：

坐标系{c}下线圈节点转换到坐标系{r}的过程：

线圈坐标系{c}下某线圈节点^cX＝[^cx；^cy；^cz]，通过坐标系之间固定的关系以向量形式转换到定坐标系{s}下

^sX＝[^sx；^sy；^sz]＝l+^cX (8)

再通过运动状态时坐标系之间的旋转和平移变换关系转换到动坐标系{r}下

上式(9)中，

其中α、β、γ分别为定义的执行器相对旋转量q＝[α；β；γ]中各分量。

最后，通过动坐标系{r}下极坐标系与笛卡尔坐标系之间的换算关系，可以得到该线圈节点在{r}的极坐标系下的表示为

上式(10)中，atan2表示反正切求解函数。

动坐标系{r}下磁通密度转换到线圈坐标系{c}的过程：

在磁通密度求解过程中，将极坐标系下线圈节点表示代入解析表达式(7)得到极坐标系下该点的磁通密度{^rB_r；^rB_θ；^rB_z}，再变换回笛卡尔坐标系{r}的磁场表示为

进而通过坐标系间矩阵变换关系求解定坐标系{s}下的磁通密度表示

因为线圈坐标系{c}与定坐标系{s}仅存在位移关系，故

^cB＝[^cB_x；^cB_y；^cB_z]＝^sB (13)

采用洛伦茨积分求解执行器所受的磁力和力矩过程，并利用4阶高斯求积法进行数值计算，以单个线圈3-1与圆周型磁阵列4为例进行磁力建模。

对于特定的线圈3-1，线圈坐标系{c}原点^co在定坐标系{s}中的坐标表示为

其中R_c为跑道线圈圆弧区域半径，W_c为跑道线圈矩形区域短边长度，H_c为跑道线圈高度。根据线圈的几何特征可将其分为8个区域分别讨论，变量n＝1～8用于表示各区域，在矩形区域和圆弧区域线圈节点[^cx；^cy；^cz]、电流密度及磁力和力矩的求解稍有不同。

图4线圈按几何特征划分区域标示图，展示了单个线圈按其几何特征将有效电流分为矩形区域和圆弧区域分别对执行器的驱动力进行求解的标号。

矩形区域磁力和力矩求解过程分别为：

上式(14)中，τ代表^cx和^cy方向积分长度的乘积，在线圈的长边区域(n＝1or5)和短边区域(n＝3or7)取值分别为R_c·L_c和W_c·R_c，其中R_c为跑道线圈圆弧区域半径，W_c为跑道线圈矩形区域短边长度，L_c为跑道线圈矩形区域长边长度；带下标的ω表示各层积分的高斯权重，^cJ_n代表线圈电流密度，^cR_n代表从动坐标系{r}原点^rO到线圈体积元的力臂。

根据高斯积分思想，矩形区域的线圈节点和电流密度分别为：

上式(15)中，带下标的λ分别确定各高斯节点的坐标值；式(16)中，N为线圈匝数，I为线圈电流值。

圆弧区域磁力和力矩求解过程分别为：

上式(17)中，带下标的ω为各高斯权重，带下标的λ分别确定各高斯节点的坐标值。

同样，圆弧区域的线圈节点和电流密度分别为：

上式(18)和式(19)中，带下标的λ分别确定各高斯节点的坐标值，上式(18)中，

代表各圆弧区域圆心在线圈坐标系{c}中的坐标，

通过公式(14)，(17)即可计算得到线圈3-1各有效电流所产生的磁力和力矩，同理可得到其他线圈所产生的磁力合力矩，再将其在定坐标系{s}下表示，合力及合力矩即为执行器所受总的驱动力，从而实现了磁悬浮转台的磁力建模。

在示例性实施例中，还提供一种磁悬浮转台磁力建模系统，包括：处理器；用于存储处理器可执行指令的存储器；其中，所述处理器被配置为执行存储器中的指令，以完成上述的方法的全部或部分步骤。

在示例性实施例中，还提供了一种包括指令的非临时性计算机可读存储介质，例如包括指令的存储器，上述指令可由处理器执行以完成上述的方法的全部或部分步骤。例如，所述非临时性计算机可读存储介质可以是ROM、RAM、CD-ROM、磁带、软盘和光数据存储设备等。

Claims (8)

1.一种磁悬浮转台磁力建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

建立动坐标系{r}、定坐标系{s}和线圈坐标系{c}，其中动坐标系{r}原点^ro位于磁悬浮转台圆周型磁阵列底面几何中心处，定坐标系{s}原点^so位于磁悬浮转台所有线圈的上表面构成平面的中心位置，线圈坐标系{c}原点^co位于线圈的体几何中心处，坐标轴的方向与定坐标系{s}保持一致；

利用傅里叶级数形式，对圆周型磁阵列进行径向伪周期性和切向周期性综合展开，建立圆周型磁阵列的磁化矢量函数：

根据无传导电流的圆周型磁阵列静磁场空间的基本方程及圆周型磁阵列的磁化矢量函数，建立圆周型磁阵列磁通密度求解的解析表达式；

将线圈坐标系{c}下的线圈节点转换到动坐标系{r}下表示，将动坐标系{r}下线圈节点表示代入磁通密度求解的解析表达式得到动坐标系{r}下该线圈节点的磁通密度，将动坐标系{r}下的磁通密度转换到线圈坐标系{c}下表示；

将磁悬浮转台的线圈分为矩形区域和圆弧区域，根据线圈坐标系{c}下的磁通密度，逐一计算矩形区域和圆弧区域有效电流对磁悬浮转台执行器的磁力和力矩，以及执行器所受总的磁力和总的力矩。

2.根据权利要求1所述的磁悬浮转台磁力建模方法，其特征在于，圆周型磁阵列沿径向进行伪周期展开的傅里叶级数表示为：

上式(1)中，l是径向谐波数，odd表示累加时l取奇数，r是极坐标半径，L_m是圆周型磁阵列中永磁体的长度，R为圆周型磁阵列（4）中的永磁体中心所构成圆的半径，T为径向傅里叶展开周期；

圆周型磁阵列沿按切向磁化和垂向磁化分别进行切向周期性展开的傅里叶级数表示为：

上式(2)中，k是切向谐波数，θ是极坐标极角，W_m是圆周型磁阵列中永磁体的宽度，φ为两相邻永磁体间夹角。

3.根据权利要求2所述的磁悬浮转台磁力建模方法，其特征在于，圆周型磁阵列的磁化矢量函数为：

式(3)中：

B_r为永磁体的剩余磁化强度，μ₀为真空磁导率，k和l分别为切向和径向的谐波数，φ为两相邻永磁体间夹角。

4.根据权利要求3所述的磁悬浮转台磁力建模方法，其特征在于，无传导电流的圆周型磁阵列静磁场空间基本方程为：

上式(4)中^rB为磁通量密度，^rH为磁场强度，μ_r为相对磁导率，^rM为磁化矢量，

为磁标量势；

线圈所处的区域磁标势表达式为：

式(5)中，

^ra和^rb分别为磁阵列上、下表面在动坐标系中的z轴坐标值，^rz为z轴坐标值；

圆周型磁阵列磁通密度求解的解析表达式为：

式(6)中：

^ra和^rb分别为圆周型磁阵列上、下表面在动坐标系{r}中的z轴坐标值。

5.根据权利要求4所述的磁悬浮转台磁力建模方法，其特征在于，按下式(7)将线圈坐标系{c}下的线圈节点^cX＝[^cx；^cy；^cz]转换到动坐标系{r}：

按下式(8)将动坐标系{r}下表示的磁通密度转换到线圈坐标系{c}下：

式(7)、式(8)中，

l是线圈坐标系{c}在定坐标系{s}中的坐标向量；p是磁悬浮转台执行器的平移量；α、β、γ分别为执行器相对旋转量q＝[α；β；γ]中各分量。

6.根据权利要求5所述的磁悬浮转台磁力建模方法，其特征在于，执行器所受总的磁力和总的力矩分别为：

式(9)中，V₁代表对线圈进行体积分，^cJ表示线圈电流密度，^cR代表从动坐标系原点到线圈体积元的力臂。

7.一种磁悬浮转台磁力建模系统，其特征在于，包括：

处理器；

用于存储处理器可执行指令的存储器；

其中，所述处理器被配置为执行权利要求1-6任一项所述的方法的步骤。

8.一种非临时性计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，所述计算机程序被处理器执行时实现如权利要求1至6任一项所述方法的步骤。

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