CN111047662B - 自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法，包含如下步骤：根据实验获得相对边界测量电压并计算出灵敏度矩阵A；将非线性的问题转化为线性问题；提出目标函数；将提出的非凸目标函数利用迭代重加权最小二乘法方法变换为凸逼近模型；在凸逼近模型中引入3个辅助变量v、w和z，将凸逼近模型的优化模型的无约束问题转化为约束问题；根据交替方向乘子法求解目标函数凸逼近模型的算法，判断迭代是否符合迭代终止条件；根据最终迭代得出的电导率分布的灰度值完成图像的重建。本发明明显抑制了重建图像的阶梯效应，在保有效证抑制阶梯效应效果的基础上，利用非凸函数的保边性能进一步增强对边缘信息的保留。

Description

自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法

技术领域

本发明属于电学层析成像技术领域，具体涉及通过自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法实现图像的重建。

背景技术

电学层析成像技术(Electrical Tomography，ET)出现于上世纪八十年代后期，是一种基于电学特性(电导率/介电系数/复导纳/磁导率)敏感机理的过程层析成像技术，它通过边界测量值得出被测区域内介质的分布信息，进而对电学特性的分布信息进行成像。电学层析成像常用于工业检测领域，在生物医学成像领域也有很大的应用前景。电学层析成像技术主要包括电阻层析成像(Electrical Resistance Tomography，ERT)、电阻抗层析成像(Electrical Impedance Tomography，EIT)、电磁层析成像(Electrical MagneticTomography，EMT)和电容层析成像(Electrical Capacitance Tomography，ECT)。电学层析成像的图像重建是严重的不适定问题，阻碍了电学层析成像的发展。目前解决不适定问题比较常用方法是正则化方法，通过在目标函数中加入正则项的方法来稳定解。例如Tikhonov正则化方法因其简单、稳定、不需要迭代而引起了人们的广泛关注。如Y B Xu等人2016年发表于《流量测量和仪器》(Flow Measurement and Instrumentation)第50卷，第1-12页，题为电阻层析成像自适应Tikhonov正则化参数选择方法(An adaptive Tikhonovregularization parameter choice method for electrical resistance tomography)。然而，Tikhonov正则化方法对重建图像非连续边界会施加过度的光滑，从而降低了重建图像的质量。为了解决这个问题，增强对边缘信息的保留，提出了全变分正则化方法，该方法可以保留边界的不连续性，允许重建锐利的边缘，以产生更清晰的图像，在电学层析成像领域方面受到了广泛的关注，例如KZLi等人2018年发表于《IEEE传感器杂志》(IEEE SensorsJournal)第18卷，第5049-5057页，题为电容层析成像的非线性重加权全变分图像重建算法(A non-linear reweighted total variation image reconstruction algorithm forelectrical capacitance tomography)。然而，全变分正则化方法在重建图像的平滑区域时经常出现不想要的阶梯伪影，称为“阶梯效应”。为了抑制阶梯效应，对全变分正则化方法的改进进行了大量的工作，其中，混合全变分正则化方法在克服阶梯伪影和保留锐利边缘方面提供了一种有效的折中方案。如SWang等人2018年发表于《数值算法》(NumericalAlgorithms)第78卷，第513-533页，题为利用一阶和二阶全变差去除超声图像中的散斑噪声(Speckle noise removal in ultrasound images by first and second-order totalvariation)。混合全变分正则化方法在一阶梯度正则项的基础上引入二阶梯度正则项，有效抑制了阶梯效应，但不可避免的牺牲了全变分正则化方法在保留边缘信息方面的性能。为了弥补混合全变分正则化方法的这一缺陷，利用非凸函数有利于保留边缘信息的特性，将混合全变分正则化方法的正则项中引入非凸函数，进一步增强在保留边缘信息方面的性能。

发明内容

本发明的目的是提出了一种自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法，该方法在混合全变分正则化方法正则项的基础上引入非凸函数，并自适应的选取正则化参数和权重因子；正则化参数用于权衡最小二乘项与正则项之间的权重，权重因子来权衡一阶梯度正则项与二阶梯度正则项之间的权重。相比于全变分正则化方法，本发明所提出的自适应非凸混合全变分正则化方法在去阶梯效应方面展现出了优越的性能，明显的抑制了重建图像的阶梯效应。与混合全变分正则化方法相比，在保有效证抑制阶梯效应效果的基础上，利用非凸函数的保边性能进一步增强对边缘信息的保留。

本发明为实现上述目的采用如下技术方案，自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法，其特征在于具体过程为：将电阻层析成像的非线性逆问题，线性化为线性问题b＝Ag，式中，A为灵敏度矩阵，b为相对边界测量电压，g为真实电导率的分布；所设计的目标函数为：

其中：λ为正则化参数，它控制着最小二乘项(又称数据保真项)和正则项又称惩罚项/>之间的权重，式中，0＜π₁＜1,0＜π₂＜1为非凸函数的非凸参数，ω为权重因子控制着一阶非凸正则项与二阶非凸正则项之间的权重；

为了用交替方向乘子算法求解所提出的自适应混合全变分正则化方法，需要先将提出的非凸目标函数利用迭代重加权最小二乘法方法变换为凸逼近模型，目标函数的凸逼近模型表示为：

式中，为了避免/>和/>的分母为0，将φ设置为10^-6；

在目标函数的凸逼近模型中引入3个辅助变量v、w和z，将凸逼近模型的无约束问题转化为约束问题表示为：

为了用交替方向乘子法算法求上式，将上述约束形式表示为增广拉格朗日函数：

式中，T表示矩阵的转置算子，α,β和χ是增广拉格朗日乘子，δ₁,δ₂,δ₃>0是平衡各项之间权重的惩罚参数；

重建算法的具体过程为：(1)根据实验获得相对边界测量电压b，并计算出灵敏度矩阵A，实验系统为16电极测量系统，并采用相邻模式的电流激励和相邻模式的电压检测，相对边界测量电压b为不含内含物的空场边界测量电压b₁与含有内含物的有物场边界测量电压b₂之差；(2)将非线性的逆问题转化为线性问题；(3)提出目标函数；(4)为了用交替方向乘子法算法求解所提出的自适应混合全变分正则化方法，将提出的非凸目标函数利用迭代重加权最小二乘法方法变换为凸逼近模型；(5)在凸逼近模型中引入3个辅助变量v、w和z，将凸逼近模型的优化模型的无约束问题转化为约束问题；(6)根据交替方向乘子法求解目标函数的凸逼近模型的算法，包括设置初始化参数，更新权重因子ω，更新非凸参数π₁，π₂，更新正则化参数λ，更新辅助变量v,w,z，更新电导率分布判断迭代是否符合迭代终止条件；(7)根据求解出的最优灰度值/>完成图像的重建。

进一步优选，所述重建算法的具体步骤为：

步骤一：根据实验获得相对边界测量电压b，并计算出灵敏度矩阵A。本发明的实验系统为16电极电阻层析成像测量系统，并采用相邻模式的电流激励和相邻模式的电压检测。在循环激励和循环检测下，总共可以获得208组边界电压测量数据；通过含有内含物的满场边界测量电压b₂与不含内含物的空场边界测量电压b₁之差，求取相对边界测量电压b，即b＝b₂-b₁。

灵敏度矩阵根据不含内含物的空场边界测量电压，结合灵敏度理论，可以计算得出，计算公式为：式中，A_ij是第j个电极组对第i个电极组的灵敏度系数，φ_i和φ_j为第i个电极组及第j个电极组在激励电流分别为I_i，I_j时场域的电势分布；/>分别表示φ_i和φ_j的梯度算子。

步骤二：将图像重建的非线性问题转化为线性问题；边界测量电压与电导率分布的关系是非线性的。对于变化不大的电导率分布，可将边界测量电压的变化简化为线性形式式中,σ是电导率，Δσ是电导率分布的扰动，Δu是电导率的变化引起的边界测量电压的变化。最后为了方便起见，将以上线性形式表示为b＝Ag，式中，g为电导率分布的灰度值。

步骤三：所提出新方法的目标函数为：式中，最小二乘项，/>为一阶非凸正则项，/>为二阶非凸正则项，0＜π₁＜1和0＜π₂＜1，ω是自适应权重因子用于调节一阶非凸正则项和二阶非凸正则项之间的权重。为正则化参数用于权衡最小二乘项与整个正则项之间的权重。

步骤四：为了用交替方向乘子法求解所提出的自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法，将步骤三中的非凸目标函数利用迭代重加权最小二乘法变换为凸逼近模型。目标函数的凸逼近模型可以表示为：式中，为了避免/>和/>的分母为0将φ设置为10^-6。在图像重建中，通过将目标函数最小化来求解最优的电导率分布，其优化模型表示为：/>

步骤五：在步骤四的优化模型中引入3个辅助变量v、w和z，将步骤四中的无约束问题转化为约束问题表示为：

为了用交替方向乘子法算法求上式，将上述约束形式表示为增广拉格朗日函数：

式中，T表示矩阵的转置算子，式中，α,β和χ是增广拉格朗日乘子，δ₁,δ₂,δ₃>0是平衡各项之间权重的惩罚参数。

步骤六：根据交替方向乘子迭代算法，求解目标函数凸逼近模型的算法如下：

(1)初始化：α⁰＝0，β⁰＝0，χ⁰＝0，g⁰＝A^Tb，k＝0，式中，k表示第k次迭代；

(2)更新权重因子ω，与上一次迭代获得的值有关，/>

(3)更新非凸参数π₁，π₂，根据上次迭代结果值的一阶梯度和二阶梯度自动选择合适的参数，/>

(4)更新正则化参数λ，根据上次迭代的值的最大值/>和最小值/>为先验经验自适应的选取合适的正则化参数，/>式中，D代表求解有限元剖分的平均网格长度，t为调节正则化参数的因子0＜t＜100；

(5)更新辅助变量v，

(6)更新辅助变量w，

(7)更新辅助变量z，

(8)更新电导率分布

(9)若k＞k_max终止迭代；否则，设置k＝k+1继续迭代；

步骤七：根据求解出的最优灰度值完成图像的重建。

本发明与现有技术相比具有以下有益效果：本发明提出了自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法。通过在混合全变分正则化方法的正则项中引入非凸函数，进一步提高了保留边缘信息的性能。此外，本文为了利用交替方向乘子法算法来求解所提出目标函数的优化问题，将非凸的目标函数利用迭代重加权最小二乘法转化为了凸逼近模型，最后利用交替方向乘子法算法求解凸逼近模型以达到优化目标函数的目的。本发明对三种正则化方法的性能进行了定性和定量分析。结果表明，所提出的新正则化方法比全变分正则化方法和混合全变分正则化方法成像的质量更高，在保证有效抑制阶梯效应的基础上，进一步增强了混合全变分正则化方法对重建图像边缘信息的保留。

附图说明

图1为本发明的自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法图像重建的流程框图；

图2为本发明的电阻层析成像系统原理图；

图3为选取的两种经典模型分别通过全变分正则化方法、混合全变分正则化方法和自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法图像重建的结果图；

图4为三种方法在不同噪声水平下对混合模型重建的结果图；

图5为混合模型重建图像的相对误差(Relative Error，RE)和相关系数(Correlation Coefficient，CC)；

图中：1-激励电流，2-被测物体，3-测量电压，4-被测场域，5-电极。

具体实施方式

结合附图详细对本发明自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法加以说明。

本发明的自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法，针对在利用混合全变分正则化方法重建图像时，边缘信息不能很好保留的问题。在原来混合全变分正则化方法的正则项中引入非凸函数，该方法利用了非凸函数有利于边缘信息保留的特性。通过自适应的方法选择正则化参数，来去权衡最小二乘项与正则项之前的权重；通过自适应的方法选择权重因子来控制一阶非凸正则项与二阶非凸正则项之间的权重。

如图1所示，为本发明自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法进行图像重建的流程图。如图2所示，为本发明的电阻层析成像系统单截面被测场域4的原理图，16个电极5等间距的附在被测物体2的周围，并采用了相邻模式的激励电流1和测量电压3。最后，根据测量数据重构内部电导率的分布情况。如图3所示，本发明选取了两种不同边缘的模型进行电导率分布的重建，图中第一列为重建的真实模型，右边三列依次为全变分正则化方法、混合全变分正则化方法和自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法重建的电导率分布的图像。本发明对两种不同边缘的模型，具有光滑边缘的模型a和具有锐利边缘的模型b进行了研究。结果表明，采用全变分正则化方法重建的图像阶梯效应比较严重，整体成像质量不高。由混合全变分正则化方法重建的图像，阶梯效应得到了明显的抑制，但是成像目标的边缘信息保留的不好，无法较好的还原成像目标的轮廓。本发明提出的新方法不仅有效地抑制了阶梯效应，而且边缘信息得到了更好的保留，与前两种正则化方法相比重建图像的质量最好。

电阻层析成像图像重建是一个严重不适定性的逆问题。目前正则化方法是解决这类问题的经典方法，通过在目标函数最小二乘项的基础上增加正则项，提高解的稳定性。正则化方法的一般形式可以描述为：式中，λ是控制最小二乘项和正则项R(g)之间权重的正则化参数。

全变分正则化方法是一种可以有效进行重建图像的经典正则化方法，表示为：该方法能较好的保留重建图像的边缘信息。然而，该方法仅能对分段常数函数进行重建，所以在重建图像的平滑区域会产生明显的阶梯效应。

在全变分正则化方法的一阶梯度正则项的基础上引入二阶梯度正则项，两项共同构成目标函数的正则项，并通过权重因子调节一阶梯度正则项和二阶梯度正则项之间的权重，来抑制在全变分正则化方法重建的图像中产生的阶梯效应，称为混合全变分正则方法，表示为：该方法有效的抑制了阶梯效应，但在一定上牺牲了全变分正则化方法保留边缘信息的性能。

为了提高重建图像的质量，克服混合全变分正则化方法在抑制重建图像中出现的阶梯效应时会在一定程度上牺牲对边缘信息保留的缺点。本发明提出了自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法，该方法以一阶梯度函数和二阶梯度函数混合的正则项为基础引入非凸函数，并结合最小二乘项共同构成目标函数；通过自适应的方法获得正则化参数、非凸参数和权重因子的最优值，并提出一种高效、快速的交替方向乘子法求解目标函数。具体实施步骤如下：

步骤一：根据实验获得相对边界测量电压b，并计算出灵敏度矩阵A。本发明的实验系统为16电极电阻层析成像测量系统，并采用相邻模式的电流激励和相邻模式的电压检测。在循环激励和循环检测下，总共可以获得208组边界电压测量数据；通过含有内含物的满场边界测量电压b₂与不含内含物的空场边界测量电压b₁之差，求取相对边界测量电压b，即b＝b₂-b₁。

灵敏度矩阵根据不含内含物的空场边界测量电压，结合灵敏度理论，可以计算得出，计算公式为：式中，A_ij是第j个电极组对第i个电极组的灵敏度系数，φ_i和φ_j为第i个电极组及第j个电极组在激励电流分别为I_i，I_j时场域的电势分布；/>分别表示φ_i和φ_j的梯度算子。

步骤二：将图像重建的非线性问题转化为线性问题；边界测量电压与电导率分布的关系是非线性的。对于变化不大的电导率分布，可将边界测量电压的变化简化为线性形式式中,σ是电导率，Δσ是电导率分布的扰动，Δu是电导率的变化引起的边界测量电压的变化。最后为了方便起见，将以上线性形式表示为b＝Ag，式中，g为电导率分布的灰度值。

步骤三：所提出新方法的目标函数为：式中，最小二乘项，/>为一阶非凸正则项，/>为二阶非凸正则项，0＜π₁＜1和0＜π₂＜1，ω是自适应权重因子用于调节一阶非凸正则项和二阶非凸正则项之间的权重。为正则化参数用于权衡最小二乘项与整个正则项之间的权重。

步骤四：为了用交替方向乘子法求解所提出的自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法，将步骤三中的非凸目标函数利用迭代重加权最小二乘法变换为凸逼近模型。目标函数的凸逼近模型可以表示为：式中，为了避免/>和/>的分母为0将φ设置为10^-6。在图像重建中，通过将目标函数最小化来求解最优的电导率分布，其优化模型表示为：/>

步骤五：在步骤四的优化模型中引入3个辅助变量v、w和z，将步骤四中的无约束问题转化为约束问题表示为：

为了用交替方向乘子法算法求上式，将上述约束形式表示为增广拉格朗日函数：

式中，T表示矩阵的转置算子，式中，α,β和χ是增广拉格朗日乘子，δ₁,δ₂,δ₃>0是平衡各项之间权重的惩罚参数。

步骤六：根据交替方向乘子迭代算法，求解目标函数凸逼近模型的算法如下：

(1)初始化：α⁰＝0,β⁰＝0,χ⁰＝0,g⁰＝A^Tb,k＝0，式中,k表示第k次迭代；

(2)更新权重因子ω，与上一次迭代获得的值有关，/>

(3)更新非凸参数π₁，π₂，根据上次迭代结果值的一阶梯度和二阶梯度自动选择合适的参数，/>

(4)更新正则化参数λ，根据上次迭代的值的最大值/>和最小值/>为先验经验自适应的选取合适的正则化参数，/>式中，D代表求解有限元剖分的平均网格长度，t为调节正则化参数的因子0＜t＜100；

(5)更新辅助变量v，

(6)更新辅助变量w，

(7)更新辅助变量z，

(8)更新电导率分布

(9)若k＞k_max终止迭代；否则，设置k＝k+1继续迭代；

步骤七：根据求解出的最优灰度值完成图像的重建。

图4比较了三种方法在不同噪声水平下对混合模型的重建图像。可以看出，当噪声水平逐渐增大时，本发明提出的方法在抑制阶梯伪影和保留边缘信息方面优于其它两种方法。同时，在电学层析成像中，通常采用图像相对误差(Relative Error，RE)和相关系数(Correlation Coefficient，CC)来定量评价图像重建的质量，图像的相对误差越小，相关系数越大，表明图像的重建质量越好，RE和CC的表达式为：

式中，σ是重建区域的计算电导率，σ^*是实际电导率，n表示像素数，和/>表示σ和σ^*的平均值，σ_i和σ_i ^*表示的是σ和σ^*的第i个三角形单元。

图5给出了这三种正则化方法在不同噪声水平下混合模型重建图像的相对误差和相关系数，可以看出，本发明提出的新方法与全变分正则化方法和混合全变分正则化方法相比具有最低的相对误差和最高的相关系数，定量的验证了本发明所提出的自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法在图像重建方面的优越性。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法，其特征在于具体过程为：将电阻层析成像的非线性逆问题，线性化为线性问题b＝Ag，式中，A为灵敏度矩阵，b为相对边界测量电压，g为真实电导率的分布；所设计的目标函数为：

其中：λ为正则化参数，它控制着最小二乘项(又称数据保真项)和正则项又称惩罚项/>之间的权重，式中，0＜π₁＜1,0＜π₂＜1为非凸函数的非凸参数，ω为权重因子控制着一阶非凸正则项与二阶非凸正则项之间的权重；

为了用交替方向乘子算法求解所提出的自适应混合全变分正则化方法，需要先将提出的非凸目标函数利用迭代重加权最小二乘法方法变换为凸逼近模型，目标函数的凸逼近模型表示为：

式中，为了避免/>和/>的分母为0，将φ设置为10^-6；

在目标函数的凸逼近模型中引入3个辅助变量v、w和z，将凸逼近模型的无约束问题转化为约束问题表示为：

为了用交替方向乘子法算法求上式，将上述约束形式表示为增广拉格朗日函数：

式中，T表示矩阵的转置算子，α,β和χ是增广拉格朗日乘子，δ₁,δ₂,δ₃>0是平衡各项之间权重的惩罚参数；

重建算法的具体过程为：(1)根据实验获得相对边界测量电压b，并计算出灵敏度矩阵A，实验系统为16电极测量系统，并采用相邻模式的电流激励和相邻模式的电压检测，相对边界测量电压b为不含内含物的空场边界测量电压b₁与含有内含物的有物场边界测量电压b₂之差；(2)将非线性的逆问题转化为线性问题；(3)提出目标函数；(4)为了用交替方向乘子法算法求解所提出的自适应混合全变分正则化方法，将提出的非凸目标函数利用迭代重加权最小二乘法方法变换为凸逼近模型；(5)在凸逼近模型中引入3个辅助变量v、w和z，将凸逼近模型的优化模型的无约束问题转化为约束问题；(6)根据交替方向乘子法求解目标函数的凸逼近模型的算法，包括设置初始化参数，更新权重因子ω，更新非凸参数π₁，π₂，更新正则化参数λ，更新辅助变量v,w,z，更新电导率分布判断迭代是否符合迭代终止条件；(7)根据求解出的最优灰度值/>完成图像的重建。

2.根据权利要求1所述的自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法，其特征在于所述重建算法的具体步骤为：

步骤一：根据实验获得相对边界测量电压b，并计算出灵敏度矩阵A；本发明的实验系统为16电极电阻层析成像测量系统，并采用相邻模式的电流激励和相邻模式的电压检测；在循环激励和循环检测下，总共可以获得208组边界电压测量数据；通过含有内含物的满场边界测量电压b₂与不含内含物的空场边界测量电压b₁之差，求取相对边界测量电压b，即b＝b₂-b₁；

灵敏度矩阵根据不含内含物的空场边界测量电压，结合灵敏度理论，可以计算得出，计算公式为：式中，A_ij是第j个电极组对第i个电极组的灵敏度系数，φ_i和φ_j为第i个电极组及第j个电极组在激励电流分别为I_i，I_j时场域的电势分布；分别表示φ_i和φ_j的梯度算子；

步骤二：将图像重建的非线性问题转化为线性问题；边界测量电压与电导率分布的关系是非线性的；对于变化不大的电导率分布，可将边界测量电压的变化简化为线性形式式中,σ是电导率，Δσ是电导率分布的扰动，Δu是电导率的变化引起的边界测量电压的变化；将以上线性形式表示为b＝Ag，式中，g为电导率分布的灰度值；

步骤三：所提出新方法的目标函数为：式中，最小二乘项，/>为一阶非凸正则项，/>为二阶非凸正则项，0＜π₁＜1和0＜π₂＜1，ω是自适应权重因子用于调节一阶非凸正则项和二阶非凸正则项之间的权重；λ为正则化参数用于权衡最小二乘项与整个正则项之间的权重；

步骤四：为了用交替方向乘子法求解所提出的自适应非凸混合全变分正则化工业电阻层析成像方法，将步骤三中的非凸目标函数利用迭代重加权最小二乘法变换为凸逼近模型；目标函数的凸逼近模型可以表示为：式中，为了避免/>和/>的分母为0将φ设置为10^-6；在图像重建中，通过将目标函数最小化来求解最优的电导率分布，其优化模型表示为：/>

步骤五：在步骤四的优化模型中引入3个辅助变量v、w和z，将步骤四中的无约束问题转化为约束问题表示为：

为了用交替方向乘子法算法求上式，将上述约束形式表示为增广拉格朗日函数：

式中，T表示矩阵的转置算子，式中，α,β和χ是增广拉格朗日乘子，δ₁,δ₂,δ₃>0是平衡各项之间权重的惩罚参数；

步骤六：根据交替方向乘子迭代算法，求解目标函数凸逼近模型的算法如下：

(1)初始化：α⁰＝0，β⁰＝0，χ⁰＝0，g⁰＝A^Tb，k＝0，式中，k表示第k次迭代；

(2)更新权重因子ω，与上一次迭代获得的值有关，/>

(3)更新非凸参数π₁，π₂，根据上次迭代结果值的一阶梯度和二阶梯度自动选择合适的参数，/>

(4)更新正则化参数λ，根据上次迭代的值的最大值/>和最小值/>为先验经验自适应的选取合适的正则化参数，/>式中，D代表求解有限元剖分的平均网格长度，t为调节正则化参数的因子0＜t＜100；

(5)更新辅助变量v，

(6)更新辅助变量w，

(7)更新辅助变量z，

(8)更新电导率分布

(9)若k＞k_max终止迭代；否则，设置k＝k+1继续迭代；

步骤七：根据求解出的最优灰度值完成图像的重建。