CN111144038A

CN111144038A - 通过拓扑优化来设计机械零件

Info

Publication number: CN111144038A
Application number: CN201911074411.4A
Authority: CN
Inventors: M-P·H·施密特; A·奥图萨尔戴尔卡斯莱略; C·B·W·彼泽森
Original assignee: Dassault Systemes SE
Current assignee: Dassault Systemes SE
Priority date: 2018-11-04
Filing date: 2019-11-04
Publication date: 2020-05-12
Also published as: US11669660B2; JP2020071887A; EP3647973A1; JP7402013B2; US20200143009A1

Abstract

本发明尤其涉及一种用于设计建模对象的计算机实现的方法。该方法包括提供有限元网格，与该有限元网格相关联的数据以及一个或多个局部定量约束的非均匀分布。与有限元网格关联的数据包括力、边界条件、参数和全局定量约束。该方法还包括基于有限元网格、与有限元网格相关联的数据以及非均匀分布来执行拓扑优化。该方法通过拓扑优化改进了表示机械零件的建模对象的设计。

Description

通过拓扑优化来设计机械零件

技术领域

本发明涉及计算机程序和系统领域，更具体地，涉及用于设计表示机械零件的建模对象的方法、系统和程序。

背景技术

市场上提供了许多用于对象的设计、工程和制造的系统和程序。CAD是计算机辅助设计的缩写，例如，它涉及用于设计对象的软件解决方案。CAE是计算机辅助工程的缩写，例如，它涉及用于模拟未来产品物理行为的软件解决方案。CAM是计算机辅助制造的缩写，例如，它涉及用于定义制造过程和操作的软件解决方案。在这种计算机辅助设计系统中，图形用户界面在技术效率方面起着重要作用。这些技术可以嵌入产品生命周期管理(PLM)系统中。PLM指的是业务策略，可帮助企业在扩展企业的整个概念中共享产品数据、应用通用过程以及利用企业知识来开发从概念到使用寿命结束的产品。达索系统(商标为CATIA、ENOVIA和DELMIA)提供的PLM解决方案提供了工程中心(用于组织产品工程知识)，制造中心(用于管理制造工程知识)以及企业中心(用于使企业能够将工程和制造中心集成和连接)。该系统共同提供了开放的对象模型，该对象模型将产品、过程、资源链接在一起，以实现基于知识的动态产品创建和决策支持，从而推动优化的产品定义、制造准备、生产和服务。

其中一些系统提供采用拓扑优化的功能。拓扑优化是一种计算机实现的技术，其将产品设计和物理仿真的领域联系起来。它被用于设计建模对象，该建模对象表示用材料形成、在使用中承受载荷并具有一个或多个约束边界的机械零件。该技术着重于基于修改通常通过有限元分析(FEA)模拟的物理特性和行为来自动生成优化的生成设计。更具体地，拓扑优化通过提供有限元网格(FEM)来工作，例如通过离散化小元素中的设计空间以及与网格相关联的数据。然后，该技术通过关于给定的目标函数(例如，与设计的刚度有关)和一组约束(例如，与允许材料的总量有关)迭代地找到最有效的元素来在给定的离散空间中找到材料的最佳分布和布局。

在这种情况下，需要一种改进的解决方案，用于设计建模对象，该建模对象表示用材料形成的、使用中承受载荷并具有一个或多个约束边界的机械零件。

发明内容

因此，提供了一种用于设计建模对象的计算机实现的方法。所述建模对象表示机械零件。所述机械零件用材料形成。所述机械零件在使用中承受载荷，并且所述机械零件具有一个或多个约束边界。所述方法包括提供有限元网格、与所述有限元网格相关联的数据以及一个或多个局部定量约束的非均匀分布。与所述有限元网格关联的数据包括力、边界条件、参数和全局量约束。所述力表示所述载荷的部分。所述边界条件表示所述一个或多个约束边界的至少部分。所述参数与所述材料有关。所述全局定量约束相对于所述有限元网格中的所述材料的全局定量。所述非均匀分布的每个局部定量约束相对于所述有限元网格的相应局部区域中的所述材料的相应局部定量。所述方法还包括基于所述有限元网格、与所述有限元网格相关联的数据以及所述非均匀分布来执行拓扑优化。

所述方法形成一种用于设计建模对象的改进的解决方案，所述建模对象表示用材料形成的、使用中承受载荷并具有一个或多个约束边界的机械零件。值得注意的是，基于所述有限元网格和与所述有限元网格相关联的数据，所述方法执行拓扑优化，从而以有效的方式实现了从机械角度出发给定相对于全局材料定量的约束而优化的设计。特别地，所述方法产生针对所述机械零件在使用中承受的以及由与所述网格相关联的数据中包括的力表示的载荷的部分的优化结果。另外，所述方法提供了将一个或多个局部材料定量约束整合到所述拓扑优化中，从而允许在关于这种局部约束的每个局部区域中对局部材料定量及其机械效果进行控制。此外，由于所述一个或多个局部量约束的分布是非均匀的，所以所述方法允许所述机械作用的按位置差异(differentiation)。因此，所述一个或多个局部材料定量约束提供了一种手段来补偿以下事实：与所述网格相关联的数据中包含的力不能也不表示所述机械零件在使用中所承受的所有载荷。特别地，考虑到将应用于机械零件但不会直接集成为拓扑优化问题公式中的力的未来的实际载荷，所述方法可以提高机械鲁棒性。

所述方法可以包括以下一项或多项：

每个局部定量约束表示针对所述相应局部定量的相应上限；

所述网格具有元素集合，每个元素具有在所述拓扑优化的迭代期间变化的材料的相应相对密度，所述非均匀分布包括多个局部定量约束，每个局部定量约束在相应的元素上，每个相应局部定量约束的相应局部区域是相应元素的相应邻域，每个相应邻域的相应局部定量是相应邻域中的所述材料的相应平均值；

所述方法包括将所述多个局部体积约束聚集为单个聚合约束；

所述聚合约束表示所述相应平均值与所述相应上限之间的差的定义在元素的集合上的极值的常数边界；

所述极值是最大值，并且所述聚合约束以可微函数逼近所述最大值，并且执行所述拓扑优化包括执行基于梯度的优化；

所述可微函数是P范数；

所述基于梯度的优化是一种移动渐近线的方法；

所述方法包括，在执行所述拓扑优化之前：基于所述有限元网格和与所述有限元网格相关联的数据执行另一种拓扑优化，并且基于所述另一种拓扑优化的结果确定非均匀分布；

所述另一种拓扑优化的结果包括密度场、应变场、应力场和/或压缩场，并且确定所述非均匀分布包括基于所述密度场、所述应变场、所述应力场和/或所述压缩场自动确定一个或多个局部定量约束，和/或显示显示所述密度场、所述应变场、所述应力场和/或所述压缩场的图形表示，并经由用户交互确定一个或多个局部定量约束；和/或

所述机械零件是增材制造零件，所述零件具有一个或多个功能性外部区域和一个或多个内部区域和/或车辆零件。

还提供了可通过所述方法设计或获得的建模对象。由于一个或多个局部定量约束的非均匀分布，每个局部定量约束在所述有限元网格的相应局部区域中的相对于所述材料的相应局部定量，因此所述建模对象呈现出多孔、蜂窝(alveolar)、和/或复杂结构的非均匀分布/布局，例如呈现出具有变化的材料/空隙比的有机外观。

还提供了一种计算机程序，包括用于执行所述方法的指令。

还提供了一种计算机可读存储介质，其上记录了建模对象和/或计算机程序。

还提供了一种系统，包括耦合到存储器的处理器和图形用户界面，所述存储器在其上记录了建模对象和/或计算机程序。

附图说明

现在将通过非限制性示例并参考附图来描述本发明的实施例，其中：

图1示出了系统的示例；以及

图2-图20示出了该方法。

具体实施方式

该方法是计算机实现的。这意味着该方法的步骤(或基本上所有步骤)由至少一台计算机或任何类似系统执行。因此，该方法的步骤可以由计算机执行，可能是全自动执行，或者是半自动执行。在示例中，可以通过用户计算机交互来执行该方法的至少一些步骤的触发。所需的用户-计算机交互级别可能取决于预见的自动级别，并与实现用户意愿的需求保持平衡。在示例中，该级别可以是用户定义的和/或预定义的。

方法的计算机实现的典型示例是使用适用于此目的的系统来执行该方法。该系统可以包括耦合到存储器的处理器和图形用户界面(GUI)，该存储器上记录有计算机程序，该计算机程序包括用于执行该方法的指令。存储器还可以存储数据库。存储器是适合于这种存储的任何硬件，可能包括几个物理上不同的部分(例如，用于程序的部分，以及可能用于数据库的部分)。

该方法通常操纵建模对象。建模对象是由存储在例如数据库中的数据定义的任何对象。通过扩展，表达“建模对象”表示数据本身。根据系统的类型，可以通过不同种类的数据来定义建模对象。该系统确实可以是CAD系统、CAE系统、CAM系统、PDM系统和/或PLM系统的任何组合。在那些不同的系统中，建模对象由相对应的数据定义。因此，可以提到CAD对象、PLM对象、PDM对象、CAE对象、CAM对象、CAD数据、PLM数据、PDM数据、CAM数据、CAE数据。但是，这些系统并不是彼此排斥的，因为可以通过与这些系统的任何组合相对应的数据来定义建模对象。从下面提供的这种系统的定义将显而易见的是，系统因此可以很好地是CAD和PLM系统。

通过CAD系统，另外意味着至少适于基于建模对象的图形表示来设计建模对象的任何系统，诸如CATIA。在这种情况下，定义建模对象的数据包括允许表示建模对象的数据。CAD系统可以例如使用边或线(在某些情况下具有面或表面)来提供CAD建模对象的表示。线、边或表面可以以各种方式表示，例如非均匀有理B样条曲线(NURBS)。具体而言，CAD文件包含可以从中生成几何图形从而可以生成表示的规范。建模对象的规范可以存储在单个CAD文件中，也可以存储在多个CAD文件中。表示CAD系统中建模对象的文件的典型大小在每零件1MB的范围内。建模对象通常可以是数千个零件的组件。

在CAD的上下文中，建模对象通常可以是3D建模对象，其例如表示产品，诸如零件或零件组件、或者可能是产品组件。通过“3D建模对象”，它是指通过允许其3D表示的数据建模的任何对象。3D表示允许从各个角度查看零件。例如，当3D建模对象被3D表示时，可以处理3D建模对象并围绕其任何轴或围绕显示该表示的屏幕中的任何轴来旋转它们。特别是，这不包括未3D建模的2D图标。3D表示的显示有助于设计(即，提高设计人员统计完成任务的速度)。由于产品的设计是制造过程的一部分，因此可以加快工业制造过程。

3D建模对象可以表示在完成其虚拟设计后，使用例如CAD软件解决方案或CAD系统(诸如(例如，机械)零件或零件的组件(或等效地是零件的组件，因为从方法的角度来看，零件的组件可以看作是零件本身，或者该方法可以独立地应用于组件的每个零件)，或更通用而言，任何刚体组件(例如，移动机制)。CAD软件解决方案允许在各种以及无限的工业领域中设计产品，所述工业领域包括：航空航天、建筑、构造、消费品、高科技设备、工业装备、运输、船舶和/或海上油气生产或运输。因此，通过该方法设计的3D建模对象可以表示工业产品，该工业产品可以是任何机械零件，诸如陆地车辆(包括例如汽车和轻型卡车装备、赛车、摩托车、卡车和电机装备、卡车和公共汽车、火车)的一部分、空中飞行器(包括例如机身装备、航空航天装备、推进装备、国防产品、航空装备、太空装备)的一部分、海军车辆(包括例如海军装备、商业船舶、海上装备、游艇和作业船、船舶装备)的一部分、通用机械零件(包括例如工业制造机械、重型移动机械或装备、安装的装备、工业装备产品、金属制品、轮胎制造产品)、机电或电子零件(包括例如消费类电子产品、安全和/或控制和/或仪表产品、计算和通信装备、半导体、医疗设备和装备)、消费品(包括例如家具、家庭和花园产品、休闲用品、时尚产品、硬商品零售商的产品、软商品零售商的产品)、包装(包括例如食品和饮料和烟草、美容和个人护理、家用产品包装)。

图1示出了该系统的示例，其中该系统是客户端计算机系统，例如用户的工作站。

该示例的客户端计算机包括连接至内部通信总线1000的中央处理单元(CPU)1010，也连接至总线的随机存取存储器(RAM)1070。客户端计算机还被提供有图形处理单元(GPU)1110，其与连接到总线的视频随机存取存储器1100相关联。视频RAM 1100在本领域中也称为帧缓冲器。大容量存储设备控制器1020管理对大容量存储器设备(诸如硬盘驱动器1030)的访问。适合于有形地体现计算机程序指令和数据的大容量存储器设备包括所有形式的非易失性存储器，其包括例如半导体存储器设备，诸如EPROM、EEPROM和闪存设备；磁盘，诸如内部硬盘和可移动磁盘；磁光盘；以及CD-ROM盘1040。上述任何内容可以通过专门设计的ASIC(专用集成电路)进行补充或并入其中。网络适配器1050管理对网络1060的访问。客户端计算机还可以包括触觉设备1090，诸如光标控制设备、键盘等。在客户端计算机中使用光标控制设备以允许用户将光标选择性地定位在显示器1080上的任何期望位置。此外，光标控制设备允许用户选择各种命令并输入控制信号。光标控制设备包括多个信号生成设备，用于将控制信号输入到系统。通常，光标控制设备可以是鼠标，该鼠标的按钮用于生成信号。替代地或附加地，客户端计算机系统可以包括敏感垫和/或敏感屏幕。

该计算机程序可以包括可由计算机执行的指令，该指令包括用于使上述系统执行该方法的单元。该程序可以记录在任何数据存储介质上，包括系统的存储器。该程序可以例如以数字电子电路或计算机硬件、固件、软件或它们的组合来实现。该程序可以被实现为装置，例如有形地体现在机器可读存储设备中以由可编程处理器执行的产品。方法步骤可以通过执行指令程序的可编程处理器来执行，以通过对输入数据进行操作并生成输出来执行该方法的功能。因此，处理器可以是可编程的并且被耦合以从数据存储系统、至少一个输入设备和至少一个输出设备接收数据和指令，以及向数据存储系统、至少一个输入设备和至少一个输出设备传输数据和指令。如果需要，可以以高级过程或面向对象的编程语言或汇编或机器语言来实现应用程序。在任何情况下，该语言都可以是编译语言或解释语言。该程序可以是完整的安装程序或更新程序。在任何情况下，程序在系统结果上的应用都会导致执行该方法的指令。

“设计3D建模对象”指定任何动作或一系列动作，该动作或一系列动作是阐释3D建模对象的过程的至少一部分。因此，该方法可以包括从头开始创建3D建模对象。替代地，该方法可以包括提供先前创建的3D建模对象，并且然后修改3D建模对象。

该方法可以被包括在制造过程中，该制造过程可以包括在执行该方法之后，产生与建模对象相对应的物理产品。在任何情况下，通过该方法设计的建模对象都可以表示制造对象。因此，建模对象可以是建模固体(即表示固体的建模对象)。制造对象可以是产品，诸如零件或零件的组件。因为该方法改善了建模对象的设计，所以该方法还改善了产品的制造，从而提高了制造过程的生产率。

该方法用于经由拓扑优化设计表示机械零件的建模对象，例如2D建模对象或3D建模对象。因此，该方法包括例如经由用户交互来提供拓扑优化的输入。

拓扑优化的输入包括FEM。FEM表示包含要设计的建模对象的空间。取决于要设计2D建模对象还是3D建模对象，FEM可以是2D或3D。FEM可以是规则的或者不规则的。常规FEM可以允许在拓扑优化期间简化计算。FEM可以是任何类型，例如，每个有限元是四面体或六面体。提供FEM可以包括定义设计空间和设计空间的网格划分。该方法可以包括向用户显示FEM，并且由用户定义拓扑优化的其他输入，例如，包括通过显示的FEM上的图形用户交互。

关于定义元素的“图形用户交互”在此是指设计者采用触觉系统(例如，鼠标或诸如敏感/触摸屏或敏感/触摸板之类的触摸设备)来激活显示单元的一个或多个位置以及其中元素将被定位的任何用户交互。激活场景的位置可以包括在其上定位鼠标的光标或在其上执行触摸。在激活之后基本实时，可以显示所定义的元素的表示。

拓扑优化的输入还包括与FEM关联的数据，并且该数据取决于用户要设计的机械零件。

这些相关联的数据包括与材料有关的参数，换而言之，表示用其来形成机械零件的材料的数据。这些材料参数可以特别地表示材料的机械特性。材料参数可以例如包括材料的杨氏模量和/或材料的泊松比。在示例中，用户可以例如通过从列表中选择来指定材料，和/或系统可以例如基于一个或多个公式和/或基于数据库自动地确定材料参数和/或向用户建议其选择。该材料可以是任何材料，例如固体和/或各向同性的材料，诸如金属(例如钢、银、金、钛)、塑料(例如尼龙、ABS、聚碳酸酯、树脂)、陶瓷或复合材料。

相关联的数据还包括全局定量约束。全局定量约束相对于FEM中物料的全局定量。换而言之，全局定量约束限制整个FEM中物料总量的值。全局定量约束例如可以被提供为可以被材料填充的(整个)FEM的分数(fraction)的边界，例如所述分数的上限。替代地，全局定量约束可以提供必须达到的值而不是边界值。然而，拓扑优化可以优化目标函数，该目标函数倾向于使用与最佳结果中可用的材料一样多的材料，从而使等式约束等效于上限约束。在所有情况下，分数可以是体积分数(在这种情况下也称为GVC，如“全局体积约束”中所述)。在其他示例中，全局定量约束可能涉及表示物料重量的值。

如从拓扑优化领域本身已知的，相关联的数据还包括表示机械零件使用条件的数据，并且拓扑优化能够基于这些数据考虑到这种可预见的使用来优化机械零件模型。

相关联的数据特别包括力。换而言之，相关联的数据包括向量(例如，其大小以牛顿或其倍数为单位)，每个向量均适用并链接到FEM的一个或多个有限元。这些力部分地表示机械零件在使用时将承受的载荷。换而言之，对于在数据中存在相应力的FEM的一个或多个有限元中的每一个，该数据表示以下事实：机械零件的材料在与所述一个或多个有限元相对应的位置处将承受相对应的载荷。但是，由于机械零件理论上可能会承受无限数量的载荷，因此并非所有载荷都由数据中存在的力表示。力仅表示整个载荷集合的限制，例如最重要的载荷和/或最具表示性的载荷。可以针对每个建模问题确定力，并且可以将其选择为对象在其寿命期间可以承受的最大(即最大量值)力，因为这些力倾向于引起最大的变形和机械应力。这些力可以分组在集合中称为载荷工况。在示例中，工业问题可能具有1到12个之间的载荷工况。在示例中，用户可以经由图形用户交互来选择FEM的有限元，并且然后指定对其施加的力。

相关联的数据还包括边界条件。每种边界条件都适用并链接到网格的一个或多个有限元，并且表示对使用机械零件所受的在边界上的相应约束。换而言之，每个边界条件表示以下事实：机械零件的材料在对应于所述一个或多个有限元的位置处受到对其位移的约束，例如使用狄利克雷(Dirichlet)边界条件。元素的位移可能(尤其)沿着平面、沿着曲线、沿着轴/围绕轴或到点/围绕点，和/或其位移只能在平移、旋转或平移和旋转中受到限制。如果位移限制在平移和旋转点上，则该元素固定在3D空间中并被称为“夹紧”。但是，元素的位移可能会沿平面但在所述平面(例如，如果它属于安装在轴承上的对象)上更自由平移，沿着轴但在所述轴上(例如，在活塞中)更自由平移，或绕轴旋转(例如，机械手的关节)。

在示例中，边界条件表示所有约束边界。换而言之，对于旨在最终包含受约束(例如保持固定)的材料的FEM的每个有限元，可以关联边界(例如夹紧)条件以将该事实整合到拓扑优化中。在示例中，用户可以经由图形用户交互来选择FEM的有限元，并且然后指定对其适用的边界条件。

在示例中，机械零件的一个或多个约束边界包括一个或多个固定边界或由一个或多个固定边界组成(即，在所述一个或多个边界处的材料不能移动)，并且相对应的一个或多个边界条件是夹紧条件。

众所周知，拓扑优化包括基于输入自动优化目标函数。目标函数可以表示要优化的任何机械特性。拓扑优化尤其可以使刚度最大化。为此，目标函数可以是柔度(compliance)函数。柔度对于结构而言是结构刚度的倒数。因此，柔度考虑了指定的载荷情况和固定的边界条件，从而封装了结构的变形量。因此，当优化过程使柔度最小时，这对应于给定质量的设计刚度最大化。目标函数的自由变量可以是FEM上材料的定量(例如体积分数)的分布(即布局)。因此，拓扑优化可以改变网格的每个有限元中的材料数量(例如，体积分数)以优化目标函数。目标函数可以取决于材料参数(即，目标函数的固定变量可以涉及材料参数)，并且可以在包括全局定量约束的约束下执行优化。可以根据任何算法(例如迭代算法)来执行优化。在材料定量是材料的体积分数的情况下，优化过程将产生按有限元的材料体积分数的分布。在这种情况下，拓扑优化或方法可包括进一步的过滤步骤(例如，自动地)，即，基于这样的体积分数分布，确定每个有限元是否(完全)填充有材料。例如，这可以基于与(例如预定的)阈值(例如，高于0.1或0.2和/或低于0.9或0.8，例如0.5量级)的比较，如果优化产生的体积分数高于(低于)阈值，则有限元被视为完全填充有材料(等于完全空)。在示例中，该方法可以进一步包括基于结果来计算(例如自动)3D建模对象，诸如边界表示(B-Rep)模型。例如，该方法可以基于并沿着由优化和/或过滤产生的一系列有限元来计算扫掠体积。

众所周知，基于FEM、力、边界条件、材料参数和全局定量约束，可能已经执行了拓扑优化以确定FEM中材料的分布。通过将一个或多个局部定量约束的非均匀分布添加到优化问题中，该方法超越了这种通用的拓扑优化。因此，该方法可以根本不执行通用的拓扑优化，而仅执行具有非均匀分布的拓扑优化，或者如稍后将讨论的那样，首先执行通用的拓扑优化，然后执行具有非均匀分布的拓扑优化。在这两种情况下，该方法都集成了通用的拓扑优化工作流的步骤，现在将通过通用的拓扑优化工作流的示例讨论这些步骤。

如例示了拓扑优化方案的规范的图2所示，通用的拓扑优化工作流需要设计空间22(此处细分为小正方形元素)、一组载荷工况24(将施加在设计上的力)和边界条件26(设计受变形约束的位置，例如“被夹紧”的位置，此处位于设计空间22的整个左侧)作为输入。可以定义其他参数，例如必须保留的外壳、所选材料的机械构成特性、目标质量、最大允许变形或任何其他约束。由于拓扑优化的目标是从空白画布(即设计空间)生成优化的设计，因此设计工作流可以从设计空间定义中排除提供初始几何图形的可能性。

通用的拓扑优化工作流的输出是优化设计的几何形状，该几何形状尽可能地符合输入规范。图3示出了一种被优化的设计，其示出了在优化过程期间发展的设计。在此示例中，全局体积分数设置为30％。图3示出了初始设计32，五次优化迭代之后的设计34、十次优化迭代之后的设计36、以及二十五次优化迭代之后的最终收敛设计38。

如图4所示，通用的拓扑优化工作流在示例中可以遵循以下描述的八个步骤：

1、设计空间的网格化

如图2所示，将创建设计空间的离散化。这意味着将空间细分为小的简单连接元素，例如，四面体、六面体。这些小元素以后可以既用作仿真的FEM，又用作优化的设计变量。

2、应用载荷工况和边界条件

在这里，通用的拓扑优化工作流可以采用给定输入规范的力和边界条件，并将其应用于FEM的节点。图2示出了将设计空间细分为规则正方形元素的网格。左侧的节点被夹紧(固定在2D空间中)，并且在设计空间的右手侧中间施加了向下的力。

3、初始化设计变量

每个元素都有给定的相对密度值，其定义是空还是充满材料，分别由值“0”和“1”定义。另外，为了使优化问题连续，通用的拓扑优化工作流可以允许元素采用0到1之间的任何值。这可以称为“松弛”。由于对具有中间密度的元素的解释可能是模棱两可的，因此通用的拓扑优化工作流可能会引入惩罚方法，该惩罚方法强制使中间元素密度对于结构行为的整体效率低于下界和上限分别为0或1的元素。这具有驱动优化器产生具有很少中间密度的最终设计的效果，同时仍保持如图3所示的连续配制(formulation)。

4、解决平衡

在这一点上，通用的拓扑优化工作流可能具有完整的定义的有限元模型，该有限元模型与力和边界条件网格化并附加在一起，并且每个元素都具有相对密度值。从而，通用的拓扑优化工作流可以组装全局刚度矩阵并求解结构平衡的节点位移。换而言之，通用的拓扑优化工作流可以针对所施加的力和边界条件来计算结构在其当前状态下的变形。

5、计算目标函数值及其导数

可以在任何拓扑优化中使用的目标函数是结构的柔度。它是刚度的倒数，并且因此考虑了指定的载荷情况和边界条件，从而封装了结构的变形量。因此，当优化过程使柔度最小时，对于给定的质量，这相当于使设计的刚度最大化。此外，由于该过程中存在大量设计变量，因此可以使用基于梯度的方法来执行优化。因此，通用的拓扑优化工作流还可以关于每个设计变量来计算目标函数的导数。换而言之，通用的拓扑优化工作流可以计算应该如何改变每个元素的相对密度以改善柔度和满足约束。为了柔度，可以使用众所周知的并且经典的“伴随灵敏度分析”来执行。另外，在计算导数之后，可以通过过滤对这些导数进行平滑处理以提高数值稳定性。常规的拓扑优化工作流可以减少错误的棋盘图案，并在优化中引入长度标度，以便对其进行明确定义。

6、计算约束值和导数

通用的拓扑优化工作流中的约束函数可以是结构的全局体积分数。这样的GVC定义了允许使用的最大材料体积，并且因此定义了构成设计的材料的最大质量。因此，优化器必须在设计空间中找到质量的最佳分布，以使刚度最大化。图3示出了优化工作流中的中间设计34和36，其中全局体积分数相同，但是在过程中的优化迭代期间材料的分布改变了。此约束的导数等于元素体积，并且如果元素的大小相等，则导数对于每个元素都是恒定的，因此计算起来很简单。

7、使用数学编程更新设计变量

当目标函数和约束的值以及它们的导数已知时，通用的拓扑优化工作流可以使用基于梯度的数学编程来修改每个元素的相对密度，以在不违反指定的GVC的情况下提高结构的柔度。一旦通过数学编程修改了每个元素的相对密度值，并且优化过程中的给定修改设计尚未收敛，那么通用的拓扑优化工作流就可以循环回到步骤4。针对此问题的简单数学编程是所谓的最佳标准(OC)。然而，在通用的拓扑优化工作流和方法示例中，可以使用更通用的数学编程算法：运动渐近线方法(MMA，首先在“The method of moving asymptotes—anew method for structural optimization”，Krister Svanberg，国际工程数值方法杂志，1987年2月，中进行了描述)。已经观察到，在该方法的情况下，MMA是特别有效的，因为它可以处理多个非线性约束，并且该方法具有呈现大量变量且仅具有很少约束的特异性。但是，也可以使用任何其他数学编程算法。

8、输出最终设计

一旦实现收敛，通用的拓扑优化工作流就可以在设计空间中呈现最终设计，其中每个元素都具有优化的相对密度值。通过简单的阈值处理，通用的拓扑优化工作流可以提取由相对密度值高于某个阈值(例如，选择为0.5)的元素集合定义的几何形状。现在，通用的拓扑优化工作流可以呈现优化设计的几何形状，这是通用的拓扑优化工作流的输出。图3示出了在步骤2所描述的和图2所示的规格上优化的最终设计38。

该方法可以实施该通用的拓扑优化工作流的所有步骤，并且仅通过向拓扑优化提供额外的输入而偏离该方法，所述额外的输入是一个或多个局部定量约束的非均匀分布，每个约束相对于材料的相应局部定量在有限元网格的相应局部区域中。然后，除了其他输入之外，拓扑优化还基于此类本地定量约束。

每个局部定量约束是相对于相应局部区域FEM中材料的局部定量而言的。换而言之，局部定量约束限制了各个局部区域中材料总量的值。“局部区域”是指FEM的任何子部分，例如包括小于FEM的有限元的数量的10％或1％，或甚至低至2或3个元素。局部定量约束例如可以被提供为可以填充有材料的各个局部区域的分数的边界，例如所述分数的上限。分数可以是体积分数(在这种情况下也称为LVC，如“局部体积约束”中所示)。在其他示例中，全局定量约束可以涉及表示物料重量的值。

上限约束通过禁止材料集中来提高机械零件的鲁棒性。特别地，可以为各自的局部区域提供局部定量约束，这些局部区域一起覆盖形成FEM的子部分的区域，例如，包括小于FEM的有限元的数量的90％，例如，大约80％。每个局部区域可以相对较小，例如，每个局部区域可包括占FEM有限元数量的不到10％或1％。在这种情况下，该方法通过禁止材料的浓度超过形成区域的相应区域内的相应上限，从而允许在该区域中增强鲁棒性。因此，该方法迫使材料在该区域中散布，而在制定优化问题时减小其一部分的所有载荷将优化偏向对该部分但不适用于在使用中可能发生的其他载荷的优化的解决方案。这进一步允许将数量减少的工况定义为拓扑优化的输入，同时考虑到对应于未定义的力的载荷，仍然确保结构的鲁棒性。在示例中，在该方法中提供了少于10或5个力作为输入，每个力都适用于一个或多个相应的有限元。

每个局部区域可以包括FEM的至少两个有限元。每个局部区域可以形成连接的空间(从拓扑的角度来看)。一个或多个局部定量约束可提供至少两个不同的局部区域(即，每个局部区域分别对应于不同的局部定量约束)以至少重叠(即，具有无空隙的交集)。

在示例中，FEM的每个有限元可以在数据结构中与专用于相对于包括有限元的相应邻域的局部约束信息的相应数据相关联(即链接)。每个邻域可以包括以有限元为中心的球体内的所有有限元或由其组成。球体可以呈现预定大小的半径(例如，所有球体都相同)，例如，小于FEM的有限元的大小的20、10或2倍(例如，FEM是规则的，有限元的大小是FEM有限元的边的长度，例如所有例如六面体或四面体有限元的所有边均具有相同的长度)。替代地，该邻域可以包括定向的椭圆或另一预定形状内的所有有限元或由其组成。数据可表示在相应邻域中不存在任何约束(例如，通过为存在于相应邻域中的材料的体积分数提供等于1的上限，这等于没有约束)。数据可替代地表示存在相应的(真正限制性的)约束(例如，通过为所述体积分数提供大于0且小于1的上限)。可以根据预定方案确定每个有限元的相应邻域。替代地，可以在表示局部约束的数据内定义每个有限元的相应邻域。

现在，一个或多个局部定量约束的分布是非均匀的。“非均匀”在此是指，FEM包括至少两个不重叠的局部区域，这些局部区域被不同地限制(关于局部区域内的材料量)。“不同地约束”是指两个区域之一不受约束(即，分别对应于本地定量约束)，而另一个区域受约束(即，对应于本地定量约束)，或者两个区域都被约束(即，每个区域关于局部定量约束)，但两个局部定量约束不同。如果两个局部定量约束的相应局部区域具有不同的大小和/或形状，和/或约束中涉及的定量值不同(例如，两个约束涉及不同的体积分数上限)，则称这两个局部定量约束为“不同”。

在示例中，一个或多个局部定量约束可各自被提供为可填充有材料的相应局部区域的分数的上限(例如，在0和1之间)。在这些示例中，“非均匀”分布可以通过FEM实现，该FEM包括不属于关于局部定量约束的任何局部区域的一个或多个有限元(即，无约束的有限元，例如等于有限元总数的至少5％，和/或通过一个或多个局部定量约束，其包括至少两个局部定量约束，每个约束被提供为不同的上限值(换而言之，一个或多个局部定量约束包括在一个或多个第一局部区域中材料的体积分数的第一上限和在一个或多个第二局部区域中材料的体积分数的第二上限，第一上限和第二上限彼此不同，每个严格在0和1之间)。

因此，该方法向拓扑优化公式中添加了一种新型约束，即LVC，这导致在包含关于局部约束的局部区域的区域中出现(apparition)了所谓的“骨样”多孔结构。这些轻质填充结构关于鲁棒性显示出有用的特性。

此外，该方法非均匀地添加了该新约束。在均匀地使用此新约束的简单方法中，缺乏控制将限制本方法在工业环境中的适用性。特别是，实施均匀的LVC会导致设计的某些区域应力增加，从而增加结构失效的风险。

因此，该方法可以在拓扑优化公式中对LVC进行精细控制，而不会影响过程的收敛性。而且，该方法可以自动利用对LVC的新级别的控制。

在示例中，该方法可以制定LVC，以便可以为空间中的每个点定义不同的值。因此，允许它在整个设计空间中变化。这也可能导致对局部体积导数的计算的修改，并且这些导数可能在优化过程中涉及。

现在，通过对整个设计空间中的LVC值进行全面控制，该方法可以自动创建适当且非均匀(也称为“动态”)标量值的值域，以控制当前约束。在特定示例中，该阈可能是另一种拓扑优化的结果，其中所谓的惩罚已被停用，从而在许多位置产生中间设计变量，并且没有实施LVC。

这一新方法使人们可以从轻质多孔结构的鲁棒性和可靠性中受益，同时还可以在高应力和变形区域自动调节LVC。潜在地，它也是用于手动控制和定制设计和机械性能的有用工具。而且，这种新方法几乎不会为生成优化设计的工作流增加任何额外的计算成本。

为了更轻松地理解该方法，以下内容讨论了简单的均匀LVC拓扑优化的示例(以下称为“均匀的LVC优化”)，并说明了这些示例如何适应上述的通用的拓扑优化工作流。随后，参考均匀的LVC优化讨论，介绍该方法的示例如何非均匀地实现LVC。

在优化工作流中添加LVC的概念可能相当于，基于图4中的工作流，在步骤6中为优化提供了附加约束，并为设计计算了其相应的导数。此外，在步骤7中，均匀的LVC优化在示例中可以特别使用MMA优化器来处理此附加的非线性约束(出于相同的原因，方法的示例使用MMA)。整个工作流中的所有其他内容可以保持不变。

LVC可以使用类似于GVC的方式直观地解释。GVC定义了设计空间中的最大材料允许量。因此，将GVC设置为30％意味着最终设计最多将有30％的元素填充有固体材料，而至少70％的元素为表示空白的空(假设在设计空间中没有设计元素具有中间的相对密度的理想情况)。

LVC的工作方式完全相同，LVC对设计空间中的较小分区(即局部邻域)应用最大允许量的材料，而不会在整个设计空间中应用最大允许量的材料。这意味着，将LVC设置为40％，将GVC设置为30％，那么最终设计最多可以包含30％的实体材料元素，并且如果一个人放大了在设计空间内定义大小的小分区，那么最多只能有40％的固体材料元素。

图5示出了利用均匀的LVC优化以及分别针对局部邻域和局部体积分数的分区的各种大小和量级而优化的多个设计。特别地，图5示出了利用针对不同设计参数集的LVC的六个收敛设计：半径R和局部体积分数α，其对于每个设计经由每个有限元一个LVC恒定地分布在规则FEM上。图5还提供了每次达到的柔度C。应用于图5中的设计的隔开的设计是图2中所示的设计。

值得一提的是，与GVC相比，LVC的约束更强(即对材料布局的约束更多)。而且，如果针对覆盖整个设计空间的局部邻域的分区大小定义了类似LVC的约束，那么它将严格等同于GVC。

计算与实施

对于设计空间中的任何给定元素，均匀的LVC优化可以将其局部邻域中的密度求和，从而获得给定分区的局部体积分数。然而，每个有限元只有一个局部体积分数会产生太多的约束，无法通过标准数学编程算法轻松解决。取而代之的是，均匀的LVC优化可以考虑对任何元素的最大局部体积分数的约束，从而将最大函数转换为单个聚合约束，这对于最终设计很容易解决。由于本地最大函数是不可微分的，因此使用连续且可微的聚合函数(例如P范数)对其进行逼近也可能更有效。然而，也可以使用其他连续且可微的聚合函数。

可以计算和实现本约束的导数。现在，均匀的LVC优化已评估了在工作流的步骤6中的新约束，并且可以将其直接应用于数学编程算法，类似于GVC，在步骤7中更新设计元素的相对密度。如前所述，通用的拓扑优化工作流中其余部分可以保持不变。

现在讨论构建在均匀的LVC优化基础上但有所不同的方法示例。

非均匀/动态局部体积约束

用于引入LVC的一个主要关键点可能是强制执行优化以隐式构建更鲁棒的结构。

鲁棒性

结构的刚度和应力是定义明确的量度，其描述了在规定的载荷条件下抗变形和破坏的能力。另一方面，鲁棒性是指结构抵抗各种条件或不可预料的事件的能力。这种不可预料的事件是不可避免的，并且例如可能是载荷情况的变化(例如力方向、滥用载荷情况、制造缺陷、屈曲或使理论规定的规范与他们的实际生活不完全匹配的其他事件)。

由于要完美地描述所设计的机械零件在其使用寿命中会遇到的每个事件非常复杂，因此优化设计以使其在预期和最常见的情况下表现良好，同时对不可预料的事件也具有一定的鲁棒性可能是有效的。因此，该方法的设计过程可以在预期情况的优化与不可预料的事件的鲁棒性之间形成平衡。

均匀的LVC优化创建了多孔结构，从而导致结构中的冗余，这往往隐性地对其鲁棒性产生积极的影响。但是，由于约束是非均匀地应用在设计空间上的，因此它也阻止了在高可变形和高应力区域(例如靠近边界条件、设计空间中的力或几何限制区域)中创建坚固、庞大且坚实的子部件的优化。

基于这一考虑，该方法可以获得一种设计的益处，该设计得益于使用一个或多个LVC获得的多孔结构的鲁棒性，同时还允许设计空间的某些重要结构区域被材料100％填充。这导致局部定量约束的非均匀分布(以下也称为“动态”LVC)。

现在讨论动态LVC的实现，其中每个局部定量约束表示材料的相应局部体积分数的相应上限。这些实现相对鲁棒且快速地收敛。

如前所述，局部体积分数是一个度量，可以为设计空间中的每个有限元定义。这意味着该方法可以考虑仅将约束应用于元素的某个子集，而使其他元素保持自由。该方法通过针对每个元素及其设计空间的相对应的分区允许任何任意LVC来概括该思想。换而言之，该方法可以将给定元素的局部体积分数限制为低于任何值(例如40％)，并且低于其附近元素的任何其他值(例如45％)，对于设计空间中的每个元素，依此类推。替代地，该方法还可以调制针对每个元素考虑的局部邻域的大小(分区的大小)。在示例中，该方法可以针对每个设计元素调制给定邻域内的局部邻域大小和局部体积分数。

在均匀的LVC的简单情况下，约束条件很容易公式化，因为每个元素的约束条件都相同，因此使用给定的聚合函数(例如，P规范)应用很简单。然而，在动态LVC的情况下，约束对于每个元素可能具有不同的值。这意味着该方法可以修改约束公式以适应这些局部变化。

现在讨论。

令Ω为FEM中的元素集合，e为设计空间中的给定元素，ρ_e为给定元素的相对密度(即给定元素内部的材料的体积分数)，ω_e为给定元素选择的领域内的元素集合，并且

是给定元素的局部邻域中的平均相对密度，即其局部体积分数。该方法可以考虑：

令α_e为给定元素的LVC值。实施动态LVC意味着，对于设计空间中的任何元素，该方法都将下列约束集合作为对拓扑优化的输入：

在α_e严格为正的情况下，可以将其重新排序为：

在示例中，该方法可以使用最大值函数将该约束集合聚合为单个约束：

如现在所解释的，该方法可以通过G或者替代地通过将其转换成可微函数来约束拓扑优化。

令p为P范数选择的指数值(p大于或等于2和/或小于或等于20或10，例如p＝6)，则该方法在示例中可以利用以下近似估算出聚合约束G：

为了阐明微分步骤，我们将A引入为：

在基于梯度的优化中，约束G′的梯度可以通过使用链式规则来计算，如下所示：

结合动态LVC及其梯度使用基于梯度的数学编程方法(例如MMA优化器)，该方法允许以计算有效的方式优化设计，以在整个设计空间中具有变化的LVC。

请注意，通过执行上述类似的步骤，在其他示例中，约束可以制定如下：

而且，上述等式也可以使用其他可微积分聚合函数来公式化。

对于设计空间的每个元素具有不同属性的新约束可以由字段ω_e或字段α_e或这两个字段控制。这些可以称为约束字段。这些字段为优化设置定义了空间中每个点所需的局部体积分数。

现在讨论集成该方法的工作流。

在工作流中，可以由户在FEM上手动设置局部定量约束的非均匀分布，而不使用与FEM关联的数据以外的其他信息(例如，除了位置以外，没有关于各个有限元特征的任何信息)。

在其他工作流中，该方法可替代地或替代地包括在非均匀LVC分布下的拓扑优化之前，基于FEM和与FEM关联的通用数据执行另一个初始拓扑优化(即，此时不存在非均匀的LVC分布)。在这种情况下，该方法可以包括基于所述其他拓扑优化的结果手动、半自动或全自动地确定非均匀分布。初始拓扑优化因此形成了预处理，该预处理允许设置局部定量约束。

如从拓扑优化领域本身已知的那样，初始拓扑优化可以因此提供密度场(即，每个FEM有限元的材料的体积分数的值)作为结果，以及可选地，作为其他结果，提供与所述密度场关联的(对应的)应变场，与所述密度场相关的应力场和/或与所述密度场相关的压缩场。在这种情况下，该方法可以包括基于这种结果字段的任何一个或任意组合来确定非均匀分布。

在示例中，该方法可以包括基于密度、应变、应力和/或压缩场来自动地确定一个或多个局部定量约束。初始拓扑优化可以提供针对问题公式的简化力/载荷及其机械特性以场的形式优化的材料的初始分布/布局。该方法可以依靠该信息来建立需要在何处应用LVC。

该自动化可以以不同的方式来实现。

作为示例，该方法可以使用通过密度场或通过密度、应变、应力和/或压缩场中的任何一个或任何组合的任何归一化函数(即，具有介于0和1之间的值)为FEM的一个或多个相应有限元提供的值，直接作为为FEM的所述相应有限元提供的LVC约束的上限。在这种情况下，可以以上面讨论的任何方式将局部区域定义为例如具有预定且恒定的半径的邻域。

作为替代示例，该方法可以包括对所述密度场或所述归一化函数进行阈值化。换而言之，该方法可以对由初始拓扑优化产生的字段的值进行聚类，从而将FEM划分为有限元的不同区域。聚类的数量可以严格高于1和/或严格低于20或10，例如等于2、3、4或5。然后可以基于所述区域中的场的值为每个区域定义相应的上限。

在示例中，该方法可替代地或附加地包括：显示密度场的图形表示(例如，使用灰度或颜色强度)，以及经由(例如，图形)用户交互来确定一个或多个局部定量约束。在这种情况下，约束微分(differentiation)可以取决于诸如以下区域之类的因素：具有力的区域、具有夹紧的区域或期望成为建模对象的狭窄区域的区域。

在工业环境中，调节高应变或高应力区域的约束可能是实际可行的。因此，为了定位这些区域，提出的方法可以首先执行完整的(通用的)拓扑优化，而无需任何LVC或强制实心/空设计的惩罚，仅应用GVC。

这种非常简单的优化的结果可以是相对密度场，其中每个元素的相对密度可以自由地在空隙和固体材料之间的[0-1]范围内选择任何相对密度值，而无需惩罚强制将这些值逼近0或1。但是，在某些位置上，仍可以观察到0或1的相对密度值。

该方法可以包括使用该相对密度场来创建执行带有惩罚的第二完整拓扑优化并使用动态LVC所需的约束场。

如上所述，这可以简单地通过将第一收敛优化的相对元素密度场作为第二优化的约束场来进行。但是，针对特定示例的数值测试表明，通过对相对密度场进行自动阈值化来定义区域的分区，然后为每个区域选择局部体积分数参数，可以为这些示例获得更好的结果。

图6示出了没有惩罚和阈值场的优化设计。该图示出了相对密度场及其经过处理的版本，具有阈值和与不同区域关联的所选局部体积分数上限。初始拓扑优化提供了不用LVC(或惩罚)优化的设计60，其包括相对密度约为0.5的元素61、相对密度>0.9的元素62和相对密度<0.1的元素63。在相对密度值为0.9时具有简单阈值的设计64导致区域65的局部体积分数上限选择为等于100％，而区域66的局部体积分数上限选择为等于50％。在0.9、0.7、0.3和0.1的相对密度值处具有多阈值的另一种设计67导致FEM在不同的此类区域中更细的分区。

请注意，在此示例中，该方法在整个设计空间中使局部邻域大小保持恒定。但是，该方法也可以对其进行调制，如前面所述的数学公式所示。

参照图7，为了验证本方法，运行了具有夹紧侧70和力72的3D场景的测试(股骨头模型)。力72的旋转轴74用于鲁棒性测试。该测试生成了三种不同的优化设计：

仅具有GVC的设计A。

具有GVC和均匀LVC的设计B。

具有GVC和动态(即非均匀)LVC的设计C。

每个设计具有相同的质量(误差裕度为0.1％)，并在图中以切片视图显示。如图所示，虽然设计A占主体区域的大部分，而设计B占多孔区域的大部分，而设计C形成主体区域和多孔区域的混合体。

对于每种设计，在逐渐偏离初始工况规格的载荷下测试了其柔度和最大应力。如图7所示，通过绕轴74旋转力来控制该力偏差。这允许评估每个设计的性能，以及这些性能如何随着负载的变化而降低，从而显示它们对不可预料的事件的鲁棒性。

结果由图8-图9中的曲线图表示，图8和图9分别例示：考虑到变化的载荷的每种设计的柔度，其中高柔度意味着较大的结构变形，从而刚性较低；以及在变化的载荷下每种设计的最大应力，其中最大应力高意味着结构失效的风险更高。如图所示，在不偏离初始规格的情况下，设计A表现最佳，但由于力的方向变化而引起的不可预料的事件，其性能会随着力变化而迅速下降。在另一方面，设计B有更差的性能，但是，由于其较好的鲁棒性，随着力的方向的变化增加而变得比设计A更好，最后，设计C在力的方向上显示出与设计A的低偏差几乎相同的特性，而接近设计B的高偏差。这意味着动态LVC允许优化以产生混合设计，这得益于传统设计方法的刚度以及多孔设计方法的鲁棒性。该方法能够自动生成设计C。

现在讨论可以通过该方法设计的机械零件的示例。

在示例中，机械零件是增材制造的零件。换而言之，机械零件是可以经由增材制造类型的3D打印过程制造的零件。如前所述，与局部定量约束相应的局部区域可能呈现出蜂窝或多孔结构。每个蜂窝的大小可低于局部区域的直径(即最大大小)。因此，机械零件可以呈现复杂的结构，即“晶格状”。这种复杂的结构可能很难经由传统制造来生产，但是可以经由增材制造来实现。因此，在这样的示例中的方法之后可以是用于生产机械零件的一个或多个实现的增材制造过程。增材制造过程可以将设计的建模对象作为输入。

在其他示例中，机械零件可以替代地或另外地是具有一个或多个功能外部区域和一个或多个内部区域的零件。“外部”区域是指机械零件的包括机械零件的外表面(即，从机械零件的角度看时可见的表面)的任何区域。“功能性”区域是指被配置用于与另一零件进行物理交互和/或直接接收载荷情况的区域。设计零件和其他零件可以是同一组件的元素。该方法可以包括在用于设计组件(包括组件的每个零件的设计)的过程中。“内部区域”是指不包括任何外表面的区域。在这样的示例中，内部区域可以覆盖有局部定量约束，而功能性外部区域可以没有任何局部定量约束。因此，该方法可以允许材料聚集在功能性外部区域中并且迫使蜂窝结构位于内部区域中。材料余量的集中可以产生使功能性外部区域具有抵抗力的材料的整体结构，这对于它们与其他零件物理相互作用的功能是有用的。另一方面，内部区域的蜂窝结构可以使该部件更轻和/或呈现出改善的导热性能。在特定示例中，外部功能性区域形成机械零件的外壳(完全围绕机械零件)。

在其他示例中，机械零件可以替代地或另外地是车辆零件。例如，机械零件可以是地面、航空或航空航天车辆零件。在这种情况下，与仅经受振动和/或湍流的区域相比，经受作用(例如，通过与车辆的另一零件的物理相互作用)的区域可能受到更大的约束。经受作用的区域可以与关联于FEM的数据中的力相关联。受振动和/或湍流影响的区域可能会受到局部定量约束，从而确保其鲁棒性。

图10-图20示出了机械零件的这种示例的图示。

图10示出了用于设计直升机结构框架零件的FEM 100。FEM 102的区域不受本地限制。这样的区域102对应于机械零件的作用区域，这里是用于固定螺栓、电气和机械部件的规定的壳体区域。该图示出了由局部约束控制的不同水平的孔隙率104，从而导致整个设计中的多孔结构106。多孔结构适合并为规定的外壳区域提供支撑，其他部件将在该外壳区域进行组装和定位。而且，多孔结构的性质使它们有效地衰减了振动，从而保护了所述部件。由优化产生的经设计的建模对象111在图11上示出。图11-图12示出了如何将建模对象111组装到直升机的其他零件。

图14示出了可以用该方法设计的飞机机翼，其切口示出了其内部结构。机翼具有中心轴线142，没有局部约束，从而允许创建坚固的壁结构来承载主要的空气动力载荷。机翼还具有在翼型的前部和后部附近具有局部约束的区域144，以产生稀疏的桁架结构，以便处理较小的扭转力。

图15示出了另一个直升机零件，其是电动机支架和热交换器。该零件具有结构152，该结构152具有改变的孔隙率以促进热交换，并具有局部约束。该零件还具有用于固定电气部件的固体区域154和用于螺栓固定的固体区域156，其中未设置局部约束。

图16至图18例示了可通过该方法设计的连接杆，该连接杆具有用于局部约束的手动区域选择。杆具有在载荷和固定件附近的区域162。手动方法可能会在此处禁用局部约束。杆还具有如通过有限元分析所计算的具有高机械应力的区域172。手动方法可能会在此处禁用局部约束。杆还具有距作用区域安全距离的区域182(即，非功能性内部区域)。用户可以选择仅在该区域中增加局部约束。

图19显示了用于减震的汽车前保险杠。由于其高冗余度，多孔结构会逐渐破裂并塌陷，而固体结构会突然破裂。多孔结构在抑制碰撞能量方面非常有效。因此，零件可以被设计为具有区域192，而没有局部体积约束以允许出现固体前挡块，而区域194具有强烈的局部体积约束以产生多余的多孔结构。

图20示出了混合固体和多孔结构的工业零件。该零件是优化的工业零件，包含带有功能性区域的固体外壳202和多孔轻质内部区域204。