CN111368642A - 基于轮轨激励的铁路无砟轨道钢轨模态频率的识别方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种基于轮轨激励的铁路无砟轨道钢轨模态频率的识别方法。该方法包括：获取铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据，提取所述振动加速度数据的功率谱密度；利用matlab融合经验模态分解、小波变换、变分模态分解和同步挤压小波变换对所述振动加速度数据进行处理，得到钢轨加速度数据中的各阶瞬时频率；结合振动加速度数据的功率谱密度的峰值、谷值以及各阶瞬时频率的分布情况，选择模态频率稳定轴作为铁路无砟轨道钢轨的各阶模态频率。本发明的方法能够较为准确地对高速铁路无砟轨道钢轨的模态频率进行识别，可以利用现有的高铁无砟轨道监测系统中钢轨加速度传感数据，对钢轨模态频率进行较高精度的识别。
Description
技术领域
本发明涉及铁路轨道振动分析技术领域，尤其涉及一种基于轮轨激励的铁路无砟轨道 钢轨模态频率的识别方法。
背景技术
高速铁路以高速度、大容量、低污染、安全可靠、舒适方便等著称，是现代化铁路运输的必然选择和核心技术。目前，我国高速铁路总里程已超过3.5万公里，占世界高速铁路总里程的70％以上，拥有了全世界最大规模以及最高运营速度的高速铁路网，我国的高铁速 度代表了世界高铁的速度。
高速列车运行时的安全问题，是铁路交通运输的根本问题。随着高速铁路全面铺设和 大规模运营，影响乘坐舒适和运营安全的问题越来越多。这些问题严重降低了高铁列车的 舒适性，长期发展下去甚至会导致车辆脱轨等严重后果，对高速铁路安全运营极为不利。
根据调研，这些安全性问题主要是来自于高铁轮轨病害。反映在车辆上，有车轮扁疤、踏面异常凹陷以及车轮啸叫等；反映在轨道上，主要有钢轨光带异常、钢轨表面鱼鳞 纹和凹陷等。针对这些问题，国内外研究人员通过病害机理研究，提出了针对性的整治维 修方法，如廓形优化、打磨镟修、增强车轮硬度和优化车辆悬挂参数等，取得了良好的成 效。
然而，随着运营里程增加、运营条件复杂化，高速铁路又出现了大量新的轮轨相关病 害。如车轮多边形不圆顺、钢轨异常波磨和扣件弹条折断等。由于对这些异常病害产生和 发展机理认识不清，其整治维修措施主要为被动的打磨、镟修和更换。措施在实施后的短 期内效果较好，但随着运营里程的增加，病害又会反复出现甚至加剧。这种现象严重影响 了列车的安全运行，极大增加了铁路工作人员的养护维修工作量和成本，缩短了车辆、轨 道部件的使用寿命。
通过大量的现场调研，科研人员发现这些病害的发生与线路状况息息相关。如以CRTS I型纵连双块式无砟轨道为主的武广线，多边形不圆顺病害的发生比例明显较采用其他轨道 类型的线路高；武广线CRH3C型车的车轮平均镟修周期较京津线(CRTS II型板式无砟轨 道)上相同车辆的短约3-5万公里；此外，武广线大瑶山附近也出现了扣件弹条连续折断， 而此类问题在采用相同车辆、不同轨道的京津线则没有出现。在贵广线(CRTS I型双块式 无砟轨道)运营的CRH2A动车组中，动车运营里程5万公里左右车轮不圆顺的比例就达到了 13％，其产生速度明显快于南广线的相同车辆。这表明无砟轨道类型的差异会导致轮轨关系 呈现出完全不同的表现。
虽然我国高速铁路主要采用无砟轨道，但是由于类型多样，轨道尺寸、质量、参数等 存在明显不同，力学行为也有较大差异。在车辆的高频率、高强度的冲击下，其在整个频域范围内的振动和能量分布明显不同，状态恶化及发展也因此不同。模态是结构体系的固有振动特性，为了研究无砟轨道对轮轨关系的影响规律，首先需要掌握真实的无砟轨道参数，进行模态参数的辨识。无砟轨道模态频率和模态振型体现了结构体系各主振频率下的振动响应，特定频率的无砟轨道振动会对轮轨关系造成不利影响。
高速铁路在运营过程中出现了阶数各异的车轮多边形和波长不等的钢轨波磨。当车轮 在钢轨上高速运动时，多种病害之间相互干扰相互叠加，使得轮轨之间产生了高频振动。 这些轮轨高频振动会激发无砟轨道局部或整体的某些“敏感模态”，导致模态振型大幅度 增大，产生额外的轮轨高频不平顺，进而造成高频轮轨动力作用倍增，引起扣件弹条折断 等结构部件的破坏、车轮多边形和钢轨波磨的加剧。因此，识别无砟轨道的模态参数，对于解决轮轨病害极为重要。
目前，现有技术中的针对无砟轨道模态参数识别主要通过理论计算、实验室测试和现 场测试获取某个特定位置和某个特定状态下的轨道模态参数。而考虑到轨道结构与其它工 程结构一样也是一种时变结构，其模态参数尤其是模态频率易随着服役时间的改变而变 化，因此需要基于现场环境激励(轮轨激励)对轨道模态频率进行识别，而现有技术中还 没有相应的轨道钢轨模态频率的识别方法。
发明内容
本发明的实施例提供了一种基于轮轨激励的铁路无砟轨道钢轨模态频率的识别方法， 以克服现有技术的问题。
一种基于轮轨激励的铁路无砟轨道钢轨模态频率的识别方法，包括：
获取铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据，提取所述振动加速度数据的功率谱密度；
利用matlab融合经验模态分解、小波变换、变分模态分解和同步挤压小波变换对所述 振动加速度数据进行处理，得到钢轨加速度数据中的各阶瞬时频率；
结合所述振动加速度数据的功率谱密度的峰值、谷值以及各阶瞬时频率的分布情况， 选择模态频率稳定轴作为所述铁路无砟轨道钢轨的各阶模态频率。
优选地，所述的获取铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据，包括：
对于理论模型提取的铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据结果，根据最后一个轮对通 过铁路无砟轨道钢轨的时间来确定分析，并把测点处最后一个轮对通过后的振动加速度数 据作为分析对象；
现场采集铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据时，将压电式加速度传感器粘贴于钢轨 轨底面，并通过导线连接至多通道数据采集仪，设置离线采样和触发值，当检测到有车辆 通过时触发采样，压电式加速度传感器获取车辆通过下钢轨的加速度数据，并传输给数据 采集仪，数据采集仪提取离线存储的钢轨加速度数据，并利用matlab程序找出最后一组加 速度峰值，并提取该峰值之后的加速度数据作为分析对象。
优选地，所述的提取所述振动加速度数据的功率谱密度，包括：
利用matlab软件中的功率谱密度函数pwelch提取钢轨振动加速度数据的功率谱密度。
优选地，所述的利用matlab融合经验模态分解、小波变换、变分模态分解和同步挤压 小波变换对所述振动加速度数据进行处理，得到钢轨加速度数据中的各阶瞬时频率，包括：
S21、根据铁路无砟轨道钢轨的模态频率范围，选择相应的低通滤波器对所述振动加速 度数据进行滤波处理；
S22、利用小波基morlet对滤波处理后的钢轨加速度数据进行分析处理，得到钢轨加速 度的时频分布图；利用经验模态分解处理滤波处理后的钢轨加速度数据得到一系列本征模 态函数；对比钢轨加速度的时频分布图上频域分量个数和本征模态函数的个数，得到钢轨 加速度数据的频域分量层数k；
S23、利用变分模态分解处理钢轨加速度数据，以钢轨加速度数据的频域分量层数k为 分解目标，利用变分模态分解方法对钢轨加速度数据的时域信号进行分解，得到k阶本征模 态函数；
S24、利用同步挤压小波变换分析各阶本征模态函数的时频域分布情况，得到各阶时频 域分布图，根据各阶时频域分布图判断各阶本征模态函数是否为单分量信号；如果不是单 分量信号，则将瞬时频率峰值作为分解层数，返回S23；如果是单分量信号，则根据时频域 分布图中频域分量层数，利用变分模态分解再次对该本征模态函数进行分解；
S25、利用同步挤压小波变换识别各阶本征模态函数的瞬时频率，根据拟识别的钢轨加 速度的频率范围选择对应的频率尺度，利用频率尺度对各阶本征模态函数进行分析，得到 各阶瞬时频率；
S26、设置小波分量阈值，提取各阶瞬时频率的中心频率，将小波分量小于上述小波分 量阈值的瞬时频率设置为0。
优选地，所述的结合所述振动加速度数据的功率谱密度的峰值、谷值以及各阶瞬时频 率的分布情况，选择模态频率稳定轴作为所述铁路无砟轨道钢轨的各阶模态频率，包括：
将各阶瞬时频率的中心频率绘制在以横坐标为频率、左侧纵坐标为时间的稳定图中， 并将钢轨振动加速度数据的功率谱密度绘制在同一幅稳定图中；
根据各阶瞬时频率点所在的轴线和功率谱密度数据的峰值和谷值来确定钢轨的各阶模 态频率，其中相邻两阶模态频率小于5Hz时，则认为为1阶模态频率，取相邻两阶模态频率 的中间值作为模态频率。
由上述本发明的实施例提供的技术方案可以看出，本发明所述的方法能够较为准确地 对高速铁路无砟轨道钢轨的模态频率进行识别，可以利用现有的高铁无砟轨道监测系统中 钢轨加速度传感数据，对钢轨模态频率进行较高精度的识别。该发明可用于指导高铁无砟 轨道现场监测布点方案设计以及无砟轨道动力学模型的验证和优化。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附 图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领 域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的 附图。
图1为本发明实施例提供的一种基于轮轨激励的铁路无砟轨道钢轨模态频率的识别方法 流程图；
图2为本发明实施例提供的一种高速铁路板式无砟轨道的动力学模型示意图；
图3为本发明实施例提供的一种钢轨上25m、25.3125m、25.15625m、12.65625m和6.40625m的振动加速度示意图；
图4为本发明实施例提供的一种小波变换得到的钢轨加速度的时频域分布示意图；
图5为本发明实施例提供的一种变分模态分解后钢轨加速度的各阶本征模态函数示意 图；
图6为本发明实施例提供的一种利用同步挤压小波变换分析后得到的本征模态函数的瞬 时频率示意图；
图7为本发明实施例提供的一种提取各阶本征模态函数中心频率的示意图；
图8为本发明实施例提供的一种瞬时频率稳定示意图。
具体实施方式
为便于对本发明实施例的理解，下面将结合附图以几个具体实施例为例做进一步的解 释说明，且各个实施例并不构成对本发明实施例的限定。
本发明利用matlab编程融合了VMD(Variational mode decomposition,变分模态分 解)和SWT(Synchrosqueezing Wavelet Transform，同步挤压小波变换)，实现了对钢轨模态频率的快速识别，解决了以往模态试验中对测点和激励要求较高的问题，为分析诊断高速铁路轨道振动特性以及监测布点的方案提供了新的思路。
本发明实施例提供了一种基于轮轨激励的铁路无砟轨道钢轨模态频率的识别方法。该 方法利用matlab软件在数据处理方面的特点，提取轮轨激励通过后的钢轨加速度信号，利 用经验模态分解和小波变换对钢轨加速度信号进行处理，然后根据钢轨加速度信号的频域 层数，利用变分模态分解将钢轨加速度信号分解为一系列本征模态函数，通过同步挤压小 波变换识别本征模态函数的瞬时频率，最后将钢轨加速度信号绘制在稳定图上，提取钢轨 模态频率。
本发明实施例提供的一种基于轮轨激励的铁路无砟轨道钢轨模态频率的识别方法的处 理流程图如图1所示，包括如下的处理步骤：
步骤S1、提取铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据。
对于理论模型(有限元动力学模型、多体动力学模型或者自编程动力学模型)求得的 铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据，可以直接提取其不同测点上的钢轨加速度，提取得 到的格式为两列数据，一列为线性时间点(0,0.001s,0.002s…)，另一列为加速度数值(m/s2)，并将其写为*.txt格式。利用matlab软件读取钢轨加速度数据可得到两组变量： 时间和钢轨加速度。
现场测试铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据时，可采用压电式加速度传感器，将其 粘贴于钢轨轨低，通过导线连接至多通道数据采集仪，设置离线采样和触发值，当检测到 有车辆通过时，即触发采样，以获取车辆通过下钢轨的加速度数据。把数据采集仪连接到 笔记本电脑上，并利用其配套的数据处理软件提取离线存储的钢轨加速度数据，格式与理 论模型提取的结果一样。
对于理论模型提取的铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据结果，可以根据最后一个轮 对通过铁路无砟轨道钢轨的时间来确定分析，并把测点处最后一个轮对通过后的振动加速 度数据作为分析对象；对于现场测试求得的振动加速度数据，可以利用matlab编制程序， 以找出最后一个最大值的方式，找出最后一组加速度峰值，并提取该峰值之后的加速度数 据作为分析对象。
步骤S2、钢轨振动加速度数据的处理，利用matlab融合经验模态分解、小波变换、变 分模态分解和同步挤压小波变换对钢轨加速度数据进行处理，得到钢轨加速度数据中的各 阶瞬时频率。
S21、根据铁路无砟轨道钢轨的模态频率范围，选择相应的低通滤波器对所述振动加速 度数据进行滤波处理；
S22、对滤波处理后的钢轨加速度数据进行小波变换和经验模态分解，利用小波基morlet对滤波处理后的钢轨加速度数据进行分析处理，得到钢轨加速度的时频分布图；上述小波基morlet是一种高斯包络下的单频率副正弦函数，没有尺度函数且为非正交分解,其 表达式为：
利用经验模态分解处理滤波处理后的钢轨加速度数据得到一系列本征模态函数；对比 钢轨加速度的时频分布图上频域分量个数和本征模态函数的个数，得到钢轨加速度数据的 频域分量层数k；
S23、利用变分模态分解处理钢轨加速度数据，以钢轨加速度数据的频域分量层数k为 分解目标，利用变分模态分解方法对钢轨加速度数据的时域信号进行分解，得到k阶本征模 态函数；
S24、利用同步挤压小波变换分析各阶本征模态函数的时频域分布情况，得到各阶时频 域分布图，根据各阶时频域分布图判断各阶本征模态函数是否为单分量信号；如果不是单 分量信号，存在超过1阶的瞬时频率峰值，即需将瞬时频率峰值作为分解层数，返回S23； 如果是单分量信号，根据时频域分布图中频域分量层数，利用变分模态分解再次对该本征 模态函数进行分解；
S25、利用同步挤压小波变换识别各阶本征模态函数的瞬时频率，根据拟识别的钢轨加 速度的频率范围选择对应的频率尺度，利用频率尺度对各阶本征模态函数进行分析，得到 各阶瞬时频率；
S26、设置小波分量阈值，提取各阶瞬时频率的中心频率，将小波分量小于所述小波分 量阈值的瞬时频率设置为0。
步骤S3、结合钢轨加速度的功率谱密度的峰值、谷值以及瞬时频率分布情况，选择模 态频率稳定轴作为钢轨的各阶模态频率。
利用matlab软件自带的功率谱密度函数pwelch提取钢轨振动加速度数据的功率谱密 度。
将各阶瞬时频率的中心频率绘制在以横坐标为频率、左侧纵坐标为时间的稳定图中， 并将钢轨振动加速度数据的功率谱密度绘制在同一幅稳定图中。考虑到功率谱密度中的峰 值和谷值与钢轨的模态频率存在一定的对应关系，因此可结合瞬时频率点所在的轴线与功 率谱密度数据的峰、谷值来确定钢轨的模态频率，其中相邻两阶模态频率小于5Hz时，可认 为其为1阶模态频率，并取相邻两阶模态频率的中间值作为模态频率。
实施例一
在本实施例中，基于高速铁路板式无砟轨道的动力学模型对钢轨进行模态参数识别， 高速铁路板式无砟轨道的动力学模型包括：钢轨模型、扣件模型、轨道板模型、CA砂浆层 模型以及轮轨激励模型，上面的动力学模型属于上部分理论模型的一种。
所述钢轨模型采用欧拉梁模拟，利用正则化坐标建立钢轨的振动方程，取40为模态截 断阶数；所述轨道板模型采用两端自由的自由梁进行模拟，利用正则化坐标建立轨道板振 动方程，取20为模态截断阶数；所述扣件模型采用弹簧阻尼单元进行模拟；所述CA砂浆层 模型采用均布弹簧阻尼；所述轮轨激励模型采用车辆轨道耦合动力学模型求得的4组轮轨力 进行施加。
模型求解：在上述建模的基础上，采用Newmark-β法对上述各个模型进行求解。
本实施例以轮轨激励按照100m/s的运行速度直向通过长50m的板式无砟轨道为例，对本 发明实施例的方法进行介绍。模型中车辆轴距为2.5m，车辆定距为12.5m；钢轨采用我国高 铁常用的60kg/m钢轨，弹性模量为2.07e11 Pa，惯性矩为30.6e-6m4；轨道板采用我国高 铁常用的CRTS II型板式无砟轨道的轨道板参数，弹性模量为3.6×1010Pa，垂向惯性矩为 1.7×10-3m4,质量为318750kg；扣件间距为0.625m，刚度为45000000N/m，阻尼为60000N·s/m；CA砂浆的纵向分布刚度为255000000N/m/m，纵向分布阻尼为2550000 N·s/m/m。图2为本发明实施例提供的一种高速铁路板式无砟轨道的动力学模型示意图。
在模型求解中，采用的采样频率是1000Hz，求解时长为5s。
根据本实施例的方法可以得到轮轨激励下的钢轨加速度，提取的几个钢轨测点的加速度 时域结果如图3所示；利用小波变换对轮轨激励通过后钢轨加速度进行分析得到的时频域分 布图如图4所示。
根据加速度的时频域分布图可以看出其频域分量有11层；利用11作为变分模态分解的参 数，对钢轨加速度进行分解，得到如图5所示的各阶本征模态函数。
利用同步挤压小波变换对各阶本征模态函数进行分析，求得各阶瞬时频率，其中一阶本 征模态函数的瞬时频率如图6所示。
根据每一个采样时刻的小波分量模的极值来选择瞬时频率峰值，作为中心瞬时频率，并 设置1×10-9作为阈值，即小波分量模小于1×10-9的时刻的瞬时频率设置为0，所提取的中心 瞬时频率如图7所示。
将各阶本征模态函数的中心瞬时频率绘制在以频率为横坐标，时间为纵坐标的稳定图 中，并将钢轨加速度的功率谱曲线同时绘制在稳定图中，所得到的稳定图如图8所示。
最后可以在图8中根据功率谱曲线的峰值和谷值以及瞬时频率来找出各阶模态频率的稳 定轴，最终可以得到钢轨的模态频率。
本领域普通技术人员可以理解：附图只是一个实施例的示意图，附图中的模块或流程 并不一定是实施本发明所必须的。
本领域普通技术人员可以理解：实施例中的设备中的模块可以按照实施例描述分布于 实施例的设备中，也可以进行相应变化位于不同于本实施例的一个或多个设备中。上述实 施例的模块可以合并为一个模块，也可以进一步拆分成多个子模块。
综上所述，本发明所述的方法能够较为准确的对高速铁路无砟轨道钢轨的模态频率进 行识别，可以利用现有的高铁无砟轨道监测系统中钢轨加速度传感数据，对钢轨模态频率 进行较高精度的识别。
本实施例表明，该发明可用于指导高铁无砟轨道现场监测布点方案设计以及无砟轨道 动力学模型的验证和优化。
本发明实施例在不进入现场进行在线测量的基础上，利用离线监测布置好的钢轨加速 度传感器，基于车辆通过时轮轨激励诱发的钢轨振动，可以对钢轨的模态频率进行分析和 提取。相对于传统的在线布点、激励、测量和分析，本方法能够在基本不改变高铁无砟轨 道现场监测布点方案的条件下，更加便捷的识别钢轨的模态频率。此外，如果高铁无砟轨 道现场监测日期较长，还能够获取随着服役时间增加，钢轨模态频率变化的情况。无论是 对于轨道状态监测还是动力学的研究，都有十分重要的理论价值和推广前景。
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任 何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都 应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为 准。
Claims (5)
1.一种基于轮轨激励的铁路无砟轨道钢轨模态频率的识别方法，其特征在于，包括：
获取铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据，提取所述振动加速度数据的功率谱密度；
利用matlab融合经验模态分解、小波变换、变分模态分解和同步挤压小波变换对所述振动加速度数据进行处理，得到钢轨加速度数据中的各阶瞬时频率；
结合所述振动加速度数据的功率谱密度的峰值、谷值以及各阶瞬时频率的分布情况，选择模态频率稳定轴作为所述铁路无砟轨道钢轨的各阶模态频率。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的获取铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据，包括：
对于理论模型提取的铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据结果，根据最后一个轮对通过铁路无砟轨道钢轨的时间来确定分析，并把测点处最后一个轮对通过后的振动加速度数据作为分析对象；
现场采集铁路无砟轨道钢轨的振动加速度数据时，将压电式加速度传感器粘贴于钢轨轨底面，并通过导线连接至多通道数据采集仪，设置离线采样和触发值，当检测到有车辆通过时触发采样，压电式加速度传感器获取车辆通过下钢轨的加速度数据，并传输给数据采集仪，数据采集仪提取离线存储的钢轨加速度数据，并利用matlab程序找出最后一组加速度峰值，并提取该峰值之后的加速度数据作为分析对象。
3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的提取所述振动加速度数据的功率谱密度，包括：
利用matlab软件中的功率谱密度函数pwelch提取钢轨振动加速度数据的功率谱密度。
4.根据权利要求1或者2或者3所述的方法，其特征在于，所述的利用matlab融合经验模态分解、小波变换、变分模态分解和同步挤压小波变换对所述振动加速度数据进行处理，得到钢轨加速度数据中的各阶瞬时频率，包括：
S21、根据铁路无砟轨道钢轨的模态频率范围，选择相应的低通滤波器对所述振动加速度数据进行滤波处理；
S22、利用小波基morlet对滤波处理后的钢轨加速度数据进行分析处理，得到钢轨加速度的时频分布图；利用经验模态分解处理滤波处理后的钢轨加速度数据得到一系列本征模态函数；对比钢轨加速度的时频分布图上频域分量个数和本征模态函数的个数，得到钢轨加速度数据的频域分量层数k；
S23、利用变分模态分解处理钢轨加速度数据，以钢轨加速度数据的频域分量层数k为分解目标，利用变分模态分解方法对钢轨加速度数据的时域信号进行分解，得到k阶本征模态函数；
S24、利用同步挤压小波变换分析各阶本征模态函数的时频域分布情况，得到各阶时频域分布图，根据各阶时频域分布图判断各阶本征模态函数是否为单分量信号；如果不是单分量信号，则将瞬时频率峰值作为分解层数，返回S23；如果是单分量信号，则根据时频域分布图中频域分量层数，利用变分模态分解再次对该本征模态函数进行分解；
S25、利用同步挤压小波变换识别各阶本征模态函数的瞬时频率，根据拟识别的钢轨加速度的频率范围选择对应的频率尺度，利用频率尺度对各阶本征模态函数进行分析，得到各阶瞬时频率；
S26、设置小波分量阈值，提取各阶瞬时频率的中心频率，将小波分量小于上述小波分量阈值的瞬时频率设置为0。
5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述的结合所述振动加速度数据的功率谱密度的峰值、谷值以及各阶瞬时频率的分布情况，选择模态频率稳定轴作为所述铁路无砟轨道钢轨的各阶模态频率，包括：
将各阶瞬时频率的中心频率绘制在以横坐标为频率、左侧纵坐标为时间的稳定图中，并将钢轨振动加速度数据的功率谱密度绘制在同一幅稳定图中；
根据各阶瞬时频率点所在的轴线和功率谱密度数据的峰值和谷值来确定钢轨的各阶模态频率，其中相邻两阶模态频率小于5Hz时，则认为为1阶模态频率，取相邻两阶模态频率的中间值作为模态频率。
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