CN111460608B - 考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于建筑工程技术领域，具体涉及考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法，包括S1、建立周期分布群桩对平面SH、SV、P波的散射分析模型；S2、设置一个周期单元的桩体为基础单元，并采用波函数展开法设立该基础单元的桩体在各局部坐标系下的散射波场；S3、对基础单元内相同位置处桩体的散射波场偏移相应的相位确定；S4、应用Graf加法定理在基础单元的局部坐标系下表示，并叠加入射波场和所有土体域中的散射波场，得到土体域中的总波场；S5、根据基础单元的桩土边界条件求解散射系数，从而得到解析的结果。与现有技术相比，本发明可有效地减少求解时的存储量和计算量，省却了大量的计算时间。

Description

考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法

技术领域

本发明属于建筑工程技术领域，具体涉及一种考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法。

背景技术

日益频繁的交通运输和建筑施工等人类活动引发了大量的环境振动问题，环境振动在国际上已被列为“七大公害”之一。应用连续屏障和非连续屏障是工程隔振的有效措施，其中，空沟、填充沟等连续屏障有着理想的隔振效果，但有施工难度大，维护成本高，在软土与高地下水位地区适用性差等问题；排孔、排桩等非连续屏障因施工方便、造价低、适用性强等优势具有更为广泛的应用前景。

目前，国内外学者针对排桩隔振问题已开展了大量工作，但因排桩隔振理论的复杂性，早期研究多集中于单排桩模型。而相比单排桩，在实际工程中密布多排桩进行隔振是更为理想的选择。研究涉及试验研究、数值计算和理论分析三种方法，其中试验研究能够较好地反映实际，数值计算便于模拟不同的模型，但以解析法为主的理论分析，在计算精度和分析问题本质方面有着其他方法不可替代的作用。在对多排桩模型进行理论分析时涉及多排多个散射体对弹性波的散射，桩数越多，需满足的边界条件越多，求解难度越大，因此目前已有的对多排桩体模型的解析求解多限于个数较少(每排9个以内)的情况，当桩体个数较多时因计算量巨大而求解困难，目前对桩体个数较多时多排群桩隔振的理论分析研究鲜有报道。

有鉴于此，有必要提出一种求解无限周期分布任意排桩体模型的解析计算方法以改善现有技术。

发明内容

本发明的目的在于：针对现有技术的不足，而提供的一种考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法，可有效地减少求解时的存储量和计算量，省却了大量的计算时间。

为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法，包括以下步骤：

步骤1、建立周期分布群桩对平面SH、SV、P波的散射分析模型，并分别对SH、SV、P波进行散射分析；

步骤2、设置一个周期单元的桩体为基础单元，并采用波函数展开法设立该基础单元的桩体在各局部坐标系下的散射波场；

步骤3、对基础单元内相同位置处桩体的散射波场偏移相应的相位确定；

步骤4、应用Graf加法定理在基础单元的局部坐标系下表示，并叠加入射波场和所有土体域中的散射波场，得到土体域中的总波场；

步骤5、结合桩体域中的散射波场，根据基础单元的桩土边界条件求解散射系数，从而得到解析的结果。

作为对本发明中所述的考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法的改进，所述步骤4在应用Graf加法定理包括对Graf公式进行推导，具体计算过程为：根据Graf加法基本数学式

以及关系式v＝r₁，ψ＝π-θ₁+δ，Z＝e，u＝r₀，χ＝θ₀-δ，得到

即：

(3)；其中，夹角δ和距离e均为坐标系(x₀,y₀)和坐标系(x₁,y₁)的相对位置参数，

对式(3)进行变换：①×cosnδ-②×sinnδ→①和①×sinnδ+②×cosnδ→②得到：

进行整理得到适用于相对表示为(e,δ)的任意两个坐标系间变换的Graf加法定理：

其中，

作为对本发明中所述的考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法的改进，群桩对SH波散射的求解过程具体为：设v₀为入射平面SH波的位移幅值，入射波在第c排第0列桩体坐标系(x_c,0,y_c,0)下表示为：

其中，k₁为土体中SH波的波数，i表示虚数单位；将入射波长在对应的极坐标系(r_c,0,θ_c,0)下表示为Fourier-Bessel级数形式：

其中，J_m(x)为第一类Bessel函数；每排第J列桩体的散射波场与该排第0列桩体的散射波场相差位为exp(ik₁jbcosθ_SH)，因此，在第c排第j列桩体对应的极坐标系(r_c,i,θ_c,i)下，第c排第j列桩体散射波的Fourier-Bessel级数形式为：

其中，上标(r)表示散射，为第一类Hankel函数，和为第c排第0列桩在土体域中的散射待定系数；

为实现所有桩体散射波场的叠加，根据不同坐标系间的相对位置(e,δ)，应用Graf加法公式，将所有桩体的散射波场分别转换到基础单元桩体的极坐标系(r_c,0,θ_c,0)下：

因此，在(r_c,0,θ_c,0)坐标系下土体中的总波场为：

基础单元的桩体域内散射波场为：

其中，和为桩体域中的散射待定系数，k₂为桩体中SH波的波数；

根据桩体-土边界的应力和位移连续性条件，基础单元中每排(r_c,0,θ_c,0)坐标系下r₀＝a处有：

将式(11)和式(12)代入式(13)中，根据不同阶三角函数线性无关性质，得到一组关于和的无穷线性方程组：

求解方程组得到所有散射待定系数，并代入式(11)中求得所有位置处的位移。

作为对本发明中所述的考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法的改进，群桩对SV和P波散射的求解过程具体包括以下步骤：设ψ₀为入射平面的SV波的振幅，入射波势函数在第c排第0列桩体坐标系(x_c,0,y_c,0)下为：

其中，β₁为土体中SV波的波数，i为虚数单位；

将入射波场在对应的极坐标系(r_c,0,θ_c,0)下表示为Fourier-Bessel级数形式为：

利用桩体的周期分布特性，每排第j列桩体的散射波场与该排第0列桩体的散射波场相位差为exp(iβ₁jbcosθ_SV)，因此，在第c排第j列桩体对应的极坐标系(r_c,i,θ_c,i)下，第c排第j列桩体散射波场的Fourier-Bessel级数形式为：

其中，和为第c排第j列桩体在桩体域中的散射待定系数；

为实现所有桩体散射波场的叠加，根据不同坐标系的相对位置(e,δ)，应用Graf加法公式，将所有桩体的散射波场分别转换到基础单元桩体的极坐标系(r_c,0,θ_c,0)下：

因此，在(r_c,0,θ_c,0)坐标系下土体中的总波场为：

基础单元的桩体域内散射波场为：

其中，和为桩体域中的散射待定系数，α₂和β₂分别为桩体中P波和SV波的波数；

将土体域和桩体域中的总波场表达式为应力σ_rr、σ_rθ和位移u_r、u_θ，利用桩土界面的应力和位移连续条件：

将式(19a)、式(19b)和式(20a)、式(20b)分别代入式(21)中，根据不同阶三角函数线性无关性质，得到一组关于 和的无穷线性方程组：

求解方程组得到所有待定系数，代入式(17a)和式(17b)中可求得所有桩体的散射场，再叠加入式(15)得到土体中的总波场，进而可以得到全部的应力与位移；

而当入射波为P波时，设为入射平面P波的振幅，入射波势函数在第c第0列桩体坐标系(x_c,0,y_c,0)下为：

其余计算步骤与SV波的计算过程相同。

本发明的有益效果在于：与现有的选取有限桩体进行分析的做法相比，本发明可有效减少求解时的存储量和计算量，大大地节省了计算的实践，能够用于分析桩体个数较多时的多排排桩隔振规律，弥补了以往理论分析中桩体个数较多时难以求解的不足。

附图说明

此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本发明的一部分，本发明的示意性实施方式及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：

图1为本发明中周期分布群桩对平面SH、SV、P波的散射分析模型图；

图2为Graf加法公式的基本形式图；

图3为任意两个坐标系间的内域Graf加法公式形式图；

图4a为SH波的无量纲位移|v/v₀|随无量纲频率ηSH变化的频谱图；

图4b为SV波的无量纲位移|u/u₀|随无量纲频率ηSV变化的频谱图；

图4c为P波的无量纲位移|w/w₀|随无量纲频率ηP变化的频谱图。

具体实施方式

如在说明书及权利要求当中使用了某些词汇来指称特定组件。本领域技术人员应可理解，硬件制造商可能会用不同名词来称呼同一个组件。本说明书及权利要求并不以名称的差异来作为区分组件的方式，而是以组件在功能上的差异来作为区分的准则。如在通篇说明书及权利要求当中所提及的“包含”为一开放式用语，故应解释成“包含但不限定于”。“大致”是指在可接受的误差范围内，本领域技术人员能够在一定误差范围内解决所述技术问题，基本达到所述技术效果。

在本发明的描述中，需要理解的是，术语“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、水平”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。

在本发明中，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”、“固定”等术语应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

以下结合附图对本发明作进一步详细说明，但不作为对本发明的限定。

如图1所示，一种考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法，包括以下步骤：

步骤1、建立周期分布群桩对平面SH、SV、P波的散射分析模型，并分别对SH、SV、P波进行散射分析；

步骤2、设置一个周期单元的桩体为基础单元，并采用波函数展开法设立该基础单元的桩体在各局部坐标系下的散射波场；

步骤3、对基础单元内相同位置处桩体的散射波场偏移相应的相位确定；

步骤4、应用Graf加法定理在基础单元的局部坐标系下表示，并叠加入射波场和所有土体域中的散射波场，得到土体域中的总波场；

步骤5、结合桩体域中的散射波场，根据基础单元的桩土边界条件求解散射系数，从而得到解析的结果。

求解多排桩模型散射问题的关键是实现散射波场间波函数的坐标变换，为此本发明中首先了推导了适用任意坐标系间变换的内域Graf加法公式。其中，Graf加法公式基本形式的数学表示为：

其中v、ψ、Z、u、χ的几何意义如图2中所示；

任意两个坐标系间的内域Graf加法公式示意图如图3所示，两个坐标系分别为(x₀,y₀)和(x₁,y₁)，以(x₀,y₀)为中心建立整体坐标系(x,y)，则(x₀,y₀)和(x₁,y₁)的相对位置可以在整体坐标系(x,y)中仅用夹角δ和距离e两个参数表示，各参数变为：

v＝r₁，ψ＝π-θ₁+δ，Z＝e，u＝r₀，χ＝θ₀-δ，将各参数代入式(1)中可得到：

即：

对式(3)进行变换：①×cosnδ-②×sinnδ→①和①×sinnδ+②×cosnδ→②得到：

进行整理得到适用于相对表示为(e,δ)的任意两个坐标系间变换的Graf加法定理：

其中，

优选的，群桩对SH波散射的求解过程具体为：设v₀为入射平面SH波的位移幅值，入射波在第c排第0列桩体坐标系(x_c,0,y_c,0)下表示为：

其中，k₁为土体中SH波的波数，i表示虚数单位；将入射波长在对应的极坐标系(r_c,0,θ_c,0)下表示为Fourier-Bessel级数形式：

其中，J_m(x)为第一类Bessel函数；

土体中由于桩体的存在，会产生散射SH波，利用桩体的周期分布特性，每排第J列桩体的散射波场与该排第0列桩体的散射波场相差位为exp(ik₁jbcosθ_SH)，因此，在第c排第j列桩体对应的极坐标系(r_c,i,θ_c,i)下，第c排第j列桩体散射波的Fourier-Bessel级数形式为：

其中，上标(r)表示散射，为第一类Hankel函数，和为第c排第0列桩在土体域中的散射待定系数；

为实现所有桩体散射波场的叠加，根据不同坐标系间的相对位置(e,δ)，应用Graf加法公式，将所有桩体的散射波场分别转换到基础单元桩体的极坐标系(r_c,0,θ_c,0)下：

因此，在(r_c,0,θ_c,0)坐标系下土体中的总波场为：

基础单元的桩体域内散射波场为：

其中，和为桩体域中的散射待定系数，k₂为桩体中SH波的波数；

根据桩体-土边界的应力和位移连续性条件，基础单元中每排(r_c,0,θ_c,0)坐标系下r₀＝a处有：

将式(11)和式(12)代入式(13)中，根据不同阶三角函数线性无关性质，得到一组关于和的无穷线性方程组：

求解方程组得到所有散射待定系数，并代入式(11)中求得所有位置处的位移。

优选的，群桩对SV和P波散射的求解过程具体包括以下步骤：设ψ₀为入射平面的SV波的振幅，入射波势函数在第c排第0列桩体坐标系(x_c,0,y_c,0)下为：

其中，β₁为土体中SV波的波数，i为虚数单位；

将入射波场在对应的极坐标系(r_c,0,θ_c,0)下表示为Fourier-Bessel级数形式为：

由于桩体的存在，会产生散射波P波和SV波，利用桩体的周期分布特性，每排第j列桩体的散射波场与该排第0列桩体的散射波场相位差为exp(iβ₁jbcosθ_SV)，因此，在第c排第j列桩体对应的极坐标系(r_c,i,θ_c,i)下，第c排第j列桩体散射波场的Fourier-Bessel级数形式为：

其中，和为第c排第j列桩体在桩体域中的散射待定系数；

为实现所有桩体散射波场的叠加，根据不同坐标系的相对位置(e,δ)，应用Graf加法公式，将所有桩体的散射波场分别转换到基础单元桩体的极坐标系(r_c,0,θ_c,0)下：

因此，在(r_c,0,θ_c,0)坐标系下土体中的总波场为：

基础单元的桩体域内散射波场为：

其中，和为桩体域中的散射待定系数，α₂和β₂分别为桩体中P波和SV波的波数；

将土体域和桩体域中的总波场表达式为应力σ_rr、σ_rθ和位移u_r、u_θ，利用桩土界面的应力和位移连续条件：

将式(19a)、式(19b)和式(20a)、式(20b)分别代入式(21)中，根据不同阶三角函数线性无关性质，得到一组关于 和的无穷线性方程组：

求解方程组得到所有待定系数，代入式(17a)和式(17b)中可求得所有桩体的散射场，再叠加入式(15)得到土体中的总波场，进而可以得到全部的应力与位移；

而当入射波为P波时，只有入射场不同，设为入射平面P波的振幅，入射波势函数在第c第0列桩体坐标系(x_c,0,y_c,0)下为：

与入射SV波相比，因入射波场的不同导致频域内每排第j列桩体的散射波场与该排第0列桩体的散射波场的相位差变为exp(iα₁jbcosθ_P)，其余推导过程与SV波的推导过程完全一致，此处不再赘述。

本发明通过一组实施例分别对SH、SV和P波进行分析：

首先，对位移场的频率进行归一化处理，设土体中SH、SV、P波的无量纲频率分别为：

其中，a为桩体的外半径，c_k1、c_β1、c_α1分别为土体中SH、SV、P波的波速，λ_k1、λ_β1、λ_α1分别为图体中SH、SV、P波的波长。

用位移幅值比|v/v₀|、|u/u₀|和|w/w₀|分别表示SH、SV和P波入射下群桩屏障的隔震效果，即群桩后由入射波场和散射波场引起的位移与未设立群桩时仅由入射波场引起的位移之间的比值，其中v、u和w分别为群桩后入射SH、SV和P波的入射波场与相应散射波场的总位移，v₀、u₀和w₀分别为未设立群桩时仅由入射SH、SV和P波引起的位移。

取桩间距为b/a＝3和h/a＝3，桩与土的剪切波速之比分别为μ₂/μ＝1000，密度之比为ρ₂/ρ₁＝1.3，单排桩体个数分别为N＝5、10、15和+∞，绘制周期分布单排桩体后点(0,10)处SH、SV和P波的无量纲位移|v/v₀|、|u/u₀|和|w/w₀|分别随无量纲频率η_SH、η_SV和η_P变化的频谱图如图4a～4c所示，其中，N＝5、15和25的曲线由常规的有效周期模型计算得出，N＝+∞的曲线由本发明中的无线周期模型计算得出。

由图4a～4c可以得出，当有限周期模型的桩数增多时，三种不同入射波情况下的计算结果均逐渐逼近同条件下的无限周期模型的计算结果，两种模型计算结果之间的误差越来越小。因此当有限周期模型的桩数足够多时，两种计算模型计算结果之间的误差将足够小，此时无限周期模型的计算结果与有限周期模型的计算结果可视为一致。

实际工程中往往采用较多的桩进行隔振，而当采用有限周期分布桩体模型进行分析时，待定系数随桩体数量呈倍数增加，计算难度大甚至无法计算。而由上述实施例结果可知，在分析大量周期分布桩体的隔振效果时，可用无限周期模型代替有限周期模型。

表1详列了同一计算机下采用两种模型计算图4频谱图的计算量和求解时间，其中计算量通过待定系数的个数表示，求解时间为程序运算所需时间。所有结果均采用Fortran语言编程计算求得，计算机配置：CPU为“Intel(R)Core(TM)i7-6700@3.40GHz 4 core”；内存为8GB。

表1不同模型的求解时间

从表1中可以看出，当采用有限周期模型桩数N＝15时，待定系数个数为无限周期模型的15倍，对SH波的求解时间为无限周期模型的25倍，对P或SV波的求解时间为无限周期模型的67倍，若桩数N继续增加则因待定系数的成倍增多使得求解更加困难。而实际工程中使用排桩进行隔振时的桩数通常远大于算例中的N＝15，此时采用常规的有限周期模型难度大、效率低，甚至在常规计算条件下无法实现，因此可采用无限周期模型求解，能够克服常规的有限周期模型计算大量桩体时的困难，求解精确且能够显著降低问题求解时的计算量和求解时间，完善了对群桩隔振问题的理论分析研究。

上述说明示出并描述了本发明的若干优选实施方式，但如前所述，应当理解本发明并非局限于本文所披露的形式，不应看作是对其他实施方式的排除，而可用于各种其他组合、修改和环境，并能够在本文所述发明构想范围内，通过上述教导或相关领域的技术或知识进行改动。而本领域人员所进行的改动和变化不脱离本发明的精神和范围，则都应在本发明所附权利要求的保护范围内。

Claims (4)

1.考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、建立周期分布群桩对平面SH、SV、P波的散射分析模型，并分别对SH、SV、P波进行散射分析；

步骤2、设置一个周期单元的桩体为基础单元，并采用波函数展开法设立该基础单元的桩体在极坐标系下的散射波场；

步骤3、对于基础单元内相同位置处不同排和不同列桩体的散射波场，通过偏移相应的相位来确定；

步骤4、应用Graf加法定理在基础单元的极坐标系下表示，并叠加入射波场和所有土体域中的散射波场，得到土体域中的总波场；

步骤5、结合桩体域中的散射波场，根据基础单元的桩体-土边界的应力和位移连续性条件求解散射系数，从而得到解析的结果。

2.根据权利要求1中所述的考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法，其特征在于，所述步骤4在应用Graf加法定理包括对Graf公式进行推导，具体计算过程为：根据Graf加法基本数学式

其中，距离v、夹角ψ、距离Z、距离u、夹角χ均为Graf加法公式的基本变量；J_m(·)为第一类贝塞尔(Bessel)函数，C_n(·)的含义为当C_n(·)取n阶第一类Bessel函数时，式(1)恒成立；

以及定义Graf加法公式的拓展变量距离r₁、夹角θ₁、夹角δ、距离e、距离r₀、夹角θ₀，显然有关系式v＝r₁，ψ＝π-θ₁+δ，Z＝e，u＝r₀，χ＝θ₀-δ，进而得到

即：

其中，夹角δ和距离e均为坐标系(x₀,y₀)和坐标系(x₁,y₁)的相对位置参数，

对式(3)进行变换：①×cosnδ-②×sinnδ→①和①×sinnδ+②×cosnδ→②得到：

进行整理得到适用于相对表示为(e,δ)的任意两个坐标系间变换的Graf加法定理：

其中，

3.根据权利要求2中所述的考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法，其特征在于，群桩对SH波散射的求解过程具体为：设v₀为入射平面SH波的位移幅值，入射波在第c排第0列桩体坐标系(x_c,0,y_c,0)下表示为：

其中，k₁为土体中SH波的波数，i表示虚数单位；将入射波场在对应的极坐标系(r_c,0,θ_c,0)下表示为Fourier-Bessel级数形式：

其中，J_m(x)为第一类Bessel函数；每排第J列桩体的散射波场与该排第0列桩体的散射波场相差位为exp(ik₁jbcosθ_SH)，因此，在第c排第j列桩体对应的极坐标系(r_c,i,θ_c,i)下，第c排第j列桩体散射波的Fourier-Bessel级数形式为：

其中，上标(r)表示散射，为第一类Hankel函数，和为第c排第0列桩在土体域中的散射待定系数；

为实现所有桩体散射波场的叠加，根据不同坐标系间的相对位置(e,δ)，应用Graf加法公式，将所有桩体的散射波场分别转换到基础单元桩体的极坐标系(r_c,0,θ_c,0)下：

因此，在(r_c,0,θ_c,0)坐标系下土体中的总波场为：

基础单元的桩体域内散射波场为：

其中，和为桩体域中的散射待定系数，k₂为桩体中SH波的波数；

根据桩体-土边界的应力和位移连续性条件，基础单元中每排(r_c,0,θ_c,0)坐标系下r₀＝a处有：

将式(11)和式(12)代入式(13)中，根据不同阶三角函数线性无关性质，得到一组关于系数和的无穷线性方程组：

求解方程组得到所有散射待定系数，并代入式(11)中求得所有位置处的位移。

4.根据权利要求1中所述的考虑周期分布的群桩屏障对弹性波隔振的解析计算方法，其特征在于，群桩对SV和P波散射的求解过程具体包括以下步骤：设ψ₀为入射平面的SV波的振幅，入射波势函数在第c排第0列桩体坐标系(x_c,0,y_c,0)下为：

其中，β₁为土体中SV波的波数，i为虚数单位；

将入射波场在对应的极坐标系(r_c,0,θ_c,0)下表示为Fourier-Bessel级数形式为：

利用桩体的周期分布特性，每排第j列桩体的散射波场与该排第0列桩体的散射波场相位差为exp(iβ₁jbcosθ_SV)，因此，在第c排第j列桩体对应的极坐标系(r_c,i,θ_c,i)下，第c排第j列桩体散射波场的Fourier-Bessel级数形式为：

其中，和为第c排第j列桩体在桩体域中的散射待定系数；

为实现所有桩体散射波场的叠加，根据不同坐标系的相对位置(e,δ)，应用Graf加法公式，将所有桩体的散射波场分别转换到基础单元桩体的极坐标系(r_c,0,θ_c,0)下：

因此，在(r_c,0,θ_c,0)坐标系下土体中的总波场为：

基础单元的桩体域内散射波场为：

其中，和为桩体域中的散射待定系数，α₂和β₂分别为桩体中P波和SV波的波数；

将土体域和桩体域中的总波场表达式为应力σ_rr、σ_rθ和位移u_r、u_θ，利用桩土界面的应力和位移连续条件：

将式(19a)、式(19b)和式(20a)、式(20b)分别代入式(21)中，根据不同阶三角函数线性无关性质，得到一组关于系数 和的无穷线性方程组：

求解方程组得到所有待定系数，代入式(17a)和式(17b)中可求得所有桩体的散射场，再叠加入式(15)得到土体中的总波场，进而可以得到全部的应力与位移；

而当入射波为P波时，设为入射平面P波的振幅，入射波势函数在第c第0列桩体坐标系(x_c,0,y_c,0)下为：

其余计算步骤与SV波的计算过程相同。