CN113643423B - 一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法及折纸结构 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法及折纸结构，S1、对Waterbomb基础网格模型优化之后，最小化可平坦折叠残差量，取得精确化的三维网格模型条带的左侧部分S2、在基础上，对添加四边形，提出了左边四边形、右边四边形和双侧四边形三种情况，将获得的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q旋转复制形成没有自相交的有效轴对称结构；S3、论证上述获得的折纸结构的可展开性；S4、模拟上述衍生折纸结构的刚性折叠运动。本发明对单个条带左侧平移，基于轴对称特性在空白处添加四边形块填充，利用镜面对称性和旋转复制，生成一种具有轴对称特性带四边形填充的Waterbomb衍生折纸结构。该折纸结构可用于工程领域，例如帐篷、太阳能电池板和超材料等。

Description

一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法及 折纸结构

技术领域

本发明涉及计算机图形中三维建模领域，是一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法及折纸结构。

背景技术

折纸是一种以纸张折成各种不同形状的折纸艺术，即是平面纸张通过折叠获得目标形状。折纸结构合理性和形状可变性使得工程师和科学家在工程领域研究折纸的设计和功能变得可能，折纸结构可以被应用到工程应用上。六个折痕相交的Waterbomb单元折纸是应用最广泛的折纸图案之一，六个折痕相交的折痕图案其中心顶点由两个山折和四个谷折组成，由于Waterbomb的六个折痕单元镜像复制特性，本发明使用的基于六个折痕单元的Waterbomb折纸进行添加四边形块填充，获得一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法及折纸结构。

发明内容

本发明提出具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法及折纸结构。通过优化之后，应用三维网格模型映射到二维展开图案进行调整，最小化可平坦折叠残差量。接下来对符合可展开和可折叠的Waterbomb网格模型添加四边形填充，获得具有轴对称特性的带四边形填充的Waterbomb衍生折纸结构，该折纸结构可用于工程领域，研究以及实现折纸的设计和功能的应用，例如帐篷、太阳能电池板和超材料等结构设计领域。另外，论证了具有轴对称特性的Waterbomb折纸结构的可展开性。当折叠状态发生变化时，模拟了折纸结构由折叠率控制的刚性折叠运动。

为了实现上述目的，本发明实施提供的技术方案如下：

一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法，所述方法包括：

S1、对Waterbomb基础网格模型优化之后，最小化可平坦折叠残差量，取得精确化的三维网格模型条带的左侧部分

S2、在的基础上，通过对/>添加四边形，提出了左边四边形、右边四边形和双侧四边形三种情况，将获得的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q旋转复制形成没有自相交的有效轴对称结构；

S3、论证具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构的可展开性；

S4、模拟具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构的刚性折叠运动。

进一步说明，所述步骤S1具体为：

S11、引入变量N_s，N_s表示Waterbomb网格模型中的条带数，参见图2；

S12、引入Θ，Θ表示通过z轴面Φ_C和面Φ_L两个平面的夹角，大小等于见图2(a)；面Φ_C由y＝tan(Θ)x生成，此时Θ＝0；面Φ_L由y＝tan(Θ)x生成，此时/>面Φ_R由y＝tan(Θ)x生成，此时/>其中下标为奇数的顶点P_i在面Φ_C上，其中下标为偶数的顶点P_i在面Φ_L上；

S13、对Waterbomb基础网格模型条带优化之后取得三维网格模型条带的左侧部分

最小化可平坦折叠残差量，将映射到二维(2D)平面上，执行以下步骤：

S14、根据p₁、p₃确定p₂点；

在2D平面上选定原点为p₁，根据的P₁到P₃的距离l_1，3，在2D平面上确定p₃的位置坐标为(0、l_1，3)，以p₁、p₃为圆心，l_1，2、l_2，3为半径分别作圆，根据两个圆的交点在符合Waterbomb几何特征的情况下，选择并确定p₂；

S15、根据p₂、p₃确定p₄点；

以p₂、p₃为圆心，l_2，4、l_3，4为半径分别作圆，根据两个圆的交点在符合Waterbomb几何特征的情况下，选择并确定p₄；

S16、根据p_i-2、p_i-1确定p_i点；

以p_i-2、p_i-1为圆心，l_i-2，i、l_i-1，i为半径分别作圆，根据两个圆的交点在符合Waterbomb几何特征的情况下，选择并确定p_i；

S17、应用线性回归得出直线，见图2(b)；

所有下标为奇数的顶点p_i通过线性回归计算得出直线l_c；所有下标为偶数的顶点p_i通过线性回归计算得出直线l_l；

S18、再分别计算p_i点到所对应直线的投影点p_i′；

S19、将顶点p_i移动到p_i′所在的位置，对二维展开图进行微小调整，结果见图2(b)，最小化可平坦折叠残差量；

S110、通过上述精确化后的顶点数据，构建三维网格模型条带的左侧，即

进一步说明，所述步骤S2具体为：

S21、为了获得一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构，执行以下步骤：首先对进行平移，然后基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充，取得Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>然后将/>关于x-z平面进行镜像复制变换一次，获得Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q；最后将S^Q围绕z轴旋转复制N_s-1次来获得一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构；

S22、引入向量通过沿向量/>并使用分量b_x、b_y和b_z进行平移，其中b_x、b_y分别为正值，b_z设置为零；引入Θ_b，此时Θ_b等于/>为了构建没有自相交的有效轴对称结构，应满足Θ_b≥0和Θ_b≤Θ；

S23、引入Φ′_L和Φ′_C，分别表示平移后的Φ_L和Φ_C；

S24、基于添加四边形填充生成Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>参见图3；

当Θ_n＝0时，将平移/>此时b_y＝0、b_z＝0，平移后，参见图3(a)，下标为偶数的顶点P_i在面Φ′_L，在面Φ_L和面Φ′_L之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充，例如四边形A₂P₂P₄A₄、A₄P₄P₆A₆、A₆P₆P₈A₈和A₈P₈P₁₀A₁₀；获得左边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>

当Θ_b＝Θ时，将平移/>此时/>b_z＝0，平移后，参见图3(b)，下标为奇数的顶点P_i在面Φ′_C，在面Φ_C和面Φ′_C之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充，例如四边形为P₁B₁B₃P₃、P₃B₃B₅P₅、P₅B₅B₇P₇和P₇B₇B₉P₉、P₉B₉B₁₁P₁₁；获得右边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>

当0＜Θ_b＜Θ时，特别地当时(即沿着中分线)，将/>平移/>此时/>b_z＝0，平移后，参见图3(c)，下标为奇数的顶点P_i在面Φ′_C，下标为偶数的顶点P_i在面Φ′_L，分别在面Φ_C和面Φ′_C之间以及面Φ_L和面Φ′_L之间空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充，例如四边形A₂P₂P₄A₄、A₄P₄P₆A₆、A₆P₆P₈A₈和A₈P₈P₁₀A₁₀以及四边形P₁B₁B₃P₃、P₃B₃B₅P₅、P₅B₅B₇P₇和P₇B₇B₉P₉、P₉B₉B₁₁P₁₁；获得双侧四边形填充的Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>

S25、获得具有轴对称特性的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q；

将关于x-z平面进行一次镜像复制变换，获得带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q；

S26、围绕z轴旋转复制生成具有轴对称特性带四边形填充的Waterbomb衍生折纸结构；

让三种带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q分别围绕z轴旋转复制N_s-1次，获得具有轴对称特性的带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型，分别记为TypeL、Type R和Type B分别见图3(a)、图3(b)和图3(c)所示；

进一步说明，所述步骤S3具体为：

论证Type L、Type R和Type B的内部顶点的可展开性约束，执行以下步骤；

S31、论证Type L折纸结构的可展开性；

对Type L的一个条带的左侧部分，参见图3(a)，下标为奇数的顶点P_i在面Φ_C(x-z平面)上，下标为偶数的顶点P_i在面Φ′_L上，所有A_i点在面Φ_L上；

下标为奇数的顶点P_i符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i左侧，∠P_i-2P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，根据镜像复制变换对称的特性，故P_i周围的角度和等于2π；例如P₃，∠P₁P₃P₂+∠P₂P₃P₄+∠P₄P₃P₅＝π，根据镜像复制变换对称的特性，故P₃周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

下标为偶数的顶点P_i右侧符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i右侧，∠P_{i- 2}P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，P_i右侧角度和等于π；例如P₆，∠P₄P₆P₅+∠P₅P₆P₇+∠P₇P₆P₈＝π；对于下标为偶数的顶点P_i左侧，A_iP_i垂直于面Φ′_L，则A_iP_i垂直于面Φ′_L上的所有直线，则 P_i左侧角度和等于π；故P_i周围的角度和等于2π；例如P₆，∠P₄P₆A₆+∠A₆P₆P₈＝π，故P₆周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

S32、论证Type R折纸结构的可展开性；

对Type R的一个条带的左侧部分，参见图3(b)，下标为奇数的顶点P_i在面Φ′_C上，下标为偶数的顶点P_i在面Φ_L上，所有B_i点在面Φ_C(x-z平面)上；

下标为偶数的顶点P_i符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i右侧，∠P_i-2P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，根据镜像变换后围绕z轴旋转复制成一个整体，故P_i周围的角度和等于2π；例如P₄，∠P₂P₄P₃+∠P₃P₄P₅+∠P₅P₄P₆＝π，根据镜像变换后围绕z轴旋转复制成一个整体，故P₄周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

下标为奇数的顶点P_i左侧符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i左侧，∠P_{i- 2}P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，P_i左侧角度和等于π；例如P₅，∠P₃P₅P₄+∠P₄P₅P₆+∠P₆P₅P₇＝π；对于下标为奇数的顶点P_i右侧，B_iP_i垂直于面Φ′_C，则B_iP_i垂直于面Φ′_C上的所有直线，则 P_i右侧角度和等于π；故P_i周围的角度和等于2π；例如P₅，∠P₃P₅B₅+∠B₅P₅P₇＝π，故P₅周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

S33、论证Type B折纸结构的可展开性；

对Type B的一个条带的左侧部分，参见图3(c)，下标为奇数的顶点P_i在面Φ′_C上，下标为偶数的顶点P_i在面Φ′_L上，所有A_i点在面Φ_L上，所有B_i点在面Φ_C(x-z平面)上；

下标为奇数的顶点P_i左侧符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i左侧，∠P_{i- 2}P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，P_i左侧角度和等于π；例如P₅，∠P₃P₅P₄+∠P₄P₅P₆+∠P₆P₅P₇＝π；对于下标为奇数的顶点P_i右侧，B_iP_i垂直于面Φ′_C，则B_iP_i垂直于面Φ′_C上的所有直线，则 P_i右侧角度和等于π；故P_i周围的角度和等于2π；例如P₅，∠P₃P₅B₅+∠B₅P₅P₇＝π，故P₅周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

下标为偶数的顶点P_i右侧符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i右侧，∠P_{i- 2}P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，P_i右侧角度和等于π；例如P₆，∠P₄P₆P₅+∠P₅P₆P₇+∠P₇P₆P₈＝π；对于下标为偶数的顶点P_i左侧，A_iP_i垂直于面Φ′_L，则A_iP_i垂直于面Φ′_L上的所有直线，则 P_i左侧角度和等于π，故P_i周围的角度和等于2π；例如P₆，∠P₄P₆A₆+∠A₆P₆P₈＝π，故P₆周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

进一步说明，所述步骤S4具体为：

S41、具有轴对称特性的Waterbomb衍生网格模型的刚性折叠运动，先确定运动方向，其中面Φ_L围绕z轴向面Φ_C旋转以折叠整个结构，在每种折叠状态下Φ′_C和Φ_C始终保持平行；

S42、引入Ψ、Θ′和其中Ψ表示每个折叠状态的折叠率由公式(1)定义，其范围是0％到100％，Θ′是运动过程中面Φ_L和面Φ_C之间的角度，其范围是0到Θ，/>是刚性折叠过程中的折叠变化角度，/>

S43、基于下标为奇数的顶点P_i在面Φ_C上，下标为偶数的顶点P_i在面Φ_L上；参见图2(a)，在模拟刚性折叠运动过程中，当折叠率发生变化时，折叠角度会发生变化，即面Φ_L围绕z轴向面Φ_C旋转/>整体的折纸结构随着改变；

S44、模拟Type L的刚性折叠运动；

本发明对Type L的条带左侧部分进行分析，先进行镜像复制变换，再旋转复制来模拟Type L的刚性折叠运动；将折叠角度发生变化后的整体围绕z轴向面Φ_L旋转/>再将其平移/>在面Φ_L和面Φ′_L之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充；将生成左四边形填充的Waterbomb折纸结构的条带的左侧部分逆平移/>返回到原始坐标系；将整体围绕z轴逆旋转/>再将其平移/>确定新的公共旋转轴z′，此时z′是x-z平面与A_i所在的平面在每种折叠状态下的相交直线；将/>关于x-z平面进行镜像复制变换，获得一条左边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带；将该条带围绕z′轴旋转复制N_s-1次，获得每个折叠状态下的带左边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型；

S45、模拟Type R的刚性折叠运动；

本发明对Type R的条带左侧部分进行分析，先进行镜像复制变换，再旋转复制来模拟Type R的刚性折叠运动；将折叠角度发生变化后的平移/>在面Φ_C和面Φ′_C之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充；确定新的旋转轴z′，此时z′是x-z平面(包含B_i)与包含偶数下标的顶点P_i所在的平面在每种折叠状态下的相交直线；将/>关于x-z平面进行镜像复制变换，获得一条四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带；将该条带围绕z′轴旋转复制N_s-1次，获得每个折叠状态下的带右边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型；

S46、模拟Type B的刚性折叠运动；

本发明对Type B的条带左侧部分进行分析，先进行镜像复制变换，再旋转复制来模拟Type B的刚性折叠运动；首先验证右边刚性；将折叠角度发生变化后的平移/>在面Φ_C和面Φ′_C之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成右侧四边形填充；然后验证左边刚性；将带右侧四边形填充的整体逆平移/>回到起始位置，然后将其围绕z轴向面Φ_L旋转/>再将其平移/>在面Φ_L和面Φ′_L之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成左侧四边形填充；将生成双侧四边形填充的Waterbomb折纸结构的条带的左侧部分逆平移/>返回到原始坐标系；将整体围绕z轴逆旋转/>再将其平移/>确定新的旋转轴z′，参见图4，此时z′是x-z平面与A_i所在的平面在每种折叠状态下的相交直线；将获得的/>关于x-z平面进行镜像复制变换，获得一条四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带；将该条带围绕z′轴旋转复制N_s-1次，获得每个折叠状态下的带双侧四边形填充的Waterbomb衍生网格模型；

S47、当带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型完全折叠时，获得一条四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带，该条带沿着y轴径向复制N_s-1次，获得每个折叠状态下的带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型。

本发明的有益效果：

1、本发明构建了一种新型的具有轴对称特性的新型折纸结构；

2、本发明能够启发刚性可展开和可折叠折纸结构；

3、本发明能够应用于工程领域，例如帐篷、太阳能电池板和超材料等。

附图说明

图1本发明的流程示意图；

图2Waterbomb基础网格模型条带和精确化后的折痕图案；

(a)具有轴对称特性的Waterbomb折纸结构的一个条带。

(b)进行精确化后的折痕图案(一个条带的左侧部分)。

图3带四边形填充的Waterbomb衍生折纸结构的三种类型；

(a)具有轴对称特性带左边四边形的Waterbomb衍生折纸结构记为Type L。

(b)具有轴对称特性带右边四边形的Waterbomb衍生折纸结构记为Type R。

(c)具有轴对称特性带双侧四边形的Waterbomb衍生折纸结构记为Type B。

图4折叠率Ψ＝30％的具有轴对称特性带双侧四边形的Waterbomb衍生折纸结构折叠状态。

具体实施方式

以下将结合附图所示的各实施方式对本发明进行详细描述。但这些实施方式并不限制本发明，本领域的普通技术人员根据这些实施方式所做出的结构、方法、或功能上的变换均包含在本发明的保护范围内。

如图1所示，本发明是一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法，包括以下步骤：

S1、对Waterbomb基础网格模型优化之后，最小化可平坦折叠残差量，取得精确化的三维网格模型条带的左侧部分

S2、在的基础上，通过对/>添加四边形，提出了左边四边形、右边四边形和双侧四边形三种情况，将获得的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q旋转复制形成没有自相交的有效轴对称结构；

S3、论证具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构的可展开性；

S4、模拟具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构的刚性折叠运动。

进一步说明，所述步骤S1具体为：

S11、引入变量N_s，N_s表示Waterbomb网格模型中的条带数，参见图2；

S12、引入Θ，Θ表示通过z轴面Φ_C和面Φ_L两个平面的夹角，大小等于见图2(a)；面Φ_C由y＝tan(Θ)x生成，此时Θ＝0；面Φ_L由y＝tan(Θ)x生成，此时/>面Φ_R由y＝tan(Θ)x生成，此时/>其中下标为奇数的顶点P_i在面Φ_C上，其中下标为偶数的顶点P_i在面Φ_L上；

S13、对Waterbomb基础网格模型条带优化之后取得三维网格模型条带的左侧部分

最小化可平坦折叠残差量，将映射到二维(2D)平面上，执行以下步骤：

S14、根据p₁、p₃确定p₂点；

在2D平面上选定原点为p1，根据的P₁到P₃的距离l_1，3，在2D平面上确定p₃的位置坐标为(0、l_1，3)，以p₁、p₃为圆心，l_1，2、l_2，3为半径分别作圆，根据两个圆的交点在符合Waterbomb几何特征的情况下，选择并确定p₂；

S15、根据p₂、p₃确定p₄点；

以p₂、p₃为圆心，l_2，4、l_3，4为半径分别作圆，根据两个圆的交点在符合Waterbomb几何特征的情况下，选择并确定p₄；

S16、根据p_i-2、p_i-1确定p_i点；

以p_i-2、p_i-1为圆心，l_i-2，i、l_i-1，i为半径分别作圆，根据两个圆的交点在符合Waterbomb几何特征的情况下，选择并确定p_i；

S17、应用线性回归得出直线，见图2(b)；

所有下标为奇数的顶点p_i通过线性回归计算得出直线l_c；所有下标为偶数的顶点p_i通过线性回归计算得出直线l_l；

S18、再分别计算p_i点到所对应直线的投影点p_i′；

S19、将顶点p_i移动到p_i′所在的位置，对二维展开图进行微小调整，结果见图2(b)，最小化可平坦折叠残差量；

S110、通过上述精确化后的顶点数据，构建三维网格模型条带的左侧，即

进一步说明，所述步骤S2具体为：

S21、为了获得一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构，执行以下步骤：首先对进行平移，然后基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充，取得Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>然后将/>关于x-z平面进行镜像复制变换一次，获得Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q；最后将S^Q围绕z轴旋转复制N_s-1次来获得一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构；

S22、引入向量通过沿向量/>并使用分量b_x、b_y和b_z进行平移，其中b_x、b_y分别为正值，b_z设置为零；引入Θ_b，此时Θ_b等于/>为了构建没有自相交的有效轴对称结构，应满足Θ_b≥0和Θ_b≤Θ；

S23、引入Φ′_LΦ′_C，分别表示平移后的Φ_L和Φ_C；

S24、基于添加四边形填充生成Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>参见图3；

当Θ_b＝0时，将平移/>此时b_y＝0、b_z＝0，平移后，参见图3(a)，下标为偶数的顶点P_i在面Φ′_L，在面Φ_L和面Φ′_L之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充，例如四边形A₂P₂P₄A₄、A₄P₄P₆A₆、A₆P₆P₈A₈和A₈P₈P₁₀A₁₀；获得左边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>

当Θ_b＝Θ时，将平移/>此时/>b_z＝0，平移后，参见图3(b)，下标为奇数的顶点P_i在面Φ′_C，在面Φ_C和面Φ′_C之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充，例如四边形P₁B₁B₃P₃、P₃B₃B₅P₅、P₅B₅B₇P₇和P₇B₇B₉P₉、P₉B₉B₁₁P₁₁；获得右边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>

当0＜Θ_b＜Θ时，特别地当时(即沿着中分线)，将/>平移/>此时/>b_z＝0，平移后，参见图3(c)，下标为奇数的顶点P_i在面Φ′_C，下标为偶数的顶点P_i在面Φ′_L，分别在面Φ_C和面Φ′_C之间以及面Φ_L和面Φ′_L之间空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充，例如四边形A₂P₂P₄A₄、A₄P₄P₆A₆、A₆P₆P₈A₈和A₈P₈P₁₀A₁₀以及四边形P₁B₁B₃P₃、P₃B₃B₅P₅、P₅B₅B₇P₇和P₇B₇B₉P₉、P₉B₉B₁₁P₁₁；获得双侧四边形填充的Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>

S25、获得具有轴对称特性的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q；

将关于x-z平面进行一次镜像复制变换，获得带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q；

S26、围绕z轴旋转复制生成具有轴对称特性带四边形填充的Waterbomb衍生折纸结构；

让三种带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q分别围绕z轴旋转复制N_s-1次，获得具有轴对称特性的带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型，分别记为TypeL、Type R和Type B分别见图3(a)、图3(b)和图3(c)所示；

进一步说明，所述步骤S3具体为：

论证Type L、Type R和Type B的内部顶点的可展开性约束，执行以下步骤；

S31、论证Type L折纸结构的可展开性；

对Type L的一个条带的左侧部分，参见图3(a)，下标为奇数的顶点P_i在面Φ_C(x-z平面)上，下标为偶数的顶点P_i在面Φ′_L上，所有A_i点在面Φ_L上；

下标为奇数的顶点P_i符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i左侧，∠P_i-2P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，根据镜像复制变换对称的特性，故P_i周围的角度和等于2π；例如P₃，∠P₁P₃P₂+∠P₂P₃P₄+∠P₄P₃P₅＝π，根据镜像复制变换对称的特性，故P₃周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

下标为偶数的顶点P_i右侧符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i右侧，∠P_{i- 2}P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，P_i右侧角度和等于π；例如P₆，∠P₄P₆P₅+∠P₅P₆P₇+∠P₇P₆P₈＝π；对于下标为偶数的顶点P_i左侧，A_iP_i垂直于面Φ′_L，则A_iP_i垂直于面Φ′_L上的所有直线，则 P_i左侧角度和等于π；故P_i周围的角度和等于2π；例如P₆，∠P₄P₆A₆+∠A₆P₆P₈＝π，故P₆周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

S32、论证Type R折纸结构的可展开性；

对Type R的一个条带的左侧部分，参见图3(b)，下标为奇数的顶点P_i在面Φ′_C上，下标为偶数的顶点P_i在面Φ_L上，所有B_i点在面Φ_C(x-z平面)上；

下标为偶数的顶点P_i符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i右侧，∠P_i-2P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，根据镜像变换后围绕z轴旋转复制成一个整体，故P_i周围的角度和等于2π；例如P₄，∠P₂P₄P₃+∠P₃P₄P₅+∠P₅P₄P₆＝π，根据镜像变换后围绕z轴旋转复制成一个整体，故P₄周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

下标为奇数的顶点P_i左侧符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i左侧，∠P_{i- 2}P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，P_i左侧角度和等于π；例如P₅，∠P₃P₅P₄+∠P₄P₅P₆+∠P₆P₅P₇＝π；对于下标为奇数的顶点P_i右侧，B_iP_i垂直于面Φ′_C，则B_iP_i垂直于面Φ′_C上的所有直线，则 P_i右侧角度和等于π；故P_i周围的角度和等于2π；例如P₅，∠P₃P₅B₅+∠B₅P₅P₇＝π，故P₅周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

S33、论证Type B折纸结构的可展开性；

对Type B的一个条带的左侧部分，参见图3(c)，下标为奇数的顶点P_i在面Φ′_C上，下标为偶数的顶点P_i在面Φ′_L上，所有A_i点在面Φ_L上，所有B_i点在面Φ_C(x-z平面)上；

下标为奇数的顶点P_i左侧符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i左侧，∠P_{i- 2}P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，P_i左侧角度和等于π；例如P₅，∠P₃P₅P₄+∠P₄P₅P₆+∠P₆P₅P₇＝π；对于下标为奇数的顶点P_i右侧，B_iP_i垂直于面Φ′_C，则B_iP_i垂直于面Φ′_C上的所有直线，则 P_i右侧角度和等于π；故P_i周围的角度和等于2π；例如P₅，∠P₃P₅B₅+∠B₅P₅P₇＝π，故P₅周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

下标为偶数的顶点P_i右侧符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i右侧，∠P_{i- 2}P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，P_i右侧角度和等于π；例如P₆，∠P₄P₆P₅+∠P₅P₆P₇+∠P₇P₆P₈＝π；对于下标为偶数的顶点P_i左侧，A_iP_i垂直于面Φ′_L，则A_iP_i垂直于面Φ′_L上的所有直线，则 P_i左侧角度和等于π，故P_i周围的角度和等于2π；例如P₆，∠P₄P₆A₆+∠A₆P₆P₈＝π，故P₆周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

进一步说明，所述步骤S4具体为：

S41、具有轴对称特性的Waterbomb衍生网格模型的刚性折叠运动，先确定运动方向，其中面Φ_L围绕z轴向面Φ_C旋转以折叠整个结构，在每种折叠状态下Φ′_C和Φ_C始终保持平行；

S42、引入Ψ、Θ′和其中Ψ表示每个折叠状态的折叠率由公式(1)定义，其范围是0％到100％，Θ′是运动过程中面Φ_L和面Φ_C之间的角度，其范围是0到Θ，/>是刚性折叠过程中的折叠变化角度，/>

S43、基于下标为奇数的顶点P_i在面Φ_C上，下标为偶数的顶点P_i在面Φ_L上；参见图2(a)，在模拟刚性折叠运动过程中，当折叠率发生变化时，折叠角度会发生变化，即面Φ_L围绕z轴向面Φ_C旋转/>整体的折纸结构随着改变；

S44、模拟Type L的刚性折叠运动；

本发明对Type L的条带左侧部分进行分析，先进行镜像复制变换，再旋转复制来模拟Type L的刚性折叠运动；将折叠角度发生变化后的整体围绕z轴向面Φ_L旋转/>再将其平移/>在面Φ_L和面Φ′_L之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充；将生成左四边形填充的Waterbomb折纸结构的条带的左侧部分逆平移/>返回到原始坐标系；将整体围绕z轴逆旋转/>再将其平移/>确定新的公共旋转轴z′，此时z′是x-z平面与A_i所在的平面在每种折叠状态下的相交直线；将/>关于x-z平面进行镜像复制变换，获得一条左边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带；将该条带围绕z′轴旋转复制N_s-1次，获得每个折叠状态下的带左边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型；

S45、模拟Type R的刚性折叠运动；

本发明对Type R的条带左侧部分进行分析，先进行镜像复制变换，再旋转复制来模拟Type R的刚性折叠运动；将折叠角度发生变化后的平移/>在面Φ_C和面Φ′_C之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充；确定新的旋转轴z′，此时z′是x-z平面(包含B_i)与包含偶数下标的顶点P_i所在的平面在每种折叠状态下的相交直线；将/>关于x-z平面进行镜像复制变换，获得一条四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带；将该条带围绕z′轴旋转复制N_s-1次，获得每个折叠状态下的带右边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型；

S46、模拟Type B的刚性折叠运动；

本发明对Type B的条带左侧部分进行分析，先进行镜像复制变换，再旋转复制来模拟Type B的刚性折叠运动；首先验证右边刚性；将折叠角度发生变化后的平移/>在面Φ_C和面Φ′_C之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成右侧四边形填充；然后验证左边刚性；将带右侧四边形填充的整体逆平移/>回到起始位置，然后将其围绕z轴向面Φ_L旋转/>再将其平移/>在面Φ_L和面Φ′_L之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成左侧四边形填充；将生成双侧四边形填充的Waterbomb折纸结构的条带的左侧部分逆平移/>返回到原始坐标系；将整体围绕z轴逆旋转/>再将其平移/>确定新的旋转轴z′，参见图4，此时z′是x-z平面与A_i所在的平面在每种折叠状态下的相交直线；将获得的/>关于x-z平面进行镜像复制变换，获得一条四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带；将该条带围绕z′轴旋转复制N_s-1次，获得每个折叠状态下的带双侧四边形填充的Waterbomb衍生网格模型；

S47、当带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型完全折叠时，获得一条四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带，该条带沿着y轴径向复制N_S-1次，获得每个折叠状态下的带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型。

需要说明的是，本说明书按照上述实施方式加以阐述，使用这种阐述方式是为了让读者更加了解本发明的设计步骤以及运用的各种方法。相关领域的人员需要把整个说明书作为一个整体，各种技术方案可以经适当的组合，构成相关领域人员的可以理解的其他实施方式。

上文所列出的一系列的详细说明仅仅是针对本发明的可行性实施方式的具体说明，它们并非用以限制本发明的保护范围，凡未脱离本发明技术所创的等效方式或变更均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、对Waterbomb基础网格模型优化之后，最小化可平坦折叠残差量，取得精确化的三维网格模型条带的左侧部分

S2、在的基础上，通过对/>添加四边形，提出了左边四边形、右边四边形和双侧四边形三种情况，将获得的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q旋转复制形成没有自相交的有效轴对称结构，获得具有轴对称特性的带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型，分别记为Type L、Type R和Type B；

所述S1的具体过程为：

S11、引入变量N_s，N_s表示Waterbomb网格模型中的条带数；

S12、引入Θ，Θ表示通过z轴面Φ_C和面Φ_L两个平面的夹角，大小等于面Φ_C由y＝tan(Θ)x生成，此时Θ＝0；面Φ_L由y＝tan(Θ)x生成，此时/>面Φ_R由y＝tan(Θ)x生成，此时/>其中下标为奇数的顶点P_i在面Φ_C上，其中下标为偶数的顶点P_i在面Φ_L上；

S13、对Waterbomb基础网格模型条带优化之后取得三维网格模型条带的左侧部分

最小化可平坦折叠残差量，将映射到二维(2D)平面上，执行以下步骤：

S14、根据p₁、p₃确定p₂点；

在2D平面上选定原点为p₁，根据的P₁到P₃的距离l_1，3，在2D平面上确定p₃的位置坐标为(0、l_1，3)，以p₁、p₃为圆心，l_1，2、l_2，3为半径分别作圆，根据两个圆的交点在符合Waterbomb几何特征的情况下，选择并确定p₂；

S15、根据p₂、p₃确定p₄点；

以p₂、p₃为圆心，l_2，4、l_3，4为半径分别作圆，根据两个圆的交点在符合Waterbomb几何特征的情况下，选择并确定p₄；

S16、根据p_i-2、p_i-1确定p_i点；

以p_i-2、p_i-1为圆心，l_i-2，i、l_i-1，i为半径分别作圆，根据两个圆的交点在符合Waterbomb几何特征的情况下，选择并确定p_i；

S17、应用线性回归得出直线；

所有下标为奇数的顶点p_i通过线性回归计算得出直线l_c；所有下标为偶数的顶点p_i通过线性回归计算得出直线l_l；

S18、再分别计算p_i点到所对应直线的投影点p_i′；

S19、将顶点p_i移动到p_i′所在的位置，对二维展开图进行微小调整，最小化可平坦折叠残差量；

S110、通过上述精确化后的顶点数据，构建三维网格模型条带的左侧，即

所述S2的具体过程为：

S21、首先对进行平移，然后基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充，取得Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>然后将/>关于x-z平面进行镜像复制变换一次，获得Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q；最后将S^Q围绕z轴旋转复制N_s-1次来获得具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构；

S22、引入向量通过沿向量/>并使用分量b_x、b_y和b_z进行平移，其中b_x、b_y分别为正值，b_z设置为零；引入Θ_b，此时Θ_b等于/>为了构建没有自相交的有效轴对称结构，应满足Θ_b≥0和Θ_b≤Θ；

S23、引入Φ′_L和Φ′_C，分别表示平移后的Φ_L和Φ_C；

S24、基于添加四边形填充生成Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>

S25、获得具有轴对称特性的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q；

将关于x-z平面进行一次镜像复制变换，获得带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q；

S26、围绕z轴旋转复制生成具有轴对称特性带四边形填充的Waterbomb衍生折纸结构；

让三种带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带S^Q分别围绕z轴旋转复制N_s-1次，获得具有轴对称特性的带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型。

2.根据权利要求1所述的一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法，其特征在于，所述S24的具体过程为：

当Θ_b＝0时，将平移/>此时b_y＝0、b_z＝0，下标为偶数的顶点P_i在面Φ′_L，在面Φ_L和面Φ′_L之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充，获得左边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>

当Θ_b＝Θ时，将平移/>此时/>b_z＝0，下标为奇数的顶点P_i在面Φ′_C，在面Φ_C和面Φ′_C之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充，获得右边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>

当0＜Θ_b＜Θ时，选择时，将/>平移/>此时/>b_z＝0，下标为奇数的顶点P_i在面Φ′_C，下标为偶数的顶点P_i在面Φ′_L，分别在面Φ_C和面Φ′_C之间以及面Φ_L和面Φ′_L之间空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充，获得双侧四边形填充的Waterbomb衍生网格模型条带的左侧部分/>

3.根据权利要求1-2任一项所述一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法，其特征在于，还包括S3：论证具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构的可展开性的方法。

4.根据权利要求3所述一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法，其特征在于，所述S3具体包括：

S31、论证Type L折纸结构的可展开性；

对Type L的一个条带的左侧部分，下标为奇数的顶点P_i在面Φ_C上，下标为偶数的顶点P_i在面Φ′_L上，所有A_i点在面Φ_L上；

下标为奇数的顶点P_i符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i左侧，∠P_i-2P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，根据镜像复制变换对称的特性，故P_i周围的角度和等于2π；符合可展开约束；

下标为偶数的顶点P_i右侧符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i右侧，∠P_i-2P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，P_i右侧角度和等于π；对于下标为偶数的顶点P_i左侧，A_iP_i垂直于面Φ′_L，则A_iP_i垂直于面Φ′_L上的所有直线，则 P_i左侧角度和等于π；故P_i周围的角度和等于2π；符合可展开约束；

S32、论证Type R折纸结构的可展开性；

对Type R的一个条带的左侧部分，下标为奇数的顶点P_i在面Φ′_C上，下标为偶数的顶点P_i在面Φ_L上，所有B_i点在面Φ_C上；

下标为偶数的顶点P_i符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i右侧，∠P_i-2P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，根据镜像变换后围绕z轴旋转复制成一个整体，故P_i周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

下标为奇数的顶点P_i左侧符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i左侧，∠P_i-2P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，P_i左侧角度和等于π；对于下标为奇数的顶点P_i右侧，B_iP_i垂直于面Φ′_C，则B_iP_i垂直于面Φ′_C上的所有直线，则 P_i右侧角度和等于π；故P_i周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

S33、论证Type B折纸结构的可展开性；

对Type B的一个条带的左侧部分，下标为奇数的顶点P_i在面Φ′_C上，下标为偶数的顶点P_i在面Φ′_L上，所有A_i点在面Φ_L上，所有B_i点在面Φ_C上；

下标为奇数的顶点P_i左侧符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i左侧，∠P_i-2P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，P_i左侧角度和等于π；对于下标为奇数的顶点P_i右侧，B_iP_i垂直于面Φ′_C，则B_iP_i垂直于面Φ′_C上的所有直线，则 P_i右侧角度和等于π；故P_i周围的角度和等于2π，符合可展开约束；

下标为偶数的顶点P_i右侧符合Waterbomb的几何特性；对于其顶点P_i右侧，∠P_i-2P_iP_i-1+∠P_i-1P_iP_i+1+∠P_i+1P_iP_i+2＝π，P_i右侧角度和等于π；对于下标为偶数的顶点P_i左侧，A_iP_i垂直于面Φ′_L，则A_iP_i垂直于面Φ′_L上的所有直线，则 P_i左侧角度和等于π，故P_i周围的角度和等于2π，符合可展开约束。

5.根据权利要求1-2任一项所述一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法，其特征在于，还包括S4、模拟具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构的刚性折叠运动的方法。

6.根据权利要求5所述一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构造型方法，其特征在于，所述S4具体包括：

S41、确定运动方向，其中面Φ_L围绕z轴向面Φ_C旋转以折叠整个结构，在每种折叠状态下Φ′_C和Φ_C始终保持平行；

S42、引入Ψ、Θ′和其中Ψ表示每个折叠状态的折叠率由公式(1)定义，其范围是0％到100％，Θ′是运动过程中面Φ_L和面Φ_C之间的角度，其范围是0到Θ，/>是刚性折叠过程中的折叠变化角度，/>

S43、基于下标为奇数的顶点P_i在面Φ_C上，下标为偶数的顶点P_i在面Φ_L上；在模拟刚性折叠运动过程中，当折叠率发生变化时，折叠角度会发生变化，即面Φ_L围绕z轴向面Φ_C旋转/>整体的折纸结构随着改变；

S44、模拟Type L的刚性折叠运动；

对Type L的条带左侧部分进行分析，先进行镜像复制变换，再旋转复制来模拟Type L的刚性折叠运动；将折叠角度发生变化后的整体围绕z轴向面Φ_L旋转/>再将其平移/>在面Φ_L和面Φ′_L之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充；将生成左四边形填充的Waterbomb折纸结构的条带的左侧部分逆平移/>返回到原始坐标系；将整体围绕z轴逆旋转/>再将其平移/>确定新的公共旋转轴z′，此时z′是x-z平面与A_i所在的平面在每种折叠状态下的相交直线；将/>关于x-z平面进行镜像复制变换，获得一条左边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带；将该条带围绕z′轴旋转复制N_s-1次，获得每个折叠状态下的带左边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型；

S45、模拟Type R的刚性折叠运动；

对Type R的条带左侧部分进行分析，先进行镜像复制变换，再旋转复制来模拟Type R的刚性折叠运动；将折叠角度发生变化后的平移/>在面Φ_C和面Φ′_C之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成四边形填充；确定新的旋转轴z′，此时z′是x-z平面与包含偶数下标的顶点P_i所在的平面在每种折叠状态下的相交直线；将/>关于x-z平面进行镜像复制变换，获得一条四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带；将该条带围绕z′轴旋转复制N_s-1次，获得每个折叠状态下的带右边四边形填充的Waterbomb衍生网格模型；

S46、模拟Type B的刚性折叠运动；

对Type B的条带左侧部分进行分析，先进行镜像复制变换，再旋转复制来模拟Type B的刚性折叠运动；首先验证右边刚性；将折叠角度发生变化后的平移/>在面Φ_C和面Φ′_C之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成右侧四边形填充；然后验证左边刚性；将带右侧四边形填充的整体逆平移/>回到起始位置，然后将其围绕z轴向面Φ_L旋转/>再将其平移在面Φ_L和面Φ′_L之间的空白处基于围绕z轴的轴对称特性生成左侧四边形填充；将生成双侧四边形填充的Waterbomb折纸结构的条带的左侧部分逆平移/>返回到原始坐标系；将整体围绕z轴逆旋转/>再将其平移/>确定新的旋转轴z′，此时z′是x-z平面与A_i所在的平面在每种折叠状态下的相交直线；将获得的/>关于x-z平面进行镜像复制变换，获得一条四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带；将该条带围绕z′轴旋转复制N_s-1次，获得每个折叠状态下的带双侧四边形填充的Waterbomb衍生网格模型；

S47、当带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型完全折叠时，获得一条四边形填充的Waterbomb衍生网格模型的条带，该条带沿着y轴径向复制N_s-1次，获得每个折叠状态下的带四边形填充的Waterbomb衍生网格模型。

7.一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构，其特征在于，所述折纸结构由权利要求1-4任一项所述造型方法获得。

8.根据权利要求7所述的一种具有轴对称特性的Waterbomb衍生折纸结构，其特征在于，所述折纸结构能够用于帐篷、太阳能电池板或超材料的设计。