CN111177860A - 一种提升钛合金薄壁件铣削稳定域的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种提升钛合金薄壁件铣削稳定域的方法，包括以下步骤：步骤1、建立钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统动力学等效模型；步骤2、确定弱刚性钛合金薄壁件铣削系统的模态特性；步骤3、建立旋转超声铣削动态铣削力模型；步骤4、构建旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件稳定域解析模型；步骤5、运用半离散法求解旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定域；步骤6、绘制旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定性叶瓣图，实现其稳定域的准确预测。本发明提出使用旋转超声技术铣削钛合金薄壁件，大大提升了钛合金腹板铣削加工的稳定域，铣削颤振明显抑制，有效提高了钛合金腹板铣削的加工质量。

Description

一种提升钛合金薄壁件铣削稳定域的方法

技术领域

本发明属于特种加工技术领域，具体涉及一种提升钛合金薄壁件铣削稳定域的方法。

背景技术

钛合金强度高、耐热性和耐蚀性好，被广泛地应用于航空航天领域。在此行业中大量使用形状结构比较复杂的薄壁件。此类薄壁件截面尺寸较小，加工时余量较大，加工工艺性差。由于薄壁件的弱刚度特性，加工时很容易引起变形与振动现象，使得已加工表面出现明显振纹，因此大大降低了薄壁件的加工质量。此外，加工颤振会降低工件尺寸精度，减少刀具使用寿命，严重时损坏机器。为了保证钛合金薄壁件铣削加工的稳定性，在生产过程中常常花费大量的时间做实验来得到相对保守的切削参数，而这种加工参数远低于数控机床实际的加工能力，降低了钛合金薄壁件的加工效率。

现有研究表明振动切削具有降低切削力和切削温度、减轻刀具磨损，提高加工质量的优势。超声振动辅助铣削包括分离型与不分离型两种。分离型的超声振动辅助铣削一般将振动施加在工件上，通过工件的振动实现断续切削。但由于实际生产加工过程中工件类型、尺寸和形状多种多样，这种超声加工系统的实用性和灵活性较低。

现有文献主要针对分离型超声加工的稳定域解析提出了较为系统的理论解析方法。然而，对于不分离型超声加工稳定性的分析目前还处于起步阶段，理论研究尚不够深入。特别是对于铣削而言，由于超声振幅远小于理论切深，实际加工过程中很难实现刀具与工件的完全分离。

发明内容

本发明的目的在于提供一种通过采用旋转超声加工技术提升钛合金薄壁件铣削稳定域的方法。

实现本发明的目的的技术方案为：

一种提升钛合金薄壁件铣削稳定域的方法，包括以下步骤：

步骤1、建立钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统动力学等效模型：所述钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统由刀具系统和工件系统两部分组成，所述刀具系统为刚性的，所述钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统为一个三自由度的弹簧阻尼系统；

步骤2、确定钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统的模态特性：确定钛合金腹板薄壁件的尺寸并建立其三维模型；将三维模型导入有限元软件(例如ANSYS) 仿真分析该薄壁件的模态参数，所述模态参数包括模态频率、刚度和阻尼；根据模态频率、刚度和模态质量三者之间的函数关系，求出钛合金腹板的模态质量，最终完成钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统的模态参数识别；

步骤3、建立旋转超声铣削动态铣削力模型：由旋转超声铣削的运动学分析，引入超声作用下的径向速度矢量的章动角度γ揭示不分离型旋转超声铣削是如何影响动态切屑厚；根据角度γ建立三维的旋转超声铣削钛合金腹板动态铣削厚度模型；运用线性力模型(铣削力与动态铣削厚度的正比关系)构建切削刃上铣削力与动态铣削厚度的映射关系，最终建立旋转超声动态铣削力模型；

步骤4、构建旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件三自由度系统动力学延迟微分方程：根据传统二维振动系统方程建立三自由度钛合金腹板薄壁件铣削系统控制方程；再将步骤2得到的模态参数和步骤3建立的动态铣削力模型带入铣削系统控制方程得三自由度系统动力学延迟微分方程的表达式；

步骤5、运用半离散法求解旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定域：首先对铣削动力学延迟微分方程中的周期性变化系数项和时间延迟项进行等间距离散；然后该三自由度系统动力学延迟微分方程通过Cauchy变换被改写成一阶微分表达形式，并由初始条件得到其原始方程；再根据动力学一阶延迟微分方程和其原始方程构建旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定性系数矩阵；最后，求解该系数矩阵的特征值并由其范数的绝对值判断钛合金薄壁件铣削系统的状态是否稳定；

步骤6、绘制旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定性叶瓣图：根据步骤1到步骤 5的建模过程，使用MATLAB编程绘制旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定域的叶瓣图，实现其稳定域的准确预测。

进一步地，所述步骤1具体包括如下步骤：

步骤1.1、钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统动力学等效模型的动力学延迟微分方程为：

其中，M、C及K分别表示钛合金腹板薄壁件铣削系统的模态质量、阻尼和刚度，F表示铣削力，U表示铣削力作用下工件受力点在笛卡尔坐标系下的位移， F和U表示为：

F＝{F_x F_y F_z}^T；U＝{U_x U_y U_z}^T (2)

进一步地，所述步骤2具体包括如下步骤：

步骤2.1、确定钛合金腹板薄壁件的尺寸并绘制其三维模型；

步骤2.2、模态参数仿真分析：将三维模型导入有限元软件仿真分析得到此薄壁件的模态参数，包括模态频率f_n、刚度k和阻尼ξ；

步骤2.3、模态参数计算：根据仿真分析结果中的模态频率和阻尼，由以下公式(3)和(4)计算得到圆周角频率ω_n和模态质量m_t，

ω_n＝2πf_n (3)

进一步地，所述步骤3具体包括如下步骤：

步骤3.1、建立旋转超声铣削钛合金腹板过程中切削刃上任意一点P的运动学方程，P点的运动包括水平进给、周向旋转和轴向振动，其位移方程和速度方程具体表达如下：

其中，r为刀具半径；t为加工时间；ω是刀具转动的角速度；A是超声振动的振幅；f_v为超声振动的频率；v_f为进给速度；h₀表示切削刃上的任意点P距离加工表面的高度；

步骤3.2、建立坐标系(X_r,Y_c,Z_z)定义超声振动辅助作用下径向速度矢量的章动角度γ，角度γ表示切削刃上任意点P点径向切削速度v_r与坐标轴Z轴负方向的夹角，用下式(7)表达：

刀具轴向振动速度v_z由公式(6)确定，v_z值大于零时表示刀具沿Z轴正方向振动，v_z值小于零时表示刀具沿Z轴负方向振动，v_z值等于零时表示超声铣削转变为传统铣削，刀具径向浸入角

为：

其中λ为刀具的螺旋角；N_z是刀具齿数；Ω是主轴转速；j表示刀具第j个齿， h₀等于理论切深a_p的一半，平均径向浸入角为：

φ_j＝(2πΩ/60)·t+2π(j-1)/N_z-[a_p/(2r)]·tanλ (9)

步骤3.3、建立旋转超声振动作用下钛合金腹板薄壁件动态切屑厚度模型：设旋转超声铣削钛合金腹板时铣刀沿坐标轴X,Y,Z方向的动态位移分别是Δx，Δy,Δz，将它们向切削刃上任意点P的径向切削速度v_r的方向投影得到动态切屑厚度的表达式如下：

h_d＝g(φ_j)·[(Δx·sin(φ_j)+Δy·cos(φ_j))·sinγ-Δz·cosγ] (10)

其中，g(φ_j)取值为0或1，用来判断单个刀齿在单个转动周期的t时刻是否参与切削，1表示刀齿参与切削，0表示刀齿不参与切削；

步骤3.4、建立旋转超声铣削钛合金薄壁件径向力F_rj、切向力F_tj、轴向力F_aj的表达式：切削刃上任意点P处的铣削力正比于动态切屑厚度和切深的乘积，轴向切深是随着时间动态变化的，表示为b＝a_p+As′，s′＝sin(2πf_vt)，因此，旋转超声铣削钛合金腹板单个切削刃上任意点P处的铣削力表达如下：

K_t、K_r和K_a分别为切向切削力系数、径向切削力系数和轴向切削力系数；

步骤3.5：构建点P沿坐标轴X、Y、Z方向的切削力F_xj、F_yj和F_zj的表达式，将公式(11)中单个切削刃上一点的切削力向坐标系X、Y和Z方向投影，得切削力表达式：

步骤3.6：确定X、Y和Z向总切削力F_x、F_y和F_z的表达式，将公式(10)和 (11)代入公式(12)，并对所有刀齿中的切削力求和，得总切削力表达式为：

α(t)和β(t)均是三阶矩阵，具体表达如下：

其中，

其中，s＝sin(φ_j)，c＝cos(φ_j)，s″＝sin(γ)，c″＝cos(γ)，s′＝sin(2πf_vt)，α(t)和β(t)满足关系β(t)＝s′α(t)，例如，

进一步地，所述步骤4具体包括如下步骤：

步骤4.1、由半离散法理论解析可知，旋转超声铣削钛合金腹板时的延迟微分方程的表达式如下：

U(t+T)＝U(t)和V(t+T)＝V(t) (19)

其中，T是时间周期；τ是时间延迟，U(t)和V(t)表示微分方程的系数矩阵；

步骤4.2、建立旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件系统三自由度控制方程，三自由度振动系统的二阶微分方程由传统铣削二自由度振动系统方程拓展至三维得到，有

i表示第i个时间间隔；x(t-τ)_i，y(t-τ)_i和z(t-τ)_i表示延迟微分项；H，B和 E均是三阶矩阵，表达为：

其中，ξ_nx,ξ_ny和ξ_nz是振动系统的阻尼比；ω_nx,ω_ny和ω_nz是振动系统的固有频率；m_tx,m_ty和m_tz是振动系统的模态质量。

进一步地，所述步骤5具体包括如下步骤：

步骤5.1、将公式(20)进行Cauchy变换得到钛合金薄壁件旋转超声铣削系统的一阶微分方程，同时，根据初始条件由一阶动力学延迟微分方程得到原始方程，一阶微分方程表达式如下：

将延迟时间τ分割成k个离散时间间隔Δt,且满足τ＝kΔt，用q_i表示当前t_i时刻的q(t_i)值，q(t_i-τ)＝q((i-k)Δt)，当采样间隔Δt很小时，q(t_i-τ)可近似用相邻采样点的平均值表示为：

其中t∈[t_i,t_i+1]，m是与周期T有关的常数，并假设T＝τ，取m＝k＝40，公式(20)表示的铣削动力学方程改写成：

公式(26)的解由通解q_iH(t)和特解q_iH(t)构成：

q_i(t)＝q_iH(t)+q_iP(t) (27)

通解表示为：

式中，C₀为t＝t_i时求得的值，特解表示为：

铣削动力学微分方程的完整解为：

当t＝t_i时有：

由于上述通解、特解和完整解在离散时间Δt＝t_i+1-t_i内有效，因此当t＝t_i+1时存在如下的关系：

q_i+1＝P_i·q_i+R_i·(q_i-m+1+q_i-m) (32)

步骤5.2、构建铣削稳定性转移矩阵Φ，根据Floquet理论判断系统的稳定性，首先，(3m+6)维的状态矩阵z_i被表达为：

z_i＝col(x_i y_i z_i x_i y_i z_i x_i-1 y_i-1 z_i-1 ··· x_i-m y_i-m z_i-m) (34)

col表示矩阵是单列矩阵，状态矩阵z_i+1和z_i满足以下关系：

z_i+1＝D_iz_i (35)

其中，D_i是(3m+6)维的系数矩阵，被表达为：

其中，

在刀齿通过周期τ内，求取k个离散时间间隔处的表达式从而确定铣削系统的稳定性：

Φ＝D_k-1D_k-2...D₁D₀ (39)

求得

的特征值，当有一个特征值的范数的绝对值大于1时，铣削系统不稳定；当特征值的范数的绝对值等于1时，铣削系统临界稳定；当所有特征值的范数小于1时，铣削系统稳定。

本发明与现有技术相比，其显著优点有：

(1)本发明提出使用旋转超声技术铣削钛合金薄壁件，大大提升了钛合金腹板铣削加工的稳定域，铣削颤振明显抑制，加工质量显著提高；

(2)本发明实现了超声振动辅助铣削钛合金薄壁件稳定域的预测，成功解决了没有适用于不分离型旋转超声铣削薄壁薄壁件稳定域解析方法的问题；

(3)本发明基于旋转超声铣削的运动学特性，提出了适用于一般立铣刀的钛合金腹板铣削三维稳定性解析模型，使得稳定域的求解更加符合铣削的实际工况；

(4)针对旋转超声铣削钛合金腹板提出了相应的动态铣削厚度和动态铣削力的计算方法。

参照下面的附图，将对本发明作进一步详细的说明。

附图说明

图1为本发明提升钛合金薄壁件铣削稳定域的方法的流程图。

图2为钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统等效模型图。

图3为钛合金腹板薄壁件形状与尺寸示意图。

图4为旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件的主视图。

图5为旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件的俯视图。

图6为旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件速度变化矢量图。

图7为旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件动态切屑厚度示意图。

图8为旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件动态铣削力示意图。

图9为有无超声铣削钛合金腹板稳定性叶瓣图。

具体实施方式

下面通过举实例并结合所列附图具体阐述本发明的技术内容，如下：

图1是本发明预测方法建模过程的流程图，具体包括以下步骤：

步骤1、建立钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统动力学等效模型：此系统由刀具系统和工件系统两部分组成。本发明的研究对象钛合金腹板属于薄壁件类零件，工件系统的刚度远远地小于刀具系统的刚度，所以刀具系统被假设为刚性的。在使用普通立铣刀时，传统铣削稳定性研究通过忽略Z向的铣削力将加工系统简单地等效为二维铣削系统。但是对于旋转超声铣削而言，刀具沿Z轴方向高频振动，Z向的铣削力是不应该被忽略的。因此，如图2所示，钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统被假设为一个三自由度的弹簧阻尼系统。其动力学延迟微分方程可以被表达为：

其中，M、C及K分别表示钛合金腹板薄壁件铣削系统的模态质量，阻尼和刚度。 F表示铣削力，U表示铣削力作用下工件受力点在笛卡尔坐标系下的位移。并且 F和U可以表示为：

F＝{F_x F_y F_z}^T；U＝{U_x U_y U_z}^T (2)

步骤2、确定弱刚性钛合金薄壁件铣削系统的模态特性：确定钛合金腹板薄壁件的尺寸并使用三维软件绘制其三维模型；将三维模型导入有限元软件(例如ANSYS)仿真分析此薄壁件的模态参数，包括模态频率、刚度和阻尼；根据模态分析学中模态频率、刚度和模态质量三者之间的函数关系，求出钛合金腹板的模态质量，最终完成此系统的模态参数识别。

步骤2.1、确定钛合金腹板薄壁件的尺寸并使用三维软件绘制其三维模型：如图3所示为钛合金腹板的形状和尺寸，使用Proe软件绘制其三维模型。

步骤2.2、模态参数仿真分析：将三维模型导入有限元软件仿真分析得到此薄壁件的模态参数，包括模态频率f_n、刚度k和阻尼ξ。

步骤2.3、模态参数计算：根据仿真分析结果中的模态频率和阻尼，由以下公式计算得到圆周角频率ω_n和模态质量m_t。

ω_n＝2πf_n (3)

步骤3、建立旋转超声铣削动态铣削力模型：由旋转超声铣削的运动学分析，引入超声作用下的角度γ揭示了不分离型旋转超声铣削是如何影响动态切屑厚；根据角度γ的表达式，建立三维的旋转超声铣削钛合金腹板动态切屑厚度模型；运用线性力模型构建切削刃上铣削力与动态铣削厚度的映射关系，最终建立旋转超声动态铣削力模型。

步骤3.1、建立旋转超声铣削钛合金腹板过程中切削刃上任意一点P的运动学方程：如图4和图5所示，P点的运动包括水平进给、周向旋转和轴向振动，其位移方程和速度方程可具体表达如下：

其中，r为刀具半径(mm)；t为加工时间(s)；ω是刀具转动的角速度(rad/s)；A是超声振动的振幅(μm)；f_v为超声振动的频率(Hz)；v_f为进给速度(mm/s)；h₀表示切削刃上的任意点P距离加工表面的高度(mm)。

步骤3.2、通过建立坐标系(X_r,Y_c,Z_z)定义超声振动辅助作用下径向速度矢量的章动角度γ。图6表示图4中铣刀切削刃上任意点P的速度矢量图。如图6所示，角度γ表示切削刃上任意点P点径向切削速度v_r与坐标轴Z轴负方向的夹角，可以用下式表达：

这里，刀具轴向振动速度v_z由公式(6)确定。v_z值大于零时表示刀具沿Z轴正方向振动，v_z值小于零时表示刀具沿Z轴负方向振动，v_z值等于零时表示超声铣削转变为传统铣削。刀具径向浸入角

可以表达为：

这里λ为刀具的螺旋角；N_z是刀具齿数；Ω是主轴转速(r/min)；j表示刀具第j 个齿。取h₀等于理论切深a_p的一半。如图4所示，平均径向浸入角可表达为：

φ_j＝(2πΩ/60)·t+2π(j-1)/N_z-[a_p/(2r)]·tanλ (9)

步骤3.3、建立旋转超声振动作用下钛合金腹板薄壁件动态切屑厚度模型：如图7所示，假设旋转超声铣削钛合金腹板时铣刀沿坐标轴X,Y,Z方向的动态位移分别是Δx，Δy,Δz，将它们向切削刃上任意点P的径向切削速度v_r的方向投影可得动态切屑厚度的表达式如下：

h_d＝g(φ_j)·[(Δx·sin(φ_j)+Δy·cos(φ_j))·sinγ-Δz·cosγ] (10)

其中，g(φ_j)取值范围为0或1，用来判断单个刀齿在单个转动周期的t时刻是否参与切削，1表示刀齿参与切削；0表示刀齿不参与切削。

步骤3.4、如图8所示，建立旋转超声铣削钛合金薄壁件径向力F_rj，切向力 F_tj，轴向力F_aj的表达式：动态切削厚度已由公式(10)确定。切削刃上任意点P 处的铣削力正比于动态切屑厚度和切深的乘积。对于旋转超声铣削而言，轴向切深是随着时间动态变化的，可以表示为b＝a_p+As′，s′＝sin(2πf_vt)。因此，旋转超声铣削钛合金腹板单个切削刃上任意点P处的铣削力表达如下：

这里，K_t，K_r和K_a分别为切向切削力系数、径向切削力系数和轴向切削力系数。

步骤3.5：构建点P沿坐标轴X、Y、Z方向的切削力F_xj、F_yj和F_zj的表达式。如图6所示，将公式(11)中单个切削刃上一点的切削力向坐标系X、Y和Z方向投影，可得切削力表达式：

步骤3.6：确定X、Y和Z向总切削力F_x、F_y和F_z的表达式。将公式(10)和 (11)代入公式(12)，并对所有刀齿中的切削力求和，可得总切削力表达式：

这里，α(t)和β(t)均是三阶矩阵，可具体表达如下：

其中，

在这里，s＝sin(φ_j)，c＝cos(φ_j)，s″＝sin(γ)，c″＝cos(γ)，s′＝sin(2πf_vt)，α(t) 和β(t)满足关系β(t)＝s′α(t)，例如：

步骤4、构建旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件稳定域解析模型：根据传统二维振动系统方程建立三自由度钛合金薄壁件铣削系统控制方程；再将步骤2求得的模态参数和步骤3建立的动态铣削力模型带入铣削系统控制方程得三自由度系统动力学延迟微分方程的表达式；

步骤4.1、由半离散法理论解析可知，旋转超声铣削钛合金腹板时的延迟微分方程的表达式如下：

U(t+T)＝U(t)和V(t+T)＝V(t) (19)

其中，T是时间周期；τ是时间延迟。U(t)和V(t)表示微分方程的系数矩阵。

步骤4.2、建立旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件系统三自由度控制方程。三自由度振动系统的二阶微分方程可由传统铣削二自由度振动系统方程拓展至三维得到。此时，有

这里，i表示第i个时间间隔；x(t-τ)_i，y(t-τ)_i和z(t-τ)_i表示延迟微分项；H，B 和E均是三阶矩阵，可表达为：

其中，ξ_nx,ξ_ny和ξ_nz是振动系统的阻尼比；ω_nx,ω_ny和ω_nz是振动系统的固有频率；m_tx,m_ty和m_tz是振动系统的模态质量。

步骤5、运用半离散法求解旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定域：首先对铣削动力学延迟微分方程中的周期性变化系数项和时间延迟项进行等间距离散；接着，该三自由度动力学延迟微分方程通过Cauchy变换被改写成一阶微分表达形式，并由初始条件得到其原始方程；然后，根据动力学一阶延迟微分方程和其原始方程构建旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定性系数矩阵；最后，求解该系数矩阵的特征值并由其范数的绝对值判断钛合金薄壁件铣削系统的状态是否稳定；

步骤5.1、将公式(20)进行Cauchy变换得到钛合金薄壁件旋转超声铣削系统的一阶微分方程。同时，根据初始条件由一阶动力学延迟微分方程得到原始方程。一阶微分方程表达式如下：

将延迟时间τ分割成k个离散时间间隔Δt,且满足τ＝kΔt。如果用q_i表示当前 t_i时刻的q(t_i)值，那么q(t_i-τ)＝q((i-k)Δt)。当采样间隔Δt很小时，q(t_i-τ)可近似用相邻采样点的平均值表示为：

其中t∈[t_i,t_i+1]。m是与周期T有关的常数，并假设T＝τ。此时，取m＝k＝40。所以，公式(20)表示的铣削动力学方程可以改写成：

该微分方程的解由通解q_iH(t)和特解q_iH(t)构成：

q_i(t)＝q_iH(t)+q_iP(t) (27)

通解可以表示为：

式中，C₀为t＝t_i时求得的值，特解可以表示为：

铣削动力学微分方程的完整解为：

当t＝t_i时有：

由于上述解在离散时间Δt＝t_i+1-t_i内有效，因此当t＝t_i+1时存在如下的关系：

q_i+1＝P_i·q_i+R_i·(q_i-m+1+q_i-m) (32)

步骤5.2、构建铣削稳定性转移矩阵Φ，根据Floquet理论判断系统的稳定性。

首先，(3m+6)维的状态矩阵z_i可以被表达为：

z_i＝col(x_i y_i z_i x_i y_i z_i x_i-1 y_i-1 z_i-1 ··· x_i-m y_i-m z_i-m) (34)

这里，col是一种数学符号表示矩阵是单列矩阵。状态矩阵z_i+1和z_i满足以下关系：

z_i+1＝D_iz_i (35)

其中，D_i是(3m+6)维的系数矩阵，可以被表达为：

这里，

在刀齿通过周期τ内，求取k个离散时间间隔处的表达式就可以确定铣削系统的稳定性：

Φ＝D_k-1D_k-2···D₁D₀ (39)

求得

的特征值，当有一个特征值的范数的绝对值大于1时，铣削系统不稳定；当特征值的范数的绝对值等于1时，铣削系统临界稳定；当所有特征值的范数小于1时，铣削系统稳定。

步骤6、确定旋转超声铣削钛合金腹板稳定域：根据步骤1到步骤5的建模过程，使用MATLAB软件编程绘制稳定性叶瓣图，实现稳定域预测。

旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定性叶瓣图的绘制具体流程：

(1)通过有限元仿真和计算识别旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件系统模态参数。绘图所需具体的模态参数包括固有角频率ω_nx,ω_ny和ω_nz；模态质量m_tx,m_ty和m_tz；阻尼比ξ_nx,ξ_ny和ξ_nz。通过槽铣实验确定的铣削力系数包括k_t、k_r、k_a。

(2)给定加工参数(进给速度v_f、刀具半径r、和刀具齿数N_z)和超声参数(超声振动振幅A、超声振动频率f_v)。

(3)选定主轴转速Ω的取值范围并钛合金的材料属性初定切深a_p的取值范围。然后分别给出划分切深和主轴转速的间隔数量；

(4)给定离散间隔数值k，常数m确定系数矩阵D_i。

(5)由系数矩阵D_i确定转移矩阵Φ，并依据转移矩阵的特征值确定铣削系统的稳定性；

(6)编写程序并运行MATLAB软件得到旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定性叶瓣图。

实施例1：

本实例使用MCV-L850加工中心研究旋转超声加工技术对铣削钛合金薄壁板铣削稳定域的影响，其结构示意图如图3所示。钛合金腹板的总体尺寸为 215mm×145mm×3mm，铣削实验所使用的刀具为三齿硬质合金立铣刀，刀具直径8mm，螺旋角为35°。由铣槽实验测得的铣削力，求得该硬质合金刀具有无超声铣削钛合金腹板时的平均铣削力系数如表1所示。钛合金薄壁件的加工参数 (进给速度、切深等)一般较小。因此，忽略钛合金腹板铣削过程中材料去除和刀具位置变化对加工稳定性的影响。具体的模态参数由ANASYS仿真获得，结果如表2所示。

表1铣削力系数

表2钛合金腹板模态参数

旋转超声铣削钛合金薄壁件进行稳定性分析时假设刀具系统为刚性，设定进给方向沿X方向，逆铣，进给速率40mm/min，切宽为4mm，超声振动频率20000Hz，超声振幅A为0/10μm，振幅为0即为传统铣削。根据前面的理论解析方法，使用MATLAB软件绘制稳定性叶瓣图，结果如图9所示。可以明显的看出，超声振动能量的摄入使得钛合金腹板铣削的稳定性得到明显的改善，稳定域提高达 75％。因此，采用旋转超声铣削技术铣削钛合金腹板类薄壁件是提升其加工稳定域的有效途径。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种提升钛合金薄壁件铣削稳定域的方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1、建立钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统动力学等效模型：所述钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统由刀具系统和工件系统两部分组成，所述刀具系统为刚性的，所述钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统为一个三自由度的弹簧阻尼系统；

步骤2、确定钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统的模态特性：确定钛合金腹板薄壁件的尺寸并建立其三维模型；将三维模型导入有限元软件仿真分析该薄壁件的模态参数，所述模态参数包括模态频率、刚度和阻尼；根据模态频率、刚度和模态质量三者之间的函数关系，求出钛合金腹板的模态质量，最终完成钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统的模态参数识别；

步骤3、建立旋转超声铣削动态铣削力模型：由旋转超声铣削的运动学分析，引入超声作用下的径向速度矢量的章动角度γ揭示不分离型旋转超声铣削是如何影响动态切屑厚；根据角度γ建立三维的旋转超声铣削钛合金腹板动态铣削厚度模型；运用线性力模型构建切削刃上铣削力与动态铣削厚度的映射关系，最终建立旋转超声动态铣削力模型；

步骤4、构建旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件三自由度系统动力学延迟微分方程：根据传统二维振动系统方程建立三自由度钛合金腹板薄壁件铣削系统控制方程；再将步骤2得到的模态参数和步骤3建立的动态铣削力模型带入铣削系统控制方程得三自由度系统动力学延迟微分方程的表达式；

步骤5、运用半离散法求解旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定域：首先对铣削动力学延迟微分方程中的周期性变化系数项和时间延迟项进行等间距离散；然后该三自由度系统动力学延迟微分方程通过Cauchy变换被改写成一阶微分表达形式，并由初始条件得到其原始方程；再根据动力学一阶延迟微分方程和其原始方程构建旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定性系数矩阵；最后，求解该系数矩阵的特征值并由其范数的绝对值判断钛合金薄壁件铣削系统的状态是否稳定；

步骤6、绘制旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定性叶瓣图：根据步骤1到步骤5的建模过程，使用MATLAB编程绘制旋转超声铣削钛合金薄壁件稳定域的叶瓣图，实现其稳定域的准确预测。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤1具体包括如下步骤：

步骤1.1、钛合金腹板薄壁件旋转超声铣削系统动力学等效模型的动力学延迟微分方程为：

其中，M、C及K分别表示钛合金腹板薄壁件铣削系统的模态质量、阻尼和刚度，F表示铣削力，U表示铣削力作用下工件受力点在笛卡尔坐标系下的位移，F和U表示为：

F＝{F_x F_y F_z}^T；U＝{U_x U_y U_z}^T (2)。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述步骤2具体包括如下步骤：

步骤2.1、确定钛合金腹板薄壁件的尺寸并绘制其三维模型；

步骤2.2、模态参数仿真分析：将三维模型导入有限元软件仿真分析得到此薄壁件的模态参数，包括模态频率f_n、刚度k和阻尼ξ；

步骤2.3、模态参数计算：根据仿真分析结果中的模态频率和阻尼，由以下公式(3)和(4)计算得到圆周角频率ω_n和模态质量m_t，

ω_n＝2πf_n (3)

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述步骤3具体包括如下步骤：

步骤3.1、建立旋转超声铣削钛合金腹板过程中切削刃上任意一点P的运动学方程，P点的运动包括水平进给、周向旋转和轴向振动，其位移方程和速度方程具体表达如下：

其中，r为刀具半径；t为加工时间；ω是刀具转动的角速度；A是超声振动的振幅；f_v为超声振动的频率；v_f为进给速度；h₀表示切削刃上的任意点P距离加工表面的高度；

步骤3.2、建立坐标系(X_r,Y_c,Z_z)定义超声振动辅助作用下径向速度矢量的章动角度γ，角度γ表示切削刃上任意点P点径向切削速度v_r与坐标轴Z轴负方向的夹角，用下式(7)表达：

刀具轴向振动速度v_z由公式(6)确定，v_z值大于零时表示刀具沿Z轴正方向振动，v_z值小于零时表示刀具沿Z轴负方向振动，v_z值等于零时表示超声铣削转变为传统铣削，刀具径向浸入角

为：

其中λ为刀具的螺旋角；N_z是刀具齿数；Ω是主轴转速；j表示刀具第j个齿，h₀等于理论切深a_p的一半，平均径向浸入角为：

φ_j＝(2πΩ/60)·t+2π(j-1)/N_z-[a_p/(2r)]·tanλ (9)

步骤3.3、建立旋转超声振动作用下钛合金腹板薄壁件动态切屑厚度模型：设旋转超声铣削钛合金腹板时铣刀沿坐标轴X,Y,Z方向的动态位移分别是Δx,Δy,Δz，将它们向切削刃上任意点P的径向切削速度v_r的方向投影得到动态切屑厚度的表达式如下：

h_d＝g(φ_j)·[(Δx·sin(φ_j)+Δy·cos(φ_j))·sinγ-Δz·cosγ] (10)

其中，g(φ_j)取值为0或1，用来判断单个刀齿在单个转动周期的t时刻是否参与切削，1表示刀齿参与切削，0表示刀齿不参与切削；

步骤3.4、建立旋转超声铣削钛合金薄壁件径向力F_rj、切向力F_tj、轴向力F_aj的表达式：切削刃上任意点P处的铣削力正比于动态切屑厚度和切深的乘积，轴向切深是随着时间动态变化的，表示为b＝a_p+As′，s′＝sin(2πf_vt)，因此，旋转超声铣削钛合金腹板单个切削刃上任意点P处的铣削力表达如下：

K_t、K_r和K_a分别为切向切削力系数、径向切削力系数和轴向切削力系数；

步骤3.5：构建点P沿坐标轴X、Y、Z方向的切削力F_xj、F_yj和F_zj的表达式，将公式(11)中单个切削刃上一点的切削力向坐标系X、Y和Z方向投影，得切削力表达式：

步骤3.6：确定X、Y和Z向总切削力F_x、F_y和F_z的表达式，将公式(10)和(11)代入公式(12)，并对所有刀齿中的切削力求和，得总切削力表达式为：

α(t)和β(t)均是三阶矩阵，具体表达如下：

其中，

其中，s＝sin(φ_j)，c＝cos(φ_j)，s″＝sin(γ)，c″＝cos(γ)，s′＝sin(2πf_vt)，α(t)和β(t)满足关系β(t)＝s′α(t)。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述步骤4具体包括如下步骤：

步骤4.1、由半离散法理论解析可知，旋转超声铣削钛合金腹板时的延迟微分方程的表达式如下：

U(t+T)＝U(t)和V(t+T)＝V(t) (19)

其中，T是时间周期；τ是时间延迟，U(t)和V(t)表示微分方程的系数矩阵；

步骤4.2、建立旋转超声铣削钛合金腹板薄壁件系统三自由度控制方程，三自由度振动系统的二阶微分方程由传统铣削二自由度振动系统方程拓展至三维得到，有

i表示第i个时间间隔；x(t-τ)_i，y(t-τ)_i和z(t-τ)_i表示延迟微分项；H，B和E均是三阶矩阵，表达为：

其中，ξ_nx,ξ_ny和ξ_nz是振动系统的阻尼比；ω_nx,ω_ny和ω_nz是振动系统的固有频率；m_tx,m_ty和m_tz是振动系统的模态质量。

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述步骤5具体包括如下步骤：

步骤5.1、将公式(20)进行Cauchy变换得到钛合金薄壁件旋转超声铣削系统的一阶微分方程，同时，根据初始条件由一阶动力学延迟微分方程得到原始方程，一阶微分方程表达式如下：

将延迟时间τ分割成k个离散时间间隔Δt,且满足τ＝kΔt，用q_i表示当前t_i时刻的q(t_i)值，q(t_i-τ)＝q((i-k)Δt)，当采样间隔Δt很小时，q(t_i-τ)可近似用相邻采样点的平均值表示为：

其中t∈[t_i,t_i+1]，m是与周期T有关的常数，并假设T＝τ，取m＝k＝40，公式(20)表示的铣削动力学方程改写成：

公式(26)的解由通解q_iH(t)和特解q_iH(t)构成：

q_i(t)＝q_iH(t)+q_iP(t) (27)

通解表示为：

式中，C₀为t＝t_i时求得的值，特解表示为：

铣削动力学微分方程的完整解为：

当t＝t_i时有：

由于上述通解、特解和完整解在离散时间Δt＝t_i+1-t_i内有效，因此当t＝t_i+1时存在如下的关系：

q_i+1＝P_i·q_i+R_i·(q_i-m+1+q_i-m) (32)

P_i＝exp(U_iΔt)和

步骤5.2、构建铣削稳定性转移矩阵Φ，根据Floquet理论判断系统的稳定性，

首先，(3m+6)维的状态矩阵z_i被表达为：

z_i＝col(x_i y_i z_i x_i y_i z_i x_i-1 y_i-1 z_i-1 ··· x_i-m y_i-m z_i-m) (34)

col表示矩阵是单列矩阵，状态矩阵z_i+1和z_i满足以下关系：

z_i+1＝D_iz_i (35)

其中，D_i是(3m+6)维的系数矩阵，被表达为：

其中，

和G_(3×6)＝[I 0] (37)

和

在刀齿通过周期τ内，求取k个离散时间间隔处的表达式从而确定铣削系统的稳定性：

Φ＝D_k-1D_k-2...D₁D₀ (39)

求得

的特征值，当有一个特征值的范数的绝对值大于1时，铣削系统不稳定；当特征值的范数的绝对值等于1时，铣削系统临界稳定；当所有特征值的范数小于1时，铣削系统稳定。

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