CN111488638A - 周期分布排桩对平面sv波散射解析解的求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于建筑施工技术领域，具体涉及一种周期分布排桩对平面SV波散射解析解的求解方法，该方法采用波函数展开法并结合Graf加法定理，利用二维全空间中相邻周期单元的散射波场在频域内相差一个相位的特性，仅选取周期结构中一个基本单元(0号桩体)进行分析建模；其余单元的贡献通过对基本单元的散射波场偏移相应的相位确定，进而得到所有单元的散射波场；将入射波场和所有散射波场的贡献叠加后，根据边界条件求解待定系数，最终求得周期分布排桩模型的总波场解析解。本发明提出的方法求解精确，能够替代有限周期模型分析桩体个数较多时的排桩隔振规律，且能够显著降低问题求解时的计算量和存储量。

Description

周期分布排桩对平面SV波散射解析解的求解方法

技术领域

本发明属于建筑施工技术领域，具体涉及一种周期分布排桩对平面SV波散射解析解的求解方法。

背景技术

目前由交通运输和建筑施工等人类活动引起的环境振动问题日益突出，在国际上环境振动已被列为“七大公害”之一。采用连续屏障或非连续屏障阻隔振动传播是工程隔振的有效措施。空沟、填充沟等连续屏障的隔振效果比较理想，但其施工难度大、维护成本高，在软土与高地下水位地区难以适用；而排桩等非连续屏障则因施工方便、造价低、适用性强等优势具有更为广泛的应用前景。

针对排桩隔振问题，国内外学者已开展了大量工作，方法涉及试验研究、数值计算和理论分析。试验研究能够最大程度地反映实际，数值计算能够适应各种复杂情况，但以解析法为主的理论分析求解，在计算精度和分析问题本质方面有着其他方法不可替代的作用。到目前为止，对排桩隔振效应的解析求解多采用桩体个数较少(每排9个以内)的有限个(周期分布)排桩模型，当桩体个数较多时因计算量巨大而求解困难，对桩体个数较多时的排桩隔振研究鲜有报道。

发明内容

本发明的目的在于提供一种周期分布排桩对平面SV波散射解析解的求解方法，以解决背景技术中存在的问题。

为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：一种周期分布排桩对平面SV波散射解析解的求解方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：建立周期分布单排桩对平面SV波的散射分析模型；

选取一个周期单元的桩体为研究对象，设该桩体为第0号桩体，采用波函数展开法设立0号桩体在(r₀，θ₀)坐标系下的散射波场，其他非0号桩体的贡献，通过对0号桩体的散射场偏移相应的相位确定，并应用Graf加法定理均在(r₀，θ₀)坐标系下表示，叠加入射波场和所有桩体的在土体域中的散射波场后，结合桩体域中的散射波场，根据边界条件求解待定系数，从而得到无限周期分布桩体模型的解析结果；

步骤2：求解方法与过程；

以圆频率为ω入射的平面SV波，在整体平面直角坐标系(x，y)中，其势函数表达式为：

ψ⁽ⁱ⁾(x,y)＝ψ₀ exp[iβ₁(xcosθ_SV+ysinθ_SV)] (1)

其中β₁＝ω/c_β1为土体中横波波数，相应的α₁＝ω/c_α1为土体中纵波波数，表示i虚数单位，为简化书写，式中的时间因子exp(-ωt)i已略去，下同。

式(1)可转化到极坐标系(r，θ)下，又因为(r，θ)与(r₀，θ₀)相同，因此式(1)在极坐标系(r₀，θ₀)下表示为：

ψ⁽ⁱ⁾(r₀,θ₀)＝ψ₀ exp[iβ₁r₀ cos(θ₀-θ_SV) (2)

采用Fourier－Bessel波函数展开法将(2)式展开：

其中J_m(x)为第一类Bessel函数，(3)式即为土体自由场的入射SV波波函数展开形式；

当土体存在桩体时，入射SV波会发生散射，散射波包括P波和SV波两个分量，由于桩体屏障排列的周期性，第j号桩体的散射波与第0号桩体的散射波的相位差为exp(iβ₁jbcosθ_SV)，因此在第j号桩体对应的极坐标系(r_j，θ_j)下，第j号桩体散射波的Fourier－Bessel级数形式可表达为：

表示散射波中的P波分量，ψ(r_j，θ_j)表示散射波中的SV波分量，H_n ⁽¹⁾(x)为Hankel函数，A_n、B_n、C_n、D_n为散射待定系数，只需要求得所有待定系数即可得到每一个桩体的散射场，叠加后即为整个非连续周期桩体屏障的散射场；

根据多重散射原理，每一个桩体的入射波不仅仅是外入射SV波，还包括其他桩体的散射波；由于各个桩体产生的散射波是在各自的极坐标系下表示的，所以无法直接与外入射波叠加求得全波，因此应用Graf加法公式将极坐标系(r_j，θ_j)下的散射波转换成极坐标系(r₀，θ₀)中的Bessel级数形式，第j号桩体(j≠0)的散射波转换为：

值得注意的是，第0号桩体的散射波是不需要进行坐标转换的，而且不存在相位差，所以第0号桩体的散射波单独表示为：

设

和ψ^(r) _j≠0为所有非0号桩体转换后散射波的叠加，即：

其中：

至此，在极坐标系(r₀，θ₀)中统一用Bessel级数形式表示出了外入射平面SV波、0号桩体的散射波和非0号桩体的散射波，叠加后得到土体中全波的表达式，

为土体中纵波的全波表达式，ψ(r₀,θ₀)为土体中横波的全波表达式：

由于弹性圆柱实心桩的存在，入射波不但被桩体界面散射到土体中，而且还有部分被折射进入桩体中去，桩体中的折射驻波的位移势可表示为：

其中E_n、F_n、G_n、H_n为待定折射系数，β₂＝ω/c_β2为土体中横波波数，相应的α₂＝ω/c_α2为土体中纵波波数；

该模型为弹性圆柱实心桩，因此边界条件为位移和应力连续条件(r₀＝a时)：

σ_rr1、σ_rθ1、σ_θθ1是由土体中全波产生的应力，σ_rr2、σ_rθ2、σ_θθ2是由桩体内折射驻波产生的应力，用已求得的位移势可表示为：

u_r1、u_θ1是由土体中全波产生的位移，u_r2、u_θ2是由桩体内折射驻波产生的位移，用已求得的位移势可表示为：

其中ε⁽¹⁾ ₁₁、ε⁽³⁾ ₁₁、……等是各种波对应力或位移作出的贡献，按照土体中全波和桩体中折射驻波的不同确定α与β的具体取值：

当i＝l时，C⁽ⁱ⁾ _n(x)为J_n(x)函数；当i＝3时.C⁽ⁱ⁾ _n(x)为H⁽ⁱ⁾ _n(x)函数；。

至此得到了极坐标系(r₀，θ₀)下应力与位移的全部表达式，利用(20)式的应力位移连续的边界条件，由(21)和(24)、(22)和(25)以及(27)～(30)式联立解方程组，即可求得所有散射和折射待定系数，再将求得的待定系数代入(21)～(30)式中即可求得所有应力与位移。以求解A_n、C_n、E_n、G_n为例，令r₀＝a列方程组(41)：

取足够精度的m＝n，然后可由方程组(41)中4n个方程解得4n个未知系数A_n、C_n、E_n、G_n，同理可求得B_n、D_n、F_n、H_n，不再赘述，至此求得所有待定系数，即求得所有桩体的散射场。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

该方法采用波函数展开法并结合Graf加法定理，利用二维全空间中相邻周期单元的散射波场在频域内相差一个相位的特性，仅选取一个周期单元，将入射波场和所有散射波场的贡献叠加后，根据边界条件求解待定系数，从而求得整个散射波场。该解析解能够精确求解无限周期分布排桩的散射问题，分析周期分布桩体数量较多时的隔振规律，并显著降低求解相关问题时的计算量和存储量，弥补了以往理论分析中桩体个数较多时难以求解的不足。本发明提出的方法求解精确，能够替代有限周期模型分析桩体个数较多时的排桩隔振规律，大大减少了求解时的计算量和存储量，弥补了以往理论分析中桩体个数较多时难以求解的不足。

附图说明

图1为本发明中周期分布单排桩对平面SV波的散射分析模型。

具体实施方式

下面结合附图及较佳实施例详细说明本发明的具体实施方式。

本发明为一种周期分布排桩对平面SV波散射解析解的求解方法，包括如下步骤：

步骤1：建立周期分布单排桩对平面SV波的散射分析模型，选取周期结构中的一个基本桩体为研究对象，设该桩体为第0号桩体；

步骤2：以平面SV波作为入射波，根据入射波场函数，采用波函数展开法得到0号桩体的散射波场函数；

步骤3：采用Graf加法定理，将其他非0号桩体的贡献，通过对0号桩体的散射波场偏移相应的相位确定，进而得到所有桩体的散射波场；

步骤4：叠加入射波场和所有桩体的散射贡献(包括散射波场和折射波场)，得到全空间土体域的总波场表达式。

步骤5：根据边界条件求解待定系数，从而得到无限周期分布桩体模型对平面SV波散射的解析结果。

实施例：实际工程中往往采用较多的桩进行隔振，而当采用有限周期分布桩体模型进行分析时，待定系数随桩体数量呈倍数增加，计算难度大甚至无法计算。表1列出了同一计算机下应用不同模型计算时的求解时间，计算机配置：CPU为“Intel(R)Core(TM)i7-6700@3.40GHz 4core”；内存为8GB。从表1可以看出，当桩体个数增加到N＝55时，两种计算模型的求解结果几乎一致，但有限周期模型的求解时间是无限周期模型的540倍，当桩体个数继续增加时结果更为相近但求解时间相差更大。故采用理想周期模型计算和分析大量周期分布桩体隔振效果时，计算难度小且结果精确。

由此可见，理论研究中，在分析大量周期分布桩体的隔振效果时(该问题本质即是周期结构对弹性波散射)，可用无限周期模型代替有限周期模型。

表1有限周期模型和无限周期模型计算量和存储量的比较

注：m为级数截断项数。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种周期分布排桩对平面SV波散射解析解的求解方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：建立周期分布单排桩对平面SV波的散射分析模型，选取周期结构中的一个基本桩体为研究对象，设该桩体为第0号桩体；

步骤2：以平面SV波作为入射波，根据入射波场函数，采用波函数展开法得到0号桩体的散射波场函数；

步骤3：采用Graf加法定理，将其他非0号桩体的贡献，通过对0号桩体的散射波场偏移相应的相位确定，进而得到所有桩体的散射波场；

步骤4：叠加入射波场和所有桩体的散射贡献，包括散射波场和折射波场，得到全空间土体域的总波场表达式；

步骤5：根据边界条件求解待定系数，从而得到无限周期分布桩体模型对平面SV波散射的解析结果。

2.根据权利要求1中所述的一种周期分布排桩对平面SV波散射解析解的求解方法，具体求解方法与过程为：

以圆频率为ω的平面SV波为入射波，其在整体平面直角坐标系(x，y)中的势函数表达式为：

ψ⁽ⁱ⁾(x,y)＝ψ₀exp[iβ₁(x cosθ_SV+y sinθ_SV)] (1)

其中β₁＝ω/c_β1为土体中横波波数，后文相应的α₁＝ω/c_α1为土体中纵波波数，为简化书写，式中的时间因子exp(-iωt)已略去，下同；

式(1)可转化到极坐标系(r，θ)下，又因为(r，θ)与(r₀，θ₀)相同，因此式(1)在极坐标系(r₀，θ₀)下表示为：

ψ⁽ⁱ⁾(r₀,θ₀)＝ψ₀exp[iβ₁r₀cos(θ₀-θ_SV) (2)

采用Fourier－Bessel波函数展开法将(2)式展开：

其中J_m(x)为第一类Bessel函数，(3)式即为土体自由场的入射SV波波函数展开形式；

当土体存在桩体时，入射SV波会发生散射，由于波型转换，散射波包括P波和SV波两个分量，根据所设桩体排列的周期性，第j号桩体的散射波与第0号桩体的散射波的相位差为exp(iβ₁jbcosθ_SV)，因此在第j号桩体对应的极坐标系(r_j，θ_j)下，第j号桩体散射波的Fourier－Bessel级数形式可表达为：

表示散射波中的P波分量，ψ(r_j，θ_j)表示散射波中的SV波分量，H_n ⁽¹⁾(x)为Hankel函数，A_n、B_n、C_n、D_n为散射待定系数，只需要求得所有待定系数即可得到每一个桩体的散射场，叠加后即为整个非连续周期桩体屏障的散射场；

根据多重散射原理，每一个桩体的入射波不仅仅是外入射SV波，还包括其他桩体的散射波；由于各个桩体产生的散射波是在各自的极坐标系下表示的，所以无法直接与外入射波叠加求得全波，因此应用Graf加法公式将极坐标系(r_j，θ_j)下的散射波转换成极坐标系(r₀，θ₀)中的Bessel级数形式，第j号桩体(j≠0)的散射波转换为：

值得注意的是，第0号桩体的散射波是不需要进行坐标转换的，而且不存在相位差，所以第0号桩体的散射波单独表示为：

设

和ψ^(r) _j≠0为所有非0号桩体转换后散射波的叠加，即：

其中：

至此，在极坐标系(r₀，θ₀)中统一用Bessel级数形式表示出了外入射平面SV波、0号桩体的散射波和非0号桩体的散射波，叠加后得到土体中全波的表达式，

为土体中纵波的全波表达式，ψ(r₀,θ₀)为土体中横波的全波表达式：

由于弹性圆柱实心桩的存在，入射波不但被桩体界面散射到土体中，而且还有部分被折射进入桩体中去，桩体中的折射驻波的位移势可表示为：

其中E_n、F_n、G_n、H_n为待定折射系数，β₂＝ω/c_β2为土体中横波波数，相应的α₂＝ω/c_α2为土体中纵波波数；

该模型为弹性圆柱实心桩，因此边界条件为位移和应力连续条件(r₀＝a时)：

σ_rr1、σ_rθ1、σ_θθ1是由土体中全波产生的应力，σ_rr2、σ_rθ2、σ_θθ2是由桩体内折射驻波产生的应力，用已求得的位移势可表示为：

u_r1、u_θ1是由土体中全波产生的位移，u_r2、u_θ2是由桩体内折射驻波产生的位移，用已求得的位移势可表示为：

其中ε⁽¹⁾ ₁₁、ε⁽³⁾ ₁₁、……等是各种波对应力或位移作出的贡献，按照土体中全波和桩体中折射驻波的不同确定α与β的具体取值：

当i＝l时，C⁽ⁱ⁾ _n(x)为J_n(x)函数；当i＝3时.C⁽ⁱ⁾ _n(x)为H⁽ⁱ⁾ _n(x)函数；

至此得到了极坐标系(r₀，θ₀)下应力与位移的全部表达式，利用(20)式的应力位移连续的边界条件，由(21)和(24)、(22)和(25)以及(27)～(30)式联立解方程组，即可求得所有散射和折射待定系数，再将求得的待定系数代入(21)～(30)式中即可求得所有应力与位移。以求解A_n、C_n、E_n、G_n为例，令r₀＝a列方程组(41)：

取足够精度的m＝n，然后可由方程组(41)中4n个方程解得4n个未知系数A_n、C_n、E_n、G_n，同理可求得B_n、D_n、F_n、H_n，此处不再赘述，至此求得所有待定系数，即求得所有桩体的散射场。

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