CN113191060B - 一种混凝土深梁的钢筋直径多层次拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种混凝土深梁的钢筋直径多层次拓扑优化设计方法，具体包括如下步骤：S1：划分混凝土与钢筋单元；S2：定义初始参数；S3：展开有限元分析；S4：计算钢筋单元灵敏度；S5；判断最大钢筋应力是否大于钢筋允许应力；S6：判断是否所有钢筋单元都满足应力约束；S7：判断最大钢筋应力是否大于0.9倍的钢筋允许应力，是，则最高直径钢筋单元不再进行降级操作，再执行S8，否，则直接执行S8；S8：根据钢筋单元灵敏度与优化准则，完成每种钢筋之间的升降操作，并返回S3。本发明能够在原有的钢筋分离模式BESO的基础上引入多种钢筋直径的钢筋单元，基于应力约束来升级与降级不同的钢筋单元。

Description

一种混凝土深梁的钢筋直径多层次拓扑优化设计方法

技术领域

本发明涉及一种混凝土深梁的钢筋直径多层次拓扑优化设计方法。

背景技术

对于钢筋混凝土深梁这类复杂受力构件的配筋设计，当前主流的设计方法主要有经验设计方法和应力设计方法。

经验设计方法以平截面假定为基础，视深梁为一维杆件，再通过试验数据修正承载力计算公式。Braam等学者通过大量试验，对深受弯构件的破坏形态与机理、受剪性能、裂缝开展与挠度进行研究；Sung-Woo Shin等研究了混凝土配合比、抗压和抗拉强度、剪跨比、钢筋配筋率对短梁等深受弯构件受剪性能及承载力的影响。这样得到的设计方法，尽管操作性良好，但与深梁明显不满足平截面假定的力学特性不符。

近些年随着有限元技术的迅速发展，以弹性应力分布为基础的设计方法开始得到推广。拉压杆模型设计方法是由Schlaieh等学者在1987年从梁的桁架模型扩展而来，其自提出以来就吸引了大量学者对其进行研究。在理论方面，Ali等基于能量法的思路引入弹性应变相容误差来评价拉压杆模型；Matamoros等通过假设拉杆与压杆具有相同刚度来求解超静定拉压杆模型；Tuchscherer等研究了不同剪跨比深梁中适合采用的节点模型。在试验方面，其思路为按照事先参考拉压杆模型来完成试件承载力计算和设计，再开展相关静力验证试验，试验有针对不同的构件(如倒T形梁)的，不同材料(如高强轻骨料混凝土、碳纤维增强混凝土、型钢混凝土等)。拉压杆模型方法作为目前主流的弹性应力设计方法，普遍适用性较好，但并未考虑变形相容条件，满足条件的模型不唯一，且转化成构件配筋设计较为繁琐。

近年来，拓扑优化为钢筋混凝土复杂受力构件的设计提供了一条新的思路。1992年Xie等提出了其于启发式思想的渐进结构优化(ESO)，通过逐渐删除初始设计域中的无效和低效材料，使结构向最优拓扑演化。为了克服单向删除可能存在误删的局限性，又衍生出的双向演化结构优化(Bidirectional ESO，简称BESO)，即在ESO移除低效材料的基础上，同时允许高效材料被添加到结构中。随后，有学者在ESO的基础上引入遗传算法，提出了遗传演化结构优化(GESO)和遗传递增演化结构优化(GAESO)。这些ESO系算法因易实现和优化效率较高，已成为当前最常用的拓扑优化方法之一。落实在设计问题上，常利用优化得到的最优拓扑指导拉压杆模型的建立，再完成配筋设计，如Kwak等利用ESO获取拉压杆模型，给出了最佳荷载传递以指导复杂受力构件配筋设计，并进行了试验验证；刘霞等利用GESO获取了大量复杂受力构件的拉压杆模型并完成了开洞深梁的拉压杆模型和经验设计方法对比试验。为了尽可能减少拉压杆模型建立以及将其转化成配筋设计的主观难度，Zhang等用实体单元模拟混凝土，线单元模拟钢筋，将钢筋以事先确定的方式满布设计域，然后对钢筋进行拓扑优化，可获得直观的钢筋分布拓扑方案供设计参考。

然而，此时的优化结果极其依赖预先设定的钢筋设计域，包括其直径和排布角度。钢筋混凝土结构中，不同区域的受力程度往往区别非常大，依靠单一的钢筋直径和较少的排布角度是很难获得最优钢筋分布方案的，更不可能满足工程设计的需求。因此，引入多种钢筋直径作为优化可选择的目标层次，同时建立包含不同排布角度的钢筋可行域，成为这种基于钢筋分离模式的ESO系算法，向指导工程设计发展的必经之路。

发明内容

本发明的目的是提供一种混凝土深梁的钢筋直径多层次拓扑优化设计方法，能够在原有的钢筋分离模式BESO的基础上引入多种钢筋直径的钢筋单元，基于应力约束来升级与降级不同的钢筋单元，得到基于钢筋分离模式的钢筋直径多层次BESO。

为达到上述目的而采用了一种混凝土深梁的钢筋直径多层次拓扑优化设计方法，具体包括如下步骤：

S1：使用有限元网格离散整个设计域，划分混凝土与钢筋单元；

S2：定义初始参数、应力约束、删除率e_r、材料数量n，钢筋直径r_n与弹性模量E，混凝土弹性模量E_c与泊松比μ；

S3：展开有限元分析；

S4：计算所有钢筋单元灵敏度；

S5；判断最大钢筋应力是否大于钢筋允许应力，是，则优化结束，否，则进入S6。

S6：判断是否所有钢筋单元都满足应力约束，是，则先提高最小直径钢筋单元的最小允许应力，再进入S7，否，则直接进入S7；

S7：判断最大钢筋应力是否大于0.9倍的钢筋允许应力，是，则最高直径钢筋单元不再进行降级操作，再进入S8，否，则直接进入S8；

S8：根据钢筋单元灵敏度与优化准则，完成每种钢筋之间的升降操作，并返回S3。

作为本发明混凝土深梁的钢筋直径多层次拓扑优化设计方法进一步的改进，每种钢筋通过各异的钢筋直径赋值来体现等级差别，目标函数为应力约束下最大化钢筋利用率，问题描述为：

式中s为钢筋的利用程度；e、σ_i、σ₀、S_i、u_i、r_i分别为钢筋单元数量、第i个钢筋单元的应力、钢筋的容许应力、第i个钢筋单元的应力矩阵、第i个钢筋单元的位移向量及第i个钢筋单元的直径；K、u、P分别为结构总体刚度矩阵、位移向量及荷载向量；

与

分别为第n种钢筋单元应力下限与上限。

作为本发明混凝土深梁的钢筋直径多层次拓扑优化设计方法进一步的改进，钢筋单元通过两节点线性杆单元模拟，其应力沿长度为常数，计算式为：

式中l为钢筋单元长度，u₁与u₂分别为钢筋单元两个节点的位移；

在优化中只考虑钢筋的抗拉能力，钢筋的灵敏度取：

式中s_i为第i个钢筋单元的利用程度；σ_i为第i个钢筋单元的应力；

以钢筋应力为约束，同时基于钢筋应力约束逐代降级低效钢筋单元，同时每代从次级钢筋单元中升级高效单元；

对于n种钢筋直径的单元，其应力约束为

式中k代表第k种钢筋材料，

为第k种钢筋材料的第i个单元应力。

作为本发明混凝土深梁的钢筋直径多层次拓扑优化设计方法进一步的改进，

将混凝土与钢筋分离建模，不考虑钢筋与混凝土的粘结滑移，钢筋与混凝土单元之间通过节点进行耦合，因此静力平衡方程为：

(K_c+K_s)u＝P (5)

式中，K_c为混凝土单元的整体刚度矩阵，K_s为钢筋单元的整体刚度矩阵；

混凝土采用八节点平面单元，单元均处于平面应力状态；

对于八节点平面单元，其共有8个节点，每个节点有x、y两个自由度共16个自由度，单元刚度矩阵为16×16的矩阵，其表达式为：

式中k_c为八节点平面单元刚度矩阵，

为刚度矩阵中p行q列的元素；A、B、D、t分别为单元面积、几何函数矩阵、弹性矩阵、单元厚度；p、q分别代表单元中节点的自由度；

对于两节点线性杆单元，其共有2个节点2个自由度，在其局部坐标系每个节点只有x一个自由度，无法直接与八节点平面单元中节点进行自由度耦合，需要对杆单元进行坐标变换；

杆单元中在局部坐标系中节点位移为：

u_s＝[u₁,u₂]^T (7)

整体坐标系中的杆单元，其节点位移为：

在节点1中，整体坐标系中节点位移

和

对应了平面单元中节点的两个自由度，其合成结果等效于u₁；

完成坐标变换后，杆单元刚度矩阵为8×8的矩阵，其表达式为：

式中k_s为杆单元刚度矩阵，

为刚度矩阵中p行q列的元素；l、B、D分别为单元长度、几何函数矩阵、弹性矩阵；p、q分别代表单元中节点的自由度；

经过坐标变换后，杆单元与平面单元节点自由度可以一一对应，将所有单元刚度矩阵根据对应自由度进行组装，即可得到结构总体刚度矩阵，进而完成有限元分析。

本发明在原有的钢筋分离模式BESO的基础上引入多种钢筋直径的钢筋单元，基于应力约束来升级与降级不同的钢筋单元，得到基于钢筋分离模式的钢筋直径多层次BESO。在此基础上，进一步基于两种钢筋的可行域来构成优化中的钢筋初始设计域，并完成了钢筋直径多层次BESO。

附图说明

图1为单元示意图。

图2为基于钢筋分离模式的钢筋直径多层次BESO算法流程图。

图3为顶部两点加载的对称开孔简支深梁示意图。

图4为钢筋可行域I示意图。

图5为基于可行域I的钢筋直径多层次BESO示意图。

图6为混凝土本构模型示意图。

图7为钢筋材料模型示意图。

图8为跨中集中荷载简支深梁示意图。

图9为简支深梁试验与仿真分析结果示意图。

图10为对称开孔深梁配筋设计图。

图11为对称开孔深梁荷载位移曲线。

图12为对称开孔深梁的裂缝图与钢筋应力图。

图13为钢筋可行域II。

图14为基于可行域II的钢筋直径多层次BESO。

图15为基于钢筋可行域II的优化配筋设计。

图16为对称开孔深梁构件的荷载位移曲线。

图17为基于钢筋可行域II的优化配筋设计构件分析结果。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

在本发明的描述中，需要说明的是，术语“中心”、“上”、“下”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制；术语“第一”、“第二”、“第三”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性；此外，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

1基于钢筋分离模式的钢筋直径多层次BESO

1.1优化数学模型

基于钢筋分离模式钢筋直径多层次BESO采用了多种钢筋直径进行优化，每种钢筋通过各异的钢筋直径赋值来体现等级差别，目标函数为应力约束下最大化钢筋利用率，问题可以描述为：

式中s为钢筋的利用程度；e、σ_i、σ₀、S_i、u_i、r_i分别为钢筋单元数量、第i个钢筋单元的应力、钢筋的容许应力、第i个钢筋单元的应力矩阵、第i个钢筋单元的位移向量及第i个钢筋单元的直径；K、u、P分别为结构总体刚度矩阵、位移向量及荷载向量；

与

分别为第n种钢筋单元应力下限与上限。

1.2优化准则

本发明以根据钢筋应力对钢筋单元进行升级或降级，优化目标为最大化钢筋的利用程度。钢筋单元通过两节点线性杆单元模拟，其应力沿长度为常数，计算式为：

式中l为钢筋单元长度，u₁与u₂分别为钢筋单元两个节点的位移。

在钢筋混凝土构件中，钢筋一般用于抗拉，因此在优化中只考虑钢筋的抗拉能力，钢筋的灵敏度取

式中s_i为第i个钢筋单元的利用程度；σ_i为第i个钢筋单元的应力。

基于钢筋分离模式的钢筋直径多层次BESO以钢筋应力为约束，同时基于钢筋应力约束逐代降级低效钢筋单元，同时每代从次级钢筋单元中升级高效单元。对于n种钢筋直径的单元，其应力约束为

式中k代表第k种钢筋材料，

为第k种钢筋材料的第i个单元应力。

式(4)中第一个式中为最高等级的钢筋单元的应力约束，其最大允许应力为钢筋的允许应力，最小允许应力的取值为该级单元在不考虑钢筋单元降级后由于刚度变化引起的应力重分布的情况下转化为下一级钢筋时，下一级钢筋为钢筋允许应力的值，其数值上为上下两级钢筋的截面积之比；对于中间钢筋材料，其最大允许应力为上一种材料最大允许应力的0.9倍，最小允许应力为不考虑应力重分布下该材料最大允许应力在下一级单元中的值；对于最小材料，最大允许应力与中间材料相同，最小允许应力通过设定初始值初始化。优化准则基于以上的钢筋应力约束，对于任一种钢筋材料，当其最小应力小于其允许应力则对该种材料的单元进行降级操作，同时升级大于最大允许应力的单元，当应力约束都满足而优化终止条件未达成时不断提高最小允许应力，优化的终止条件为钢筋应力大于钢筋允许应力，并取终止前一代为优化结果。

1.3有限元实现

钢筋分离模式将混凝土与钢筋分离建模，在本发明中不考虑钢筋与混凝土的粘结滑移，钢筋与混凝土单元之间通过节点进行耦合，因此静力平衡方程为：

(K_c+K_s)u＝P (5)

式中，K_c为混凝土单元的整体刚度矩阵，K_s为钢筋单元的整体刚度矩阵。

混凝土采用八节点平面单元，单元均处于平面应力状态，单元示意如图1中(a)；钢筋单元采用两节点线性杆单元，单元示意如图1中(b)。在本发明中不再赘述单元的公式推导，而是直接使用结论，下面主要说明钢筋单元与混凝土单元的耦合方式。

对于八节点平面单元，其共有8个节点，每个节点有x、y两个自由度共16个自由度，单元刚度矩阵为16×16的矩阵，其表达式为：

式中k_c为八节点平面单元刚度矩阵，

为刚度矩阵中p行q列的元素；A、B、D、t分别为单元面积、几何函数矩阵、弹性矩阵、单元厚度；p、q分别代表单元中节点的自由度。

对于两节点线性杆单元，其共有2个节点2个自由度，在其局部坐标系每个节点只有x一个自由度，无法直接与八节点平面单元中节点进行自由度耦合，需要对杆单元进行坐标变换。

杆单元中在局部坐标系中节点位移为

u_s＝[u₁,u₂]^T (7)

图1中(c)为整体坐标系中的杆单元，其节点位移为

式中k_s为杆单元刚度矩阵；l、B、D分别为单元长度、几何函数矩阵、弹性矩阵；i、j分别代表单元中节点的自由度。

经过坐标变换后，杆单元与平面单元节点自由度可以一一对应，将所有单元刚度矩阵根据对应自由度进行组装，即可得到结构总体刚度矩阵，进而完成有限元分析。

1.4优化流程

该算法在MATLAB商业软件平台上进行编程实现。钢筋与混凝土均采用弹性阶段进行优化分析，流程图如图2所示，具体实现步骤如下：

①使用有限元网格离散整个设计域，划分混凝土与钢筋单元；

②定义初始参数、应力约束、删除率er、材料数量n，钢筋直径r_n与弹性模量E，混凝土弹性模量E_c与泊松比μ。

③展开有限元分析；

④计算所有钢筋单元灵敏度；

⑤判断最大钢筋应力是否大于钢筋允许应力，是，则优化结束，否，则进入下一步。

⑥判断是否所有钢筋单元都满足应力约束，是，则先提高最小直径钢筋单元的最小允许应力，否，则直接进入下一步。

⑦判断最大钢筋应力是否大于0.9倍的钢筋允许应力，是，则最高直径钢筋单元不再进行降级操作，否，则进入下一步。

⑧根据钢筋单元灵敏度与优化准则，完成每种钢筋之间的升降操作，并返回第③步。

1.5对称开孔深梁数值算例

1.5.1构件尺寸及优化参数

顶部两点加载的对称开孔简支深梁，尺寸与荷载参数如图3所示。优化中混凝土强度等级采用C30，E_c＝3×10⁴MPa，泊松比μ＝0.3。钢筋采用HRB335，E＝2×10⁵MPa，优化中钢筋容许应力σ_max＝300MPa，初始最小钢筋允许应力为100MPa。降级率e_r＝0.02混凝土单元尺寸为100mm×100mm，钢筋单元基于混凝土单元按照钢筋可行域布置。由于采用了平面单元，优化中单根钢筋的质量与截面积按两榀进行双倍计量。本发明中采用3种钢筋直径，直径分别为16mm、12mm、8mm，通过式(4)计算出三种钢筋的最大与最小允许应力为300MPa、168MPa；270MPa、120MPa；270MPa、100MPa。

传统的经验设计方法中，出于平截面假定与可操作性，钢筋一般水平和竖直布置，仅在靠近支座时考虑剪应力的作用而将部分纵向受拉钢筋弯起。在实际工程中的构件，特别是复杂受力构件中，其应力场复杂，大部分区域处于同时受弯与受剪的状态，其主拉应力方向并不水平且在不同部位不相同，因此在优化中钢筋可行域包含不同角度的钢筋的优化结果可以获得更高钢筋混凝土构件性能配筋设计。基于8节点平面应力单元，本节中钢筋可行域布置为横、竖、斜(与横竖夹角均为45°)的满布钢筋网格，钢筋单元为平面单元角点的连线，单个单元内钢筋可行域如图4(下文称可行域I)所示。

1.5.2优化结果

图5为基于可行域I的钢筋直径多层次BESO(三种直径)的初始钢筋设计域、优化过程与结果。

从优化结果可以看到，构件最大受力部位位于梁底部，结果中在底部位置布置了16mm水平钢筋；其次为洞口附近，布置了相间且水平以斜向交错的12mm与8mm钢筋；最后为距离洞口稍远梁腹部的斜钢筋。引入多种钢筋材料后优化中不仅仅展现了构件中核心的受拉部位，更反应出了构件内部不同区域的受力程度。

2非线性有限元仿真分析

本节将利用第1节中算法完成对称开孔深梁构件的配筋设计并采用ATENA钢筋混凝土结构仿真分析软件对优化配筋设计构件的性能进一步验证。

2.1材料模型

混凝土本构模型采用等效单轴本构模型，完整的等效单轴本构关系如图6所示。

该模型把双轴应力状态中的混凝土的非线性通过有效应力

与等效应变ε^eq转化为单轴应力状态，有效应力一般情况下为主应力。

钢筋本构模型采用双折线模型，如图7中(a)所示，屈服强度和弹性和弹性模量依据相应材性试验确定。钢筋的粘结滑移模型用于模拟钢筋和混凝土之间粘结滑移作用，以此描述二者的协同工作关系，如图7中(b)所示，建立平均粘结应力τ_b与平均滑移s的关系曲线。

2.2有限元模型验证

为验证本节中钢筋混凝土有限元模型对深梁构件的仿真能力。采用简支深梁试验进行模型验证，其基本信息如图8中(a)和图8中(b)所示。有限元建模时混凝土采用CCIsoBrick单元——一种3D八节点六面体线性单元，每个单元共有8个节点和24个自由度，最终建立的混凝土模型如图8中(c)所示。钢筋单元采用CCBarWithBond单元，该单元一共2个节点，且可以考虑钢筋的粘结滑移。模型中混凝土强度基于材料性能试验，混凝土轴心抗压强度为24.9Mpa，轴心抗拉强度为2.66Mpa，8mm钢筋屈服强度为293Mpa，16mm钢筋屈服强度为542Mpa。

图9为现有技术中深梁的试验结果与本节的仿真分析结果对比。图9中(a)为极限状态分析下仿真分析结果与试验结果荷载位移曲线对比，从图中可以看到仿真分析前期刚度大于试验，这可能是早期混凝土内部的孔隙的闭合或支座沉降所导致的，但两者的弹性阶段的极限荷载基本一致，且进入塑性段后，两者的荷载位移曲线基本平行。试验最终承载力约为600kN，而仿真为500kN，两者之间偏差约16％；试验中该深梁的最终位移为3.5mm，而仿真分析中最终约为2mm，这可能是由于在仿真分析中当材料极度非线性后不收敛无法继续分析所导致的。从曲线的整体对比来看，仿真分析的结果具有较高的合理性。图9中(b)为简支深梁的钢筋应力图，底部纵向钢筋并未屈服。图9中(c)与图9中(d)为简支深梁构件的仿真分析裂缝图与试验裂缝图，本节中裂缝图中裂缝经过滤仅显示大于肉眼可识别的最小宽度0.05mm。从图中可以看到，仿真与试验最后均由右侧斜截面发生剪切破坏，同时其他裂缝分布也基本一致，这进一步验证了仿真分析的合理性。以上结果验证了本发明有限元模型对钢筋混凝土深梁的仿真能力，为下述中的仿真分析研究提供了有效依据。

2.3对称开孔深梁的非线性仿真分析

为了验证钢筋直径多层次BESO得到的优化配筋设计，为在第1.5节算例优化结果的基础上，延长与归并部分钢筋，再增加一定锚固长度后得出，配筋设计如图10中(a)所示，编号为DB-O-1-1。在此基础上配置构造钢筋得到图10中(b)，编号为DB-O-1-2。最后本节中设置了经验设计方法设计的对称开孔深梁为对照组，其配筋设计如图10中(c)，编号为DB-E-1。仿真分析中混凝土轴心抗压强度为25MPa，轴心抗拉强度为1.8MPa，所有钢筋屈服强度均为400MPa。

表1统计了对称开孔深梁构件的钢筋用量。从表中可以看到，构件DB-E-1与DB-O-1-2配筋量相差较小，而DB-O-1-1配筋量远低于前两者。

表1经验设计方法与优化配筋设计钢筋用量表

图11为对称开孔深梁的荷载位移曲线图，从图中可以看到，3个构件在300kN之前荷载位移曲线几乎完全重合，随着继续加载，3个构件呈现出了不同的刚度，其中配置了构造钢筋的DB-O-1-2刚度最大，其次为DB-O-1-1，最后为DB-E-1。达到最后的破坏阶段时，3个构件的位移相差不大，但对应的极限承载力差别较大，DB-O-1-2的极限承载力约为1100kN，DB-O-1-1为1000kN，DB-E-1为800kN。

图12为对称开孔深梁的裂缝图与钢筋应力图。从混凝土裂缝图中可以看到优化配筋设计构件DB-O-1-1与DB-O-1-2最后的破坏形态为正截面破坏，裂缝贯穿整个正截面，而经验设计方法构件DB-E-1的破坏形态为斜截面剪切破坏。从钢筋应力图可以看到，DB-O-1-1与DB-O-1-2的钢筋峰值应力与平均应力水平明显高于DB-E-1。

3.钢筋可行域对比

3.1增加钢筋排布角度的可行域及相应的优化

本发明在第一种的基础上增加了平面单元四边中点与角点相连的钢筋单元(与横竖夹角分别为26.6°与63.4°)、单元四边中点两两相连的钢筋单元,这种钢筋的布置如图13所示。

本发明中采用的构件与优化参数与2.3节中一致，图14为基于可行域II的钢筋直径多层次BESO初始钢筋设计域、优化过程与结果。

从优化结果可以看到，优化结果在底部位置布置了16mm水平钢筋，同时在底部第二层布置了12mm水平钢筋；在洞口附近，布置了相间且水平以多种斜钢筋交错的12mm与8mm钢筋；在构件洞口下方附近布置了45度斜钢筋，而在接近梁底部转变为26度的斜钢筋。

3.2钢筋优化可行域对最优拓扑的影响

对比第2.3节与第3.1节中分别基于两种钢筋可行域的钢筋直径多层次BESO的结果。从优化结果图形上看，两者在构件的主要受拉区域的布置基本一致，但由于钢筋可行域的不同，相比于可行域I，可行域II在底部第二层布置了水平受拉钢筋，并在底部水平钢筋附近布置了27度的斜钢筋，而可行域I在相当于可行域II的底部第三层布置了水平钢筋，在底部水平钢筋附近布置为45度斜钢筋。

表2列出了两种可行域优化结果中钢筋的平均利用率、最大与最小钢筋应力与各钢筋材料的平均应力。从表1中可以看到，可行域I与II优化结果的钢筋平均利用率分别为52％与57％，基于可行域II的钢筋平均利用率比可行域I高5％；两者最大钢筋应力都非常贴近允许应力，可行域I略高于可行域II，但可行域II最小钢筋应力高于可行域I约20％。从每种钢筋材料的平均应力可以看到，对于12mm与8mm钢筋的平均应力，可行域II高于可行域I，而对于16mm钢筋的平均应力，可行域II低于可行域I。两种所使用的钢筋质量几乎相同，而可行域II优化效率远低于可行域I。

表2基于钢筋可行域的优化结果数据

从两者的结果可以看到，由于基于可行域II的优化可以更大范围内选取更合理的钢筋布置，因此钢筋可行域的增加使算法的寻优能力获得了明显的提高。可行域I中单个混凝土单元中包含6个钢筋单元，而可行域II中包含20个钢筋单元，因此基于可行域II的优化效率远远低于基于可行域I的优化。从两者在实际工程中的可操作性看，可行域II比可行域I的钢筋分布更为零散，且不同角度的钢筋更多，其可操作性更低。同时，两者的钢筋布置均存在一些零散钢筋与不同直径的钢筋相邻，这些钢筋布置无法在实际工程中进行实现，因此还需要进一步规整，以便于实际使用。

3.3基于可行域II优化结果的仿真分析

本节中采用的优化配筋设计，为在第3.1节中优化结果基础上，延长与归并部分钢筋，再增加一定锚固长度后得出，配筋设计如图15中的(a)所示，编号为DB-O-2-1。在此基础上配置构造钢筋得到图15中的(b)，编号为DB-O-2-2。

表3统计了基于钢筋可行域II的优化配筋设计的钢筋用量。

表3基于钢筋可行域II的优化配筋设计钢筋用量表

图17为基于钢筋可行域II的优化配筋设计构件的分析结果。从图中可以看到，DB-O-2-1最后控制破坏的裂缝位于左支座右侧的弯剪区域，其正截面和斜截面裂缝都有一定程度的扩展，最后的破坏形态处于正截面弯曲破坏与斜截面剪切破坏之间。而添加构造钢筋后，DB-O-2-2的破坏形态转为了典型的斜截面破坏。从钢筋应力图看，添加构造钢筋后的DB-O-2-2构件的主要受力钢筋主要也为优化配筋设计中的钢筋。

4.结论

(1)本发明在原有的钢筋分离模式BESO的基础上引入多种钢筋直径的钢筋单元，基于应力约束来升级与降级不同的钢筋单元，得到基于钢筋分离模式的钢筋直径多层次BESO。在此基础上，进一步基于两种钢筋的可行域来构成优化中的钢筋初始设计域，并完成了钢筋直径多层次BESO。

(2)引入多种钢筋直径单元后，算法优化结果不仅仅展现了构件中核心的受拉部位，更反应出了构件内部不同区域的受力程度。同时，初始范围更广的钢筋可行域II优化结果中钢筋平均利用率与钢筋应力水平明显高于可行域I，其钢筋布置更为合理，但其由于钢筋单元远多于可行域I导致了优化效率远低于可行域I的优化。

(3)基于经过验证的有限元模型，完成了基于可行域I与II优化配筋设计的对称开孔深梁的有限元仿真分析。结果表明，基于两种钢筋可行域的优化设计构件均有较高的承载力，可行域II构件的延性与钢筋利用率相比于可行域I更高、钢筋的峰值应力更低。

(4)完成了经验设计方法与带构造的优化配筋设计的仿真分析。结果表明，经验设计方法的正截面承载力高于斜截面承载力，其斜截面承载力的不足导致其承载力不足；优化配筋的正截面承载能力与斜截面承载能力较接近。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干等同替代或明显变型，而且性能或用途相同，都应当视为属于本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种混凝土深梁的钢筋直径多层次拓扑优化设计方法，其特征在于，具体包括如下步骤：

S1：使用有限元网格离散整个设计域，划分混凝土与钢筋单元；

S2：定义初始参数、应力约束、删除率e_r、材料数量n，钢筋直径r_n与弹性模量E，混凝土弹性模量E_c与泊松比μ；

S3：展开有限元分析；

S4：计算所有钢筋单元灵敏度；

S5；判断最大钢筋应力是否大于钢筋允许应力，是，则优化结束，否，则执行S6；

S6：判断是否所有钢筋单元都满足应力约束，是，则先提高最小直径钢筋单元的最小允许应力，再执行S7，否，则直接执行S7；

S7：判断最大钢筋应力是否大于0.9倍的钢筋允许应力，是，则最高直径钢筋单元不再进行降级操作，再执行S8，否，则直接执行S8；

S8：根据钢筋单元灵敏度与优化准则，完成每种钢筋之间的升降操作，并返回S3；

每种钢筋通过各异的钢筋直径赋值来体现等级差别，目标函数为应力约束下最大化钢筋利用率，问题描述为：

式中s为钢筋的利用程度；e、σ_i、σ₀、S_i、u_i、r_i分别为钢筋单元数量、第i个钢筋单元的应力、钢筋的容许应力、第i个钢筋单元的应力矩阵、第i个钢筋单元的位移向量及第i个钢筋单元的直径；K、u、P分别为结构总体刚度矩阵、位移向量及荷载向量；

与

分别为第n种钢筋单元应力下限与上限；

钢筋单元通过两节点线性杆单元模拟，其应力沿长度为常数，计算式为：

式中l为钢筋单元长度，u₁与u₂分别为钢筋单元两个节点的位移；

在优化中只考虑钢筋的抗拉能力，钢筋的灵敏度取：

式中s_i为第i个钢筋单元的利用程度；σ_i为第i个钢筋单元的应力；

以钢筋应力为约束，同时基于钢筋应力约束逐代降级低效钢筋单元，同时每代从次级钢筋单元中升级高效单元；

对于n种钢筋直径的单元，其应力约束为

式中k代表第k种钢筋材料，

为第k种钢筋材料的第i个单元应力。

2.根据权利要求1所述的混凝土深梁的钢筋直径多层次拓扑优化设计方法，其特征在于，

将混凝土与钢筋分离建模，不考虑钢筋与混凝土的粘结滑移，钢筋与混凝土单元之间通过节点进行耦合，因此静力平衡方程为：

(K_c+K_s)u＝P (5)

式中，K_c为混凝土单元的整体刚度矩阵，K_s为钢筋单元的整体刚度矩阵；

混凝土采用八节点平面单元，单元均处于平面应力状态；

对于八节点平面单元，其共有8个节点，每个节点有x、y两个自由度共16个自由度，单元刚度矩阵为16×16的矩阵，其表达式为：

式中k_c为八节点平面单元刚度矩阵，

为刚度矩阵中p行q列的元素；A、B、D、t分别为单元面积、几何函数矩阵、弹性矩阵、单元厚度；p、q分别代表单元中节点的自由度；

对于两节点线性杆单元，其共有2个节点2个自由度，在其局部坐标系每个节点只有x一个自由度，无法直接与八节点平面单元中节点进行自由度耦合，需要对杆单元进行坐标变换；

杆单元中在局部坐标系中节点位移为：

u_s＝[u₁,u₂]^T (7)

整体坐标系中的杆单元，其节点位移为：

在节点1中，整体坐标系中节点位移

和

对应了平面单元中节点的两个自由度，其合成结果等效于u₁；

完成坐标变换后，杆单元刚度矩阵为8×8的矩阵，其表达式为：

式中k_s为杆单元刚度矩阵,

为刚度矩阵中p行q列的元素；l、B、D分别为单元长度、几何函数矩阵、弹性矩阵；p、q均代表单元中节点的自由度；

经过坐标变换后，杆单元与平面单元节点自由度可以一一对应，将所有单元刚度矩阵根据对应自由度进行组装，即可得到结构总体刚度矩阵，进而完成有限元分析。

Images