CN111159880A - 一种球轴承接触刚度计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种球轴承接触刚度计算方法，首先根据球轴承的内部尺寸参数和球轴承载荷，解析确定球轴承内部接触区域参数；然后求解轴承内部载荷分布，确定内滚道和外滚道的接触角、轴承整体轴向、径向位置偏移、以及内、外滚道的接触变形；最后根据轴承的外部载荷和轴承整体的轴向、径向位置偏移，最终确定球轴承接触刚度。能够考虑球轴承不同的转速、载荷工作条件，精确确定球轴承接触刚度。

Description

一种球轴承接触刚度计算方法

技术领域

本发明球轴承优化设计技术领域，具体涉及球轴承接触刚度计算方法。

背景技术

轴承是数控装备进给轴和工业机器人关节的主要支撑部件，在外部载荷作用下，轴承内部界面的接触刚度是影响数控装备和工业机器动力学特性的主要因素之一。

在理论上关于轴承分析时，一般是假定轴承内外圈是不发生弹性变形的刚体，弹性变形只发生在滚动体上，滚动体与内外圈的接触只会产生局部的接触变形而不会改变内外圈的整体形状和尺寸。这种处理方法虽然为内外圈的位移和轴承弹性变形分析带来了很大的方便，但是它没有反映出轴承内外圈的变形因素，从而无法准确预测轴承的接触刚度。

现在也有采用有限元离线分析的方法，通过确定球轴承的刚度矩阵以及接触角度来确定接触刚度，但此种方法难以实现在线监测球轴承在不同工作条件下的接触刚度实时变化情况，无法实际工业应用。

因而，传统的球轴承接触刚度计算方法更多的是具有理想模型与经验意义，其精度上不够准确、实时应用效率上也不够高效。

发明内容

有鉴于此，本发明拟公开一种球轴承接触刚度计算方法，能够考虑球轴承不同的转速、载荷工作条件，精确确定球轴承接触刚度。

为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：

一种球轴承接触刚度计算方法，其特征在于包括如下步骤：

1)首先根据球轴承的内部尺寸参数和球轴承载荷，解析确定球轴承内部接触区域参数；

2)根据球轴承的内部接触区域参数，求解轴承内部载荷分布，确定内外滚道接触角、轴承整体轴向、径向位置偏移、以及内、外滚道的接触变形；

3)根据轴承的外部载荷和轴承整体的轴向、径向位置偏移，最终确定球轴承接触刚度。

上述方法中，步骤1)中所述球轴承的内部尺寸参数包括：内滚道半径r_i，外滚道半径r_o、内滚道的曲率半径r_i’、外滚道的曲率半径r_o’、内滚道的曲率中心、外滚道的曲率中心、轴承的节径r_m、滚动体的半径r_b；内滚道曲率中心和外滚道曲率中心之间的距离BD＝r′_o+r′_i-2r_b＝(f_i+f_o-1)2r_b、球轴承的径向间隙P_d＝2r_o-2r_i-4r_b、球轴承的初始接触角

和各滚动体角度位置ψ_j＝2π(j-1)/Z；其中，f_i＝r_i’/2r_b,f_o＝r_o’/2r_b，j表示各滚动体的编号，j＝1,2,…,Z，Z表示该轴承的滚动体个数。

上述方法中，步骤1)中首先建立无外部载荷情况下接触区域参数计算模型，设定滚动体和内、外滚道之间的弹性接触是两个具有不同曲率的椭球体的接触，各椭球体各自经过接触区域的两个主平面各自确定一个点，两个椭球体在所述的点上实现单点接触，也即滚动体和内滚道之间、以及滚动体和外滚道之间均为单点接触；由滚动体和内滚道接触的接触曲率半径关系、滚动体和外滚道接触的接触曲率半径关系联合确定两个椭球体接触时的接触曲率半径。

上述方法中，步骤1)在无外部载荷情况下确定两个椭球体接触时的接触曲率半径后，建立外部载荷情况下的接触区域参数计算模型：在外部载荷的作用下，滚动体和内、外滚道之间分别形成椭圆接触区域，椭圆的短轴位于滚动体的运动方向；滚动体与内、外滚道椭圆接触区域的长、短轴和内外滚道接触变形的关系如下组合式：

组合式中，r_I1,r_I2表示其中一个椭球体在经过接触区域的两个主平面上的接触曲率半径；r_II1和r_II12表示另一个椭球体在经过接触区域的两个主平面上的接触曲率半径；α，b分别表示椭圆接触区域椭圆的长、短轴，δ表示内、外滚道的法向接触变形，Q表示滚动体所受的法向载荷，E₁，E₂分别表示两个接触椭球体的弹性模量，v₁，v₂分别表示两个接触椭球体的泊松比，E₁＝E₂，v₁＝v₂；根据滚动体和内、外滚道的尺寸参数和上述组合式可以确定A、B的数值；

结合接触区域参数参量α^*，b^*，δ^*与接触椭球体的曲率半径关系设定方程组如下：

上述方程组中，e表示接触区域椭圆的偏心率，即e²＝1-(b/a)²,F(e,π/2)和E(e,π/2)分别表示第一、二类完全椭圆积分：

通过求解上述方程组前两式确定接触区域椭圆的偏心率e；并最终得到α^*，b^*和α，b的取值。

上述方法中，步骤1)中结合滚动体和内外滚道关系确定A>B，根据A/B的不同取值，确定e，α^*，b^*，δ^*的变化趋势。

上述方法中，步骤2)中根据步骤1)确定的内部接触区域参数，由内、外滚道变形与轴承整体位置偏移关系确定轴承滚动体所受的内、外滚道之间的法向载荷、内外滚道的接触角以及轴承整体的偏移。

上述方法中，步骤2)中设定δ_a，δ_r分别表示轴承整体的轴向、径向位置偏移，δ_ij，δ_oj分别表示内、外滚道的接触变形；

内、外滚道中心的轴向距离以及内、外滚道中心的径向距离分别表示为：

A_1j＝BD sin a^o+δ_a

A_2j＝BD cos a^o+δ_rcosψ_j

定义变量X_1j和X_2j如下：

A_1j，A_2j，X_1j，X_2j，δ_ij和δ_oj之间满足以下关系：

(A_1j-X_1j)²+(A_2j-X_2j)²-[(f_i-0.5)D+δ_ij]²＝0 (1)

X_1j ²+X_2j ²-[(f_o-0.5)D+δ_oj]²＝0 (2)

由单个滚动体在水平和垂直方向的受力平衡关系得到：

其中，Q_ij，Q_oj分别表示滚动体所受的内、外滚道之间的法向载荷，M_gj表示陀螺运动力矩，F_cj表示球体由于离心运动所受的惯性离心力；λ_ij＝0,λ_oj＝2；α_ij，α_oj分别表示受载情况下内滚道、外滚道的接触角；

滚动体的法向载荷

惯性离心力F_cj和陀螺运动力矩M_gj分别为：

其中，J表示滚动体的质量惯性矩，d_m＝2r_m,w表示轴的转速，w_jm表示滚动体的公转轨道速度，公转轨道速度根据各个滚动体的内、外滚道的接触角α_ij，α_oj,尺寸参数r和轴的转速w得到，公转轨道速度w_jm和轴的转速w之间的关系为：

其中，惯性离心力F_cj和陀螺运动力矩M_gj都是以内、外滚道的接触角α_ij，α_oj为自变量的函数；考虑到整个轴承的受力平衡情况得到：

其中，F_a表示轴承所受的外部轴向载荷，F_r表示轴承所受的外部径向载荷；结合式(1)—(6)，考虑内、外滚道的接触变形不能为负数，即δ_ij，δ_oj≥0，确定以α_ij，α_oj,δ_a，δ_r，δ_ij和δ_oj为自变量的方程组，运用数值求解方法对式(1)—(6)进行迭代求解最终确定受载情况下内、外滚道的接触角α_ij，α_oj、轴承整体的轴向、径向位置偏移δ_a，δ_r，内、外滚道的接触变形δ_ij，δ_oj。

上述方法中，步骤3)由轴承的外部轴向载荷和径向载荷，结合轴承整体的轴向、径向位置偏移δ_a，δ_r，确定球轴承接触刚度为：

K_{bearing-axial}＝F_a/δ_a

K_{bearing-radial}＝F_r/δ_r

K_{bearing-axial}表示轴承的整体轴向接触刚度、K_{bearing-radial}表示轴承的整体径向接触刚度。

上述方法中，步骤3)进一步分析确定球轴承接触刚度的变化趋势如下：在静态情况下，随着轴向外载增大，每个滚动体所受的法向载荷也随之增大，轴承接触刚度呈现上升趋势；在动态情况下，低载时轴承接触刚度小于静态情况；随着外载增大，轴向接触刚度呈现峰值状态，随着外载继续增大，轴向接触刚度减小，并趋于与轴承在静态下的接触刚度相似。

上述方法中，步骤3)轴承接触刚度的变化趋势还包括：随着转速增大，轴向接触刚度的峰值随转速增大，呈现峰值增大状态的轴向外载也随着增加。

相对于现有技术，本发明的有益效果如下：

本发明在计算模型设计之初就考虑球轴承不同的转速、载荷工作条件的影响，解决了接触区域参数计算、内部载荷分布等难题，精确解析球轴承接触刚度，避免了部分理论模型没有反映出轴承内外圈变形因素的缺陷。

相对于有限元的离线计算，本发明的计算速度快，可以根据轴承尺寸参数和外部载荷实现在线监测。

附图说明

图1为根据本发明方法实施的球轴承接触刚度计算流程。

图2为角接触球轴承结构简图。

图3为滚动体的位置分布图。

图4椭球体接触示意图。

图5为滚动体、内滚道的接触区域三维图。

图6为不同A/B取值下球轴承参数e，α*，b*，δ*的变化曲线图。

图7为外载作用下内外滚道中心的位置偏移原理图。

图8为任一位置滚动体受力简图。

图9为不同转速和轴向载荷下内、外滚道接触角变化图。

图10为不同转速和轴向载荷下的轴承内部载荷分布图。

图11为不同转速和轴向载荷下的轴承整体轴向位置偏移图。

图12为不同转速和轴向载荷下的轴承整体轴向接触刚度图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图1-12及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

本发明计算球轴承接触刚度的方法流程如图1所示。

首先根据载荷、转速、球轴承内部尺寸参数确定接触区域参数，之后在外部载荷作用下确定接触载荷分布，最后确定球轴承接触刚度。

1)首先确定球轴承的典型尺寸参数

在没有外部载荷的情况下，球轴承的结构如图2所示。

图2中，o’、o”分别表示内、外滚道的曲率中心，r_b表示滚动体的半径，r_i，r_o分别表示内、外滚道半径，r_i’，r_o’分别表示内、外滚道的曲率半径，r_m表示轴承的节径，r_m＝(r_i+r_o)/2，Z为滚动体个数。从图2中可知，没有外部载荷的情况下，内、外滚道曲率中心之间的距离如式(1)所示：

BD＝r′_o+r′_i-2r_b＝(f_i+f_o-1)2r_b (1)

式(1)中，f_i＝r_i’/2r_b,f_o＝r_o’/2r_b。

在没有外部载荷的情况下，角接触球轴承的径向间隙为：

P_d＝2r_o-2r_i-4r_b (2)

如图2，轴承的初始接触角α^o、内外滚道半径和曲率半径之间的关系满足：

(r′_i+r′_o)-BDcosa^o＝(r_o-r_i) (3)

(r′_i+r′_o-2r_b)-BD cos a^o＝(r_o-r_i-2r_b) (4)

结合式(1)和(2)，可以得到初始接触角：

对于角接触球轴承，滚动体的位置分布如图3所示。

各滚动体角度位置可表示为：

ψ_j＝2π(j-1)/Z (6)

2)接触区域参数计算

轴承内部滚动体和内、外滚道之间的弹性接触是两个具有不同曲率的椭球体的接触。没有外部载荷的情况下，在经过接触区域的两个主平面内，两个椭球体(滚动体、滚道)单点接触，如图4所示。

图4中，r_I1，r_II1，r_I2和r_II2分别两个椭球体各自的接触曲率半径。根据几何学知识，凸平面的曲率为正，而凹平面的曲率为负。对于轴承的滚动体和内、外滚道表面，如果曲率中心在实体之内则该平面的曲率半径取正值，相反的，如果曲率中心在实体之外则该平面的曲率半径取负值。根据图2和4，对于滚动体和内滚道的接触而言，接触曲率半径，r_I1，r_II1，r_I2和r_II2如下确定：

r_I1＝r_I2＝r_b (7)

r_II2＝-r′_i (9)

对于滚动体和外滚道的接触而言，接触曲率半径，r_I1，r_II1，r_I2和r_II2如下确定：

r_I1＝r_I2＝r_b (10)

r_II2＝-r′_o (12)

在外部载荷的作用下，轴承内部滚动体和内、外滚道之间将形成椭圆接触，如图5所示。其中，椭圆的短轴在滚动体的运动方向。根据赫兹接触和应力应变理论，滚动体与内、外滚道椭圆接触区域的长、短轴和内外滚道接触变形如下确定：

式(13)中，α，b分别表示接触区域椭圆的长、短轴，δ表示内、外滚道的法向接触变形，Q表示滚动体所受的法向载荷，E₁，E₂分别表示两个接触椭球体的弹性模量，υ₁，υ₂分别表示两个接触椭球体的泊松比，对于轴承而言，E₁＝E₂，υ₁＝υ₂。参量α^*，b^*，δ^*与接触椭球体的曲率半径相关，可由以下方程组确定：

式(15)中，e表示接触区域椭圆的偏心率，即e²＝1-(b/a)²,F(e,π/2)和E(e,π/2)分别表示第一、二类完全椭圆积分：

根据滚动体和内、外滚道的尺寸参数以及式(14)，可以确定A、B的数值，运用牛顿下山法等数值算法对方程组(15)中的前两式进行数值求解，可以确定e的取值，最终可以得到α^*，b^*和α，b的取值。对于轴承的滚动体和内、外滚道而言，A>B，在不同的A/B的取值下，e，α^*，b^*，δ^*的变化趋势如图6所示。

3)球轴承内部载荷分布

在外部载荷作用下，轴承将产生整体轴向和径向位置偏移，轴承内、外滚道会产生法向接触变形，从而使滚动体与内、外滚道之间接触角度发生变化，内、外滚道中心之间作用线将发生偏移，导致轴承内部滚动体载荷分布不一致性，以角接触球轴承为例,在外圈固定的情况下，内、外滚道变形与轴承整体位置偏移之间的关系如图7所示。

图7中，δ_a，δ_r分别表示轴承整体的轴向、径向位置偏移，δ_ij，δ_oj分别表示内、外滚道的接触变形，α^o表示初始接触角，α_ij，α_oj分别表示受载情况下内、外滚道的接触角。对于任意位置的滚动体而言，由图7可知，内、外滚道中心的轴、径向距离可分别表示为：

A_1j＝BD sin a^o+δ_a (18)

A_2j＝BD cos a^o+δ_rcosψ_j (19)

结合图7，定义变量X_1j和X_2j如下：

根据勾股定理，A_1j，A_2j，X_1j，X_2j，δ_ij和δ_oj之间满足以下关系：

(A_1j-X_1j)²+(A_2j-X_2j)²-[(f_i-0.5)D+δ_ij]²＝0 (21)

X_1j ²+X_2j ²-[(f_o-0.5)D+δ_oj]²＝0 (22)

对于任一位置(滚动体角度位置Ψ_j)的滚动体，在通过轴承轴心线和球体中心的平面内，单个滚动体的受力图如图8所示。在外圈固定的情况下，滚动体陀螺运动所引起的摩擦力将全部作用在球体与外滚道之间的接触区域，因此在图8中，λ_ij＝0,λ_oj＝2。

图8中，Q_ij，Q_oj分别表示滚动体所受的内、外滚道之间的法向载荷，M_gj表示陀螺运动力矩，F_cj表示球体由于离心运动所受的惯性离心力。考虑单个滚动体在水平和垂直方向的受力平衡，可以得到：

式(23),(24)中，滚动体的法向载荷Q_ij＝K_iδ_ij ^1.5，Q_oj＝K_oδ_oj ^1.5。惯性离心力F_cj和陀螺运动力矩M_gj如下给出：

式(25),(26)中，J表示滚动体的质量惯性矩，d_m＝2r_m,w表示轴的转速，w_jm表示滚动体的公转轨道速度。w_jm和w之间的关系如下：

由上述的关系公式可知，惯性离心力F_cj和陀螺运动力矩M_gj都是以内、外滚道的接触角α_ij，α_oj为自变量的函数。考虑到整个轴承的受力平衡情况，代入分别表示受载情况下内、外滚道的接触角α_ij，α_oj。可以得到:

式(28),(29)中，F_a，F_r分别表示轴承所受的外部轴向、径向载荷，Z表示轴承中滚动体的数量。结合式(21)，(22)，(23)，(24)，(28)和(29)，考虑内、外滚道的接触变形不能为负数，即δ_ij，δ_oj≥0，可以确定以α_ij，α_oj,δ_a，δ_r，δ_ij和δ_oj为自变量的方程组，运用数值求解方法可以对上述六式进行迭代求解。

以角接触球轴承7204AC为例，对转速w＝3000～15000rpm,外部轴向载荷F_a＝0～1000N情况下的轴承内部载荷分布、内外接触角的变化以及轴承整体的轴向偏移进行计算和分析。7204AC轴承的尺寸参数如下：D＝3.25mm,dm＝33.5mm,r_i’＝r_o’＝3.445mm,a^o＝25°，Z＝16。计算结果如图9～11所示。

在只有外部轴向载荷作用的情况下，轴承中各个滚动体的接触角和法向载荷以及滚道接触变形相同。从图9可以看出，由于外部载荷的作用，滚动体的惯性离心力和陀螺运动使轴承内滚道接触角大于初始接触角，而外滚道接触角小于初始接触角，随着转速的增大，这种变化越明显。另外，随着外部轴向载荷的增大，内、外滚道接触角趋于相同，并与轴承在静态下的接触角相似。同样的，在图10，11中，随着外部载荷的增大，轴承内部载荷分布和整体轴向位置偏移也趋于与静态下相同。

4)球轴承接触刚度计算

在不同的外部载荷下，根据式(21)，(22)，(23)，(24)，(28)和(29)确定α_ij，α_oj,δ_a，δ_r，δ_ij和δ_oj，球轴承的整体轴向、径向接触刚度如下确定：

K_{bearing-axial}＝F_a/δ_a (30)

K_{bearing-radial}＝F_r/δ_r (31)

式(30)和(31)中，K_{bearing-axial},K_{bearing-radial}分别表示轴承的整体轴向、径向接触刚度。以角接触球轴承7204AC为例，对转速w＝3000～15000rpm,外部轴向载荷F_a＝0～1000N情况下，轴向接触刚度的变化如图12所示。

如图12所示，在静态情况下，随着轴向外载增大，每个滚动体所受的法向载荷也随之增大，导致椭圆接触区域的扩大，因此轴承接触刚度呈现上升趋势。在动态情况下，由于惯性离心力和陀螺运动效应，导致轴承内部存在初始轴向偏移，低载时轴承接触刚度小于静态情况。随着外载增大，惯性离心力和陀螺运动的作用逐渐减小，轴承内部的整体轴向偏移也随之减小，轴向接触刚度呈现峰值状态。随着外载的继续增大，轴向接触刚度减小，并趋于与轴承在静态下的接触刚度相似。另外，随着转速的增大，轴向接触刚度的峰值随之增大，呈现此状态的轴向外载也随之增加。

需要指出，根据实施的需要，可将本申请中描述的各个步骤/部件拆分为更多步骤/部件，也可将两个或多个步骤/部件或者步骤/部件的部分操作组合成新的步骤/部件，以实现本发明的目的。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种球轴承接触刚度计算方法，其特征在于包括如下步骤：

1)首先根据球轴承的内部尺寸参数和球轴承载荷，解析确定球轴承内部接触区域参数；

2)根据球轴承的内部接触区域参数，求解轴承内部载荷分布，确定内滚道和外滚道的接触角、轴承整体轴向、径向位置偏移、以及内、外滚道的接触变形；

3)根据轴承的外部载荷和轴承整体的轴向、径向位置偏移，最终确定球轴承接触刚度。

2.根据权利要求1所述的球轴承接触刚度计算方法，其特征在于步骤1)中所述球轴承的内部尺寸参数包括：内滚道半径r_i，外滚道半径r_o、内滚道的曲率半径r_i’、外滚道的曲率半径r_o’、内滚道的曲率中心、外滚道的曲率中心、轴承的节径r_m、滚动体的半径r_b；内滚道曲率中心和外滚道曲率中心之间的距离BD＝r′_o+r′_i-2r_b＝(f_i+f_o-1)2r_b、球轴承的径向间隙P_d＝2r_o-2r_i-4r_b、球轴承的初始接触角

和各滚动体角度位置ψ_j＝2π(j-1)/Z；其中，f_i＝r_i’/2r_b,f_o＝r_o’/2r_b，j表示各滚动体的编号，j＝1,2,…,Z，Z表示该轴承的滚动体个数。

3.根据权利要求1所述的球轴承接触刚度计算方法，其特征在于步骤1)中首先建立无外部载荷情况下接触区域参数计算模型，设定滚动体和内、外滚道之间的弹性接触是两个具有不同曲率的椭球体的接触，各椭球体各自经过接触区域的两个主平面各自确定一个点，两个椭球体在所述的点上实现单点接触，也即滚动体和内滚道之间、以及滚动体和外滚道之间均为单点接触；由滚动体和内滚道接触的接触曲率半径关系、滚动体和外滚道接触的接触曲率半径关系联合确定两个椭球体接触时的接触曲率半径。

4.根据权利要求3所述的球轴承接触刚度计算方法，其特征在于步骤1)在无外部载荷情况下确定两个椭球体接触时的接触曲率半径后，建立外部载荷情况下的接触区域参数计算模型：在外部载荷的作用下，滚动体和内、外滚道之间分别形成椭圆接触区域，椭圆的短轴位于滚动体的运动方向；滚动体与内、外滚道椭圆接触区域的长、短轴和内外滚道接触变形的关系如下组合式：

组合式中，r_I1,r_I2表示其中一个椭球体在经过接触区域的两个主平面上的接触曲率半径；r_II1和r_II12表示另一个椭球体在经过接触区域的两个主平面上的接触曲率半径；α，b分别表示椭圆接触区域椭圆的长、短轴，δ表示内、外滚道的法向接触变形，Q表示滚动体所受的法向载荷，E₁，E₂分别表示两个接触椭球体的弹性模量，v₁，v₂分别表示两个接触椭球体的泊松比，E₁＝E₂，v₁＝v₂；根据滚动体和内、外滚道的尺寸参数和上述组合式可以确定A、B的数值；

结合接触区域参数参量α^*，b^*，δ^*与接触椭球体的曲率半径关系设定方程组如下：

上述方程组中，e表示接触区域椭圆的偏心率，即e²＝1-(b/a)²,F(e,π/2)和E(e,π/2)分别表示第一、二类完全椭圆积分：

通过求解上述方程组前两式确定接触区域椭圆的偏心率e；并最终得到α^*，b^*和α，b的取值。

5.根据权利要求4所述的球轴承接触刚度计算方法，其特征在于步骤1)中结合滚动体和内外滚道关系确定A>B，根据A/B的不同取值，确定e，α^*，b^*，δ^*的变化趋势。

6.根据权利要求1所述的球轴承接触刚度计算方法，其特征在于步骤2)中根据步骤1)确定的内部接触区域参数，由内、外滚道变形与轴承整体位置偏移关系确定轴承滚动体所受的内、外滚道之间的法向载荷、内滚道和外滚道的接触角以及轴承整体的偏移。

7.根据权利要求1所述的球轴承接触刚度计算方法，其特征在于步骤2)中设定δ_a，δ_r分别表示轴承整体的轴向、径向位置偏移，δ_ij，δ_oj分别表示内、外滚道的接触变形；

内、外滚道中心的轴向距离以及内、外滚道中心的径向距离分别表示为：

A_1j＝BDsina^o+δ_a

A_2j＝BDcosa^o+δ_r cosψ_j

定义变量X_1j和X_2j如下：

A_1j，A_2j，X_1j，X_2j，δ_ij和δ_oj之间满足以下关系：

(A_1j-X_1j)²+(A_2j-X_2j)²-[(f_i-0.5)D+δ_ij]²＝0 (1)

X_1j ²+X_2j ²-[(f_o-0.5)D+δ_oj]²＝0 (2)

由单个滚动体在水平和垂直方向的受力平衡关系得到：

其中，Q_ij，Q_oj分别表示滚动体所受的内、外滚道之间的法向载荷，M_gj表示陀螺运动力矩，F_cj表示球体由于离心运动所受的惯性离心力；λ_ij＝0,λ_oj＝2；α_ij，α_oj分别表示受载情况下内、外滚道的接触角；

滚动体的法向载荷Q_ij＝K_iδ_ij ^1.5，Q_oj＝K_oδ_oj ^1.5；惯性离心力F_cj和陀螺运动力矩M_gj分别为：

其中，J表示滚动体的质量惯性矩，d_m＝2r_m,w表示轴的转速，w_jm表示滚动体的公转轨道速度，公转轨道速度根据各个滚动体的内、外滚道的接触角α_ij，α_oj,尺寸参数r和轴的转速w得到，公转轨道速度w_jm和轴的转速w之间的关系为：

其中，惯性离心力F_cj和陀螺运动力矩M_gj都是以内、外滚道的接触角α_ij，α_oj为自变量的函数；考虑到整个轴承的受力平衡情况得到：

其中，F_a表示轴承所受的外部轴向载荷，F_r表示轴承所受的外部径向载荷；结合式(1)—(6)，考虑内、外滚道的接触变形不能为负数，即δ_ij，δ_oj≥0，确定以α_ij，α_oj,δ_a，δ_r，δ_ij和δ_oj为自变量的方程组，运用数值求解方法对式(1)—(6)进行迭代求解最终确定受载情况下内、外滚道的接触角α_ij，α_oj、轴承整体的轴向、径向位置偏移δ_a，δ_r，内、外滚道的接触变形δ_ij，δ_oj。

8.根据权利要求1所述的球轴承接触刚度计算方法，其特征在于步骤3)由轴承的外部轴向载荷和径向载荷，结合轴承整体的轴向、径向位置偏移δ_a，δ_r，确定球轴承接触刚度为：

K_{bearing-axial}＝F_a/δ_a

K_{bearing-radial}＝F_r/δ_r

K_{bearing-axial}表示轴承的整体轴向接触刚度、K_{bearing-radial}表示轴承的整体径向接触刚度。

9.根据权利要求1所述的球轴承接触刚度计算方法，其特征在于步骤3)进一步分析确定球轴承接触刚度的变化趋势如下：在静态情况下，随着轴向外载增大，每个滚动体所受的法向载荷也随之增大，轴承接触刚度呈现上升趋势；在动态情况下，低载时轴承接触刚度小于静态情况；随着外载增大，轴向接触刚度呈现峰值状态，随着外载继续增大，轴向接触刚度减小，并趋于与轴承在静态下的接触刚度相似。

10.根据权利要求1所述的球轴承接触刚度计算方法，其特征在于步骤3)轴承接触刚度的变化趋势还包括：随着转速增大，轴向接触刚度的峰值随转速增大，呈现峰值增大状态的轴向外载也随着增加。

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