CN111505564A - 一种互质阵模型下的降维四阶累积量的正交传播算子方法 - Google Patents

一种互质阵模型下的降维四阶累积量的正交传播算子方法 Download PDF

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CN111505564A CN202010308606.7A CN202010308606A CN111505564A CN 111505564 A CN111505564 A CN 111505564A CN 202010308606 A CN202010308606 A CN 202010308606A CN 111505564 A CN111505564 A CN 111505564A
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谢坚
王宵轩
陶明亮
张兆林
王伶
汪跃先
韩闯
宫延云
范一飞
张妍
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    • G01S3/00—Direction-finders for determining the direction from which infrasonic, sonic, ultrasonic, or electromagnetic waves, or particle emission, not having a directional significance, are being received
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    • G01S3/14—Systems for determining direction or deviation from predetermined direction
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Abstract

本发明提供了一种互质阵模型下的降维四阶累积量的正交传播算子方法，建立互质阵天线阵列的接收信号模型，通过采样快拍得到的接收信号求出阵列信号的协方差矩阵，引入四阶累积量的概念，利用四阶累积量定义得到的新导向矢量，去除冗余项降，求解出传播算子，进行标准正交化，通过空间谱估计函数，进行谱峰搜索，实现入射目标信号源的DOA估计。本发明利用四阶累积量进行计算时采取了去冗余降维的操作，极大得降低了计算复杂度，提出能应用于互质阵这样的稀疏阵列下的算法，避免了子空间类的DOA算法需要特征分解这样复杂的计算，降低了复杂度，提升了精确性。

Description

一种互质阵模型下的降维四阶累积量的正交传播算子方法
技术领域
本发明涉及阵列信号处理领域，尤其是一种互质阵模型下的波达方向估计方法。
背景技术
目前绝大多数的DOA估计算法都是建立在入射目标信号源的个数小于天线阵列自由度的条件下进行研究的。但是在实际的工程应用中，天线阵列的阵元数目一定是有限制的，无法实现超自由度DOA估计是限制实际使用的一大因素。因此需要进一步深入的研究，提出更加稳定、实时高效的超分辨DOA估计算法来实现采用少阵元数目来完成多入射目标信号源的DOA估计。
具体而言，对于一个包含M个物理阵元的均匀线性阵列，其最大可估计的信号源个数为M-1个，对于传统算法必须通过在阵列中添加额外物理阵元的方式以提升自由度，进而导致了系统软硬件复杂度的提升。因此，如何在更小的系统开销下估计更多的信号是波达方向估计研究的一个热点问题。与传统的均匀线性阵列相比，互质阵列中的阵元被稀疏放置，因而极大地增大了阵列孔径，减少了阵元间的互耦效应，提高了估计精度和分辨率。
传统利用四阶累积量进行超分辨DOA估计算法可以实现对阵列自由度的扩展，但是其计算复杂度过高，信噪比和采样快拍数需求也较高，而且是基于均匀阵列的模型下实现，无法在新型的稀疏阵列模型下完成DOA估计。因此需要运算更快、计算复杂度更低，能在稀疏阵模型下实现的算法来完成参数的估计。
发明内容
为了克服现有技术的不足，本发明提供一种互质阵模型下的降维四阶累积量的正交传播算子方法。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案的步骤为：
步骤1：给定互质阵阵列结构的物理模型，M和N是两个互质的整数，建立互质阵天线阵列的接收信号模型；
得到阵列输出信号的数学模型表达式为：
X(t)＝AS(t)+N(t) (1)
其中，X(t)＝[x1(t),x2(t),…xM1(t)]T为天线阵列接收到的M1×1维的快拍数据矢量，[·]T代表转置操作，S(t)＝[s1(t),s2(t),…s6(t)]T为空间入射目标信号源的M1×1维矢量，N(t)＝[n1(t),n2(t),…nM1(t)]T是天线阵列的一组维度是M1×1维的相互独立的噪声数据矢量，噪声数据的均值为0，而A＝[a(θ1),a(θ2),a(θi),…,a(θM1)]T是空间天线阵列的M1×M1(6×6)维导向矢量矩阵，其中的导向矢量a(θi)表达式如下：
Figure BDA0002456752870000021
式中d＝λ/2，λ是波长；θi是信号的入射角度；式(1)即为建立的阵元输出信号数学模型；
步骤2：通过采样快拍得到的接收信号求出阵列信号的协方差矩阵；
通过步骤1的输出信号X(t)求阵列数据的协方差矩阵为：
R＝E[XXH] (3)
选L个快拍数进行数据采样，得到采样协方差矩阵
Figure BDA0002456752870000022
选择采样协方差矩阵
Figure BDA0002456752870000023
代替数据协方差矩阵，即：
Figure BDA0002456752870000024
步骤3：引入四阶累积量的概念并定义一个维度为M2×M2的空白矩阵Q4，其中M为天线阵元数，四阶累积量为：
Figure BDA0002456752870000025
式(5)中，k1,k2,k3,k4的取值范围是1≤k1,k2,k3,k4≤M，xk1,xk2,
Figure BDA0002456752870000026
为随机过程，[·]*代表取共轭的操作；通过四阶累积量的定义cum4(k1,k2,k3*,k4*)的取值排布组合即M4个排列组合，选取一个M2×M2维的空白矩阵Q4；
步骤4：利用四阶累积量定义得到的新导向矢量为：
Figure BDA0002456752870000031
将M4个值按照式(7)表达式放入到一个空白四阶累积量矩阵Q4生成矩阵，
Figure BDA0002456752870000032
式中k1,k2,k3,k4的取值范围是1≤k1,k2,k3,k4≤M；
将四阶累积量的全部元素按照式(7)依次放入到矩阵Q4的((k1-1)M+k2)行和((k3-1)M+k4)列中；
对接收到信号四阶累积量生成的协方差矩阵进行特征值分解，将所有特征值排序，构造出相应的谱峰搜索表达式：
Figure BDA0002456752870000033
步骤5：利用
Figure BDA0002456752870000034
通过将得到的导向矢量与自身的共轭进行克罗内克积之后的全部取值罗列出来，分析不重复的有用信息和重复的无效信息，重复的取值为冗余项，去除冗余项降低计算量，找到每一个不重复的信息是对应展开的表达式中的具体第几项，即对应的维度位置；
针对步骤1的互质阵模型，利用导向矢量表达式即式(2)，生成的新的导向矢量b(θ)的表达式如下：
Figure BDA0002456752870000035
定义q＝2πsinθ/λ，对式(9)展开，得到式(10)：
Figure BDA0002456752870000041
将按照排布规则放入全部取值的四阶累积量矩阵Q4按照每一个不重复信息对应的维度位置，取出矩阵Q4中的对应维度的行和列，舍弃掉其余的行和列，生成全新的降维处理后只含全部有效信息的降维四阶累积量矩阵Q’2；
步骤6：针对步骤5得到的新的无冗余数据的四阶累积量矩阵做线性分割操作，分成两个线性相关的分块矩阵，求解出传播算子P；
降维后的四阶累积量矩阵Q’2划分成为如下的两个子矩阵，即：
Figure BDA0002456752870000042
式(11)中
Figure BDA0002456752870000043
和
Figure BDA0002456752870000044
的维数分别为17×K维和(17-K)×K维，K是要估计的入射信源的具体数目，通过最小化代价函数
Figure BDA0002456752870000045
得到传播算子矩阵
Figure BDA0002456752870000046
的估计值，即：
Figure BDA0002456752870000047
式(12)中的||·||F代表了F-范数，传播算子矩阵
Figure BDA0002456752870000048
的最优解为：
Figure BDA0002456752870000049
步骤7：因为PM算法求得的噪声子空间列向量并不是相互正交，对PM算法求得的噪声子空间进行标准正交化提升DOA估计性能；
求出噪声子空间为：
Figure BDA00024567528700000410
标准正交化后的矩阵
Figure BDA00024567528700000411
的具体表示为：
Figure BDA0002456752870000051
步骤8：空间谱估计函数为骤8：：
Figure BDA0002456752870000052
利用式(16)进行谱峰搜索，实现入射目标信号源的DOA估计。
本发明的有益效果在于：
1)利用四阶累积量进行计算时采取了去冗余降维的操作，极大得降低了计算复杂度。
2)提出能应用于互质阵这样的稀疏阵列下的算法，避免了子空间类的DOA算法需要特征分解这样复杂的计算，降低了复杂度，提升了精确性。
附图说明
图1为本发明互质阵列排布图；
图2为传统3阵元FOC-MUISC算法的超自由度DOA估计仿真图；
图3为互质阵模型下6阵元Coprime-MFOC-OPM算法超自由度DOA估计仿真图；
图4为不同快拍数下Coprime-MFOC-OPM算法的RMSE仿真图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。
步骤1：给定互质阵阵列结构的物理模型，如图1的阵列结构所示，M和N是两个互质的整数，建立互质阵天线阵列的接收信号模型；
得到阵列输出信号的数学模型表达式为：
X(t)＝AS(t)+N(t) (1)
其中，X(t)＝[x1(t),x2(t),…xM1(t)]T为天线阵列接收到的M1×1维的快拍数据矢量，[·]T代表转置操作，S(t)＝[s1(t),s2(t),…s6(t)]T为空间入射目标信号源的M1×1维矢量，N(t)＝[n1(t),n2(t),…nM1(t)]T是天线阵列的一组维度是M1×1维的相互独立的噪声数据矢量，噪声数据的均值为0，而A＝[a(θ1),a(θ2),…a(θi),…,a(θM1)]T是空间天线阵列的M1×M1(6×6)维导向矢量矩阵，其中的导向矢量a(θi)表达式如下：
Figure BDA0002456752870000061
式中d＝λ/2，λ是波长；θi是信号的入射角度；式(1)即为建立的阵元输出信号数学模型；
步骤2：通过采样快拍得到的接收信号求出阵列信号的协方差矩阵；
通过步骤1的输出信号X(t)求阵列数据的协方差矩阵为：
R＝E[XXH] (3)
选L个快拍数进行数据采样，得到采样协方差矩阵
Figure BDA0002456752870000062
选择采样协方差矩阵
Figure BDA0002456752870000063
代替数据协方差矩阵，即：
Figure BDA0002456752870000064
步骤3：引入四阶累积量的概念并定义一个维度为M2×M2的空白矩阵Q4，其中M为天线阵元数，四阶累积量为：
Figure BDA0002456752870000065
式(5)中，k1,k2,k3,k4的取值范围是1≤k1,k2,k3,k4≤M，xk1,xk2,
Figure BDA0002456752870000066
为随机过程，[·]*代表取共轭的操作；通过四阶累积量的定义cum4(k1,k2,k3*,k4*)的取值排布组合即M4个排列组合，选取一个M2×M2维的空白矩阵Q4；
步骤4：利用四阶累积量定义得到的新导向矢量为：
Figure BDA0002456752870000067
将M4个值按照式(7)表达式放入到一个空白四阶累积量矩阵Q4生成矩阵，
Figure BDA0002456752870000068
式中k1,k2,k3,k4的取值范围是1≤k1,k2,k3,k4≤M；
将四阶累积量的全部元素按照式(7)依次放入到矩阵Q4的((k1-1)M+k2)行和((k3-1)M+k4)列中。
对接收到信号四阶累积量生成的协方差矩阵进行特征值分解，将所有特征值排序，将大特征值生成的部分称为信号子空间，将接近0的小特征值生成的部分称为噪声子空间，利用两者之间的正交特性构造出了相应的谱峰搜索表达式：
Figure BDA0002456752870000071
步骤5：利用
Figure BDA0002456752870000074
通过将得到的导向矢量与自身的共轭进行克罗内克积之后的全部取值罗列出来，分析不重复的有用信息和重复的无效信息，重复的取值为冗余项，去除冗余项降低计算量，找到每一个不重复的信息是对应展开的表达式中的具体第几项，即对应的维度位置；
针对步骤1的互质阵模型，利用导向矢量表达式即式(2)，生成的新的导向矢量b(θ)的具体表达式如下，即：
Figure BDA0002456752870000072
定义q＝2πsinθ/λ，对式(9)展开，得到式(10)：
Figure BDA0002456752870000073
将按照排布规则放入全部取值的四阶累积量矩阵Q4按照每一个不重复信息对应的维度位置，取出矩阵Q4中的对应维度的行和列，(也就是举例如果步骤五中每个信息对应表达式第1.2.3.5项，就取矩阵Q4的第1.2.3.5行和第1.2.3.5列)舍弃掉其余的行和列，因为这些行和列只包括重复冗余的信息，生成全新的降维处理后只含全部有效信息的降维四阶累积量矩阵；
步骤6：针对步骤5得到的新的无冗余数据的四阶累积量矩阵做线性分割操作，分成两个线性相关的分块矩阵，求解出传播算子P；
降维后的四阶累积量矩阵Q’2划分成为如下的两个子矩阵，即：
Figure BDA0002456752870000081
式(11)中
Figure BDA0002456752870000082
和
Figure BDA0002456752870000083
的维数分别为17×K维和(17-K)×K维，K是要估计的入射信源的具体数目，通过最小化代价函数
Figure BDA0002456752870000084
得到传播算子矩阵
Figure BDA0002456752870000085
的估计值，即：
Figure BDA0002456752870000086
式(12)中的||·||F代表了F-范数，传播算子矩阵
Figure BDA0002456752870000087
的最优解为：
Figure BDA0002456752870000088
步骤7：因为PM算法求得的噪声子空间列向量并不是相互正交，对PM算法求得的噪声子空间进行标准正交化提升DOA估计性能；
求出噪声子空间为：
Figure BDA0002456752870000089
标准正交化后的矩阵
Figure BDA00024567528700000810
的具体表示为：
Figure BDA00024567528700000811
步骤8：空间谱估计函数为骤8：：
Figure BDA00024567528700000812
利用式(16)进行谱峰搜索，实现入射目标信号源的DOA估计。
结合具体的阵列模型，本发明实施例包括以下步骤：
步骤1：考虑含有M1(M1＝M+N-1)个阵元的非均匀线性阵列-互质阵,本发明取M＝3,N＝4的情况，具体的阵列排布结构见图1；阵元位置为[(0,0),(3d,0),(4d,0),(6d,0),(8d,0),(9d,0)]，去估计(本发明M1＝M+N-1＝3+4-1＝6)个独立入射信号；
得到阵列输出信号的数学模型表达式，即：
X(t)＝AS(t)+N(t) (1)
式(1)中的X(t)＝[x1(t),x2(t),…xM1(t)]T为天线阵列接收到的M1×1维的快拍数据矢量，其中M1取6，即6×1维，[·]T代表转置操作，S(t)＝[s1(t),s2(t),…s6(t)]T为空间入射目标信号源的M1×1维矢量，N(t)＝[n1(t),n2(t),…nM1(t)]T是天线阵列的一组维度是M1×1维的相互独立的噪声数据矢量，噪声数据的均值为0，而A＝[a(θ1),a(θ2),…a(θi),…,a(θM1)]T是空间天线阵列的M1×M1(6×6)维导向矢量矩阵，其中的导向矢量a(θi)表达式如下：
Figure BDA0002456752870000091
式中d＝λ/2，λ是波长；θ是信号的入射角度；式(1)即为建立的阵元输出信号数学模型；
步骤2：通过步骤1的输出信号X(t)去求阵列数据的协方差矩阵为：
R＝E[XXH] (3)
但是在实际的应用环境中，由于天线阵列的每个传感器阵元接收到的数据采样快拍数-L毕竟是有限的，理想协方差无法得到，选L个快拍数去进行数据采样得到采样协方差矩阵
Figure BDA0002456752870000092
选择采样协方差矩阵
Figure BDA0002456752870000093
代替数据协方差矩阵，即：
Figure BDA0002456752870000094
步骤3：四阶累积量定义为：
Figure BDA0002456752870000095
式中E[·]是求期望的操作，xk1,xk2,xk3,xk4的定义是天线阵元接收的信号；通过四阶累积量的定义cum4(k1,k2,k3*,k4*)的取值排布组合即M4个排列组合，选取一个M2×M2维的空白矩阵Q4；
步骤4：利用四阶累积量定义得到的新导向矢量为：
Figure BDA0002456752870000101
将M4个值按照式(7)表达式放入到一个空白四阶累积量矩阵Q4生成矩阵，
Figure BDA0002456752870000102
Q4是一个M2×M2维的空白矩阵，将四阶累积量的全部元素按照式(7)依次放入到矩阵Q4的((k1-1)M+k2)行和((k3-1)M+k4)列中去。
传统FOC-MUSIC算法的基本原理是对接收到信号四阶累积量生成的协方差矩阵进行了特征值分解，将所有特征值排序，将大特征值生成的部分称为信号子空间，将接近0的小特征值生成的部分称为噪声子空间，利用两者之间的正交特性构造出了相应的谱峰搜索表达式：
Figure BDA0002456752870000103
图2为进行3阵元传统FOC-MUSIC算法超自由度DOA估计的仿真结果。
步骤5：针对步骤1的6阵元的互质阵模型，利用导向矢量表达式即式(2)，生成的新的导向矢量b(θ)的具体表达式如下，即：
Figure BDA0002456752870000104
定义q＝2πsinθ/λ，对式(9)展开，得到式(10)：
Figure BDA0002456752870000105
可以明显看出扩展后的导向矢量b(θ)有重复项的存在，只有第(1 2 3 4 5 6 7 911 13 14 16 19 21 25 31 32)项是非重复项，只有这17项非重复项均属于有效项，其余的重复项属于冗余项，去冗余后四阶累积量矩阵从原来的36维缩小变为了17维，将四阶累积量矩阵Q4只取第(1 2 3 4 5 6 7 9 11 13 14 16 19 21 25 31 32)行提取出来放入到一个全新的17×17维的矩阵Q’1中，再从新的Q’1矩阵中提取它的第(1 2 3 4 5 6 7 9 11 1314 16 19 21 25 31 32)列放入17×17维的矩阵Q’2中，这样得到的新的四阶累积量矩阵Q’2中也包含了之前的矩阵Q中全部的有效项，没有损失有用信息，同时实现了去冗余的操作，将矩阵的维度从36×36维变为17×17维，有效的降低了计算量。
步骤6：将降维后的四阶累积量矩阵Q’2划分成为如下的两个子矩阵，即：
Figure BDA0002456752870000111
式(11)中
Figure BDA0002456752870000112
和
Figure BDA0002456752870000113
的维数分别为17×K维和(17-K)×K维，K是要估计的入射信源的具体数目，，通过最小化代价函数
Figure BDA0002456752870000114
得到传播算子矩阵
Figure BDA0002456752870000115
的估计值，即：
Figure BDA0002456752870000116
式(12)中的||·||F代表了F-范数，传播算子矩阵
Figure BDA00024567528700001113
的最优解为：
Figure BDA0002456752870000118
步骤7：求出噪声子空间为：
Figure BDA0002456752870000119
标准正交化后的矩阵
Figure BDA00024567528700001110
的具体表示为：
Figure BDA00024567528700001111
步骤8：求得空间谱估计函数为：
Figure BDA00024567528700001112
利用式(16)进行谱峰搜索实现入射目标信号源的DOA估计。
图3为互质阵模型下6阵元的Coprime-MFOC-OPM算法仿真图，可以看出实现了稀疏阵列结构下的超自由度DOA估计，精度较高。
表1，针对计算复杂度，可看出相同阵元数下Coprime-MFOC-OPM算法比FOC-MUSIC算法运算时间短，说明计算量显著降低。
表1
Figure BDA0002456752870000121
图4分析了不同快拍数下Coprime-MFOC-OPM算法的性能，可以看到高快拍数算法的DOA估计精度更高。

Claims (1)

1.一种互质阵模型下的降维四阶累积量的正交传播算子方法，其特征在于包括下述步骤：
步骤1：给定互质阵阵列结构的物理模型，M和N是两个互质的整数，建立互质阵天线阵列的接收信号模型；
得到阵列输出信号的数学模型表达式为：
X(t)＝AS(t)+N(t) (I)
其中，X(t)＝[x1(t),x2(t),…xM1(t)]T为天线阵列接收到的M1×1维的快拍数据矢量，[·]T代表转置操作，S(t)＝[s1(t),s2(t),…s6(t)]T为空间入射目标信号源的M1×1维矢量，N(t)＝[n1(t),n2(t),…nM1(t)]T是天线阵列的一组维度是M1×1维的相互独立的噪声数据矢量，噪声数据的均值为0，而A＝[a(θ1),a(θ2),…a(θi),…,a(θM1)]T是空间天线阵列的M1×M1(6×6)维导向矢量矩阵，其中的导向矢量a(θi)表达式如下：
Figure FDA0002456752860000011
式中d＝λ/2，λ是波长；θi是信号的入射角度；式(1)即为建立的阵元输出信号数学模型；
步骤2：通过采样快拍得到的接收信号求出阵列信号的协方差矩阵；
通过步骤1的输出信号X(t)求阵列数据的协方差矩阵为：
R＝E[XXH] (3)
选L个快拍数进行数据采样，得到采样协方差矩阵
Figure FDA0002456752860000012
选择采样协方差矩阵
Figure FDA0002456752860000013
代替数据协方差矩阵，即：
Figure FDA0002456752860000014
步骤3：引入四阶累积量的概念并定义一个维度为M2×M2的空白矩阵Q4，其中M为天线阵元数，四阶累积量为：
Figure FDA0002456752860000021
式(5)中，k1,k2,k3,k4的取值范围是1≤k1,k2,k3,k4≤M，xk1,xk2,
Figure FDA0002456752860000022
为随机过程，[·]*代表取共轭的操作；通过四阶累积量的定义cum4(k1,k2,k3*,k4*)的取值排布组合即M4个排列组合，选取一个M2×M2维的空白矩阵Q4；
步骤4：利用四阶累积量定义得到的新导向矢量为：
Figure FDA0002456752860000023
将M4个值按照式(7)表达式放入到一个空白四阶累积量矩阵Q4生成矩阵，
Figure FDA0002456752860000024
式中k1,k2,k3,k4的取值范围是1≤k1,k2,k3,k4≤M；
将四阶累积量的全部元素按照式(7)依次放入到矩阵Q4的((k1-1)M+k2)行和((k3-1)M+k4)列中；
对接收到信号四阶累积量生成的协方差矩阵进行特征值分解，将所有特征值排序，构造出相应的谱峰搜索表达式：
Figure FDA0002456752860000025
步骤5：利用
Figure FDA0002456752860000026
通过将得到的导向矢量与自身的共轭进行克罗内克积之后的全部取值罗列出来，分析不重复的有用信息和重复的无效信息，重复的取值为冗余项，去除冗余项降低计算量，找到每一个不重复的信息是对应展开的表达式中的具体第几项，即对应的维度位置；
针对步骤1的互质阵模型，利用导向矢量表达式即式(2)，生成的新的导向矢量b(θ)的表达式如下：
Figure FDA0002456752860000031
定义q＝2πsinθ/λ，对式(9)展开，得到式(10)：
Figure FDA0002456752860000032
将按照排布规则放入全部取值的四阶累积量矩阵Q4按照每一个不重复信息对应的维度位置，取出矩阵Q4中的对应维度的行和列，舍弃掉其余的行和列，生成全新的降维处理后只含全部有效信息的降维四阶累积量矩阵Q′2；
步骤6：针对步骤5得到的新的无冗余数据的四阶累积量矩阵做线性分割操作，分成两个线性相关的分块矩阵，求解出传播算子P；
降维后的四阶累积量矩阵Q’2划分成为如下的两个子矩阵，即：
Figure FDA0002456752860000034
式(11)中
Figure FDA0002456752860000035
和
Figure FDA0002456752860000036
的维数分别为17×K维和(17-K)×K维，K是要估计的入射信源的具体数目，通过最小化代价函数
Figure FDA0002456752860000037
得到传播算子矩阵
Figure FDA0002456752860000038
的估计值，即：
Figure FDA0002456752860000039
式(12)中的||·||F代表了F-范数，传播算子矩阵
Figure FDA00024567528600000310
的最优解为：
Figure FDA00024567528600000311
步骤7：因为PM算法求得的噪声子空间列向量并不是相互正交，对PM算法求得的噪声子空间进行标准正交化提升DOA估计性能；
求出噪声子空间为：
Figure FDA0002456752860000041
标准正交化后的矩阵
Figure FDA0002456752860000042
的具体表示为：
Figure FDA0002456752860000043
步骤8：空间谱估计函数为骤8：：
Figure FDA0002456752860000044
利用式(16)进行谱峰搜索，实现入射目标信号源的DOA估计。
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