CN109035342B - 利用一条直线及圆环点极线标定拋物折反射摄像机的方法 - Google Patents

Abstract

本发明是利用一条直线及圆环点极线标定拋物折反射摄像机的方法。首先，分别从3幅图像中提取靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得线像方程。在获得线像方程的基础上，求解线像的渐近线。因为线像的渐近线就是圆环点的像关于线像的极线，根据配极原则，圆环点的像关于线像的极线相交于圆心的像，从而确定圆心的像。由圆心的像可以得到正交消失点，三幅图像提供六组正交消失点。最后，利用正交消失点对绝对二次曲线像的约束求解摄像机内参数。具体的步骤包括：拟合靶标投影方程，估计线像的渐近线，确定正交消失点，求解抛物折反射摄像机的内参数。

Description

利用一条直线及圆环点极线标定拋物折反射摄像机的方法

技术领域

本发明属于计算机视觉领域，涉及一种利用空间中一条直线及圆环点极线的性质求解抛物折反射摄像机内参数的方法。

背景技术

计算机视觉的中心任务就是对图像进行理解，而它的最终目标是使计算机具有通过二维图像认知三维环境信息的能力。这种能力将不仅使机器能感知包括形状、姿态、运动等在内的三维环境中物体的几何信息，而且能对它们进行描述、存储、识别与理解。摄像机标定就是确定从三维空间点到它的二维图像点之间的映射关系，它是许多计算机视觉应用必不可少的步骤。为了确定这一映射过程，需要建立摄像机的几何成像模型，几何模型的参数称为摄像机参数，摄像机参数可分为内参数和外参数两类。内参数描述成像系统的成像几何特性，外参数描述成像系统关于世界坐标系的方向和位置。摄像机标定可分为传统标定、自标定和基于几何实体的标定。无论哪种标定方法，都旨在建立二维图像与摄像机内参数之间的约束关系，特别是线性约束关系，这是目前摄像机标定所追求的目标，也是目前计算机视觉领域研究的热点之一。

抛物折反射摄像机由一个抛物镜面和一个正交摄像机组成，它的成像视野大，是全景视觉领域研究的热点之一。文献“Catadioptric self-calibration”，(Kang S.B.,Proceedings of IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition,vol.1,pp.201-207,2000)提出了一种折反射摄像机自标定方法，这类方法的优点是不需要使用标定块，缺点是必须获得图像之间的对应点。而在计算机视觉中，实现一个十分有效的寻找对应点的方法是很困难的。文献“Geometric properties of central catadioptricline images and their application in calibration”,(Barreto J.P.,Araujo H.,IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,vol.27,no.8,pp.1327-1333,2005)研究了中心折反射摄像机下直线的像的几何性质，并将这些性质应用于中心折反射摄像机的标定。文献“A new linear algorithm for calibrating centralcatadioptric cameras”,(Wu F.,Duan F.,Hu Z.et al.,Pattern Recognition,vol.41,no.10,pp.3166-3172,2008)介绍了对拓点和对拓像点，导出了空间中的一个点在视球上的投影和它的折反射图像点之间的关系，使用这个关系建立了中心折反射摄像机内参数的线性约束，通过此线性约束即可获得中心折反射摄像机内参数。文献“Calibration ofcentral catadioptric cameras using a DLT-like approach”,(Puig L.,BastanlarY.,Sturm P.,et al.International Journal of Computer Vision,vol.93,no.1,pp.101-114,2011)提出了一种基于三维控制点的标定方法，通过使用Veronese映射对三维点和其图像点的坐标进行了扩展，在扩展坐标的基础上基于DLT(直接线性变换)——相似方法实现了中心折反射摄像机的标定，但是这类方法需要已知三维点的位置，并且容易从图像中提取其图像点。

直线在空间中是很常见的，无需知道标定的直线和摄像机的位置关系，只利用线像标定摄像机。文献“Catadioptric camera calibration using geometricinvariants”，(Ying X.,Hu Z.,IEEE Transactions on Pattern Analysis and MachineIntelligence,vol.26,no.10,pp.1260-1271,2004)首次提出了利用球或者直线标定中心折反射摄像机。在非退化情况下一条直线的投影二次曲线提供三个不变量，但是该文献提出的标定方法是非线性的，计算的复杂度较高。文献“Geometric properties of centralcatadioptric line images and their application in calibration”，(Barreto J.,Araujo H.,IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,vol.27,no.8,pp.1327-1333,2005)研究了直线在中心折反射摄像机下的几何性质，根据射影不变性应用这些性质标定摄像机内参数，三条及其以上的直线就可完成摄像机内参数的标定。文献“Identical projective geometric properties of central catadioptricline images and sphere images with applications to calibration”，(Ying X.,ZhaH.,International Journal of Computer Vision,vol.78,no.1,pp.89-105,2008)介绍了修正绝对二次曲线的像(MIAC)在中心折反射摄像机标定中的作用。他们通过研究球或直线在中心折反射摄像机下的像与MIAC的几何与代数关系提出了两种线性标定算法，得出的结论对于对偶形式也是成立的，但是这篇文献中的理论和标定方法对于抛物折反射摄像机的情况是退化的。

发明内容

本发明提供了一种制作简单，适用广泛，稳定性好的利用靶标求解抛物折反射摄像机内参数的方法，该靶标由空间中一条直线构成。在求解抛物折反射摄像机内参数的过程中，需使用抛物折反射摄像机拍摄靶标的3幅图像线性求解出抛物折反射摄像机的5个内参数。

本发明采用如下技术方案：

用抛物折反射摄像机从不同的位置拍摄3幅含有一条直线的图像。本发明是利用空间中一条直线作为靶标用于求解抛物折反射摄像机内参数的方法。首先，分别从3幅图像中提取靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得线像方程。在获得线像方程的基础上，求解线像的渐近线。因为线像的渐近线就是圆环点的像关于线像的极线，根据配极原则，圆环点的像关于线像的极线相交于圆心的像，从而确定圆心的像。由圆心的像可以得到正交消失点，三幅图像提供六组正交消失点。最后，利用正交消失点对绝对二次曲线像的约束求解摄像机内参数。具体的步骤包括：拟合靶标投影方程，估计线像的渐近线，确定正交消失点，求解抛物折反射摄像机的内参数。

1.拟合靶标投影方程

利用Matlab程序中的Edge函数提取靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得线像的方程。

2.估计线像的渐近线

空间中的直线Q，在拋物折反射摄像机的单位球模型下的投影分为两步。第一步，空间直线Q以单位视球的球心O为投影中心投影到单位视球上的大圆S_n(n＝1,2,3表示拍摄的三幅图像)。第二步，以单位视球表面上的一点O_c为投影中心，这里O_c可看作一个摄像机的光心，将大圆S_n投影为抛物折反射图像平面上的二次曲线C_n，其中抛物折反射图像平面与直线O_cO垂直。令以O_c为光心的摄像机的内参数矩阵为

其中r_c是纵横比，f_c是有效焦距，s是倾斜因子，[u₀ v₀ 1]^T是摄像机主点o的齐次坐标矩阵形式，其中r_c,f_c,s,u₀,v₀为抛物折反射摄像机的5个内参数。利用Matlab中的Edge函数提取3幅图像靶标图像边缘点的像素坐标，通过最小二乘法拟合得到相应的二次曲线方程。这里C_n(n＝1,2,3)分别表示第n幅图像中的线像的系数矩阵。本文为了简化表述，用相同字母表示曲线和它的系数矩阵。

根据渐近线的定义，若直线Q在单位球上的投影大圆S₁与该平面π上的无穷远直线L_1∞的交点是圆环点I₁,J₁，其中投影大圆也简称为大圆。若用L_I1,L_J1分别表示圆环点I₁,J₁关于大圆S₁的极线，根据渐近线的定义，L_I1,L_J1也是大圆S₁的渐近线，由配极原则可知，渐近线L_I1,L_J1相交于大圆S₁的圆心O。

在像平面π′上，用C₁表示空间直线Q的像，因此，C₁也是投影大圆S₁的像，若用m_I1,m_J1分别表示I₁,J₁的像，影消线l_1∞是平面π上的无穷远直线L_1∞的像。l_I1,l_J1分别是m_I1,m_J1关于线像C₁的极线，且相交于投影大圆S₁的圆心O的像o，则根据渐近线的定义可知，l_I1,l_J1也是线像C₁的渐近线。因为渐近线l_I1,l_J1是两条自共轭直径，则渐近线l_I1,l_J1的系数k₁ ⁺,

可由方程a₁₁+2a₁₂k₁+a₂₂k₁ ²＝0的两个根确定，a₁₁表示矩阵C₁的第1行第1列，a₁₂表示矩阵C₁的第1行第2列，a₂₂表示矩阵C₁的第2行第2列。从而可以确定两条渐近线l_I1,l_J1分别为：(a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₂x₃)+k₁ ⁺(a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃)＝0，(a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₂x₃)+k₁ ^-(a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃)＝0。

3.确定正交消失点

在投影大圆S₁上任取点A_i，其中下标i＝1,2，连接A_i与圆心O构成大圆S₁上的直径U_1i，直径U_1i与大圆S₁相交于点A_i与点B_i，且直径U_1i的中点为圆心O。记直径U_1i上的无穷远点为D_1i∞。若用V_i1和V_i2分别表示A_i和B_i关于大圆S₁上的切线，根据圆的性质，有V_i1⊥U_1i和V_i2⊥U_1i，则有V_i1//V_i2，于是V_i1和V_i2具有相同的无穷远点，这里用D′_1i∞表示V_i1,V_i2上的无穷远点。因此，D_1i∞和D′_1i∞是平面π上的一组正交方向上的无穷远点。

在像平面π′上，根据配极原则，线像C₁上的渐近线l_I1,l_J1相交于圆心的像o,因此，可以估计圆心的像o。若用a_i表示A_i的像，记过a_i,o两点的直线为u_1i，直线u_1i与线像C₁相交于a_i和b_i两点。根据射影变换的性质可知，点b_i是B_i的像，u_1i是直径U_1i的像，则根据调和比的性质，即关系式(a_ib_i,od_1i)＝-1可确定直线u_1i上的消失点d_1i，则d_1i为D_1i∞的像。若记a_i关于线像C₁的极线为v_i1，b_i关于线像C₁的极线为v_i2，则根据极线的性质可知，v_i1是V_i1的像，v_i2是V_i2的像。若直线v_i1,v_i2的交点记为d′_1i，则根据射影变换性质，d′_1i为D′_1i∞的像。则d_1i和d′_1i是平面π上的一组正交消失点。

4.求解抛物折反射摄像机内参数

由正交消失点d_ni,d′_ni(i＝1,2,n＝1,2,3)对绝对二次曲线的像ω的线性约束获得ω，即：d_ni ^Tωd′_ni＝0。最后，根据

对ω进行Cholesky分解再求逆便得到内参数矩阵K_c，即获得摄像机5个内参数。

本发明优点：

(1)该靶标制作简单，只需空间中任意一条直线。

(2)对该靶标的物理尺度没有要求，无需知道直线在世界坐标系中的位置。

附图说明

图1是用于求解抛物折反射摄像机内参数的靶标在单位视球上的示意图。

图2是靶标在抛物折反射图像平面上的投影。

具体实施方式

本发明提供了一种利用靶标求解抛物折反射摄像机内参数的方法，靶标是由空间中的一条直线构成，如图1。用此靶标完成抛物折反射摄像机内参数的求解需要经过以下步骤：从折反射图像中提取靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得线像投影方程。在获得线像方程的基础上，求解线像的渐近线。因为线像的渐近线就是圆环点的像关于线像的极线，根据配极原则，确定圆心的像。由圆心的像可以确定正交消失点，三幅图像提供六组正交消失点。最后，利用正交消失点对摄像机内参数的约束求解摄像机内参数。利用本发明中的方法对实验的拋物折反射摄像机进行标定，具体步骤如下：

1.拟合靶标投影方程

利用Matlab程序中的Edge函数提取靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得线像的方程。

2.估计线像的渐近线

空间中的直线Q(如图1)，在拋物折反射摄像机的单位球模型下的投影分为两步。第一步，在世界坐标系O-x_wy_wz_w中，原点为单位视球的球心O，z_w轴与光轴OO_c重合。以单位视球的球心O为投影中心，将直线Q投影成单位视球上的大圆S_n(n＝1,2,3)，如图1所示(以n＝1为例)。第二步，在摄像机坐标系中O_c-x_cy_cz_c，原点O_c为单位视球表面的一点，x_c,y_c轴分别与x_w,y_w轴平行。以单位视球表面的一点O_c为投影中心，将大圆S_n投影为抛物折反射图像平面上的二次曲线C_n，其中像平面π′与光轴OO_c垂直，像平面的坐标分别与x_c,y_c轴平行。利用Matlab中的Edge函数分别提取3幅图像中的靶标图像边缘点的像素坐标，通过最小二乘法拟合得到相应的二次曲线方程，这里用C_n表示第n幅图像中的线像的系数矩阵。

如图1，根据圆环点的定义，投影圆S₁与该平面π上的无穷远直线L_1∞的交点是圆环点I₁,J₁，用L_I1,L_J1分别表示圆环点I₁,J₁关于投影圆S₁的极线，由配极原则可知，L_I1,L_J1相交于大圆S₁的圆心O。根据渐近线的定义，L_I1,L_J1也是投影圆S₁的渐近线。

如图2所示，在成像平面π′上，若用C₁表示大圆S₁的像，m_I1,m_J1分别表示I₁,J₁的像，而影消线l_1∞是平面π上的无穷远直线L_1∞的像，l_I1,l_J1分别是m_I1,m_J1关于线像C₁的极线，且相交于圆心O的像o。根据渐近线的定义，l_I1,l_J1也是线像C₁的渐近线。设线像的系数矩阵为

m_I1,m_J1的齐次坐标矩阵分别为[a+bi c+di 0]^T，[a-bi c-di 0]^T，其中a,b,c,d是系数，i表示复数，则l_I1,l_J1的齐次线坐标分别为：

l_I1＝[a₁₁(a+bi)+a₁₂(c+di) a₁₂(a+bi)+a₂₂(c+di) a₁₃(a+bi)+a₂₃(c+di)]^T， (1)

l_J1＝[a₁₁(a-bi)+a₁₂(c-di) a₁₂(a-bi)+a₂₂(c-di) a₁₃(a-bi)+a₂₃(c-di)]^T。 (2)

因为a+bi≠0,a-bi≠0，则l_I1,l_J1的齐次线坐标可以简化为：

其中

由(3)，(4)可知l_I1,l_J1与影消线l_1∞的交点分别为

因为l_I1,l_J1是两条直径，则根据共轭直径的定义可知，n_I1,n_J1关于线像C₁的极线

分别是l_I1,l_J1的共轭直径，则

的齐次线坐标分别表示为：

因为

则

的齐次线坐标可以简化为：

其中

即有：

因为渐近线l_I,l_J是两条自共轭直径，则由式(9)，(10)可知

即有：

联立(11)，(12)可得方程：

a₁₁+2a₁₂k₁+a₂₂k₁ ²＝0。 (13)

通过求解方程(13)可以得到未知数k₁的2个解，分别是k₁ ⁺,k₁ ^-，再分别带入(3)，(4)即可估计线像的渐近线l_I1,l_J1。对于其他两幅线像C₂,C₃的渐近线l_I2,l_J2，l_I3,l_J3可用类似的方法获得。

3.确定正交消失点

如图1，在大圆S₁上任取点A_i，其中下标i＝1,2，则连接A_i与圆心O构成大圆S₁上的直径U_1i，直径U_1i与大圆S₁相交于点A_i与点B_i，且直径U_1i的中点为圆心O。记直径U_1i上的无穷远点为D_1i∞。若用V_i1和V_i2分别表示A_i和B_i关于大圆S₁上的切线，根据圆的性质，有V_i1⊥U_1i和V_i2⊥U_1i，则有V_i1//V_i2，于是V_i1和V_i2具有相同的无穷远点，这里用D′_1i∞表示V_i1,V_i2上的无穷远点。则D_1i∞和D′_1i∞是平面π上的一组正交方向上的无穷远点。

在像平面π′上，如图2所示，若用C₁表示大圆S₁的像，用l_I1,l_J1表示线像C₁的渐近线。设圆心的像o的齐次坐标矩阵为[u_o v_o 1]^T，渐近线l_I1,l_J1的齐次坐矩阵分别为[u_I1 v_I11]^T，[u_J1 v_J1 1]^T，根据配极原则，则有：

λ_o[u_o v_o 1]^T＝[u_I1 v_I1 1]^T×[u_J1 v_J1 1]^T， (14)

其中λ_o是非零常数因子，×表示向量积。若用a_i表示A_i的像，通过两点o,a_i可以确定直线u_1i，根据射影变换的性质，u_1i是直径U_1i的像。若设a_i的齐次坐标矩阵为[u_ai v_ai 1]^T，u_1i的齐次坐标矩阵为[u_ui v_ui 1]^T，则有：

λ_ui[u_ui v_ui 1]^T＝[u_ai v_ai 1]^T×[u_o v_o 1]^T， (15)

其中λ_ui是非零常数因子。直线u_1i与线像C₁相交于点a_i,b_i，若设b_i的齐次坐标矩阵为[u_bi v_bi 1]^T，则有方程组：

其中·表示向量点积。则b_i＝[u_bi v_bi 1]^T是方程组(16)的解，且b_i是B_i的像。又由调和比的性质，可以确定u_1i上的消失点d_1i，则有：

(a_ib_i,od_1i)＝-1。 (17)

若设d_1i的齐次坐标矩阵为[u_di v_di 1]^T，联立(17)式有：

(u_o-u_ai)(u_di-u_bi)+(u_o-u_bi)(u_di-u_ai)＝0， (18)

(v_o-v_ai)(v_di-v_bi)+(v_o-v_bi)(v_di-v_ai)＝0。 (19)

则d_1i＝[u_di v_di 1]^T可由(18)(19)式确定。若记a_i关于线像C₁的极线为v_i1，b_i关于线像C₁的极线为v_i2，根据极线的性质可知，v_i1是V_i1的像，v_i2是V_i2的像。设v_i1的齐次矩阵坐标为v_i1＝[u_v1 v_v1 1]^T，v_i2的齐次坐标矩阵为v_i2＝[u_v2 v_v2 1]^T，则有：

λ_v1[u_v1 v_v1 1]^T＝C₁·[u_ai v_ai 1]^T， (20)

λ_v2[u_v2 v_v2 1]^T＝C₁·[u_bi v_bi 1]^T， (21)

其中λ_v1,λ_v2是非零常数因子。若直线v_i1,v_i2的交点记为d′_1i，则根据射影变换性质，d′_1i为D′_1i∞的像。设d′_1i的齐次矩阵坐标为[u′_di v′_di 1]^T，通过联立v_i1和v_i2的方程可得方程组：

因此，点d′_1i＝[u′_di v′_di 1]^T是方程组(22)的解。则可以确定平面π上的一组正交消失点d_1i和d′_1i，对于大圆S₂,S₃所在平面上的正交消失点{d₂₁,d′₂₁},{d₂₂,d′₂₂}和{d₃₁,d′₃₁},{d₃₂,d′₃₂}可用类似的方法获得。

4.求解抛物折反射摄像机内参数

3幅线像C₁,C₂,C₃可以估计6组正交消失点分别是{d₁₁,d′₁₁},{d₁₂,d′₁₂}，{d₂₁,d′₂₁},{d₂₂,d′₂₂}，{d₃₁,d′₃₁},{d₃₂,d′₃₂}。然后，由正交消失点对绝对二次曲线的像ω的线性约束有:

然后通过SVD方法求解方程组(23)获得ω。最后，最后，根据

对ω进行Cholesky分解再求逆便可获得K_c，即获得了针孔摄像机的内参数。

实施例

本发明提出了一种利用一条直线作为靶标线性确定抛物折反射摄像机内参数的方法。本发明采用的实验模板结构示意图如图1所示。下面以一实例对本发明的实施方案做出更为详细的描述。

基于空间中一条直线的抛物折反射摄像机标定采用的实验模板是空间中的一条直线，如图1所示，直线记为Q。利用本发明中的方法对用于实验的抛物折反射摄像机进行标定，具体步骤如下：

1.拟合靶标曲线方程

本发明采用的图像大小为1800×1700。用抛物折反射摄像机拍摄靶标的3幅实验图像，读入图像，利用Matlab中的Edge函数提取3幅图像靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得线像的方程。3幅线像的方程的系数矩阵分别为C_n(n＝1,2,3)，结果如下：

2.估计线像的渐近线

将(24)带入(13)可以得到线像C₁的渐近线l_I1,l_J1的系数k₁ ⁺,k₁ ^-：

k₁ ⁺＝-1.12583401009605-0.58906109899322i， (27)

k₁ ^-＝-1.12583401009605+0.58906109899322i。 (28)

将(27)(28)带入(3)(4)，从而可以估计线像C₁的渐近线l_I1,l_J1的齐次线坐标矩阵为：

l_I1＝[0.000000170309-0.000000325501i -0.00000028912i -0.00041985769+0.0000691153i]^T， (29)

l_J1＝[0.000000170309+0.000000325501i 0.00000028912i -0.00041985769-0.0000691153i]^T。 (30)

将(25)带入(13)可以得到线像C₂的渐近线l_I2,l_J2的系数k₂ ⁺,k₂ ^-:

k₂ ⁺＝0.540931682167-2.389633390245i， (31)

k₂ ^-＝0.540931682167+2.389633390245i。 (32)

将(31)(32)带入(3)(4)，从而可以估计线像C₂的渐近线l_I2,l_J2的齐次线坐标矩阵为：

l_I2＝[0.0000020744369+0.000000469581i -0.0000008680984i -0.0002391871-0.0014445759i]^T， (33)

l_J2＝[0.0000020744369-0.000000469581i 0.0000008680984i -0.0002391871+0.0014445759i]^T。 (34)

将(26)带入(13)可以得到线像C₃的渐近线l_I3,l_J3的系数k₃ ⁺,k₃ ^-:

k₃ ⁺＝-0.4353024165116-1.4898147012i， (35)

k₃ ^-＝-0.4353024165116+1.4898147012i。 (36)

将(35)(36)带入(3)(4)，从而可以估计线像C₃的渐近线l_I3,l_J3的齐次线坐标矩阵为：

l_I3＝[0.000001942656-0.000000567616i -0.000001303958203i -0.0012487388301-0.0006435262245i]^T， (37)

l_J3＝[0.000001942656+0.000000567616i 0.000001303958203i -0.0012487388301+0.0006435262245i]^T。 (38)

3.确定正交消失点

将(29)，(30)代入(14)，从而可以估计大圆S₁的圆心的像o的齐次坐标矩阵为：

o＝[319.9422649731184 268.0682368868319 1]^T， (39)

在线像C₁上任取两个点a₁,a₂，齐次坐标矩阵为：

a₁＝[368.6676588143164 -223.1075527081840 1]^T， (40)

a₂＝[338.3088979469994 -196.3015858403382 1]^T。 (41)

根据(39-41)，通过(15)可以估计线像C₁的直径u₁₁,u₁₂的齐次坐标矩阵为：

u₁₁＝[-0.00163811766 0.001775282778 1]^T， (42)

u₁₂＝[-0.0025736931 0.00065866355 1]^T。 (43)

将(42)，(43)代入(16)可以估计b₁,b₂的齐次坐标矩阵为:

b₁＝[268.96114810561013 -315.1104785770632 1]^T， (44)

b₂＝[300.1799917356174 -345.2887523088403 1]^T。 (45)

将(39)，(40-41)，(44-45)代入(18)(19)式可得消失点d₁₁,d₁₂，结果如下：

d₁₁＝[1482.641249859403 1764.204710609120 1]^T， (46)

d₁₂＝[1135.413924253317 1764.204710615893 1]^T。 (47)

将(40-41)，(44-45)代入(20)(21)式可以确定a₁,a₂和b₁,b₂的极线v₁₁,v₂₁和v₁₂,v₂₂，结果如下：

v₁₁＝[-0.001034852599431 -0.002824786830806 1]^T， (48)

v₂₁＝[0.003260392355263 -0.002473773957137 1]^T， (49)

v₁₂＝[-0.002040546137245 0.008593237966854 1]^T， (50)

v₂₂＝[-0.001317597512605 0.001010761220479 1]^T。 (51)

将(48)和(50)代入(22)可得消失点d′₁₁，结果如下：

d′₁₁＝[-1882.037867689936 1764.204710675458 1]^T， (52)

将(49)和(51)代入(22)可得消失点d′₁₂，结果如下：

d′₁₂＝[-2820.003603780589 1764.204710693708 1]^T。 (53)

在线像C₂上任取两个点a₃,a₄，齐次坐标矩阵为：

a₃＝[377.826425362715 -244.1803648958988 1]^T， (54)

a₄＝[355.054284163343 -206.6961985004459 1]^T。 (55)

可用类似方法(14-16，18-22，54，55)获得两组正交消失点d₂₁,d₂₂,d′₂₁,d′₂₂，结果如下：

d₂₁＝[-1065.915922428384 -2182.432180014964 1]^T， (56)

d₂₂＝[-1066.03316814022 -3214.194489658863 1]^T； (57)

d′₂₁＝[-1065.495337556116 1518.71484929373 1]^T， (58)

d′₂₂＝[-1065.538740970363 1136.764791112512 1]^T。 (59)

在线像C₃上任取两个点a₅,a₆，齐次坐标矩阵为：

a₅＝[271.227089469159 -223.107552708184 1]^T， (60)

a₆＝[301.5919426016732 -196.3015858403382 1]^T。 (61)

可用类似方法(14-16，18-22，60，61)获得两组正交消失点d₃₁,d₃₂,d′₃₁,d′₃₂，结果如下：

d₃₁＝[3035.609573074017 5212.774372163097 1]^T， (62)

d₃₂＝[-1066.03316814022 -3214.194489658863 1]^T； (63)

d₃₁′＝[-1065.495337556116 1518.71484929373 1]^T， (64)

d₃₂′＝[-1065.538740970363 1136.764791112512 1]^T。 (65)

4.求解抛物折反射摄像机内参数

将(46，47，52，53，56-59，62-65)代入(23)得到ω中元素的线性方程组，使用SVD分解求解该线性方程组得到ω的系数矩阵。结果如下：

最后，根据

对(66)中的ω进行Cholesky分解再求逆便可获得K_c，结果如下：

其中纵横比r_c＝K_c(1，1)/K_c(2,2) (K_c(1,1)表示矩阵K_c的第1行第1列的元素，K_c(2,2)表示矩阵K_c的第2行第2列的元素)，故针孔摄像机的5个内参数分别为：r_c＝0.909090909090674，f_c＝879.9999999994745，s＝0.100000001162642，u₀＝320.0000000003101，v₀＝239.9999999996892。

Claims (1)

1.一种利用一条直线及圆环点极线标定拋物折反射摄像机的方法，是利用空间中一条直线作为靶标用于求解抛物折反射摄像机内参数的方法；首先，分别从3幅图像中提取靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得线像方程；在获得线像方程的基础上，求解线像的渐近线；因为线像的渐近线就是圆环点的像关于线像的极线，根据配极原则，圆环点的像关于线像的极线相交于圆心的像，从而确定圆心的像；由圆心的像以得到正交消失点，三幅图像提供六组正交消失点；最后，利用正交消失点对绝对二次曲线像的约束求解摄像机内参数；(1)估计线像的渐近线

空间中的直线Q，在拋物折反射摄像机的单位球模型下的投影分为两步；第一步，空间直线Q以单位视球的球心O为投影中心投影到单位视球上的大圆S_n，n＝1,2,3表示拍摄的三幅图像；第二步，以单位视球表面上的一点O_c为投影中心，这里O_c看作一个摄像机的光心，将大圆S_n投影为抛物折反射图像平面上的二次曲线C_n，其中抛物折反射图像平面与直线O_cO垂直；令以O_c为光心的摄像机的内参数矩阵为

其中r_c是纵横比，f_c是有效焦距，s是倾斜因子，[u₀ v₀ 1]^T是摄像机主点o的齐次坐标矩阵形式，其中r_c,f_c,s,u₀,v₀为抛物折反射摄像机的5个内参数；利用Matlab中的Edge函数提取3幅图像靶标图像边缘点的像素坐标，通过最小二乘法拟合得到相应的二次曲线方程；这里C_n，n＝1,2,3，分别表示第n幅图像中的线像的系数矩阵；为了简化表述，用相同字母表示曲线和它的系数矩阵；

根据渐近线的定义，若直线Q在单位球上的投影大圆S₁与该平面π上的无穷远直线L_1∞的交点是圆环点I₁,J₁，其中投影大圆也简称为大圆；若用L_I1,L_J1分别表示圆环点I₁,J₁关于大圆S₁的极线，根据渐近线的定义，L_I1,L_J1也是大圆S₁的渐近线，由配极原则知，渐近线L_I1,L_J1相交于大圆S₁的圆心O；

在像平面π′上，用C₁表示空间直线Q的像，因此，C₁也是投影大圆S₁的像，若用m_I1,m_J1分别表示I₁,J₁的像，影消线l_1∞是平面π上的无穷远直线L_1∞的像；l_I1,l_J1分别是m_I1,m_J1关于线像C₁的极线，且相交于投影大圆S₁的圆心O的像o，则根据渐近线的定义知，l_I1,l_J1也是线像C₁的渐近线；因为渐近线l_I1,l_J1是两条自共轭直径，则渐近线l_I1,l_J1的系数k₁ ⁺,

由方程a₁₁+2a₁₂k₁+a₂₂k₁ ²＝0的两个根确定，a₁₁表示矩阵C₁的第1行第1列，a₁₂表示矩阵C₁的第1行第2列，a₂₂表示矩阵C₁的第2行第2列，a₂₃表示矩阵C₁的第2行第3列；从而以确定两条渐近线l_I1,l_J1的齐次线坐标分别为：

(2)确定正交消失点

在投影大圆S₁上任取点A_i，其中下标i＝1,2，连接A_i与圆心O构成大圆S₁上的直径U_1i，直径U_1i与大圆S₁相交于点A_i与点B_i，且直径U_1i的中点为圆心O；记直径U_1i上的无穷远点为D_1i∞；若用V_i1和V_i2分别表示A_i和B_i关于大圆S₁上的切线，根据圆的性质，有V_i1⊥U_1i和V_i2⊥U_1i，则有V_i1//V_i2，于是V_i1和V_i2具有相同的无穷远点，这里用D′_1i∞表示V_i1,V_i2上的无穷远点；因此，D_1i∞和D′_1i∞是平面π上的一组正交方向上的无穷远点；

在像平面π′上，根据配极原则，线像C₁上的渐近线l_I1,l_J1相交于圆心的像o,因此，以估计圆心的像o；若用a_i表示A_i的像，记过a_i,o两点的直线为u_1i，直线u_1i与线像C₁相交于a_i和b_i两点；根据射影变换的性质知，点b_i是B_i的像，u_1i是直径U_1i的像，则根据调和比的性质，即关系式(a_ib_i,od_1i)＝-1确定直线u_1i上的消失点d_1i，则d_1i为D_1i∞的像；若记a_i关于线像C₁的极线为v_i1，b_i关于线像C₁的极线为v_i2，则根据极线的性质知，v_i1是V_i1的像，v_i2是V_i2的像；若直线v_i1,v_i2的交点记为d′_1i，则根据射影变换性质，d′_1i为D′_1i∞的像；则d_1i和d′_1i是平面π上的一组正交消失点。

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