CN111402419A - 一种基于轴对称特性的水雷折纸折叠方法及其应用 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于轴对称特性的水雷折纸折叠方法及其应用，其中主要包括以下步骤：S1、采用交互式造型方式，设计一个二维轮廓，并利用该轮廓围绕公共轴旋转，生成三维目标曲面；S2、将水雷单元平铺在上一步生成的目标曲面上，生成基础网格模型；S3、采用数值优化算法解决可折叠几何约束,并调整展开图以减少可折叠残差；S4、通过调整单一变量，模拟折叠结构的刚性折叠过程。在建模过程中，我们考虑了目标模型的轴对称几何特性，因此本发明的水雷折纸结构造型方法降低了数据的复杂度，提高了数值优化的收敛速度。同时，显著地降低了可折叠残差，保证了该折叠结构在科学、工程应用中的尺度无关特性，并展现了由单一变量控制的刚性折叠序列。

Description

一种基于轴对称特性的水雷折纸折叠方法及其应用

技术领域

本发明涉及计算机图形中三维建模领域，是一种基于轴对称几何特性的Waterbomb折纸结构造型方法及其应用。

背景技术

随着数学、材料学、计算机技术等多学科的共同发展，折纸结构得到了各个领域的广泛关注，并启发了大量新型研究、应用成果。在众多的折纸纹样当中，我们将重点放在Waterbomb(水雷)折纸上。该折纸结构，由一组Waterbomb bases(水雷单元)组成；在基础单元当中，六条折痕线相交于一个内部顶点。水雷折纸是研究和应用最广泛的折纸纹样之一。基于广义Waterbomb近似3D表面的设计方法的提出，仅仅解决了可展开性的约束，而没有解决可折叠性的约束；表明基于他们的方法实现的结果模型无法刚性折叠成紧凑状态。

由于内在的几何约束限制了建模过程，用户无法自由地设计一个满足几何约束的水雷模型。此外，缺乏计算设计方法也将限制基于折纸结构的研究与应用的进一步发展。在这项工作中，本发明提出了一种交互式设计方法来构造一个可折叠的水雷折纸结构，实现对用户输入目标模型的近似。

发明内容

针对现有技术的缺陷，本发明提供了一种基于轴对称几何特性的Waterbomb折纸结构造型方法。根据轴对称特性，降低了数据的复杂度，提高了数值优化的收敛速度。同时，显著地降低了可折叠残差，保证了该折叠结构的在科学、工程应用中的尺度无关特性，并展现了由单一变量控制的刚性折叠序列的目的。

为了实现上述目的，本发明实施提供的技术方案如下：

一种基于轴对称特性的水雷折纸折叠方法，所述方法包括：

S1、采用交互式造型方式，设计一个二维(2D)轮廓，并利用该轮廓围绕公共轴旋转，生成三维(3D)目标曲面；

S2、采用将Waterbomb base(水雷单元)平铺在上一步生成的目标曲面上的方式，生成基础网格模型；

S3、采用数值优化算法解决可折叠几何约束，并调整展开图以减少可折叠残差；

S4、通过调整单一变量，模拟折叠结构的刚性折叠过程。

进一步说明，所述步骤S1具体为：

S11、首先建模三维目标曲面。考虑到轴对称性，可通过围绕z轴，旋转2D轮廓来实现目标曲面的生成。

S12、采用NURBS曲线来表示二维轮廓。NURBS的控制点由用户指定，因此可以通过添加，删除和移动这些控制点来交互地设计轮廓形状。此外，由同一组控制点，可以计算出开放或闭合两种NURBS曲线，从而生成不同的目标曲面，提高了设计的灵活性、多样性；

进一步说明，所述步骤S2具体为：

S21、针对上述步骤生成的目标曲面，通过取样的方式，建模四边形网格模型。参数N_s表示四边形网格模型的条数；N_r表示模型的旋转对称的次数；θ表示通过Z轴两个平面的夹角，大小等于2π/N_r；

S22、在轮廓曲线上等距取样N_s+1个分割点，然后将N_s+1个这样的分割点绕着Z轴旋转θ角度，重复N_r-1次；考虑到水雷折纸的几何结构，相邻的条带应移动水雷折纸单元一半。根据轴对称特性，可以通过将偶数条带旋转θ/2来有效地满足此几何特性；

S23、将水雷折纸单元平铺在目标曲面上以生成基础网格模型。这里，用户可以通过交互式方法，更改水雷折纸单元的朝向，得到具有相反朝向的基础网格模型。该基础网格模型视作水雷折纸对目标曲面的初次近似，并作为以下优化过程的初始状态；

进一步说明，所述步骤S3具体为：

S31、水雷折纸应满足可展开约束，即无需拉伸即可在平面上实现平铺展开。在这里，本发明建立了最小化等式(1)来求解整个水雷折纸模型的可展开约束：

其中m是内部顶点的总数，α_i,k是第i个顶点的第k个角度。

S32、根据川崎定理，当且仅当顶点周围的角度之和为π时，才是可折叠的。在川崎定理的基础上，本发明建立了最小化方程(2)来求解整个水雷折纸模型的可折叠约束：

其中m是内部顶点的总数，α_i,odd是围绕第i个顶点奇数项角度之和，α_i,even是围绕第i个顶点偶数项角度之和，满足α_i,odd＝α_i,1+α_i,3+α_i,5,α_i,even＝α_i,2+α_i,4+α_i,6。

S33、为了评估优化过程，本发明首先引入单顶点可展开的残差等式(3)和单顶点可折叠残差等式(4)：

f_i＝|π-α_i,odd|+|π-α_i,even| (4)

S34、然后，引入残差e_d和e_f，分别代表所有内部顶点之间的d_i和f_i的最大值。当e_d小于t_d且e_f小于t_f时，则模型是可折叠的，其中t_d和t_f是用户指定的两个阈值。具体来说，在本发明中，将t_d和t_f设置为1e-5。

S35、应用轴对称几何特性加速优化过程。首先,考虑到模型整体的轴对称几何特性，只需优化部分模型，代替对整个基础网格模型的优化。具体来说，部分模型可以通过一次镜面复制操作和绕z轴N_r-1次轴对称复制操作，重构整个基础网格模型。因此，利用下列的公式(5)来代替公式(2)，相应地，在轴对称情形下，可展残差约束和可折叠残差约束分别改写为式(6)和(7)；

S36、引入极坐标系P((β,len),z)代替笛卡尔坐标系的点P(x,y,z)，β和len确定一个平面的顶点的位置。为了保留轴对称结构，顶点只需在由其极坐标定义的平面上移动即可，这意味着可以固定β。因此，一个顶点的变量数从三个减少为两个，即len和z。

S37、通过上述优化过程求解，能够减少可折叠残差，满足大多数科学、工程应用中对于可折叠结构的要求。但可折叠残差仍然相对较高，这可能导致在一些特殊应用场景中，如大尺度可折叠结构的应用，折叠结构的尺度无关特性的失效。因此，在实施优化算法之后，参照模型的对称几何特性，对展开图进行调整与修正。这里，只考虑展开图的一部分，根据镜像对称性的几何特点和满足可折叠性的要求，奇数项的点p_i设置在直线l₁上，具有偶数项的点设置在直线l₂上。应用线性回归来计算出直线l₁和l₂。令p_i′表示p_i对应直线上点的投影。之后，将p_i移动到p_i′实现展开图的调整。尽管展开图的顶点变化很小，但可展、可折叠残差e_d和e_f却显著降低。

进一步说明，所述步骤S4具体为：

S41、基于上述调整后的展开图，重新生成三维折纸模型。通过改变参数θ，模拟该折叠结构的刚性折叠过程。

上述方法所得的折纸结构可用于工业产品包装、管状生物医学支架、环状折叠拱顶、轴对称刚性形变的自折叠机器人的设计与研发等。

本发明的有益效果：

在本发明中提出基于轴对称几何特性的Waterbomb折纸结构造型方法。根据轴对称特性，降低了数据的复杂度，提高了数值优化的收敛速度。同时，显著地降低了可折叠残差，保证了该折叠结构的在科学、工程应用中的尺度无关特性，并展现了由单一变量控制的刚性折叠序列。

附图说明

图1为本发明的流程示意图；其中：

(a)为用户指定的2D轮廓。(b)为通过旋转(a)中所示的轮廓生成的3D目标曲面。(c)为通过平铺生成的基础网格模型。(d)为优化和调整展开图后的结果模型。(e)为刚性折叠顺序，可以通过调整单一变量实现结构的折叠与展开。(f)为手工制作的折纸样品。

图2具有轴对称的目标曲面的生成图；其中：

(a)显示一个开放区域，(b)通过旋转操作显示其对应的目标表面。(c)显示了由(a)中使用的相同控制点计算出的闭合曲线，(d)显示了圆环状目标表面。

图3水雷折纸示例图；其中：

(a)水雷单元，六条折痕线相交于一个内部顶点，(b)展开图由一组水雷单元组成，相邻的条带移动了单元的一半，(c)通过折叠展开图制成的立体模型。

图4基础网格模型图；其中：

(a)一种四边形网格模型。(b)基础网格模型。(c)另一种基础网格模型，其水雷单元具有相反的朝向。

图5轴对称三维模型的构成图；其中：

(a)可用于生成整个结构的部分模型。(b)通过一次镜像操作从(a)生成的1/Nr整体部分模型。(c)整个模型。

图6调节展开图模拟刚性折叠序列图；其中：

(a)考虑部分折痕模型(b)模拟了刚性折叠过程的序列，它们轴对称地展开或折叠模型。

具体实施方式

以下将结合附图所示的各实施方式对本发明进行详细描述。但这些实施方式并不限制本发明，本领域的普通技术人员根据这些实施方式所做出的结构、方法、或功能上的变换均包含在本发明的保护范围内。

如图1所示，本发明是一种基于轴对称特性的水雷折纸折叠方法，发明方法依托Java编程语言自开发软件实现，包括以下步骤：

S1、采用交互式造型方式，设计一个二维(2D)轮廓，并利用该轮廓围绕公共轴旋转，生成三维(3D)目标曲面；

S2、采用将Waterbomb base(水雷单元)平铺在上一步生成的目标曲面上的方式，生成基础网格模型；

S3、采用数值优化算法解决可折叠几何约束,并调整展开图以减少可折叠残差；

S4、通过调整单一变量，模拟折叠结构的刚性折叠过程。

进一步说明，所述步骤S1具体为：

S11、首先建模三维目标曲面。考虑到轴对称性，可通过围绕z轴，旋转2D轮廓来实现目标曲面的生成。

S12、采用NURBS曲线来表示二维轮廓。NURBS的控制点由用户指定，因此可以通过添加，删除和移动这些控制点来交互地设计轮廓形状。此外，由同一组控制点，可以计算出开放或闭合两种NURBS曲线(分别如图2(a)和(c)所示)，从而生成不同的目标曲面(分别如图2(b)和(d)所示)，提高了设计的灵活性、多样性；

进一步说明，所述步骤S2具体为：

S21、针对上述步骤生成的目标曲面，通过取样的方式，建模四边形网格模型(如图4(a)所示)。参数N_s表示四边形网格模型的条数；N_r表示模型的旋转对称的次数；θ表示通过Z轴两个平面的夹角，大小等于2π/N_r；

S22、在轮廓曲线上等距取样N_s+1个分割点，然后将N_s+1个这样的分割点绕着Z轴旋转θ角度，重复N_r-1次；考虑到水雷折纸的几何结构，相邻的条带应移动水雷折纸单元一半(如图3所示)。根据轴对称特性，可以通过将偶数条带旋转θ/2来有效地满足此几何特性；

S23、将水雷折纸单元平铺在目标曲面上以生成基础网格模型(如图4(b)所示)。这里，用户可以通过交互式方法，更改水雷折纸单元的朝向，得到具有相反朝向的基础网格模型(如图4(c)所示)。该基础网格模型视作水雷折纸对目标曲面的初次近似，并作为以下优化过程的初始状态；

进一步说明，所述步骤S3具体为：

S31、水雷折纸应满足可展开约束，即无需拉伸即可在平面上实现平铺展开。在这里，最小化等式(1)来求解整个水雷折纸模型的可展开约束：

其中m是内部顶点的总数，α_i,k是第i个顶点的第k个角度。

S32、川崎定理指出，当且仅当顶点周围的角度之和为π时，才是可折叠的。在川崎定理的基础上，最小化方程(2)来求解整个水雷折纸模型的可折叠约束：

其中m是内部顶点的总数，α_i,odd是围绕第i个顶点奇数项角度之和，α_i,even是围绕第i个顶点偶数项角度之和，所以α_i,odd＝α_i,1+α_i,3+α_i,5,α_i,even＝α_i,2+α_i,4+α_i,6。

S33、为了评估优化过程，首先引入单顶点可展开的残差等式(3)和单顶点可折叠残差等式(4)：

f_i＝|π-α_i,odd|+|π-α_i,even| (4)

S34、然后，引入残差e_d和e_f，分别代表所有内部顶点之间的d_i和f_i的最大值。当e_d小于t_d且e_f小于t_f时，认为模型是可折叠的，其中t_d和t_f是用户指定的两个阈值。具体来说，在这项工作中，将t_d和t_f设置为1e-5。

S35、应用轴对称几何特性加速优化过程。首先，考虑到模型整体的轴对称几何特性，只需优化部分模型(如图5(a)所示)，代替对整个基础网格模型的优化。具体来说，部分模型(如图5(b)所示)可以通过一次镜面复制操作和绕z轴N_r-1次轴对称复制操作，重构整个基础网格模型(如图5(c)所示)。因此，用下列的公式(5)来代替公式(2)，相应地，在轴对称情形下，可展残差约束和可折叠残差约束分别改写为式(6)和(7)；

S36、引入极坐标系P((β,len),z)代替笛卡尔坐标系的点P(x,y,z)，β和len确定一个平面的顶点的位置。为了保留轴对称结构，顶点只需在由其极坐标定义的平面上移动即可，这意味着可以固定β。因此，一个顶点的变量数从三个减少为两个，即len和z。

S37、通过上述优化过程求解，能够减少可折叠残差，满足大多数科学、工程应用中对于可折叠结构的要求。但可折叠残差仍然相对较高，这可能导致在一些特殊应用场景中，如大尺度可折叠结构的应用，折叠结构的尺度无关特性的失效。因此，在实施优化算法之后，参照模型的对称几何特性，对展开图进行调整与修正。这里，只考虑展开图的一部分(如图6(a)左侧所示)，考虑镜像对称性的几何特点和满足可折叠性的要求，奇数项的点p_i应该位于直线l₁上，具有偶数项的点应该位于直线l₂上。因此，应用线性回归来计算出直线l₁和l₂。令p_i′表示p_i对应直线上点的投影。之后，将p_i移动到p_i′实现展开图的调整。尽管展开图的顶点变化很小，但可展、可折叠残差e_d和e_f却显著降低。

进一步说明，所述步骤S4具体为：

S41、基于上述调整后的展开图，重新生成三维折纸模型(如图6(a)右侧所示)。通过改变参数θ，模拟该折叠结构的刚性折叠过程(如图6(b)所示)。

上述方法所得的折纸结构可用于工业产品包装、管状生物医学支架、环状折叠拱顶、轴对称刚性形变的自折叠机器人的设计与研发等。

上文所列出的一系列的详细说明仅仅是针对本发明的可行性实施方式的具体说明，它们并非用以限制本发明的保护范围，凡未脱离本发明技艺精神所作的等效实施方式或变更均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于轴对称特性的水雷折纸折叠方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、采用交互式造型方式，设计一个二维轮廓，并利用该轮廓围绕公共轴旋转，生成三维目标曲面；

S2、将水雷单元平铺在上一步生成的目标曲面上，生成基础网格模型；

S3、采用数值优化算法解决可折叠几何约束，并调整展开图以减少可折叠残差；

S4、通过调整单一变量，模拟折叠结构的刚性折叠过程。

2.根据权利要求1所述的一种基于轴对称特性的水雷折纸折叠方法，其特征在于，所述步骤S1具体为：

S11、首先建模三维目标曲面：利用轴对称性，通过围绕z轴，旋转2D轮廓来实现三维目标曲面的生成；

S12、采用NURBS曲线来表示二维轮廓：NURBS的控制点由用户指定，可以通过添加、删除和移动这些控制点来交互地设计轮廓形状；由同一组控制点，计算出开放或闭合两种NURBS曲线，生成不同的目标曲面。

3.根据权利要求2所述的一种基于轴对称特性的水雷折纸折叠方法，其特征在于，所述步骤S2具体为：

针对步骤S1生成的目标曲面，通过取样的方式，建模四边形网格模型；具体为：

设参数N_s表示四边形网格模型的条数；N_r表示模型的旋转对称的次数；θ表示通过Z轴两个平面的夹角，大小等于2π/N_r；

在轮廓曲线上等距取样N_s+1个分割点，然后将N_s+1个这样的分割点绕着Z轴旋转θ角度，重复N_r-1次；针对水雷折纸的几何结构，相邻的条带移动水雷折纸单元一半；根据轴对称特性，可以通过将偶数条带旋转θ/2来满足此几何特性；

将水雷折纸单元平铺在目标曲面上以生成基础网格模型，该基础网格模型作为水雷折纸对目标曲面的初次近似，并作为以下优化过程的初始状态。

4.根据权利要求3所述的一种基于轴对称特性的水雷折纸折叠方法，其特征在于，所述步骤S2在生成基础网格模型时，用户可以通过交互式方法，更改水雷折纸单元的朝向，得到具有相反朝向的基础网格模型。

5.根据权利要求3或4所述的一种基于轴对称特性的水雷折纸折叠方法，其特征在于，所述步骤S3具体为：

S31、建立最小化等式来求解整个水雷折纸模型的可展开约束，所述最小化等式如下式(1)所示：

其中m是内部顶点的总数，α_i,k是第i个顶点的第k个角度；

S32、建立最小化方程求解整个水雷折纸模型的可折叠约束，所述最小化方程如式子(2)所示：

其中m是内部顶点的总数，α_i,odd是围绕第i个顶点奇数项角度之和，α_i,even是围绕第i个顶点偶数项角度之和，所以α_i,odd＝α_i,1+α_i,3+α_i,5,α_i,even＝α_i,2+α_i,4+α_i,6；

S33、为了评估优化过程，首先引入单顶点可展开的残差等式(3)和单顶点可折叠残差等式(4)：

f_i＝|π-α_i,odd|+|π-α_i,even| (4)

S34、然后，引入残差e_d和e_f，分别代表所有内部顶点之间的d_i和f_i的最大值。当e_d小于t_d且e_f小于t_f时，则模型是可折叠的，其中t_d和t_f是用户指定的两个阈值。具体来说，在这项工作中，将t_d和t_f设置为1e-5；

S35、应用轴对称几何特性加速优化过程：首先，考虑到模型整体的轴对称几何特性，只需优化部分模型，代替对整个基础网格模型的优化。具体来说，部分模型可以通过一次镜面复制操作和绕z轴N_r-1次轴对称复制操作，重构整个基础网格模型；用下列的公式(5)来代替公式(2)，相应地，在轴对称情形下，可展残差约束和可折叠残差约束分别改写为式(6)和(7)；

S36、引入极坐标系P((β,len),z)代替笛卡尔坐标系的点P(x,y,z)，β和len确定一个平面的顶点的位置，为了保留轴对称结构，顶点只需在由其极坐标定义的平面上移动即可，即可以固定β；因此，一个顶点的变量数从三个减少为两个，即len和z。

6.根据权利要求5所述的一种基于轴对称特性的水雷折纸折叠方法，其特征在于，所述步骤S3的实现还包括优化的方法：

S37、参照模型的对称几何特性，对展开图进行调整与修正，根据镜像对称性的几何特点和满足可折叠性的要求，将奇数项的点p_i位于直线l₁上，具有偶数项的点位于直线l₂上，应用线性回归计算出直线l₁和l₂，令p_i′表示p_i对应直线上点的投影，之后，将p_i移动到p_i′实现展开图的调整。

7.根据权利要求6所述的一种基于轴对称特性的水雷折纸折叠方法，其特征在于，所述步骤S4具体为：

基于上述调整后的展开图，重新生成三维折纸模型；通过改变参数θ，模拟该折叠结构的刚性折叠过程。

8.根据权利要求1-7任一项所述的水雷折纸的应用，其特征在于，用于工业产品包装、管状生物医学支架、环状折叠拱顶、轴对称刚性形变的自折叠机器人。

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