CN113761676B - 一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于机械设计技术领域，涉及一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法。本发明通过事先给出初始轴向力或倾覆扭矩，根据步长由小到大逐步更新轴向力或倾覆力矩，直到接触椭圆爬越挡边。此时将步长减半并重复该过程，直到步长小于设定的精度值。当接触椭圆刚好不爬越挡边时得到的轴向力或倾覆扭矩即为深沟球轴承的轴向或倾覆极限承载能力，为轴承的后续研究提供技术支持。本发明考虑了球轴承可能存在的复杂载荷工况与转速条件，不仅考虑了轴向极限承载能力，还考虑了倾覆极限承载能力。比未考虑联合载荷作用和有转速条件的传统方法适用性更广，通用性更强。

Description

一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法

技术领域

本发明属于机械设计技术领域，涉及一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法。

背景技术

目前，球轴承已广泛应用于转子系统。然而，由于安装误差、预紧力和非正常载荷条件，球轴承不可避免地承受一定量的径向、轴向载荷和倾覆力矩。当轴向载荷和倾覆力矩较大时，滚珠与内、外滚道的接触椭圆会被滚道挡边截断，并同时产生应力集中现象，加速轴承的破坏。为了尽可能避免上述情况，有必要对球轴承的轴向和倾覆极限承载能力进行分析。

现有的球轴承极限承载能力计算普遍采用传统方法，即为在无转速条件且单一轴向载荷作用下的球轴承极限轴向承载能力计算。实际上，轴承受力较为复杂，不仅仅会受到单一轴向载荷，还可能受到径向和倾覆载荷。并且轴承在工作时主要作为旋转部件，必须要考虑转速的影响。传统方法无法考虑有转速条件和联合载荷的作用，因此提出一种计算联合载荷和任意转速下球轴承轴向和倾覆极限承载能力的方法。

发明内容

本发明通过事先给出初始轴向力或倾覆扭矩，根据步长由小到大逐步更新轴向力或倾覆力矩，直到接触椭圆爬越挡边。此时将步长减半并重复该过程，直到步长小于设定的精度值。当接触椭圆刚好不爬越挡边时得到的轴向力或倾覆扭矩即为深沟球轴承的轴向或倾覆极限承载能力，为轴承的后续研究提供技术支持。

建模首先具有下面设定条件：

⑴假定球轴承是具有几何对称性和材料各向同性的理想轴承；

⑵滚珠在轴承内部等间隔；

⑶忽略保持架、密封圈等零件的影响；

⑷忽略操作温度和润滑的影响；

⑸将轴承部件之间的接触问题考虑为刚体之间的弹性接触。

一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法，步骤如下：

步骤1.建立球轴承的拟静力学模型

步骤1-1，建立滚珠的变形协调方程，通常情况下，轴承的外圈固定在轴承座内，内圈与转轴连接，因此假设外圈固定内圈旋转。由于有保持架的存在，因此假设滚珠均匀分布在轴承内。滚珠的方位角可以表示为：

式中，为在t时刻第j个滚珠的方位角；N_b为轴承滚子个数；ω_c为保持架的角速度，其可以表示为：

式中，ω_i为轴承内圈的角速度；d_b为滚珠直径；d_m为轴承节圆直径，d_m＝0.5(d_i+d_o)，d_i为轴承内圈直径，d_o为轴承外圈直径；α⁰为轴承的初始接触角。

对于球轴承，其初始接触角需要通过详细的轴承几何参数来确定。如图1所示，轴承在初始状态存在径向游隙，当内圈沿轴向移动一段距离0.5S_a之后，滚珠与内、外滚道刚好接触，此时滚珠与滚道之间出现了一个接触角度，这就是初始接触角α0。

图1中，Oi和Oi'分别为内圈移动前后的内滚道曲率中心位置；Ob和Ob'分别为内圈移动前后的滚珠中心位置；由于外圈固定不动，因此外滚道曲率中心位置始终为Oo；ri和ro分别为内、外滚道的曲率半径。

根据图1(c)所示的几何关系，给出初始接触角α⁰的计算方法：

式中，f_i为内滚道曲率系数，f_i＝r_i/d_b；f_o为外滚道曲率系数,f_o＝r_o/d_b；S_r为轴承的径向游隙。

球轴承的轴向游隙S_a可以表示为：

如图2所示，轴承滚珠在承载后会受到内、外圈的挤压并产生变形，变形后滚珠的中心位置由O_b'移至O_b”，内滚道曲率中心位置由O_i'移至O_i”，而外滚道曲率中心位置不变。

变形后内圈滚道曲率中心相对外圈滚道曲率中心的轴向距离A_1j和径向距离A_2j可以分别表示为：

内圈滚道曲率中心在变形前后的轴向位移B_1j和径向位移B_2j可以分别表示为：

式中，δ_x为内圈沿X轴方向的位移；δ_y为内圈沿Y轴方向的位移；δ_z为内圈沿Z轴方向的位移；θ_x为内圈绕X轴方向的角位移；θ_y为内圈绕Y轴方向的角位移；r_pi为轴承中心到内圈滚道曲率中心的径向距离，可以表示为：

r_pi＝0.5d_m+(f_i-0.5)d_b cos a⁰

变形后，滚珠与内滚道的接触角α_ij和滚珠与外滚道的接触角α_oj可以分别表示为：

式中，X_1j为变形后滚珠中心相对外圈滚道曲率中心的轴向距离；X_2j为变形后滚珠中心相对外圈滚道曲率中心的径向距离；δ_ij为滚珠与内圈滚道的接触变形；δ_oj为滚珠与外圈滚道的接触变形。

根据勾股定理，当第j个滚珠处于受挤压状态时，其变形协调方程可以表示为：

但是，如图3所示在某些情况下也会存在一部分滚珠与内滚道脱离接触，并处于被放松状态。

当第j个滚珠处于被放松状态时，其变形协调关系可以表示为：

上述公式亦可作为滚珠状态的判别条件，满足该不等式条件的滚珠即为被放松状态，不满足的即为受挤压状态。

步骤1-2，建立滚珠的力平衡方程，当滚珠与内、外滚道接触时，接触区为椭圆形状，即接触椭圆。对于滚珠与内圈接触，曲率和∑ρ_ij，长半轴方向上的等效半径R_xij，短半轴方向

上的等效半径R_yij，分别表示为：

式中，γ_ij＝d_bcosα_ij/d_m。

对于滚珠与外圈接触，曲率和∑ρ_oj，长半轴方向上的等效半径R_xoj，短半轴方向上的等效半径R_yoj，可以分别表示为：

式中，γ_oj＝d_bcosα_oj/d_m。

接触区域的椭圆偏心率参数κ_ij/oj可以表示为：

式中，下标ij/oj表示第j个滚珠与内滚道接触或者第j个滚珠与外滚道接触的情况。

第一类完全椭圆积分和第二类完全椭圆积分/>可以分别表示为：

两个接触物体的等效弹性模量E_e可以表示为：

式中，E₁与E₂分别表示两种接触材料的弹性模量；ν₁与ν₂分别表示两种接触材料的泊松比。

根据Hertz点接触理论，滚珠与滚道接触区的载荷变形系数K_ij/oj可以表示为：

滚珠与内、外滚道的接触载荷Q_ij/oj可以表示为：

滚珠姿态角β_j可以表示为

式中，为内滚道与外滚道的旋转摩擦力矩之比，可以表示为：

式中，α_ij/oj为接触椭圆的长半轴。

滚珠绕轴承z轴的公转角速度ω_cj表示为：

滚珠绕自身轴的自旋角速度ω_bj可以表示为：

离心力F_cj与陀螺力矩M_gj可以分别表示为：

式中，m_b为滚珠的质量；J_b为滚珠的转动惯量。

受挤压状态下滚珠的力平衡方程可以表示为：

式中，μ_j为第j个滚珠与滚道接触区的平均摩擦系数。

放松状态滚珠的力平衡方程可以表示为：

步骤1-3，建立内圈平衡方程，球轴承内圈的力平衡方程可以表示为：

式中，F_x、F_y和F_z为内圈承受的外力；M_x和M_y为内圈承受的外力矩；r_pj为第j个滚珠与内滚道接触力的力矩，r_pj＝0.5d_m－r_icosα_ij。

步骤1-4，求解球轴承拟静力学模型，球轴承拟静力学模型的求解流程如图5所示。该模型由5N_b+5个方程构成，同时未知量个数亦为5N_b+5个。

考虑到滚珠公转角速度ω_cj、自旋角速度ω_bj、姿态角β_j和载荷变形系数K_ij/oj都是关于滚珠平衡方程组未知量X_1j，X_2j，δ_ij，δ_oj和μ_j的中间变量，在计算滚珠平衡方程的时候如果直接考虑这几个中间变量的话，滚珠平衡方程组的非线性会增强，计算效率会降低。因此考虑根据初始条件首先给出这几个中间变量的初始估计值，降低滚珠平衡方程的非线性。再根据每一次迭代计算出的未知量来更新这几个中间变量的值，并重复该过程，直到满足误差条件，此时滚珠达到平衡状态。然后再将计算得到的滚珠平衡方程组的未知量带入到内圈平衡方程进行求解，最终滚子和内圈共同达到平衡状态。

在求解滚珠与内圈平衡方程组时采用了牛顿迭代法，并且在程序调试过程中发现牛顿迭代法的初值依赖性、收敛性和计算效率均与雅可比矩阵的计算精度有较大关系。因此建议在计算滚珠与内圈平衡方程组的雅可比矩阵时，尽量用直接推导得到的雅可比矩阵解析表达式。

步骤2.计算球轴承极限承载能力

步骤2-1，计算接触椭圆截断率，如图6所示，考虑到轴承滚道挡边的影响，当滚珠与滚道的接触椭圆部分爬越到挡边之外的时候，接触椭圆被截断。

接触椭圆长半轴对应的角度为：

式中：下标i/o表示内滚道或者外滚道；a_ij/oj为接触椭圆的长半轴，其可以表示为：

滚道挡边夹角φ_i/o为：

式中：h_i/o为滚道挡边的高度。

椭圆截断率为：

关于接触椭圆是否爬越滚道挡边，可以通过接触椭圆截断率/>进行判断。当/>的值小于或等于0时，接触椭圆未爬越滚道挡边；当/>的值大于0时，接触椭圆爬越了滚道挡边。

步骤2-2，极限承载力的计算过程中，在讨论的参数范围内，接触应力不超过规定的值。球轴承的极限承载能力计算过程如图7所示。

为了获得特定工况下球轴承的轴向或倾覆极限承载能力，应事先给出初始轴向力F_z或倾覆扭矩M_x/y。其次，根据步长ΔF_z或ΔM_x/y由小到大逐步更新轴向力或倾覆力矩，直到接触椭圆爬越挡边。此时将步长减半并重复该过程，直到步长小于设定的精度值ε_ΔF或ε_ΔM。最后，当接触椭圆刚好不爬越挡边时得到的轴向力或倾覆扭矩即为球轴承的轴向或倾覆极限承载能力。

本发明的有益效果：

本发明建立了球轴承在联合载荷作用下的拟静力学模型，给出了求解过程中方程非线性减小的方法。在此基础上提出了一种计算径向力作用下球轴承的轴向极限承载能力和倾覆极限承载能力。在接触椭圆未爬越滚道挡边的前提下，可得到多因素影响下球轴承的轴向极限承载能力和倾覆极限承载能力，而不仅仅是单向力的影响，为轴承的后续研究提供了技术支持。本发明考虑了球轴承可能存在的复杂载荷工况与转速条件，不仅考虑了轴向极限承载能力，还考虑了倾覆极限承载能力。比未考虑联合载荷作用和有转速条件的传统方法适用性更广，通用性更强。

附图说明

图1球轴承初始接触角示意图(a)初始状态(b)初始接触状态(c)局部放大状态。

图2受挤压状态滚珠的变形协调关系(a)受挤压状态示意图(b)变形协调关系。

图3被放松状态滚珠的变形协调关系(a)被放松状态示意图(b)变形协调关系。

图4滚珠的受力分析(a)受挤压状态(b)被放松状态。

图5球轴承的拟静力学模型求解流程。

图6球轴承滚珠接触椭圆爬越挡边示意图。

图7球轴承的承载能力分析流程。

图8所提方法与传统方法的对比。

图9径向力对(a)轴向承载能力和(b)倾覆承载能力的影响。

具体实施方式

以下结合附图，详细介绍本发明的技术方案。

1.为了获得深沟球轴承在特定工况下的轴向或倾覆极限承载能力，应提前给出初始轴向力F_z或倾覆力矩M_x/y。

2.根据具体的步长ΔF_z或ΔM_x/y，轴向力或倾覆力矩由小到大逐渐更新，直至滚珠超过滚道挡边。

3.将步长ΔF_z或ΔM_x/y减半，重复该过程，直到步长小于精度值ε_ΔF或ε_ΔM。

4.当滚珠刚好不超过滚道挡边时，计算得到的轴向力或倾覆力矩就是球轴承的轴向或倾覆极限承载能力。

以SKF6011深沟球轴承为研究对象，表1给出了该型轴承详细的几何与材料参数。

表1 SKF6011深沟球轴承的几何与材料参数

传统方法认为滚道曲率半径与滚珠半径相等，然而改进的传统方法认为两者是不相等的。当游隙S_r在0-30μm范围内，转速n＝0时，上述两种传统方法与所提方法计算得到的轴向极限承载能力对比如图8所示。可以看出传统方法的结果相对偏低，所提方法相对传统方法的误差大约为5.8％，因此认为传统方法所提的滚道曲率半径与滚珠半径相等的假设存在一定的局限性。然而，所提方法与改进的传统方法的结果基本一致，在一定程度上验证了所提方法的有效性。

当转速n＝5000rpm时，球轴承在不同径向力F_x作用下的承载能力如图9所示。从图中可以看出：随着径向力的增加，球轴承的轴向承载能力F_z和倾覆承载能力M_y逐渐减小，并呈现出先快后慢的趋势；另一倾覆方向的承载能力M_x基本保持不变，这说明F_x对M_x基本无影响，即F_x与M_x之间基本不存在耦合关系。因此，径向力与径向游隙均对极限承载能力有削弱作用，为了提高轴承的极限承载能力，可以通过预紧减小径向游隙。

Claims (8)

1.一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1.建立深沟球轴承的拟静力学模型

步骤1-1，设轴承的外圈固定在轴承座内，内圈与转轴连接，外圈固定内圈旋转；设滚珠均匀分布在轴承内；建立承载区与非承载区滚珠的几何变形协调方程；

步骤1-2，考虑滚珠与滚道的时变接触角α_ij/oj计算接触载荷-变形系数K_ij/oj，滚珠绕自身轴线的角速度ω_bj，公转角速度ω_cj和姿态角β_j；进而计算得到离心力F_cj与陀螺力矩M_gj；根据滚珠的受力关系，建立承载区与非承载区滚珠的力平衡方程；

步骤1-3，根据内圈的受力关系，建立内圈平衡方程；

步骤1-4，求解深沟球轴承拟静力学模型，该模型由5N_b+5个方程构成，同时未知量个数亦为5N_b+5个，N_b为滚珠个数；根据初始条件首先给出这几个中间变量的初始估计值，降低滚珠平衡方程的非线性；再根据每一次迭代计算出的未知量来更新这几个中间变量的值，并重复该过程，直到满足误差条件，此时滚珠达到平衡状态；然后再将计算得到的滚珠平衡方程组的未知量带入到内圈平衡方程进行求解，最终滚子和内圈共同达到平衡状态；

步骤2.计算深沟球轴承极限承载能力

步骤2-1，为了获得深沟球轴承在特定工况下的轴向或倾覆极限承载能力，应提前给出初始轴向力F_z或倾覆力矩M_x/y；

步骤2-2，根据具体的步长ΔF_z或ΔM_x/y，轴向力或倾覆力矩由小到大逐渐更新；

步骤2-3，考虑到轴承滚道挡边的影响，计算接滚珠与滚道之间的触椭圆截断率；

步骤2-4，当接触椭圆爬越滚道挡边时，将步长ΔF_z或ΔM_x/y减半，重复该过程，直到步长小于精度值ε_ΔF或ε_ΔM；

步骤2-5，当滚珠刚好不超过滚道挡边时，计算得到的轴向力或倾覆力矩就是球轴承的轴向或倾覆极限承载能力。

2.如权利要求1所述的一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法，其特征在于，所述的步骤1-2中，考虑了陀螺力矩引起的摩擦系数，建立了陀螺力矩方向的力矩平衡方程，滚珠与内外圈之间的摩擦力与陀螺力矩平衡。

3.如权利要求1所述的一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法，其特征在于，所述的步骤1-4中，在求解滚珠与内圈平衡方程组时采用了牛顿迭代法，并且在程序调试过程中发现牛顿迭代法的初值依赖性、收敛性和计算效率均与雅可比矩阵的计算精度有关系；因此在计算滚珠与内圈平衡方程组的雅可比矩阵时，用直接推导得到的雅可比矩阵解析表达式。

4.如权利要求1所述的一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法，其特征在于，所述的步骤2-4和步骤2-5中，接触椭圆是否爬越滚道挡边通过接触椭圆截断率进行判断；当/>的值小于或等于0时，接触椭圆未爬越滚道挡边；当/>的值大于0时，接触椭圆爬越了滚道挡边。

5.如权利要求1或4所述的一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法，其特征在于，极限承载力的计算过程中，在涉及的参数范围内，接触应力不应超过规定的值。

6.如权利要求1或2所述的一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法，其特征在于，所述的步骤1-2中，滚珠与滚道的时变接触角α_ij/oj是关于滚珠平衡方程组未知量X_1j，X_2j，δ_ij，δ_oj和μ_j的中间变量。

7.如权利要求1或4所述的一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法，其特征在于，所述的步骤1-4中，接触载荷-变形系数K_ij/oj，滚珠绕自身轴线的角速度ω_bj，公转角速度ω_cj和姿态角β_j是关于滚珠与滚道的时变接触角α_ij/oj的中间变量。

8.如权利要求1或3所述的一种联合载荷作用下的球轴承极限承载能力计算方法，其特征在于，所述的步骤1-4中，根据被放松状态的滚珠的变形协调关系进行判断滚珠是否位于承载区。