CN111199013A - 一种针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开一种针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，建立丝杠、滚柱和螺母的螺旋滚道曲面的参数方程；进行坐标变换；在丝杠法截面内，建立丝杠滚道截面轮廓方程；在滚柱法截面内，建立滚柱滚道截面轮廓方程；在螺母法截面内，建立螺母滚道截面轮廓方程；建立通用化的滚道螺旋曲面方程；获得丝杠、滚柱或螺母滚道螺旋曲面上任意点的单位法向量的通用表达式；获得丝杠、滚柱或螺母滚道螺旋曲面的第一类基本量和第二类基本量的具体表达式；得到接触滚道的高斯曲率、平均曲率以及主曲率的计算式。可实现高精度行星滚柱丝杠副主曲率计算，可大大提高行星滚柱丝杠副接触力学分析效率，为后续接触应力、接触变形及摩擦磨损的精确建模奠定基础。

Description

一种针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法
技术领域
本发明涉及行星滚柱丝杠传动技术领域。具体地说是一种针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法。
背景技术
同滚珠丝杠副类似，行星滚柱丝杠副是一种可以将旋转运动转化为直线运动的滚动螺旋传动装置。作为新型直线执行机构，行星滚柱丝杠副因其具有承载力大、精度高、寿命长及抗冲击等突出优点，被逐渐应用于航空航天、车辆和精密机床等工业领域。行星滚柱丝杠副主要由丝杠、滚柱、螺母、内齿圈及保持架等组成。其中，丝杠和螺母分别为多头外三角螺纹和多头内三角螺纹结构，滚柱为单头外螺纹结构，且三者的螺距相同。为了提高行星滚柱丝杠副的承载能力，降低摩擦，滚柱通常设计为具有圆弧牙型轮廓的滚动体。当丝杠旋转时，滚柱既绕着丝杠轴线公转，又绕自身轴线自转，分别通过丝杠与滚柱、滚柱与螺母之间的接触实现运动和动力的传递。行星滚柱丝杠副本质上是具有不同曲率的螺旋曲面物体间的啮合传动，这包含了丝杠-滚柱接触侧和螺母-滚柱接触侧。
根据赫兹接触理论，计算接触部位的应力分布、接触面的形状和尺寸需知两个接触物体在接触点处的主曲率。目前，关于行星滚柱丝杠副主曲率计算及接触分析研究方面：陈芳，两级行星滚柱丝杠传动设计与精确度研究，2009，南京理工大学硕士学位论文和Zhang X C,Liu G,Ma S J,Tong R T,Luo H,Study on axial contact deformation ofplanetary roller screw,【Applied Mechanics and Materials,2012,155-156:779-783】将滚柱等效为球体，结合滚珠丝杠副的接触刚度的分析方法，利用ABAQUS软件对滚柱的受力变形进行有限元分析；刘艳强，尚宇，程泓勋，行星滚柱丝杠弹性接触变形计算与分析【制造业自动化，2016，38(11):113-115】和马尚君，刘更，佟瑞庭，张晓彩，行星滚柱丝杠副轴向弹性变形的有限元分析【机械传动，2012，36(7):78-81】采用数值计算方法分析了丝杠直径、接触角和螺旋升角对丝杠和滚柱螺纹牙间的弹性接触变形与应力的影响，在零件间主曲率计算时采用了简化计算；杨家军，韦振兴，朱继生，杜伟，行星滚柱丝杠副载荷分布及刚度计算【华中科技大学学报，2011，39(4):1-4】以赫兹弹性接触理论为基础，得到了行星滚柱丝杠副的静刚度模型和螺纹牙载荷分布模型，在计算丝杠/螺母与滚柱接触的第一、第二主曲率时，对8个主曲率的分析采用了等效球法。
现有研究方法的不足之处在于：计算行星滚柱丝杠副接触滚道间主曲率的方法主要是通过将滚柱螺纹牙等效为滚珠球体，以滚珠丝杠副的主曲率分析方法获得，并未考虑实际的行星滚柱丝杠副结构。但实际上丝杠、滚柱和螺母的滚道或螺纹牙是空间螺旋曲面，对于行星滚柱丝杠副这样一个复杂的传动装置，基于等效球法的这种思想进行主曲率建模，其精度是有待考证的。特别是当需要计算依赖于主曲率结果的接触应力、接触变形、刚度与载荷分布以及摩擦磨损分析时，这种建模方法往往满足不了要求，通过等效球的方法近似存在较大误差。
综上所述，目前没有一种综合考虑行星滚柱丝杠副中丝杠、滚柱和螺母滚道的通用化空间螺旋曲面方程，以实现其主曲率计算的准确描述方法。
发明内容
为此，本发明所要解决的技术问题在于提供一种针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，基于法截面内的丝杠、滚柱和螺母的滚道截面方程，进而获得通用化的滚道螺旋曲面方程，以实现行星滚柱丝杠副在接触位置处的主曲率准确描述，为后续接触应力、接触变形及摩擦磨损的精确建模奠定基础。
为解决上述技术问题，本发明提供如下技术方案：
一种针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，包括如下步骤：
(S1)建立丝杠、滚柱和螺母的螺旋滚道曲面的参数方程；
(S2)进行坐标变换；
(S3)在丝杠法截面内，建立丝杠滚道截面轮廓方程；
(S4)在滚柱法截面内，建立滚柱滚道截面轮廓方程；
(S5)在螺母法截面内，建立螺母滚道截面轮廓方程；
(S6)建立通用化的滚道螺旋曲面方程；
(S7)获得丝杠、滚柱或螺母滚道螺旋曲面上任意点的单位法向量的通用表达式；
(S8)获得丝杠、滚柱或螺母滚道螺旋曲面的第一类基本量和第二类基本量的具体表达式；
(S9)得到接触滚道的高斯曲率、平均曲率以及主曲率的计算式。
上述针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，在步骤(S1)中：针对行星滚柱丝杠副中丝杠、滚柱和螺母螺旋滚道曲面特点，对于丝杠、滚柱和螺母的螺旋滚道曲面S上任意一点P，建立螺旋滚道曲面的参数方程，如式(I)所示：
F＝[rPcosθP，rPsinθP，f(rP，θP)]，(rP，θP)∈G (I)；
其中，rP和θP为曲面S的参数坐标，平面oixiyi上的初等区域G的任意一点极坐标为(rP，θP)，G经映射F后的像是曲面S，f(rP，θP)为由参数坐标确定的螺旋曲面方程，oi-xiyizi为零件笛卡尔坐标系，i＝S，R，N分别表示丝杠、滚柱和螺母。
上述针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，所述的针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，其特征在于，在步骤(S2)中，将oixizi平面绕xi轴旋转λi度可得o′i-x′iy′iz′i坐标系，其原点定义在相应零件轴线上；法截面内的零件滚道截面轮廓位于平面o′ix′iz′i内，且在零件zi轴方向，存在如下坐标变换关系，如式(II)：
z＇i＝zicosλi (II)；
其中，λi为丝杠、滚柱或螺母的导程角，且根据螺旋曲线的性质存在如下关系：
Figure BDA0002388719310000041
其中，li、ni和pi分别为零件的导程、头数和螺距。
上述针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，在步骤(S3)中，丝杠滚道轮廓下接触面的表达式为：
Figure BDA0002388719310000042
由于丝杠滚道的上、下接触面关于o′SxS轴对称，则上接触面表达式为：
Figure BDA0002388719310000043
由式(Ⅲ-1)和(Ⅲ-2)，可以建立得到丝杠滚道螺旋曲面方程，如式(Ⅲ)所示：
Figure BDA0002388719310000044
其中，rS为丝杠的名义半径，定义为丝杠螺纹中径的一半；βn为螺纹牙法向牙侧角；rPS和θPS为丝杠滚道螺旋曲面的参数坐标；pS为丝杠的螺距；λS为丝杠的导程角；lS为丝杠的导程；ξ为布尔变量；
ξ＝1时式(Ⅲ)代表下接触面的曲面方程，ξ＝-1时式(Ⅲ)代表上接触面的曲面方程。
上述针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，在步骤(S4)中，
滚柱滚道轮廓下接触面的表达式为：
Figure BDA0002388719310000045
由于滚柱滚道的上、下接触面关于o′RxR轴对称，上接触面的表达式为：
Figure BDA0002388719310000046
由式(Ⅳ-1)和(Ⅳ-2)，可建立得到滚柱滚道螺旋曲面方程，如式(Ⅳ)所示：
Figure BDA0002388719310000047
其中，rPR和θPR为滚柱滚道螺旋曲面的参数坐标；βn为螺纹牙法向牙侧角；rRe为滚柱滚道截面的轮廓曲率半径，可通过如下关系式计算：
Figure BDA0002388719310000051
rR为滚柱的名义半径，定义为滚柱螺纹中径的一半；pR为滚柱的螺距；λR为滚柱的导程角；lR为滚柱的导程；ξ为布尔变量；
ξ＝1时式(Ⅳ)代表下接触面的曲面方程，ξ＝-1时式(Ⅳ)代表上接触面的曲面方程。
上述针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，在步骤(S5)中，螺母滚道轮廓上接触面的表达式为：
Figure BDA0002388719310000052
由于螺母滚道的上、下接触面关于o′NxN轴对称，则下接触面表达式为：
Figure BDA0002388719310000053
由式(Ⅴ-1)和(Ⅴ-2)，可以建立得到螺母滚道螺旋曲面方程，如式(Ⅴ)所示：
Figure BDA0002388719310000054
其中，rPN和θPN为螺母滚道螺旋曲面的参数坐标；rN为螺母的名义半径，定义为螺母螺纹中径的一半；βn为螺纹牙法向牙侧角；pN为螺母的螺距；λN为螺母的导程角；lN为螺母的导程；ξ为布尔变量；
ξ＝1时式(Ⅴ)代表下接触面的曲面方程，ξ＝-1时式(Ⅴ)代表上接触面的曲面方程。
上述针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，在步骤(S6)中，综合步骤(S3)丝杠滚道截面轮廓方程、步骤(S4)滚柱滚道截面轮廓方程和步骤(S5)螺母滚道截面轮廓方程，三个零件的滚道螺旋曲面方程可统一为式(Ⅵ)所示：
Figure BDA0002388719310000055
其中，i＝S，R，N分别表示丝杠、滚柱和螺母这三个零件，rPi和θPi为丝杠、滚柱或螺母滚道螺旋曲面的参数坐标；ξ为布尔变量，
Figure BDA0002388719310000056
为丝杠、滚柱或螺母在法截面内的轮廓函数，记为
Figure BDA0002388719310000057
λi为丝杠、滚柱或螺母的导程角；li为丝杠、滚柱或螺母的导程，zPi为丝杠、滚柱或螺母滚道曲面上任意一点P在零件笛卡尔坐标系oi-xiyizi中的z方向坐标。
上述针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，在步骤(S7)中，
对于行星滚柱丝杠副中丝杠、滚柱或螺母的滚道螺旋曲面，三元函数为：
Figure BDA0002388719310000061
可计算出三元函数对三个方向的偏导数分别为：
Figure BDA0002388719310000062
其中，
Figure BDA0002388719310000063
为丝杠、滚柱或螺母的轮廓函数
Figure BDA0002388719310000064
对rPi的导数；
利用三元函数F(r，θ，z)的梯度计算公式：
Figure BDA0002388719310000065
其中，i，j，k分别为笛卡尔坐标下三个方向的单位向量；
以及单位法向量计算公式：
Figure BDA0002388719310000066
可计算出在对应零件坐标系oi-xiyizi中的丝杠、滚柱或螺母滚道曲面上任意一点P的单位法向量的通用表达式如式(Ⅷ)所示：
Figure BDA0002388719310000067
其中，T表示向量转置。
上述针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，在步骤(S8)中，
零件螺旋滚道曲面的参数方程可写成向量形式：
Figure BDA0002388719310000068
对变量r和θ分别求导和二阶导数可得以下分量：
Figure BDA0002388719310000071
Figure BDA0002388719310000072
Figure BDA0002388719310000073
Frθ＝Fθr＝[-sinθPi，cosθPi，0]；
Fθθ＝[-rPicosθPi，-rPisinθPi，0]；
其中，
Figure BDA0002388719310000074
为轮廓函数
Figure BDA00023887193100000717
对rPi的二阶导数，
Figure BDA0002388719310000075
Figure BDA0002388719310000076
根据微分几何原理，滚道螺旋曲面的第一类基本量为：
Figure BDA0002388719310000077
第二类基本量的计算式为：
Figure BDA0002388719310000078
其中，n为丝杠、滚柱或螺母的滚道曲面单位法向量；
可得滚道曲面的第一类基本量E、F、Z和第二类基本量L、M、N的具体表达式：
Figure BDA0002388719310000079
Figure BDA00023887193100000710
Figure BDA00023887193100000711
Figure BDA00023887193100000712
Figure BDA00023887193100000713
Figure BDA00023887193100000714
其中，
Figure BDA00023887193100000715
为轮廓函数
Figure BDA00023887193100000716
对rPi的二阶导数。
上述针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，在步骤(S9)中，
高斯曲率K的计算式为
Figure BDA0002388719310000081
平均曲率H的计算式为：
Figure BDA0002388719310000082
根据高斯曲率K和平均曲率H的定义，可得到接触滚道的第一、第二主曲率分别为：
第一主曲率
Figure BDA0002388719310000083
第二主曲率
Figure BDA0002388719310000084
本发明的技术方案取得了如下有益的技术效果：
1.本发明中同时考虑法截面内直线形和圆弧形等多种形状的滚道截面轮廓，建立了计算真实螺纹结构的滚道曲面参数方程，可准确描述行星滚柱丝杠副接触滚道螺纹曲面，具有极大的通用性和灵活性，为行星滚柱丝杠副的接触特性计算和传动性能分析奠定了重要基础；
本发明主要解决现有主曲率计算模型无法准确描述，且无法考虑除直线形和圆弧形外的其他形状滚道截面轮廓问题，克服了基于传统滚珠丝杠副主曲率分析的等效球法的缺陷，不但可实现高精度行星滚柱丝杠副主曲率计算，而且可大大地提高行星滚柱丝杠副接触力学分析效率，为后续接触应力、接触变形及摩擦磨损的精确建模奠定基础。
2.本发明中的计算模型可准确求解接触点处的主曲率，克服了传统计算模型中等效球法的缺陷，计算结果表明零件滚道在某一主平面内的曲率值不是零，即并不是一条直线；由于导程角的存在，滚柱螺纹牙是空间螺旋球体，因此不能单纯地等效成球体，否则在计算主曲率及后续的接触应力及变形时会带来较大误差。
3、步骤S2的法截面内的滚道截面轮廓，是建立在与螺旋线切向垂直的平面内，法向坐标系的原点定义在相应零件轴线上。这样可从加工制造的角度还原滚道的成型，更加符合工程实际，且有利于建立简明的表达式。
4、步骤S3、S4和S5中定义了上接触面和下接触面这两种滚道面，即螺纹牙的两个侧面，且轴经过上接触面和下接触面的过渡处。
附图说明
图1本发明针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法的流程图；
图2本发明针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法中行星滚柱丝杠副的结构示意图；
图3本发明针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法中丝杠、滚柱或螺母滚道上任意一点的空间坐标；
图4本发明针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法中法向坐标系与零件坐标系的空间关系示意图；
图5本发明针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法中提出的丝杠法截面内的滚道轮廓；
图6本发明针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法中提出的滚柱法截面内的滚道轮廓；
图7本发明针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法中提出的螺母法截面内的滚道轮廓。
其中：1-丝杠；2-滚柱；3-螺母；4-内齿圈；5-保持架。
具体实施方式
如图1所示，一种针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，包括如下步骤：
S1行星滚柱丝杠副主要包括丝杠1、滚柱2、螺母3、内齿圈4及保持架5，如图2所示，其中，丝杠1、滚柱2和螺母3的接触滚道用于传递其运动和动力。针对行星滚柱丝杠副中丝杠1、滚柱2和螺母3的旋滚道曲面特点，对于丝杠1、滚柱2和螺母3的螺旋滚道曲面S上任意一点P，如图3所示，建立螺旋滚道曲面的参数方程，如式(Ⅰ)所示：：
F＝[rPcosθP，rPsinθP，f(rP，θP)]，(rP，θP)∈G (I)；
其中，rP和θP为曲面S的参数坐标，平面oixiyi上的初等区域G的任意一点极坐标为(rP，θP)，G经映射F后的像是曲面S，f(rP，θP)为由参数坐标确定的螺旋曲面方程，oi-xiyizi为零件笛卡尔坐标系，i＝S，R，N分别表示丝杠、滚柱和螺母；
S2将图3中oixizi平面绕xi轴旋转λi度可得如图4所示的o′i-x′iy′iz′i坐标系，其原点定义在相应零件轴线上。在图4中定义了两种滚道面，即上接触面和下接触面，o＇ix＇i轴经过上接触面和下接触面的过渡处。法截面内的滚道截面轮廓位于平面o′ix′iz′i内，且在零件zi轴方向存在如下坐标变换关系：
z′i＝zicosλi (II)；
其中，λi为丝杠、滚柱或螺母的导程角，将图3中螺旋曲线Γi展开，可得如下关系：
Figure BDA0002388719310000101
其中，li、ni和pi分别为零件的导程、头数和螺距；
S3参照图5，丝杠滚道的截面轮廓曲线包含了上接触面(线)和下接触面(线)。分析下接触线AB，通过三角形关系可得：
Figure BDA0002388719310000102
Figure BDA0002388719310000103
其中，rS为丝杠的名义半径，定义为丝杠螺纹中径的一半；βn为螺纹牙的法向牙侧角；rSmax和rSmin为rS的取值极限；对于下接触线AB上的任意一点(rPs，z′S)存在：
z′S＝tanβn(rPS-rSmin)；
综合以上等式可得丝杠滚道轮廓下接触面的表达式为：
Figure BDA0002388719310000111
由于丝杠滚道的上、下接触面关于o′SxS轴对称，则上接触面表达式为：
Figure BDA0002388719310000112
因此，可建立得到丝杠滚道螺旋曲面方程：
Figure BDA0002388719310000113
其中，rPS和θPS为丝杠滚道螺旋曲面的参数坐标；ξ＝1时式(III)代表下接触面的曲面方程，ξ＝-1时式(III)代表上接触面的曲面方程；
S4参照图6，滚柱滚道的截面轮廓曲线包含有若干对两段圆弧曲线，分别代表上接触面(线)和下接触面(线)，法向线CD的距离为：
Figure BDA0002388719310000114
其中，rRe为滚柱滚道截面的轮廓曲率半径，rR为滚柱的名义半径，定义为滚柱螺纹中径的一半；对于图6中下接触线AB上的任意一点(rPR，z′R)存在：
(rPR-xD)2+(z′R-z′D)2＝rRe 2；
Figure BDA0002388719310000115
其中，xD和z′D是圆心D在平面内的坐标；进一步可得滚柱滚道轮廓下接触面的表达式：
Figure BDA0002388719310000116
同理，由于滚柱滚道的上、下接触面关于o′RxR轴对称，上接触面的表达式为：
Figure BDA0002388719310000117
因此，可建立得到滚柱滚道螺旋曲面方程：
Figure BDA0002388719310000118
其中，rPR和θPR为滚柱滚道螺旋曲面的参数坐标；
S5参照图7，螺母滚道的截面轮廓曲线同样包含了上接触面和下接触面，由于螺母为内螺纹，接触线AB为上接触线，通过三角形关系可得：
Figure BDA0002388719310000121
Figure BDA0002388719310000122
其中，rN为螺母的名义半径，定义为螺母螺纹中径的一半；rNmax和rNmin为rN的取值极限；对于图7中上接触线AB的任意一点(rPN，z′N)存在：
z′N＝-tanβn(rPN-rNmin)；
螺母滚道轮廓上接触面的表达式为：
Figure BDA0002388719310000123
由于螺母滚道的上、下接触面关于o′NxN轴对称，则下接触面表达式为：
Figure BDA0002388719310000124
由式(V-1)和(V-2)，可以建立得到螺母滚道螺旋曲面方程，如式(V)所示：
Figure BDA0002388719310000125
其中，rPN和θPN为螺母滚道螺旋曲面的参数坐标；rN为螺母的名义半径，定义为螺母螺纹中径的一半；βn为螺纹牙法向牙侧角；pN为螺母的螺距；λN为螺母的导程角；lN为螺母的导程；ξ为布尔变量；
ξ＝1时式(V)代表下接触面的曲面方程，ξ＝-1时式(V)代表上接触面的曲面方程。
S6综合丝杠、滚柱和螺母的滚道截面轮廓方程，三个零件的滚道螺旋曲面方程可统一为：
Figure BDA0002388719310000126
其中，
Figure BDA0002388719310000131
为丝杠、滚柱或螺母在法截面内的轮廓函数，记为
Figure BDA0002388719310000132
上式(Ⅵ)可用于计算零件螺旋曲面的单位法向量；
S7对于行星滚柱丝杠副中丝杠、滚柱或螺母的滚道螺旋曲面，三元函数为：
Figure BDA0002388719310000133
可计算出三元函数对三个方向的偏导数分别为：
Figure BDA0002388719310000134
其中，
Figure BDA0002388719310000135
为丝杠、滚柱或螺母的轮廓函数
Figure BDA0002388719310000136
对rPi的导数；利用三元函数的梯度计算公式：
Figure BDA0002388719310000137
；其中，i，j，k分别为笛卡尔坐标下三个方向的单位向量；
以及单位法向量计算公式：
Figure BDA0002388719310000138
可计算获得在对应零件坐标系oi-xiyizi中的丝杠、滚柱或螺母滚道曲面上任意一点P的单位法向量的通用表达式为：
Figure BDA0002388719310000139
；其中，T表示向量转置。
S8综上，零件螺旋滚道曲面的参数方程可写成向量形式：
Figure BDA00023887193100001310
对变量r和θ分别求导和二阶导数可得以下分量：
Figure BDA0002388719310000141
Figure BDA0002388719310000142
Figure BDA0002388719310000143
Frθ＝Fθr＝[-sinθPi，cosθPi，0]；
Fθθ＝[-rPicosθPi，-rPisinθPi，0]；
其中，
Figure BDA0002388719310000144
为轮廓函数
Figure BDA0002388719310000145
对rPi的二阶导数，
Figure BDA0002388719310000146
Figure BDA0002388719310000147
因此，根据微分几何原理，滚道螺旋曲面的第一类基本量为：
Figure BDA0002388719310000148
第二类基本量的计算式为：
Figure BDA0002388719310000149
其中，n为丝杠、滚柱或螺母的滚道曲面单位法向量。因此综合上式，可得到滚道曲面的第一类基本量和第二类基本量的具体表达式：
Figure BDA00023887193100001410
Figure BDA00023887193100001411
Figure BDA00023887193100001412
Figure BDA00023887193100001413
Figure BDA0002388719310000151
Figure BDA0002388719310000152
S9高斯曲率K和平均曲率H的计算式为：
Figure BDA0002388719310000153
Figure BDA0002388719310000154
根据高斯曲率K和平均曲率H的定义，可得到接触滚道的第一、第二主曲率分别为：
Figure BDA0002388719310000155
Figure BDA0002388719310000156
本发明的优点可通过以下实例进一步说明：
根据表1中列出的行星滚柱丝杠副结构参数，求解得到本发明方法与基于等效球法计算行星滚柱丝杠副接触点位置的主曲率，结果列于表2：
表1行星滚柱丝杠副结构参数
参数 符号 丝杠 滚柱 螺母
名义半径 r<sub>i</sub>/mm 15 5 25
导程 l<sub>i</sub>/mm 10 2 10
头数 n<sub>i</sub> 5 1 5
导程角 λ<sub>i</sub>/° 6.0566 3.6426 3.6426
螺距 p<sub>i</sub>/mm 2 2 2
牙侧角 β<sub>n</sub>/° 45 45 45
滚柱轮廓半径 r<sub>Re</sub>/mm - 7.0700 -
表2主曲率计算结果对比
Figure BDA0002388719310000161
注*：负号代表曲面在这个主平面内是凹面。
显然，上述实施例仅仅是为清楚地说明所作的举例，而并非对实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。而由此所引伸出的显而易见的变化或变动仍处于本专利申请权利要求的保护范围之中。

Claims (10)

1.一种针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，其特征在于，包括如下步骤：
(S1)建立丝杠、滚柱和螺母的螺旋滚道曲面的参数方程；
(S2)进行坐标变换；
(S3)在丝杠法截面内，建立丝杠滚道截面轮廓方程；
(S4)在滚柱法截面内，建立滚柱滚道截面轮廓方程；
(S5)在螺母法截面内，建立螺母滚道截面轮廓方程；
(S6)建立通用化的滚道螺旋曲面方程；
(S7)获得丝杠、滚柱或螺母滚道螺旋曲面上任意点的单位法向量的通用表达式；
(S8)获得丝杠、滚柱或螺母滚道螺旋曲面的第一类基本量和第二类基本量的具体表达式；
(S9)得到接触滚道的高斯曲率、平均曲率以及主曲率的计算式。
2.根据权利要求1所述的针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，其特征在于，在步骤(S1)中：针对行星滚柱丝杠副中丝杠、滚柱和螺母螺旋滚道曲面特点，对于丝杠、滚柱和螺母的螺旋滚道曲面S上任意一点P，建立螺旋滚道曲面的参数方程，如式(Ⅰ)所示：
F＝[rP cosθP，rP sinθP，f(rP，θP)]，(rP，θP)∈G (Ⅰ)；
其中，rP和θP为曲面S的参数坐标，平面oixiyi上的初等区域G的任意一点极坐标为(rP,θP)，G经映射F后的像是曲面S，f(rP，θP)为由参数坐标确定的螺旋曲面方程，oi-xiyizi为零件笛卡尔坐标系，i＝S，R，N分别表示丝杠、滚柱和螺母。
3.根据权利要求2所述的针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，其特征在于，在步骤(S2)中，将oixizi平面绕xi轴旋转λi度可得o′i-x′iy′iz′i坐标系，其原点定义在相应零件轴线上；法截面内的零件滚道截面轮廓位于平面o′ix′iz′i内，且在零件zi轴方向，存在如下坐标变换关系，如式(Ⅱ)：
z′i＝zicosλi (Ⅱ)；
其中，λi为丝杠、滚柱或螺母的导程角，且根据螺旋曲线的性质存在如下关系：
Figure FDA0002388719300000021
其中，li、ni和pi分别为零件的导程、头数和螺距。
4.根据权利要求3所述的针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，其特征在于，在步骤(S3)中，
丝杠滚道轮廓下接触面的表达式为：
Figure FDA0002388719300000022
由于丝杠滚道的上、下接触面关于o′SxS轴对称，则上接触面表达式为：
Figure FDA0002388719300000023
由式(Ⅲ-1)和(Ⅲ-2)，可以建立得到丝杠滚道螺旋曲面方程，如式(Ⅲ)所示：
Figure FDA0002388719300000024
其中，rS为丝杠的名义半径，定义为丝杠螺纹中径的一半；βn为螺纹牙法向牙侧角；rPS和θPS为丝杠滚道螺旋曲面的参数坐标；pS为丝杠的螺距；λS为丝杠的导程角；lS为丝杠的导程；ξ为布尔变量；
ξ＝1时式(Ⅲ)代表下接触面的曲面方程，ξ＝-1时式(Ⅲ)代表上接触面的曲面方程。
5.根据权利要求4所述的针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，其特征在于，在步骤(S4)中，
滚柱滚道轮廓下接触面的表达式为：
Figure FDA0002388719300000025
由于滚柱滚道的上、下接触面关于o′RxR轴对称，上接触面的表达式为：
Figure FDA0002388719300000026
由式(Ⅳ-1)和(Ⅳ-2)，可建立得到滚柱滚道螺旋曲面方程，如式(Ⅳ)所示：
Figure FDA0002388719300000031
其中，rPR和θPR为滚柱滚道螺旋曲面的参数坐标；βn为螺纹牙法向牙侧角；rRe为滚柱滚道截面的轮廓曲率半径，可通过如下关系式计算：
Figure FDA0002388719300000032
rR为滚柱的名义半径，定义为滚柱螺纹中径的一半；pR为滚柱的螺距；λR为滚柱的导程角；lR为滚柱的导程；ξ为布尔变量；
ξ＝1时式(Ⅳ)代表下接触面的曲面方程，ξ＝-1时式(Ⅳ)代表上接触面的曲面方程。
6.根据权利要求5所述的针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，其特征在于，在步骤(S5)中，
螺母滚道轮廓上接触面的表达式为：
Figure FDA0002388719300000033
由于螺母滚道的上、下接触面关于o′NxN轴对称，则下接触面表达式为：
Figure FDA0002388719300000034
由式(Ⅴ-1)和(Ⅴ-2)，可以建立得到螺母滚道螺旋曲面方程，如式(Ⅴ)所示：
Figure FDA0002388719300000035
其中，rPN和θPN为螺母滚道螺旋曲面的参数坐标；rN为螺母的名义半径，定义为螺母螺纹中径的一半；βn为螺纹牙法向牙侧角；pN为螺母的螺距；λN为螺母的导程角；lN为螺母的导程；ξ为布尔变量；
ξ＝1时式(Ⅴ)代表下接触面的曲面方程，ξ＝-1时式(Ⅴ)代表上接触面的曲面方程。
7.根据权利要求6所述的针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，其特征在于，在步骤(S6)中，综合步骤(S3)丝杠滚道截面轮廓方程、步骤(S4)滚柱滚道截面轮廓方程和步骤(S5)螺母滚道截面轮廓方程，三个零件的滚道螺旋曲面方程可统一为式(Ⅵ)所示：
Figure FDA0002388719300000036
其中，i＝S，R，N分别表示丝杠、滚柱和螺母这三个零件，rPi和θPi为丝杠、滚柱或螺母滚道螺旋曲面的参数坐标；ξ为布尔变量，
Figure FDA0002388719300000041
为丝杠、滚柱或螺母在法截面内的轮廓函数，记为
Figure FDA0002388719300000049
λi为丝杠、滚柱或螺母的导程角；li为丝杠、滚柱或螺母的导程，zPi为丝杠、滚柱或螺母滚道曲面上任意一点P在零件笛卡尔坐标系oi-xiyizi中的z方向坐标。
8.根据权利要求7所述的针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，其特征在于，在步骤(S7)中，
对于行星滚柱丝杠副中丝杠、滚柱或螺母的滚道螺旋曲面，三元函数为：
Figure FDA0002388719300000042
可计算出三元函数对三个方向的偏导数分别为：
Figure FDA0002388719300000043
其中，
Figure FDA0002388719300000044
为丝杠、滚柱或螺母的轮廓函数
Figure FDA0002388719300000045
对rPi的导数；
利用三元函数F(r，θ，z)的梯度计算公式：
Figure FDA0002388719300000046
其中，i，j，k分别为笛卡尔坐标下三个方向的单位向量；
以及单位法向量计算公式：
Figure FDA0002388719300000047
可计算出在对应零件坐标系oi-xiyizi中的丝杠、滚柱或螺母滚道曲面上任意一点P的单位法向量的通用表达式如式(Ⅷ)所示：
Figure FDA0002388719300000048
其中，T表示向量转置。
9.根据权利要求8所述的针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，其特征在于，在步骤(S8)中，
零件螺旋滚道曲面的参数方程可写成向量形式：
Figure FDA0002388719300000051
对变量r和θ分别求导和二阶导数可得以下分量：
Figure FDA0002388719300000052
Figure FDA0002388719300000053
Figure FDA0002388719300000054
Frθ＝Fθr＝[-sinθPi，cosθPi，0]；
Fθθ＝[-rPicosθPi，-rPisinθPi，0]；
其中，h″(rPi)为轮廓函数
Figure FDA0002388719300000055
对rPi的二阶导数，
Figure FDA0002388719300000056
Figure FDA0002388719300000057
根据微分几何原理，滚道螺旋曲面的第一类基本量为：
Figure FDA0002388719300000058
第二类基本量的计算式为：
Figure FDA0002388719300000059
其中，n为丝杠、滚柱或螺母的滚道曲面单位法向量；
可得滚道曲面的第一类基本量E、F、Z和第二类基本量L、M、N的具体表达式：
Figure FDA00023887193000000510
Figure FDA00023887193000000511
Figure FDA00023887193000000512
Figure FDA00023887193000000513
Figure FDA00023887193000000514
Figure FDA0002388719300000061
其中，
Figure FDA0002388719300000062
为轮廓函数
Figure FDA0002388719300000063
对rPi的二阶导数。
10.根据权利要求9所述的针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，其特征在于，在步骤(S9)中，
高斯曲率K的计算式为
Figure FDA0002388719300000064
平均曲率H的计算式为：
Figure FDA0002388719300000065
根据高斯曲率K和平均曲率H的定义，可得到接触滚道的第一、第二主曲率分别为：
第一主曲率
Figure FDA0002388719300000066
第二主曲率
Figure FDA0002388719300000067
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