CN109919844B - 一种高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法，该方法采用加权矩阵来控制数据保真度项，并提出在加权矩阵中自动选择阈值的方法以保证求解的准确性和速度，同时设置一个标度因子来控制加权矩的权重，该方法适用于电学层析成像，将电学层析成像问题看作求解一个线性不适定问题，确定目标函数；具体过程为：根据被测场域获取重建所需的相对边界测量值向量和灵敏度矩阵；设置初始化参数；计算目标函数的梯度和Hessian矩阵；用高斯‑牛顿迭代方法来更新解的值；判断迭代是否结束；根据最终求解所得成像灰度值进行成像。本发明有效提高了电学层析成像重建图像的质量和图像分辨率，简化了算法的复杂度，增强了算法的适用性。

Description

一种高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法

技术领域

本发明属于电学层析成像技术领域，具体涉及一种高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法。

背景技术

电学层析成像技术(Electrical Tomography，ET)出现于20世纪80年代后期，是一种基于电特性敏感机理的过程层析成像技术，它基于边界测量值对测量区域介质的电特性(电导率/介电系数/复导纳/磁导率)分布信息进行成像，进而得到介质的分布信息。电学层析成像技术主要包括电阻层析成像(Electrical Resistance Tomography，ERT)、电容层析成像(Electrical Capacitance Tomography，ECT)、电阻抗层析成像(ElectricalImpedance Tomography，EIT)和电磁层析成像(Electrical Magnetic Tomography，EMT)。电学层析成像在多相流、地质勘探以及医学成像领域有广泛的应用前景，可以实现长期、持续监测，并能够实现功能性成像。

电学层析成像逆问题(即图像重建问题)求解具有非线性，通过线性化处理，可以将问题转化为线性逆问题求解。针对逆问题求解的不适定性，通常选取正则化方法处理逆问题，例如W Q Yang等人2002年发表于《测量科学与技术》(Measurement Science&Technology)第14卷，第R1-R13页，文章名称为《电容层析成像图像重建算法》(Imagereconstruction algorithms for electrical capacitance tomography)的综述文章介绍的部分利用正则化实现图像重建的方法。目前常采用Tikhonov正则化算法和全变分(Total Variation，TV)正则化算法来求解逆问题，但这两种算法均存在一定的缺陷。

Tikhonov正则化算法由于其简单性得到了广泛的应用，通过在目标函数中加入一个罚函数来实现对解的阻尼作用，达到使解稳定的目的，同时又在一定程度上保证了解的空间分辨率，但图像重建质量依赖于正则化参数的选取，当正则化参数较小时，很难改善病态性；当正则化参数较大时，虽然可以减小对误差的敏感性，但其解通常偏离真实值，甚至可能导致所求解无意义。因此针对正则化系数选取方法的研究已经十分广泛，学者们提出了各种方法用于正则化系数的选取。例如M.Rezghi等人2009年发表于《计算和应用数学杂志》(Journal of Computational and Applied Mathematics)第231卷，第914-924页，文章名称为《基于Tikhonov正则化的L-曲线法的新的变形方法》(Anew variant of L-curvefor Tikhonov regularization)；Y B Xu等人2016年发表于《流量测量与仪表》(flowmeasurement and instrumentation)第50卷，第1-12页，文章名称为《电阻层析成像的自适应Tikhonov 正则化参数选择方法》(An adaptive Tikhonov regularization parameterchoice method for electrical resistance tomography)。Tikhonov正则化算法对于被测介质连续分布具有良好的性能。然而，当被测介质不连续分布时，在边界上施加了过度的光滑性，从而降低了重建图像的分辨率。为了保持锐利的边缘，全变分正则化算法提供了一种解决方案。

全变分正则化算法是首次由L Rudin等人1992年发表于《物理学d-非线性现象》(physica d-nonlinear phenomena)第60卷，第259-268页，文章名称为《基于非线性全变差的噪声去除算法》(Nonlinear total variation based noise removal algorithms)，目的是在图像的边缘保持锐利的不连续性。由于它保留了边界的不连续性，并允许重建锐利的边缘以产生更清晰的图像，在电学层析成像领域方面受到了广泛的关注，如G González等人2017年发表于《计算机和数学及其应用》(Computers&Mathematics withApplications)第74卷，第564-576页，文章名称为《电阻抗层析成像中的各向同性和各向异性全变分正则化》(Isotropic and anisotropic total variation regularization inelectrical impedance tomography)；KZ Li等人2018年发表于《IEEE传感器杂志》(IEEESensors Journal)第18卷，第5049-5057页，文章名称为《电容层析成像的非线性重加权全变分图像重建算法》(A non-linear reweighted total variation imagereconstruction algorithm for electrical capacitance tomography)。同时为了提高全变差正则化算法的性能，人们也进行了大量的研究。如X W Liu等人2014年发表于《仿真中的数学与计算机》(Mathematics and Computers in Simulation)第97卷，第224-233页，文章名称为《一种新的非局部全变分正则化图像去噪算法》(Anew nonlocal totalvariation regularization algorithm for image denoising)；P Jidesh等人2018年发表于《计算机与电气工程》(Computers&Electrical Engineering)第67卷，第114-133页，文章名称为《图像恢复的非局部全变分正则化模型》(Non-local total variationregularization models for image restoration)；M Dodangeh等人2018年发表于《IET图像处理》(IET Image Processing)第12卷，第948-958页，文章名称为《利用分裂Bregman技术进行空间自适应全变差消模糊》(Spatially adaptive total variation deblurringwith split Bregman technique)等文章在一定程度上提高了全变差正则化算法的性能和图像质量。然而，图像的分辨率仍有待提高。此外，这些方法大多集中在惩罚项的研究上，在提高重建图像质量的过程中，对数据保真度项的研究较少。

为了提高重建图像的分辨率，本发明针对数据保真项提出一种高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法，用来求解电学层析成像的逆问题，同时本发明降低了重建方法的复杂度，便于重建方法的推广和使用。

发明内容

本发明的目的在于提供了一种高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法，该方法采用加权矩阵来控制数据保真度项，通过在加权矩阵中自动选择阈值的方法以保证求解的准确性和速度，同时设置一个标度因子来控制加权矩阵的权重。相比于Tikhonov正则化算法和全变分正则化算法，本发明提出的高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法在提高电学层析成像重建图像的分辨率方面具有很好的效果。

本发明为实现上述目的采用如下技术方案，一种高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法，其特征在于：该重建方法将电学层析成像看作一个线性不适定问题Au＝b，其中，A为灵敏度矩阵，b为相对边界测量值向量，u为所求成像灰度值，所建立的最小化目标函数为：

其中，||·||为欧几里得范数，

为加权矩阵，

为阈值函数，χ为标度因子，β为正阈值常数，通过选择误差参数|e|＝|Au-b|的固定百分比来自动确定β值，p为数据保真度项和正则化项的范数，取p＝1，λ为初始人为选择的正则化因子，Ω为被测场，u^(k)和u^(k-1)分别是第k次和第k-1次解的列向量；所述的高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法的具体步骤为：

(1)根据被测场域获取重建所需的相对边界测量值向量b和灵敏度矩阵A；边界测量值的获取通常是指将被测对象置于电学层析成像测量系统中，被测场域外均匀分布L个电极，采用电流激励电压测量且激励电极不测量的模式，采集循环激励循环测量下各个电极上的边界电压，相对边界测量值向量b为不含内含物的空场边界测量电压向量b1和含有内含物的有物场的边界测量电压向量b2之差；

(2)设置初始化参数：初始解u₀＝A^Tb，p＝1，正阈值常数β，光滑逼近参数ε＝10-⁶，正则化因子λ＝3，标度因子χ＝15，初始迭代次数k＝1，最大迭代次数k＝15；

(3)计算目标函数的梯度和Hessian矩阵；

(4)用高斯-牛顿迭代方法来更新解的值；

(5)判断迭代是否符合迭代终止条件

或者是否达到最大迭代次数，若是则迭代终止，进行下一步操作，若否则设置k＝k+1并跳回第(3)步继续迭代求解；

(6)根据最终求解所得成像灰度值进行成像。

本发明具有以下有益效果：本发明所提供的高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法在迭代过程中，通过加权矩阵来控制数据保真度项，并设置一个标度因子来控制加权矩阵的权重，同时在每一次的迭代过程中自动地选择加权矩阵的阈值，提高求解的精确性和速度，提高了重建方法的适用性和易用性，扩展了全变分正则化算法的应用范围。同时本发明提出的重建方法有效的克服了传统Tikhonov正则化算法的边缘过光滑效应和全变分正则化算法图像分辨率较低的特点，在提高电学层析成像重建图像的质量和分辨率方面有很好的效果。

附图说明

图1为本发明提供的高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法的流程框图；

图2为本发明的电阻层析成像系统圆形单截面被测场域、激励电流和测量电压的模式以及电极分布；

图3为本发明实施例中在选取五种模型的真实分布时，典型的Tikhonov正则化算法、全变分(TV)正则化算法和本发明所提供的高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法的图像重建结果的示意图；

图4为误差参数|e|的数据分布图；

图5中(a)为不同标度因子下的五种真实模型的相对误差；(b)为不同标度因子下的五种真实模型的相关系数；

图6中(a)为五种真实模型的相对误差；(b)为五种真实模型的相关系数。

图中：1-被测场域，2-电极，3-激励电流，4-测量电压。

具体实施方式

结合附图和实施例对本发明提供的高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法加以详细说明。

本发明所述的高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法，以全变分正则化为基础，针对传统全变分正则化图像分辨率较低的问题，利用加权矩阵在迭代过程中的不断更新来控制全变分正则化的数据保真度项，采用在加权矩阵中自动选择阈值的方法以保证求解的准确性和速度，同时设置一个标度因子来控制加权矩阵的权重，利用迭代的方式完成最终的逆问题求解。

如图1所示，为本发明所提供的高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法的流程框图。

如图2所示，为电学层析成像之一的电阻层析成像系统圆形单截面被测场域1、激励电流3和测量电压4的模式以及电极2分布，采用16电极2均匀分布在场域外壁。

选取五种典型的介质模型为实施例，场域内物体真实分布如图3左侧一竖列所示，图中Tikhonov法、TV法和本发明所提供的重建方法分别表示Tikhonov正则化算法、全变差正则化算法和高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法。为了较好地体现本发明提供的高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法与典型Tikhonov正则化算法和全变分正则化算法的不同，分别给出了五种典型模型在这三种正则化算法下的求解结果。

本发明所述的高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法，该重建方法将电学层析成像看作一个线性不适定问题Au＝b，其中，A为灵敏度矩阵，b为相对边界测量值向量，u为所求成像灰度值。

逆问题可以用最小二乘优化形式的目标函数表示：

其中f(u)为目标函数。为了解决逆问题的不定性问题，正则化方法为提高解的稳定性提供了一种新的方法。在最小二乘的目标函数中增加正则化项，也称为惩罚项。正则化方法的一般形式可以描述为：

其中，λ是一个正标量的正则化因子，它控制最小二乘项(通常称为数据保真度项)

和正则化项R(u)之间的权衡。

Tikhonov正则化算法在电学层析成像图像重建中得到了广泛的应用，它将正则化项R(u)替换为正则化项

可以描述为：

Tikhonov正则化算法对于被测介质连续分布具有良好的性能。然而，当被测介质不连续分布时，在边界上施加了过度的光滑性，从而降低了重建图像的分辨率。

为了保持锐利的边缘，全变分正则化算法提供了一种解决方案。全变差正则化算法的形式可以描述为：

虽然重建图像保持了边缘上不连续性，但总体的分辨率仍待提高。

为了提高重建图像的分辨率，本发明针对数据保真项提出了一种高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法，用来求解电学层析成像的逆问题。其最小化的目标函数为：

其中，||·||为欧几里得范数，χ为标度因子，

为加权矩阵，

为阈值函数，β是一个小的正阈值常数，我们通过选择误差参数|e|＝|Au-b|的固定百分比来自动确定β值，p为数据保真度项和正则化项的范数，p＝1，λ为初始人为选择的正则化因子，Ω为被测场，u^(k)和u^(k-1)分别是第k次和第k-1次解的列向量；重建方法的具体步骤为：

(1)针对五种典型模型分别获取各自重建所需的边界测量值和灵敏度矩阵，边界测量值是将被测对象置于电学层析成像测量系统中，被测场域外均匀分布16个电极(如图2所示)，采用电流激励电压测量且激励电极不测量的模式，采集循环激励循环测量下的边界电压，共获得208个测量值；逆问题右端项b为不含内含物的空场边界电压b1和含有内含物的有物场的边界测量电压b2之差，即右端项相对边界测量值b＝b1-b2；

灵敏度矩阵是根据不含内含物的空场的边界测量电压，结合灵敏度理论，计算灵敏度矩阵，计算公式为：

其中A_ij是第j个电极对对第i个电极对的灵敏度系数，

分别为第i个电极对及第j个电极对在激励电流为I_i、I_j时场域电势分布；

(2)设置初始化参数：初始解u₀＝A^Tb，p＝1，正阈值常数β，光滑逼近参数ε＝10-⁶，正则化因子λ＝3，标度因子χ＝15，初始迭代次数k＝1，最大迭代次数k＝15，其中，正阈值常数β对图像重建的质量和算法的速度有很大的影响。较大的值会导致重建图像的质量较差，而较小的值会导致过长的运行时间，通常我们会根据经验对正阈值常数β进行选择，这样的方式在一定程度上限制了重建方法的精度和求解速度。由于在求解逆问题的过程中，每次迭代的误差参数|e|＝|Au-b|都在减小，从而达到不断逼近真实解的目的。因此本专利依据这个想法提出了一种可以用来自动调整β值的解决方案，它是作为一个固定的百分比来执行的，如图4所示，误差参数的简单分布。为了防止|e|出现零值，在正阈值常数β的自动选择中，使用了一个|e|的最大值的固定百分比，随着迭代次数的增加，β值逐渐减小，同时比正阈值常数β小的数也在逐渐减少，本发明通过设置β＝1％|e|来自动调整β值的实际值。仿真和实验表明，该重建方法的计算速度快于固定正阈值常数的算法，当固定百分比设置为小于1％或等于1％时，重建图像的分辨率和算法的计算速度都得到了提高，同时，自动选择正阈值常数β降低了算法的复杂度，提高了算法的适用性；

(3)计算目标函数的梯度和Hessian矩阵

其中，

D_ab ^xu和D_ab ^yu分别是u_ab在水平方向和垂直方向上的一阶正向差分，D_x和D_y分别表示在D_ab ^xu和D_ab ^yu中对应于等距离网格算子的m_xm_y×(m_x+1)(m_y+1)的矩阵，u_ab是u在点(x_a,y_b)处的离散值，为了防止加权矩阵W_E对边界电压b的测量值影响过大，失去了内含物的特征，我们设置一个标度因子χ来控制加权矩阵的权重，保证电学层析成像的质量，合适的标度因子对电学层析成像的成像效果有着至关重要的影响，本发明通过测试10⁴到10⁸范围内的9个值确定了标度因子χ的值，在模拟和实验中，如果标度因子χ的值过小，重建图像的质量就会相对较差，但随着标度因子χ的值不断增大，重建图像的质量会不断地提高，当标度因子χ超过一定值时(在一定的范围内)，重建图像的质量没有明显的变化，从图5可以看出，标度因子χ对重建图像的影响，标度因子χ对重建图像的影响特性在一定程度上提高了重建方法的适用性和易用性，扩展了高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法的应用范围；

(4)用

来更新解的值；

(5)判断迭代是否符合迭代终止条件

或者是否达到最大迭代次数，若是则迭代终止，进行下一步操作，若否设置k＝k+1并跳回第(3)步继续迭代求解；

(6)根据最终求解所得成像灰度值进行成像。

图3为选取五种典型的介质模型，传统的Tikhonov正则化算法、全变分正则化算法和本发明所提供的重建方法图像重建结果的示意图。由图可以看出，五种典型模型中，Tikhonov正则化算法的重建图像的边缘过于光滑，且无法很好的分辨介质之间的边界；与Tikhonov正则化算法相比全变分正则化算法的边界更清晰，但总体的分辨率仍然较低；相比于前面两种正则化算法，本发明所提出的高分辨率的电学层析成像电导率分布重建算法的重建图像有着更清晰边缘和背景，且有着更高的图像分辨率，明显的提高了图像重建的质量。同时，在电学层析成像中，通常采用图像相对误差(Relative Error，RE)和相关系数(Correlation Coefficient，CC)评价算法来定量图像重建质量，表达式如(1)、(2)所示，图像相对误差越小，相关系数越大，表明图像重建质量越好。五种不同有限元模型的图像相对误差和相关系数如图6所示：

其中，σ是重建区域的计算电导率，σ^*是实际电导率，t表示像素数，

和

表示σ和σ^*的平均值，σ_i和σ_i ^*表示的是σ和σ^*的第i个三角形单元。

从图6可以看出，本发明所提出的高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法与Tikhonov正则化算法和全变分正则化算法相比，具有更低的相对误差和更高的相关系数，能够准确的描绘出被测场域内部分布，明显提高了电学层析成像逆问题求解精度和图像重建质量。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法，其特征在于：该重建方法将电学层析成像看作一个线性不适定问题Au＝b，其中，A为灵敏度矩阵，b为相对边界测量值向量，u为所求成像灰度值，所建立的最小化目标函数为：

其中，||·||为欧几里得范数，

为加权矩阵，

为阈值函数，χ为标度因子，β是正阈值常数，通过选择误差参数|e|＝|Au-b|的固定百分比来自动确定β值，p为数据保真度项和正则化项的范数，取p＝1，λ为初始人为选择的正则化因子，Ω为被测场，u^(k)和u^(k-1)分别是第k次和第k-1次解的列向量；上述重建方法的具体步骤为：

(1)针对五种典型模型分别获取各自重建所需的相对边界测量值向量b和灵敏度矩阵A：相对边界测量值向量b是将被测对象置于电学层析成像测量系统中，被测场域外均匀分布16个电极，采用电流激励电压测量且激励电极不测量的模式，采集循环激励循环测量下的边界电压，共获得208个测量值，逆问题右端项b为不含内含物的空场边界电压b1和含有内含物的有物场的边界测量电压b2之差，即右端项相对边界测量值b＝b1-b2；

灵敏度矩阵A是根据不含内含物的空场的边界测量电压，结合灵敏度理论计算灵敏度矩阵，计算公式为：

其中，A_ij为第j个电极对对第i个电极对的灵敏度系数，

分别为第i个电极对及第j个电极对在激励电流为I_i、I_j时场域电势分布；

(2)设置初始化参数：初始解u₀＝A^Tb，p＝1，正阈值常数β，光滑逼近参数ε＝10-⁶，正则化因子λ＝3，标度因子χ＝15，初始迭代次数k＝1，最大迭代次数k＝15，其中，正阈值常数β对图像重建的质量和算法的速度有很大的影响，较大的值会导致重建图像的质量较差，而较小的值会导致过长的运行时间，通常根据经验对正阈值常数β进行选择，这样的方式在一定程度上限制了算法的精度和求解速度，由于在求解逆问题的过程中，每次迭代的误差参数|e|＝|Au-b|都在减小，从而达到不断逼近真实解的目的，此处通过设置β＝1％|e|来自动调整β的实际值；

(3)计算目标函数的梯度和Hessian矩阵

其中，

D_ab ^xu和

分别是u_ab在水平方向和垂直方向上的一阶正向差分，D_x和D_y分别表示在D_ab ^xu和

中对应于等距离网格算子的m_xm_y×(m_x+1)(m_y+1)的矩阵，u_ab是u在点(x_a,y_b)处的离散值，为了防止加权矩阵W_E对边界电压b的测量值影响过大，失去了内含物的特征，设置一个标度因子χ来控制加权矩阵的权重，保证电学层析成像的质量，通过测试10⁴到10⁸范围内的9个值确定了标度因子χ的值，在模拟和实验中，如果标度因子χ的值过小，重建图像的质量就会相对较差，但随着标度因子χ的值不断增大，重建图像的质量会不断地提高，当标度因子χ超过一定值时重建图像的质量没有明显的变化，标度因子χ对重建图像的影响特性在一定程度上提高了算法的适用性和易用性，扩展了高分辨率的电学层析成像电导率分布重建方法的应用范围；

(4)用

来更新解的值；

(5)判断迭代是否符合迭代终止条件

或者是否达到最大迭代次数，若是则迭代终止，进行下一步操作，若否则设置k＝k+1并跳回第(3)步继续迭代求解；

(6)根据最终求解所得成像灰度值进行成像。

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