CN111223148B - 一种基于相同圆和正交性质标定摄像机内参数的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于相同圆和正交性质标定摄像机内参数的方法，包括：拟合靶标投影方程；根据靶标投影方程估计消失线；根据消失线确定正交消失点；通过正交消失点计算摄像机内参数；本发明的靶标制作简单，只需任意两个半径相同的圆；对该靶标的物理尺度没有要求，无需知道圆心在世界坐标系下的坐标和圆的半径；靶标的图像边界点几乎可以全部提取，这样可以提高曲线拟合的精确度，从而提高标定精度；本发明方法是一个线性的算法，计算简单，仅仅只需要对圆像方程特征值分解即可完成标定。

Description

一种基于相同圆和正交性质标定摄像机内参数的方法

技术领域

本发明涉及计算机视觉领域，尤其是一种基于相同圆和正交性质标定摄像机内参数的方法。

背景技术

计算机视觉的中心任务就是对图像进行理解，而它的最终目标是使计算机具有通过二维图像认知三维环境信息的能力。这种能力将不仅使机器能感知包括形状、姿态、运动等在内的三维环境中物体的几何信息，而且能对它们进行描述、存储、识别与理解。摄像机标定就是确定从三维空间点到它的二维图像点之间的映射关系，它是许多计算机视觉应用必不可少的步骤。为了确定这一映射过程，需要建立摄像机的几何成像模型，几何模型的参数称为摄像机参数，摄像机参数可分为内参数和外参数两类。内参数描述成像系统的成像几何特性，外参数描述成像系统关于世界坐标系的方向和位置。摄像机标定可分为传统标定、自标定和基于几何实体的标定。无论哪种标定方法，都旨在建立二维图像与摄像机内参数之间的约束关系，特别是线性约束关系，这是目前摄像机标定所追求的目标，也是目前计算机视觉领域研究的热点之一。

针孔摄像机成像模型简单，几何原理清晰，不需要一些特殊的镜面，在视觉领域中有重要的应用。文献“An algorithm for self calibration from several views”，(R.Hartley,In Proc.IEEE Conference on Computer Vision and PatternRecognition,pages 908–912,June1994.)提出了一种针孔摄像机自标定方法，这类方法的优点是不需要使用标定块，缺点是必须获得图像之间的对应点。而在计算机视觉中，实现一个十分有效的寻找对应点的方法是很困难的。文献“Camera calibration by a singleimage of balls:From conics to the absolute conic”，(Teramoto H.and Xu G.,InProc.of 5th ACCV,2002,pp.499–506.)研究了在针孔摄像机下球像和绝对二次曲线的关系，通过最小化重投影误差非线性的标定内参数。而该方法需要一个好的初始化步骤，不然在最小化过程时会得到一个局部最小值。文献“Camera Calibration from Images ofSpheres”,(Hui Zhang and Kwan-Yee K.,IEEE Transactions on Pattern Analysis&Machine Intelligence.2007,29(3):499-502)研究了球像的对偶和绝对二次曲线的像的关系，并将该关系应用于摄像机的标定。文献“Interpreting Sphere Images Using theDouble-Contact Theorem”,(X.Ying,H.Zha,Springer Berlin Heidelberg,2006,3851(91):724-733)介绍了双接触原理，利用双接触原理可以确定三个球像与绝对二次曲线的像的关系，使用这个关系建立了针孔摄像机内参数的线性约束，通过此线性约束即可获得针孔摄像机的内参数。

圆被认为是和点，线和二次曲线相似的重要图像特征之一，其最重要的优点是圆可以更加精确的从图像中提取出来，并提供可接受的标定精度。由于圆具有更多的几何信息，因此利用圆进行摄像机标定已成为近年来的一个研究方向。文献“The Common self-polar triangle of concentric circles and its application to cameracalibration”,(H.F.Huang and H.Zhang,in:Proceedings of IEEE InternationalConference on Computer Vision and Pattern Recognition,2015,pp.4065–4072.)发现了同心圆具有无穷多个公共自极三角形，但是这些公共自极三角形族共享一个顶点和一条直线。通过分析公共自极三角形的代数性质发现该顶点和直线是同心圆的圆心和支撑平面上的无穷直线。因此，在图像平面上，利用两个同心圆像的广义特征值分解能够确定圆心的像和消失线。这些允许对IAC产生良好的约束。最后，通过分解IAC摄像机内参数能够被提取出来.文献“Recovering projected centers of circle-pairs with common tangents”，(Q.Chen,H.Y.Wu,in:Proceedings of IEEE International of Conference onmechatronics and Automation,2017,pp.1775-1780.)描述了一种新的通过分解退化二次曲线来恢复圆对公切线的方法。此外，利用圆的性质获得两个消失点，从而确定支撑平面上的消失线。最后，利用消失线来确定摄像机的内参数。文献“Camera calibration with twoarbitrary coplanar circles”，(Q.Chen,H.Y.Wu,T.Wada,in：Proc.ECCV,2004,pp.521–532.)结算了一种新的标定算法，该方法仅仅使用任意两个半径的两个共面圆的投影，即可同时估计相机的外部参数和焦距。然而，该方法会造成误差累计且只能估计部分摄像机内参数。

发明内容

本发明的发明目的在于：针对上述存在的问题，提供一种基于相同圆和正交性质标定摄像机内参数的方法；本发明解决了计算摄像机机内部参数误差大的问题；解决了摄像机机内部参数数量不全的问题；解决了摄像机机内部参数计算方法复杂的问题。

本发明采用的技术方案如下：

一种基于相同圆和正交性质标定摄像机内参数的方法，包括：拟合靶标投影方程；根据靶标投影方程估计消失线；根据消失线确定正交消失点；通过正交消失点计算摄像机内参数。

进一步的，所述拟合靶标投影方程是利用Matlab程序中的Edge函数提取靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得圆像的方程。

进一步的，所述估计消失线方法为：以空间中的两个半径相同的分离圆C₁和C₂为标定物体；若令以O_c为光心的摄像机的内参数矩阵为

其中r_c是纵横比，f_c是有效焦距，s是倾斜因子，[u₀ v₀ 1]^T是摄像机主点p的齐次坐标矩阵形式，其中r_c,f_c,u₀,v₀,s为摄像机的5个内参数；则通过特征值分解计算出C₁ ^*和C₂ ^*的三个广义特征向量L_k,其中k＝1,2,3，它们代表了圆C₁和C₂的公共自极三角形的三条边，且其中两条边L₁和L₂是平行的，垂直于另一条边L₃；由圆的性质知，直线L₁与圆C₁有实交点M₁和M₂，与圆C₂只有复交点；同理的，直线L₂与圆C₂有实交点N₁和N₂，与圆C₁只有复交点；设直线L₁与直线L₃相交于E₁，直线L₂与直线L₃相交于E₂，则连接点E₁和N₁形成直线U₁，连接E₂和M₂形成直线U₁，连接E₂和M₁形成直线U₂，连接点E₁和N₂形成直线V₂；根据等腰三角形和半径相同的圆的几何性质，其另一组平行直线U₁,V₁或U₂,V₂也能够被获得；两组平行直线即确定该平面上的无穷远直线L_∞；利用Matlab中的Edge函数提取图像靶标图像边缘点的像素坐标，通过最小二乘法拟合得到相应的二次曲线方程；用c_ni表示第n幅图像中的第i个圆像的系数矩阵，其中n＝1,2,3，i＝1,2；圆像方程c_ni可以通过单应矩阵H_n＝K[r_n1 r_n2 T_n]与圆的方程C_i确定，即有关系式λ_cnic_ni＝H_n ^-TC_iH_n ^-1，其中λ_cni是非零比例因子，r_n1和r_n2分别是旋转矩阵R_n的第一列和第二列，T_n是平移向量；在第n幅透视图像平面上，取两幅圆像方程c_n1,c_n2，那么矩阵对(c_n1 ^*,c_n2 ^*)的广义特征向量等价于矩阵c_n2c_n1 ^-1的特征向量，通过特征值分解，矩阵c_n2c_n1 ^-1的特征向量l_nk可以被获得，它们表示L_k的第n幅像；因此可知，消失点v_n1∞可由直线l_n1和l_n2确定,即λ_nv1v_n1∞＝l_n1×l_n2，其中λ_nv1是非零比例因子，×表示叉积；若直线l_n1与二次曲线c_n1相交于两点m_n1和m_n2，与直线l_n3相交于e_n1；因此可知，直线l_n2与二次曲线c_n2相交于两点n_n1和n_n2，与直线l_n3相交于e_n2；通过连接点e_n1和n_n1构成直线u_n1，连接点e_n2和m_n2构成直线v_n1，那么直线u_n1和v_n1的消失点v_n2∞可以被获得，即λ_nv2v_n2∞＝u_n1×v_n1，其中λ_nv2是非零比例因子；因此，经过点m_n1和e_n2的直线u_n2与经过点e_n1和n_n2的直线v_n2相交于消失点v_n3∞，即λ_nv3v_n3∞＝u_n2×v_n2，其中λ_nv3是非零比例因子；连接两个消失点v_n1∞和v_n2∞可以获得消失线l_n∞，即λ_nll_n∞＝v_n1∞×v_n2∞，其中λ_nl是非零比例因子。

进一步的，所述确定正交消失点方法为：在第n幅透视图像上，已知平面π₁上的消失线l_n∞，直线l_n3上的消失点v_n1∞′可以被确定，即λ_nv1′v_n1∞′＝l_n3×l_n∞，其中λ_nv1′是非零比例因子，×表示叉积，可知v_n1∞和v_n1∞′是一组正交消失点；已知平面π₁上的两个消失点v_n2∞和v_n3∞，消失点v_n2∞和v_n3∞关于圆像c_n1的极线l_nv2和l_nv3可以被确定，即有λ_nl2l_nv2＝c_n1·v_n2∞，λ_nl3l_nv3＝c_n1·v_n3∞，其中λ_nl2和λ_nl3是非零比例因子，·表示点积；因为无穷远点V_2∞和V_3∞关于圆C₁的极线方向与过该无穷远点的直线方向是正交的，若消失线l_n∞与直线l_nv2和l_nv3分别相交于消失点v_n2∞′和v_n3∞′，即有λ_nv2′v_n2∞′＝l_nv2×l_n∞，λ_nv3′v_n3∞′＝l_nv3×l_n∞，其中λ_nv2′和λ_nv3′是非零比例因子；那么v_n2∞和v_n2∞′是一组正交消失点；同理地，v_n3∞和v_n3∞′也是上一组正交消失点。

进一步的，计算摄像机内参数方法为：由正交消失点{v_n1∞,v_n1∞′}，{v_n2∞,v_n2∞′}，n对绝对二次曲线的像ω的线性约束获得ω，即：

对ω进行Cholesky分解再求逆便得到内参数矩阵K，即获得摄像机的5个内参数。

综上所述，由于采用了上述技术方案，本发明的有益效果是：

1、本发明的靶标制作简单；对该靶标的物理尺度没有要求，无需知道圆心在世界坐标系下的坐标和圆的半径；靶标的图像边界点几乎可以全部提取，这样可以提高曲线拟合的精确度，从而提高标定精度。

2、本发明方法是一个线性的算法，计算简单，仅仅只需要对圆像方程特征值分解即可完成标定。

附图说明

本发明将通过例子并参照附图的方式说明，其中：

图1是基于相同圆和正交性质标定摄像机内参数的方法流程图。

图2是靶标在针孔摄像机下的投影示意图。

图3是用于求解针孔摄像机内参数的靶标示意图。

图4是靶标在图像平面上的投影示意图。

具体实施方式

本说明书中公开的所有特征，或公开的所有方法或过程中的步骤，除了互相排斥的特征和/或步骤以外，均可以以任何方式组合。

本说明书(包括任何附加权利要求、摘要)中公开的任一特征，除非特别叙述，均可被其他等效或具有类似目的的替代特征加以替换。即，除非特别叙述，每个特征只是一系列等效或类似特征中的一个例子而已。

实施例1

一种基于相同圆和正交性质标定摄像机内参数的方法，如图1所示，包括：

S1：拟合靶标投影方程。

上述步骤中，所述拟合靶标投影方程是利用Matlab程序中的Edge函数提取靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得圆像的方程。

S2：根据靶标投影方程估计消失线。

上述步骤中，所述估计消失线方法为：以空间中两个半径相同的分离圆为标定物体。如图2所示，若以空间中任意一点O_w为原点建立世界坐标系O_w-X_wY_wZ_w，其中两个圆C₁和C₂所在的支撑平面是世界平面O_wX_wY_w。代数上地，计算矩阵对(C₁ ^*,C₂ ^*)的广义向量的问题也是确定矩阵C₂C₁ ^*的特征向量问题，即两个圆C₁和C₂的广义特征值分解有下面的式子成立：

C₁ ^*L＝βC₂ ^*L， (1)

或

(C₁ ^*-βC₂ ^*)L＝0_3×3， (2)

或

(C₂C₁ ^*-βI)L＝0_3×3， (3)

其中I是3×3阶单位矩阵。若C₁和C₂有公共自极三角形，那么公共自极三角形的顶点X和边L应该满足下面的关系：

X＝C₁ ^*L， (4)

X＝βC₂ ^*L。 (5)

联立(4)和(5)式，则可得：

C₁ ^*L＝X＝βC₂ ^*L。 (6)

由(1)和(6)式可知，(C₁ ^*,C₂ ^*)的广义特征向量L_k是圆C₁和C₂的公共自极三角形的三条边。

如图3所示，公共自极三角形中的其中一条边L₃经过两个圆的圆心O₁和O₂.因为直线L₁关于圆C₁和C₂的公共极点是直线L₂和L₃的交点E₂，直线L₂关于圆C₁和C₂的公共极点是直线L₁和L₃的交点E₁，那么根据配极原则可知，直线L₁也经过L₃关于圆C₁和C₂的公共极点，即支撑平面上的无穷远点V_1∞。相似的，可知直线L₂也经过无穷远点V_1∞。且根据圆的性质可知，L₁⊥L₃,L₂⊥L₃。直线L₁与圆C₁有实交点M₁和M₂，与圆C₂只有复交点。同理的，直线L₂与圆C₂有实交点N₁和N₂，与圆C₁只有复交点。根据交点的定义可知，点M₁,M₂,N₁,N₂可由下面的式子确定：

根据两个半径相同的圆C₁和C₂的几何性质，我们很容易的观察到一个性质：等腰三角形ΔO₁M₁M₂和等腰三角形ΔO₂N₁N₂是全等的。进一步的，我们不难证明经过点E₁和N₁的直线U₁和经过点E₂和M₂的直线V₁是相互平行的。同理的，经过点E₂和M₁的直线U₂和经过点E₁和N₂的直线V₂是相互平行的。那么该支撑平面上的另外两个无穷远点V_2∞,V_3∞可以被确定的。

用Matlab中的Edge函数提取3幅图像中的靶标图像边缘点的像素坐标，通过最小二乘法拟合得到相应的二次曲线方程，这里用c_ni表示第n(n＝1,2,3)幅图像中的第i(i＝1,2)个圆像的系数矩阵。

那么给定圆C₁上的一点

则有下面的式子成立：

根据投影模型可知，

的像点满足：

其中λ_nm是非零比例因子，r_n1和r_n2分别是旋转矩阵R_n的第一列和第二列，T_n是平移向量。如图1，以摄像机光心O_C为原点建立摄像机坐标系O_c-X_cY_cZ_c，图像平面π与Z_c轴垂直，圆C₁,C₂投影分别为c_n1,c_n2，图1中下标n忽略表示，用c₁,c₂表示。假设圆C₁在图像平面π上的投影为c_n1，根据射影变换的同素性，则图像点m_n在圆像c_n1上，即有：

m_n ^Tc_n1m_n＝0。 (11)

因为H_n＝K[r_n1 r_n2 T_n]是3×3阶可逆矩阵，则联立(9)，(10)和(11)式，我们可得：

λ_nc1c_n1＝H_n ^-TC₁H_n ^-1， (12)

其中λ_nc1是非零比例因子。

同理的，若圆C₂的在图像平面π上的投影为c_n2，则有下面的式子成立：

λ_nc2c_n2＝H_n ^-TC₂H_n ^-1， (13)

其中λ_nc2是非零比例因子。

首先考虑矩阵对(c_n1 ^*,c_n2 ^*)，代数上地，因为矩阵对(c_n1 ^*,c_n2 ^*)的广义特征向量等价于矩阵c_n2c_n1 ^-1的特征向量，从(12)和(13)式可知，下面的等式满足：

这里∝表示相差一个非零比例因子。由于二次曲线对(c_n1 ^*,c_n2 ^*)和圆对(C₁ ^*,C₂ ^*)由一个非奇异的单应H_n所关联，即c_n2c_n1 ^-1∝H_n ^-TC₂C₁ ^-1H_n ^T。两个圆C₁和C₂的广义特征分解是射影不变量,即若L_k(k＝1,2,3)是矩阵C₁和C₂的广义特征向量，那么l_nk＝H_nL_k一定是矩阵c_n1和c_n2的广义特征向量。在图像平面上，消失点v_1∞可由直线l_n1和l_n2确定，即：

λ_nv1v_n1∞＝l_n1×l_n2， (15)

其中λ_nv1是非零比例因子，×表示叉积。

如图4所示(图4中的下标n忽略)，若直线l_n1与二次曲线c_n1相交于两点m_n1和m_n2，与直线l_n3相交于e_n1。同理可知，直线l_n2与二次曲线c_n2相交于两点n_n1和n_n2，与直线l_n3相交于e_n2。通过连接点e_n1和n_n1构成直线u_n1，连接点e_n2和m_n2构成直线v_n1。，即有下面两个等式成立：

λ_nu1u_n1＝e_n1×n_n1， (16)

λ_nv1v_n1＝e_n2×m_n2， (17)

其中λ_nu1和λ_nv1是非零比例因子。那么根据上述讨论可知，直线u_n1和v_n1的消失点v_n2∞可以被获得，即：

λ_nv2v_n2∞＝u_n1×v_n1， (18)

其中λ_nv2是非零比例因子。同理的，经过点m_n1和e_n2的直线u_n2与经过点e_n1和n_n2的直线v_n2相交于消失点v_n3∞，即：

λ_nu2u_n2＝m_n1×e_n2， (19)

λ_nv2v_n2＝e_n1×n_n2， (20)

λ_nv3v_n3∞＝u_n2×v_n2， (21)

其中λ_nu2，λ_nv2，λ_nv3是非零比例因子。连接两个消失点v_n1∞和v_n2∞可以获得消失线l_n∞，即:λ_nll_n∞＝v_n1∞×v_n2∞，(22)其中λ_nl是非零比例因子。

S3：根据消失线确定正交消失点。

上述步骤中，所述确定正交消失点方法为：在第n(n＝1,2,3)幅透视图像上，已知平面π₁上消失线l_n∞，那么直线l_n3上的消失点v_n1∞′可以被确定，即有：

λ_nv1′v_n1∞′＝l_n3×l_n∞， (23)

其中λ_nv1′是非零比例因子，×表示叉积。那么根据上述讨论可知，v_n1∞和v_n1∞′是一组正交消失点。进一步的，已知平面π₁上的两个消失点v_n2∞和v_n3∞，那么消失点v_n2∞和v_n3∞关于圆像c_n1的极线l_nv2和l_nv3可以被确定，即有：

λ_nl2l_nv2＝c_n1·v_n2∞， (24)

λ_nl3l_nv3＝c_n1·v_n3∞， (25)

其中λ_nl2和λ_nl3是非零比例因子，·表示点积。从文献“Calibrating aparacatadioptric camera by the property of the polar of a point at infinitywith respect to a circle”，(Zhao Y,Li Y,and Zheng B，Applied Optics,2018,57(15):4345–4352)可知，因为无穷远点V_2∞和V_3∞关于圆C₁的极线方向与过该无穷远点的直线方向是正交的，若消失线l_n∞与直线l_nv2和l_nv3分别相交于消失点v_n2∞′和v_n3∞′，即有：

λ_nv2′v_n2∞′＝l_nv2×l_n∞， (26)

其中λ_nv2′和λ_nv3′是非零比例因子。那么v_n2∞和v_n2∞′是一组正交消失点。同理的，v_n3∞和v_n3∞′也是上一组正交消失点。

S4：通过正交消失点计算摄像机内参数。

上述步骤中，计算摄像机内参数方法为：在每幅图像上仅仅选取两组正交消失点。三幅透视图像可以获得六组正交消失点{v_11∞,v_11∞′}，{v_12∞,v_12∞′}，{v_21∞,v_21∞′}，{v_22∞,v_22∞′}，{v_31∞,v_31∞′}，{v_32∞,v_32∞′}。其次，由正交消失点对绝对二次曲线的像ω的线性约束有：

通过SVD方法求解方程组(27)获得ω。最后，对ω＝K^-TK^-1进行Cholesky分解再求逆便可获得K，即获得了针孔摄像机的内参数。

实施例2

本实施例根据实施例1的方法进行具体数据的带入计算，方便对技术方案进行进一步的理解。

一种基于相同圆和正交性质标定摄像机内参数的方法，包括：

S1：拟合靶标投影方程。

本实施例采用的图像大小为1038×1048。用针孔摄像机拍摄靶标的3幅实验图像，读入图像，利用Matlab中的Edge函数提取靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得圆像的方程。第n(n＝1,2,3)幅图像中第i(i＝1,2)个圆像的方程的系数矩阵分别为c_ni，结果如下：

/>

S2：根据靶标投影方程估计消失线。

上述步骤中，因为任意两幅圆像方程c_n1,c_n2，矩阵对(c_n1 ^*,c_n2 ^*)的广义特征向量等价于矩阵c_n2c_n1 ^-1的特征向量。因此，我们计算矩阵c₁₂c₁₁ ^-1,c₂₂c₂₁ ^-1,c₃₂c₃₁ ^-1，结果如下：

将(34)式特征值分解，则可得三条直线l_1k的齐次坐标矩阵，结果如下：

l₁₁＝[0.0000131372232636 -0.0005453828949783 1]^T， (37)

l₁₂＝[0.0000202628469355 -0.0005337512731734 1]^T， (38)

l₁₃＝[-0.0008928788850378 0.0000001014635096 1]^T。 (39)

将(35)式特征值分解，则可得三条直线l_2k的齐次坐标矩阵，结果如下：

l₂₁＝[0.0001787630326410 -0.0007227863595615 1]^T， (40)

l₂₂＝[-0.0000926813825859 -0.0009810319466767 1]^T， (41)

l₂₃＝[-0.0017096410841089 0.0008605325871420 1]^T。 (42)

将(36)式特征值分解，则可得三条直线l_3k的齐次坐标矩阵，结果如下：

l₃₁＝[-0.0063150148065399 0.0105614598878041 1]^T， (43)

l₃₂＝[-0.0438145781588402 0.0511254198786016 1]^T， (44)

l₃₃＝[-0.0007246252546235 0.0009164097593132 1]^T。 (45)

将(37)和(38)式带入(15)式，则可得消失点v_11∞的齐次坐标矩阵，结果如下：

v_11∞＝[-2879.8267949194755601 1764.2047106606082707 1]^T。 (46)

将(40)和(41)式带入(15)式，则可得消失点v_21∞的齐次坐标矩阵，结果如下：

v_21∞＝[-1065.5406460551009786 1120.0000000000000000 1]^T。 (47)

将(43)和(44)式带入(15)式，则可得消失点v_31∞的齐次坐标矩阵，结果如下：

v_31∞＝[-289.9742893997091641 -268.0682368868707499 1]^T。 (48)

将(28)，(29)，(37)和(38),式带入(7)和(8)式，则可得点m₁₁,m₁₂,n₁₁,n₁₂的齐次坐标矩阵，结果如下：

m₁₁＝[617.7121596583361906 1848.4536860915297893 1]^T， (49)

m₁₂＝[1791.2521159172349598 1876.7220028211127100 1]^T， (50)

n₁₁＝[381.7200782616370702 1888.0231039571813198 1]^T， (51)

n₁₂＝[2290.9414414043790202 1960.5030439438357916 1]^T。 (52)

将(30)，(31)，(40)和(41)式带入(7)和(8)式，则可得点m₂₁,m₂₂,n₂₁,n₂₂的齐次坐标矩阵，结果如下：

m₂₁＝[866.65948134171651418 1597.8811191903980670 1]^T， (53)

m₂₂＝[2593.8444044523052980 2025.0568824054050764 1]^T， (54)

n₂₁＝[1783.7530719672731720 850.817653722285285 1]^T， (55)

n₂₂＝[614.4301810556108875 961.2875141445059625 1]^T。 (56)

将(32)，(33)，(43)和(44)式带入(7)和(8)式，则可得点m₃₁,m₃₂,n₃₁,n₃₂的齐次坐标矩阵，结果如下：

m₃₁＝[659.4095102552425942 299.5969169460132093 1]^T， (57)

m₃₂＝[1148.9010156011377148 592.2786235256461395 1]^T， (58)

n₃₁＝[482.8067068929873926 394.2064875482898287 1]^T， (59)

n₃₂＝[991.3482004413441472 830.0274757963233014 1]^T。 (60)

由(37)，(38)和(39)式，我们易得交点e₁₁,e₁₂，结果如下：

e₁₁＝[1120.1841542350548479 1860.5572684320245571 1]^T， (61)

e₁₂＝[1120.1904611046218178 1916.0577206148723234 1]^T。 (62)

由(40)，(41)和(42)式，我们易得交点e₂₁,e₂₂，结果如下：

e₂₁＝[1463.4968400320069576 1745.4938332677022572 1]^T， (63)

e₂₂＝[1048.1492373459368536 920.3126183451992119 1]^T。 (64)

由(43)，(44)和(45)式，我们易得交点e₃₁,e₃₂，结果如下：

e₃₁＝[853.992796607284731 415.944121543864469 1]^T， (65)

e₃₂＝[674.1267668088423761 558.1681281263408891 1]^T。 (66)

将(51)和(61)，(50)和(62)式分别带入(16)和(17)式，则可得直线u₁₁,v₁₁的齐次坐标矩阵，结果如下：

u₁₁＝[0.0000762123717178 -0.0005664612084171 1]^T， (67)

v₁₁＝[0.0000483693633997 -0.0005665950800424 1]^T。 (68)

将(55)和(63)，(54)和(64)式分别带入(16)和(17)式，则可得直线u₂₁,v₂₁的齐次坐标矩阵，结果如下：

u₂₁＝[-0.0007724041072318 -0.0002068918976949 1]^T， (69)

v₂₁＝[-0.0004788561528626 -0.0001714102494968 1]^T。 (70)

将(59)和(654)，(58)和(66)式分别带入(16)和(17)式，则可得直线u₃₁,v₃₁的齐次坐标矩阵，结果如下：

u₃₁＝[-0.0015567663119650 0.0000886074250207 1]^T， (71)

v₃₁＝[-0.0013966087241317 0.0004632684538783 1]^T。 (72)

将(67)和(68)式分别带入(18)式，则可得消失点v_12∞的齐次坐标矩阵，结果如下：

v_12∞＝[-8.4824509396292739 1764.2047106604563850 1]^T。 (73)

将(69)和(70)式分别带入(18)式，则可得消失点v_22∞的齐次坐标矩阵，结果如下：

v_22∞＝[1064.6669826047116202 8808.2383626505215943 1]^T。 (74)

将(71)和(72)式分别带入(18)式，则可得消失点v_32∞的齐次坐标矩阵，结果如下：

v_32∞＝[627.0993637878117397 -268.0682368868804132 1]^T。 (75)

将(46)和(73)式分别带入(22)式，则可得消失线l_1∞的齐次坐标矩阵，结果如下：

l_1∞＝[-0.0000000000000000299 -0.0005668276441828 1]^T。 (76)

将(47)和(74)式分别带入(22)式，则可得消失线l_2∞的齐次坐标矩阵，结果如下：

l_2∞＝[0.0009383786284404 -0.0000001066339350 1]^T。 (77)

将(48)和(75)式分别带入(22)式，则可得消失线l_3∞的齐次坐标矩阵，结果如下：

l_3∞＝[0.0000000000000000393 0.0037303934685182 1]^T。 (78)

S3：根据消失线确定正交消失点。

上述步骤中，将(39)和(76)式带入(23)式中，那么直线l₁₃上的消失点v_11∞′的齐次坐标矩阵可以被确定，结果如下：

v_11∞′＝[1120.1732050807611358 1764.2047106603965858 1]^T。 (79)

将(42)和(77)式带入(23)式中，那么直线l₂₃上的消失点v_21∞′的齐次坐标矩阵可以被确定，结果如下：

v_21∞′＝[-1066.0406460551512282 -3280.0000000001127773 1]^T。 (80)

将(45)和(78)式带入(23)式中，那么直线l₃₃上的消失点v_31∞′的齐次坐标矩阵可以被确定，结果如下：

v_31∞′＝[1719.0407600301355159 -268.0682368868919525 1]^T。 (81)

将(28)和(73)式带入(24)式，可得消失点v_12∞关于圆像c₁₁的极线，结果如下：

l_1v2＝[-0.0000165555195047 -0.0004907272535253 1]^T。 (82)

将(30)和(74)式带入(24)式，可得消失点v_22∞关于圆像c₂₁的极线，结果如下：

l_2v2＝[0.0014093155034162 -0.0041299928876849 1]^T。 (83)

将(32)和(75)式带入(24)式，可得消失点v_32∞关于圆像c₃₁的极线，结果如下：

l_3v2＝[0.0006187695486010 -0.0019438104466911 1]^T。 (84)

将(76)和(82)式带入(26)式中，可得直线l_1v2上的消失点v_12∞′的齐次坐标，结果如下：

v_12∞′＝[8109.4808074812699487 1764.2047106600268762 1]^T。 (85)

将(77)和(83)式带入(26)式中，可得直线l_2v2上的消失点v_22∞′的齐次坐标，结果如下：

v_22∞′＝[-1065.6817280121174462 -121.5212216203657078 1]^T。 (86)

将(78)和(84)式带入(26)式中，可得直线l_3v2上的消失点v_32∞′的齐次坐标，结果如下：

v_32∞′＝[-2458.2234900304283655 -268.0682368868479557 1]^T。 (87)

S4：通过正交消失点计算摄像机内参数。

上述步骤中，将(46-48)和(79-81)，(73-75)和(85-87)式代入(28)得到ω中元素的线性方程组，使用SVD分解求解该线性方程组得到ω的系数矩阵。结果如下：

最后，对(88)中的ω＝K^-TK^-1进行Cholesky分解再求逆便可获得K，结果如下：

/>

其中纵横比r_c＝K(1,1)/K(2,2)(K(1,1)表示矩阵K的第1行第1列的元素，K(2,2)表示矩阵K的第2行第2列的元素)，故＝针孔摄像机的5个内参数分别为：r_c＝0.9090909090909140，f_c＝880.0000000005804849，s＝0.0999999994780177，u₀＝319.9999999996829842，v₀＝239.9999999989941841。

本发明的靶标制作简单，只需任意两个半径相同的圆；对该靶标的物理尺度没有要求，无需知道圆心在世界坐标系下的坐标和圆的半径；靶标的图像边界点几乎可以全部提取，这样可以提高曲线拟合的精确度，从而提高标定精度；本发明方法是一个线性的算法，计算简单，仅仅只需要对圆像方程特征值分解即可完成标定。

本发明并不局限于前述的具体实施方式。本发明扩展到任何在本说明书中披露的新特征或任何新的组合，以及披露的任一新的方法或过程的步骤或任何新的组合。

Claims (2)

1.一种基于相同圆和正交性质标定摄像机内参数的方法，其特征在于，包括：拟合靶标投影方程；根据靶标投影方程估计消失线；根据消失线确定正交消失点；通过正交消失点计算摄像机内参数；

所述估计消失线方法为：以空间中的两个半径相同的分离圆C₁和C₂为标定物体；若令以O_c为光心的摄像机的内参数矩阵为

其中r_c是纵横比，f_c是有效焦距，s是倾斜因子，[u₀ v₀ 1]^T是摄像机主点p的齐次坐标矩阵形式，其中r_c,f_c,u₀,v₀,s为摄像机的5个内参数；则通过特征值分解计算出C₁ ^*和C₂ ^*的三个广义特征向量L_k,其中k＝1,2,3，它们代表了圆C₁和C₂的公共自极三角形的三条边，且其中两条边L₁和L₂是平行的，垂直于另一条边L₃；所述L_k确认方法为：计算矩阵对(C₁ ^*,C₂ ^*)的广义向量的问题也是确定矩阵C₂C₁ ^*的特征向量问题，即两个圆C₁和C₂的广义特征值分解有下面的式子成立：C₁ ^*L＝βC₂ ^*L或(C₁ ^*-βC₂ ^*)L＝0_3×3或(C₂C₁ ^*-βI)L＝0_3×3，其中I是3×3阶单位矩阵；若C₁和C₂有公共自极三角形，那么公共自极三角形的顶点X和边L应该满足下面的关系：X＝C₁ ^*L，X＝βC₂ ^*L，联立两式，则可得：C₁ ^*L＝X＝βC₂ ^*L由前述公式可知，(C₁ ^*,C₂ ^*)的广义特征向量L_k是圆C₁和C₂的公共自极三角形的三条边；由圆的性质知，直线L₁与圆C₁有实交点M₁和M₂，与圆C₂只有复交点；同理的，直线L₂与圆C₂有实交点N₁和N₂，与圆C₁只有复交点；设直线L₁与直线L₃相交于E₁，直线L₂与直线L₃相交于E₂，则连接点E₁和N₁形成直线U₁，连接E₂和M₂形成直线U₁，连接E₂和M₁形成直线U₂，连接点E₁和N₂形成直线V₂；根据等腰三角形和半径相同的圆的几何性质，其另一组平行直线U₁,V₁或U₂,V₂也能够被获得；两组平行直线即确定该平面上的无穷远直线L_∞；利用Matlab中的Edge函数提取图像靶标图像边缘点的像素坐标，通过最小二乘法拟合得到相应的二次曲线方程；用c_ni表示第n幅图像中的第i个圆像的系数矩阵，其中n＝1,2,3，i＝1,2；圆像方程c_ni可以通过单应矩阵H_n＝K[r_n1 r_n2 T_n]与圆的方程C_i确定，即有关系式λ_cnic_ni＝H_n ^-TC_iH_n ^-1，其中λ_cni是非零比例因子，r_n1和r_n2分别是旋转矩阵R_n的第一列和第二列，T_n是平移向量；在第n幅透视图像平面上，取两幅圆像方程c_n1,c_n2，那么矩阵对(c_n1 ^*,c_n2 ^*)的广义特征向量等价于矩阵c_n2c_n1 ^-1的特征向量，通过特征值分解，矩阵c_n2c_n1 ^-1的特征向量l_nk可以被获得，它们表示L_k的第n幅像；因此可知，消失点v_n1∞可由直线l_n1和l_n2确定,即λ_nv1v_n1∞＝l_n1×l_n2，其中λ_nv1是非零比例因子，×表示叉积；若直线l_n1与二次曲线c_n1相交于两点m_n1和m_n2，与直线l_n3相交于e_n1；因此可知，直线l_n2与二次曲线c_n2相交于两点n_n1和n_n2，与直线l_n3相交于e_n2；通过连接点e_n1和n_n1构成直线u_n1，连接点e_n2和m_n2构成直线v_n1，那么直线u_n1和v_n1的消失点v_n2∞可以被获得，即λ_nv2v_n2∞＝u_n1×v_n1，其中λ_nv2是非零比例因子；因此，经过点m_n1和e_n2的直线u_n2与经过点e_n1和n_n2的直线v_n2相交于消失点v_n3∞，即λ_nv3v_n3∞＝u_n2×v_n2，其中λ_nv3是非零比例因子；连接两个消失点v_n1∞和v_n2∞可以获得消失线l_n∞，即λ_nll_n∞＝v_n1∞×v_n2∞，其中λ_nl是非零比例因子；

所述确定正交消失点方法为：在第n幅透视图像上，已知平面π₁上的消失线l_n∞，直线l_n3上的消失点v_n1∞′可以被确定，即λ_nv1′v_n1∞′＝l_n3×l_n∞，其中λ_nv1′是非零比例因子，×表示叉积，可知v_n1∞和v_n1∞′是一组正交消失点；已知平面π₁上的两个消失点v_n2∞和v_n3∞，消失点v_n2∞和v_n3∞关于圆像c_n1的极线l_nv2和l_nv3可以被确定，即有λ_nl2l_nv2＝c_n1·v_n2∞，λ_nl3l_nv3＝c_n1·v_n3∞，其中λ_nl2和λ_nl3是非零比例因子，·表示点积；因为无穷远点V_2∞和V_3∞关于圆C₁的极线方向与过该无穷远点的直线方向是正交的，若消失线l_n∞与直线l_nv2和l_nv3分别相交于消失点v_n2∞′和v_n3∞′，即有λ_nv2′v_n2∞′＝l_nv2×l_n∞，λ_nv3′v_n3∞′＝l_nv3×l_n∞，其中λ_nv2′和λ_nv3′是非零比例因子；那么v_n2∞和v_n2∞′是一组正交消失点；因此，v_n3∞和v_n3∞′也是上一组正交消失点；

计算摄像机内参数方法为：由正交消失点{v_n1∞,v_n1∞′}，{v_n2∞,v_n2∞′}，n对绝对二次曲线的像ω的线性约束获得ω，即：

对ω进行Cholesky分解再求逆便得到内参数矩阵K，即获得摄像机的5个内参数。

2.如权利要求1所述的基于相同圆和正交性质标定摄像机内参数的方法，其特征在于，所述拟合靶标投影方程是利用Matlab程序中的Edge函数提取靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得圆像的方程。

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