CN109934885B - 一种锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法，根据被测场域获取重建所需的相对边界测量值向量和灵敏度矩阵；设置初始化参数；使用改进GCV方法确定最优正则化参数；计算目标函数的梯度和Hessian矩阵；用Gauss‑Newton迭代方法来更新解的值；判断迭代是否结束；根据最终求解所得成像灰度值进行成像。本发明克服了传统Tikhonov正则化算法的边缘过光滑效应和全变分正则化算法重建图像边缘模糊，图像分辨率低的特点，在提高电学层析成像重建图像的质量和保持锐利边缘的保持能力方面有很好的效果。

Description

一种锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法

技术领域

本发明属于电学层析成像技术领域，具体涉及一种锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法。

背景技术

电学层析成像技术(Electrical Tomography，ET)出现于20世纪80年代后期，是一种基于电特性敏感机理的过程层析成像技术，图像重建问题对应的数学模型属于逆问题求解领域，图像重建过程即为逆问题的求解过程。针对逆问题的求解中严重的病态性，需要通过选取合适的正则化方法对解进行约束。正则化方法的思想是寻找一个由先验信息约束的稳定解集来逼近真实解。先验信息的选取不同和正则化函数形式的不同使得正则化方法具有不同的应用形式。Tikhonov正则化算法由于其简单性得到了广泛的应用，通过在目标函数中加入一个罚函数来实现对解的阻尼作用，达到使解稳定的目的，同时又在一定程度上保证了解的空间分辨率，但图像重建质量依赖于正则化参数的选取；因此针对正则化系数选取方法的研究已经十分广泛，学者们提出了各种方法用于正则化系数的选取。例如Y BXu等人2016年发表于《流量测量与仪表》(flow measurement and instrumentation)第50卷，第1-12页，文章题目为《电阻层析成像的自适应Tikhonov正则化参数选择方法》(Anadaptive Tikhonov regularization parameter choice method for electricalresistance tomography)。Tikhonov正则化算法对于被测介质连续分布具有良好的性能。然而，当被测介质不连续分布时，在边界上施加了过度的光滑性，从而降低了重建图像的分辨率。为了保持锐利的边缘，全变分正则化算法提供了一种解决方案，由于它保留了边界的不连续性，并允许重建锐利的边缘以产生更清晰的图像，在电学层析成像领域方面受到了广泛的关注，例如K Z Li等人2018年发表于《IEEE传感器杂志》(IEEE Sensors Journal)第18卷，第5049-5057页，文章名称为《电容层析成像的非线性重加权全变分图像重建算法》(Anon-linear reweighted total variation image reconstruction algorithm forelectrical capacitance tomography)。

由于阶梯效应的存在降低了全变分正则化算法的锐利边缘效果和重建图像的质量，为了提高重建图像的质量和锐利边缘的保持能力，本发明提出了一种锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法来求解电学层析成像的逆问题。同时本发明提出了自动选取阈值和自动正则化参数选择，降低了算法的复杂度，便于算法的推广和使用。

发明内容

本发明解决的技术问题是提供了一种锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法，以加权矩阵的形式把L1数据保真度项转换为L2数据保真项，保留了L1范数的性质，简化了求解L1范数的求解过程；同时通过自动选择阈值的方法并引入约束因子来约束解，保证解的稳定性；另外采用改进的广义交叉验证(Generalized cross-validation，GCV)方法确定最优正则化参数。相比于Tikhonov和TV正则化算法，本发明提出的锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法在提高电学层析成像重建图像的质量和锐利边缘的保持方面均具有很好的效果。

本发明为解决上述技术问题采用如下技术方案：一种锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法，其特征在于：该重建方法将电阻层析成像的逆问题看作一个线性不适定问题Ag＝b_meas，其中，A为灵敏度矩阵，b_meas为相对边界测量值向量，g为未知的像素，最小化目标函数为：

其中p为数据保真项的范数，当0<p<2时，采用加权L2范数逼近Lp范数，L1范数对噪声的敏感性较低，为了提高算法的抗噪性能，选择p＝1，上述公式转化为：

其中，||·||为欧几里得范数，τ为约束因子，b_meas为相对边界测量值向量，λ为通过改进的广义交叉验证方法确定的正则化参数，Ω为测量场域，g为解的列向量，k为迭代次数，

为加权矩阵，

为阈值函数，β为正阈值常数，且β值由误差参数|e|＝|Ag-b_meas|自动确定，具体包括以下步骤：

(1)获取重建所需的相对边界测量值向量b_meas和灵敏度矩阵A；

(2)设置初始化参数；

(3)判断迭代是否符合迭代终止条件

若是则迭代终止，跳到第(7)进行求解运算，若否进行下一步操作；

(4)使用改进GCV方法确定最优正则化参数；

(5)计算目标函数的梯度和Hessian矩阵；

(6)更新电阻率的分布；

(7)根据所求电阻率进行图像重建。

本发明将一种锐利边缘保持的重建方法运用在电阻层析成像上，在计算过程中通过加权矩阵来控制L1数据保真度项，并设置一个约束因子来约束解，保证解的稳定性。采用改进的广义交叉验证方法客观的确定最优正则化参数。同时在每一次的计算过程中自动地选择加权矩阵的阈值，提高求解的精确性和速度，提高了算法的适用性和易用性，扩展了该算法的应用范围。同时本发明有效克服了传统Tikhonov正则化算法的边缘过光滑效应和全变分正则化算法图像分辨率较低的特点，在提高电学层析成像重建图像的质量和分辨率方面有很好的效果。

附图说明

图1为本发明的的流程框图；

图2为本发明的电阻层析成像系统圆形单截面被测场以及电极分布；

图3为选取的五种真实模型，Tikhonov正则化方法、TV正则化方法和本发明方法的重建结果图；

图4为本发明在不同模型下通过改进GCV法得到的正则化参数λ随迭代次数的变化。

图5为不同约束因子下的五种真实模型的(a)相对误差(b)相关系数；

图6为五种真实模型的(a)相对误差，(b)相关系数。

图中：1-被测场域，2-电极，3-激励电流，4-测量电压。

具体实施方式

结合附图对本发明的一种锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法加以详细说明。

本发明的一种锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法，针对传统全变分正则化图像重建边缘模糊和图像重建质量低的问题，利用加权矩阵把L1数据保真度项转换为L2数据保真项。采用改进的广义交叉验证方法客观的确定最优正则化参数，通过在加权矩阵中自动选择阈值的方法并设置一个约束因子来约束解，有效保证解的稳定性，最后结合Gauss-Newton迭代方法完成最终的逆问题求解。

如图1所示，为本发明所述的锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法的流程图。

如图2所示，为电阻层析成像系统圆形单截面被测场域1、激励电流3和测量电压4的模式以及电极2分布，采用16电极2均匀分布在场域外壁。

选取五种典型的介质模型为实施例，场域内物体真实分布如图3左侧一竖列所示，图中Tikhonov，TV和本发明分别表示Tikhonov正则化算法、TV正则化算法和本发明所述的锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法。为了较好地体现本发明中的锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法其它两种算法的不同，分别给出了五种模型在这三种正则化算法下的求解结果。

一种锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法，该重建方法将电学层析成像看作一个线性不适定问题Ag＝b_meas，其中，A为灵敏度矩阵，b_meas为相对边界测量值向量，g为所求成像灰度值。

为了提高电学层析成像重建图像的质量和锐利边缘的保持能力，本发明提出了一种锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法来求解逆问题。本发明提出的目标函数为：

p为数据保真项的范数，当0<p<2时，采用加权L2范数逼近Lp范数。L1范数对噪声的敏感性较低，为了提高算法的抗噪性能，选择p＝1。因此上面公式可以转化为：

其中||·||为欧几里得范数，τ为约束因子，b_meas为相对边界测量值向量，λ为通过改进的广义交叉验证方法确定的正则化参数，Ω为测量场域，g为解的列向量，k为迭代次数，

为加权矩阵，

为阈值函数，β为正阈值常数，且β值由误差参数|e|＝|Ag-b_meas|自动确定。所述锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法的具体步骤如下：

(1)边界测量电压是将被测对象放置于电阻层析成像的测量系统中，被测场域外均匀分布n个电极(如图2所示，以n＝16为例)，采用相邻测量和相邻激励模式，采集循环激励和测量下的边界电压测量值，共获得

个独立测量的边界测量电压；线性不适定问题的右端项b_meas为空场(不含内含物)边界电压b_meas1和有物场(含有内含物)的边界测量电压b_meas2之差，即b_meas＝b_meas1-b_meas2；

根据空场(不含内含物)边界电压，灵敏度理论，可推导得出灵敏度矩阵，其计算公式为：

其中A_ij是第j个电极对对第i个电极对的灵敏度系数，

分别为第i个电极对及第j个电极对在激励电流为I_i、I_j时场域电势分布；

(2)设置初始解g₀＝A^Tb_meas，约束因子τ＝20，初始迭代次数k＝1，光滑逼近参数ε＝10^-6，正则化参数λ，正阈值常数β，迭代停止阈值η，β值对图像重建的质量和算法的速度有很大的影响，本发明提出一种可以用来自动调整β的解决方案，在阈值β的自动选择中，使用了一个误差参数|e|的最大值的固定百分比，随着迭代次数的增加，β值逐渐减小，同时比阈值β小的数也在逐渐减少。本发明取β＝0.75％|e|来自动调整阈值β。仿真和实验表明，该算法的计算速度快于固定阈值的算法，当固定百分比设置为小于1％或等于1％时，重建图像的分辨率和算法的计算速度都得到了提高。同时，自动选择正阈值常数β降低了算法的复杂度，提高了算法的适用性；

(3)判断迭代是否符合迭代终止条件

若是则迭代终止，跳到第(7)进行求解运算，若否进行下一步操作；

(4)采用改进的广义交叉验证(GCV)方法获得本发明提出方法的正则化参数，改进的GCV方法可以表示为：

其中，N是改进的GCV曲线上的数据点的数目，I是单位矩阵，

是

对角线元素的和，通过选取最优正则化参数λ^(k)来最小化改进的GCV目标函数G(λ^(k))。如图4所示，给出了本发明所提供的重建方法在不同真实模型分布下通过改进GCV法得到的正则化参数λ随迭代次数的变化，从图中可以看出，随着迭代次数的增加，算法逐渐收敛，正则化参数的值也逐渐保持不变；

(5)计算目标函数的梯度：

和Hessian矩阵：

其中，

D_ab ^xg和D_ab ^yg分别是g_ab在水平方向和垂直方向上的一阶正向差分；D_x和D_y分别表示在D_ab ^xg和D_ab ^yg中对应于等距离网格算子的m_xm_y×(m_x+1)(m_y+1)的矩阵；g_ab是g在点(x_a,y_b)处的离散值。这里为了约束解，从而保证界的稳定性。我们设置一个约束因子τ来约束解，保证电阻层析成像的质量。合适的约束因子对电阻层析成像的成像效果有着至关重要的影响。本文通过测试100到10⁸范围内的15个值确定了约束因子τ的值，在模拟和实验中，如果约束因子τ的值过小，重建图像的质量就会相对较差，但随着约束因子τ的值不断增大，重建图像的质量会不断地提高，当约束因子τ超过一定值时，重建图像的质量又会明显变差。如图5所示为不同约束因子下的五种真实模型的(a)相对误差，(b)相关系数；

(6)用Gauss-Newton迭代方法

来更新解的值；

(7)根据最终求解所得成像灰度值进行成像。

图3为选取的五种真实模型，Tikhonov正则化方法、TV正则化方法和本发明方法的重建结果图，由图可以看出，五种典型模型中，Tikhonov正则化算法的重建图像的边缘过于光滑，且无法很好的分辨介质之间的边界；与Tikhonov正则化算法相比全变分正则化算法的边界更清晰，但总体的分辨率仍然较低；相比于前面两种正则化算法，本发明所提出的锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法的重建图像有着更清晰边缘和背景，明显的提高了图像重建的质量。

同时，在电学层析成像中，通常采用图像相对误差(Relative Error，RE)和相关系数(Correlation Coefficient，CC)评价算法来定量图像重建质量，表达式如(1)和(2)所示，图像相对误差越小，相关系数越大，表明图像重建质量越好。五种不同有限元模型的图像相对误差和相关系数如图6所示：

其中，σ是重建区域的计算电导率，σ^*是实际电导率，t表示像素数，

和

表示σ和σ^*的平均值，σ_i和σ_i ^*表示的是σ和σ^*的第i个三角形单元。

从图6可以看出，本发明所提出的锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法与Tikhono和TV正则化算法相比，具有最低的相对误差和最高的相关系数，能够在保持物体的边界清晰的情况下体现物体的真实大小，明显地提高了电学层析成像逆问题求解精度和图像重建质量，以及锐利边缘的保持能力。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种锐利边缘保持的电阻层析成像图像重建方法，其特征在于：该重建方法将电阻层析成像的逆问题看作一个线性不适定问题Ag＝b_meas，其中，A为灵敏度矩阵，b_meas为相对边界测量值向量，g为解的列向量即所求成像灰度值，最小化目标函数为：

其中，p为数据保真项的范数，当0<p<2时，采用加权L2范数逼近Lp范数，L1范数对噪声的敏感性较低，为了提高算法的抗噪性能，选择p＝1，上述公式转化为：

其中，||·||为欧几里得范数，

为加权矩阵，

为阈值函数，β为正阈值常数，且β值由误差参数|e|＝|Ag-b_meas|自动确定，τ为约束因子，b_meas为相对边界测量值向量，λ为通过改进的广义交叉验证方法确定的正则化参数，Ω为测量场域，g为解的列向量即所求成像灰度值，k为迭代次数，上述方法的具体步骤为：

(1)假定被测场域外均匀分布n个电极，采用相邻测量和相邻激励模式，采集循环激励和测量下的边界电压测量值，共获得

个独立测量的边界测量电压，线性不适定问题的右端项b_meas为空场边界电压b_meas1与有物场的边界测量电压b_meas2之差，即b_meas＝b_meas1-b_meas2；

灵敏度矩阵A由公式

求出，式中A_ij是第j个电极对对第i个电极对的灵敏度系数，

分别为第i个电极对及第j个电极对在激励电流为I_i、I_j时场域电势分布；

(2)设置初始解g₀＝A^Tb_meas，约束因数τ＝20，初始迭代次数k＝1，逼近参数ε＝10^-6，正则化参数λ，正阈值常数β，迭代停止阈值η，β值会影响图像重建质量和运行时间，取β＝0.75％|e|来自动调整正阈值常数β，|e|为误差参数，随着迭代次数的增加，误差参数|e|减小，β值逐渐减小；

(3)判断迭代是否符合迭代终止条件

若是则迭代终止，跳到第(7)步进行求解运算，若否则进行下一步操作；

(4)采用改进的广义交叉验证方法获得正则化参数λ，改进的广义交叉验证方法表示为：

其中，N是改进的广义交叉验证曲线上的数据点的数目，I是单位矩阵，

是

对角线元素的和，通过选取最优正则化参数λ^(k)来最小化改进的广义交叉验证目标函数G(λ^(k))；

(5)计算目标函数梯度：

和Hessian矩阵：

其中，

和

分别是g_ab在水平方向和垂直方向上的一阶正向差分，D_x和D_y分别表示在

和

中对应于等距离网格算子的m_xm_y×(m_x+1)(m_y+1)的矩阵，g_ab是g在点(x_a,y_b)处的离散值，为了约束解从而保证解的稳定性，设置一个约束因数τ来约束解，保证电阻层析成像的质量，通过测试10⁰到10⁸范围内的15个值确定约束因数τ的值，在模拟和实验中，如果约束因数τ的值过小，重建图像的质量就会相对较差，但随着约束因数τ的值不断增大，重建图像的质量会不断地提高，当约束因数τ超过一定值时，重建图像的质量又会明显变差；

(6)用Gauss-Newton迭代方法

来更新解的值；

(7)根据最终求解所得成像灰度值进行成像。

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