CN110990757A - 利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法，属于电磁波逆散射成像技术领域。在Lippmann‑Schwinger积分方程（LSIE）的基础上，增加了一个实参数来缓和模型的非线性，提出一种新的收缩积分方程（CIE），结合用低频的傅里叶基来扩展电流空间，这样不仅能有效的过滤掉大部分的噪声干扰（噪声存在于高频分量中），且通过选择合适的傅里叶基个数和CIE方程中的参数值，逆散射模型的非线性能够有效的降低，在抗噪声性能和节约计算成本上有很大的效用。基于CIE方程的对比源反演方法在本发明中使用，通过仿真数据和实测数据的反演验证了该方法的有效性。

Description

利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法

技术领域

本发明属于电磁波逆散射成像技术领域，提出了利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法。

背景技术

电磁逆散射成像是一种利用微波频段电磁波、以非接触方式对目标的物理参数及其空间分布进行探测和信息提取的重要方法，在石油勘测、无损检测、微波遥感、安检成像和生物医疗成像等领域有着广阔的应用。电磁逆散射成像分定性和定量两类：定性成像通过获取其空间分布，得到目标的位置和形状，它不关注目标物理参数的准确值；而定量成像则是除了目标的位置和形状之外，也获得其物理参数(如介电常数、磁导率、电导率等)的准确值。

传统的定量逆散射成像算法都是基于Lippmann-Schwinger电流/电场积分方程组(LSIE)的框架下建模的。长久以来，病态性和非线性是电磁逆散射成像面临的两大难题。从数学上分析，由于反演计算中未知量的个数往往远大于方程的个数，逆问题是一个典型的非正定性以及病态性问题；从物理上分析，当被测物电尺寸较大或者介电常数很高(即强散射体)时，电磁波在散射体内部多重散射效应明显，二次感应电流在散射体内部相互作用增大，导致其逆问题的求解在数学上呈现严重的非线性。由于求解未知数的数量往往是网格数或者成其倍数，数据量十分庞大，所以现在用的比较多的是确定性反演算法。确定性反演算法时包括基于玻恩近似(Born approximation,BA)的线性迭代算法以及各类非线性迭代算法。在线性算法中，忽略了多重散射效应，将探测区域内的总场约等于入射场，使得逆问题的求解简化成一个基本的线性问题，但目标散射体较强时，物体内部的多重散射效应不可忽视，这时近似的线性模型将会失效，线性算法得到的结果都是不正确的。因此，线性算法只适合反演散射强度较弱的目标，适用范围很窄。典型的非线性算法有：变形玻恩近似反演算法(Distorted Born Iteration Method,DBIM)、对比源反演法(contrast sourceinversion method,CSI)、基于子空间技术优化方法(Subspace based optimization,SOM)、双重子空间法(Two-fold SOM,TSOM)和基于乘性正则化和傅里叶基的TSOM(FFT-TSOM)等反演算法。这些非线性算法反演能力相比于线性算法会强很多，但是迭代收敛时间长且随着未知散射体电尺寸增大或者对比度增强，很容易陷入局部最优解，而造成反演失败或者不收敛。为了提升算法反演电大尺寸或者强散射体的能力，本发明在传统的Lippmann-Schwinger积分方程上，为逆散射问题建立了一种新的收缩积分方程(CIE)。

典型的逆散射问题是由接收到的散射场(或总场)的幅度和相位(全数据)来重建目标散射体的几何参数(位置、形状)和物理参数(介电常数和电导率等)。然而，相位的精确测量需要复杂的测量设备，并且频率越高相位的测量越困难，需要的测量设备越复杂，硬件成本随之大大增加。例如当系统的工作频率高于10GHz时，测量的相位就会变得不准确，甚至在某些情况下无法直接测量出相位。而且，场的相位信息相较于幅度信息更易受到噪声的污染，在一定的情况下，仅使用无相位数据反演方法重建的结果与利用全数据反演方法重建的结果相同甚至更好。因此仅利用数据的幅度信息解决逆散射问题有望成为更简单和经济有效的实验设置开辟道路。换句话说，复杂性和成本已经从硬件转移到算法，因此建立无相位逆散射问题的反演模型和算法具有重要的意义。

发明内容

在实际应用中，相位的测量难以达到成像所需的精度，并且相位在测量时比幅度更容易受到噪声的污染，因此建立无相位逆散射问题的反演模型和算法具有重要的意义，本发明提出了一种利用无相位数据解决高度非线性逆散射成像问题的方法。因为缺少相位信息，因此无相位反演算法相较于全数据反演算法而言，已知的信息越少，存在的非线性程度会更高。因此本发明在Lippmann-Schwinger电流电场积分方程的基础上，从数学表达式上研究非线性的产生机制，通过对传统的电流电场积分方程进行数学变换，建立了一种新的求解逆散射问题的收缩积分方程(CIE)，并用傅里叶基来扩展电流空间，这使得反演算法具有更好的鲁棒性和抗噪声性能，还能有效的降低反演模型的非线性，因此该方法也适用于一些强散射体重建。

利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法，包括以下：

基于CIE方程的对比源反演方法使用的电磁逆散射模型是：

总场的强度方程：

散射场方程：

对比源方程：

对比源的思想是将逆问题转化为一个优化问题，最直观的想法是求解一种介电常数分布，使得这种分布下的散射场与测量场尽量接近。依照这个思想，对比源反演方法先得需要一个目标函数。对于第p次入射，定义强度方程的残差为：

其中

表示实际测量得到的总场的幅值的平方数据，

在这里，利用傅里叶基来扩展对比源函数：

表示对对比源进行离散傅里叶变换后得到的小波系数，其中零元素对应高频傅里叶基，非零元素对应低频傅里叶基，vec{}表示向量化算子。约定大小为M₁×M₂的

在四个角上各有一个大小为M_F的非零元素块，对应于基的个数为

定义算子形式的傅里叶变换和傅里叶逆变换：

F_T表示快速傅里叶变换，

表示快速傅里叶逆变换，所以

接下来定义对比源方程的残差函数：

因此，目标函数可以定义为：

其中归一化因子

定义为在测量区域的L₂范数，

定义为在目标区域的L₂范数。目标函数中的后一项在逆问题的求解中起到了重要的正则化作用，最小化目标函数。

进一步的，所述的最小化目标函数的方法为：在该目标函数中存在两个未知量：傅里叶系数

和修正的对比度函数

对比源方法使用了交替迭代技术，在这里首先保持修正的对比度函数不变更新未知量傅里叶系数使目标函数最小化，然后利用更新得到的傅里叶系数来更新修正的对比度函数，在整个迭代优化过程中，这两个未知量互不干扰。

进一步的，所述的所述最小化目标函数的具体迭代步骤如下：

步骤1：根据离散的网格位置和发射、接收天线的位置，计算映射矩阵

和

其中a表示每个网格的面积大小，m＝1,2,…,M表示目标区域内的第几个网格；

步骤2：初始化(t＝0)，

或者根据后向散射方法确定初值。

初始的搜索方向为

步骤3：t＝t+1，使用共轭梯度法依次更新对比源和对比度函数(也即依次更新傅里叶系数和修正的对比度函数)；

步骤4：更新修正的对比度函数

步骤5：设置一个终止条件δ^2D，当δ^2D小于一个很小的值时，终止优化，否则回到步骤3。其中δ^2D为前后两次迭代更新得到的傅里叶系数的差值。

进一步的，所述更新对比源和对比度函数的具体方法为：

利用线性搜索方法来更新未知量傅里叶系数：

表示前一次迭代的结果，d_t表示步长，

表示搜索方向；

首先计算目标函数的导数：

(1)对目标函数第一个式子求关于傅里叶系数的导数：

在这里表示对于两个行数相同的向量和矩阵运算，先将

按列复制n次，变成与

具有相同的维度的矩阵

然后再进行⊙运算。

(2)对目标函数第二个式子求关于傅里叶系数的导数：

(3)求得导数为：

因此由导数值确定下一步的搜索方向：

(4)然后设置步长，最佳的搜索步长应该是求解：

求目标函数对d的导数，然后将求得的导数等于0，即可得到最佳步长，对目标函数求d的导数得到的是一个三次方程，求解这个三次方程能够得到一个实数解d。

进一步的，所述的更新修正的对比度函数

的具体方法为：在得到

后，通过离散傅里叶逆变换，可以得到感应电流

然后将感应电流代入方程(3)，通过最小二乘法，得到修正的对比度函数在第t次迭代时的表达式为：

其中

所以对比度函数被重构为：

进一步的，为了评估反演结果的质量，引入了一误差函数，该误差函数定义为反演得到的相对介电常数分布

与实际相对介电常数分布

之间的平均误差：

进一步的，在反演过程中，设置了多轮优化过程，每一轮优化过程都按照迭代流程步骤1-4进行，不同的是每一轮优化中使用的初始条件(步骤2)不同，在第一轮优化过程中，依旧是将

或者根据后向散射方法确定初值和

作为初始条件，但是第二轮优化，却是将第一轮优化得到的结果

和

作为初始条件代入迭代流程步骤2中，之后的优化过程都是按此思路进行，将前一轮优化的结果作为下一轮优化的初始条件。

进一步的，所述散射场方程和对比源方程的建立方法为：

假定在自由空间背景下，某未知物体存在于该目标区域D,

内，并将该目标区域剖分成M＝M₁×M₂(M₁为x轴划分的网格数，M₂为y轴划分的网格数)个网格，定义每一个网格的中心点位置为r_m,n(m＝1,2,…,M₁,n＝1,2,…,M₂)。而在该区域外侧，安装有发射天线和接收天线(发射天线位置表示为r_p,p＝1,2,…,N_i，接收天线位置表示为r_q,q＝1,2,…,N_r)，用于测试区域外部场的数据。当网格划分的很细时，每个网格内的介电常数相当于一个常数，逆散射问题就可以简化为利用外部场的信息来求解目标区域内的介电常数分布ε(r_m,n)。

基于Lippmann-Schwinger电场/电流积分方程，可以得到电磁逆散射的几个基本方程，第一个积分方程描述的是区域内总场的信息：

其中E^inc(r)表示位于区域内部r处的入射场；χ(r)＝(ε(r)-ε₀)/ε₀为区域内的对比度函数；k₀表示自由空间中的波矢；格林函数

表示一个位于空间r′处的点源对其周围空间某点r所产生的场，

表示零阶第一类汉克尔函数。

第二个积分方程是描述外部测量散射场的积分方程：

其中E^sca(r_q)表示位于r_q处的接收天线接收到的散射场的信息；G(r_q,r^′)＝

定义归一化的对比源函数为I(r)＝χ(r)E^tot(r) (3)

将方程(1)-(3)离散化：

其中⊙表示对应元素相乘，格林函数

表示区域内感应电流和测量区域散射场之间的映射，

为格林函数

的矩阵算子形式，通过数学变换，把(6)中的感应电流代入到(5)中，可以得到以下方程：

其中

为单位矩阵，公式(7)中的求逆可以通过泰勒公式，将散射场

展开成关于

的高阶形式，因此散射场和对比度之间是一个典型的非线性关系，而非线性程度的大小取决于格林函数算子与对比度函数之间内积的范数值

大小。

值越大，求解逆问题的非线性程度就越高，当

很小时，大于等于1阶的泰勒项可以忽略不计，此时散射场与对比度函数之间成一个线性关系，这也是born近似的由来，不过这种情况一般出现在重构弱散射体时。在重构强散射体(电大尺寸或者介电常数比较高)时，

的值会很大，这时需要提供更多的高次多项式来平衡方程，在这种情况下，即使无噪声，逆散射问题也是一个高度非线性问题。

为了降低电磁逆散射模型的非线性，本发明提出了一种新的收缩积分方程(CIE)。在方程(6)左右两边同时乘以

经过一些数学变换，得到新的对比源函数为：

定义修正后的对比度函数

将公式(8)代入公式(5)，经过数学转换，此时的散射场为：

公式(9)能被泰勒公式展开成关于

的幂形式，规定β是一个正常数且是一个大于1的数，因此有

的每一个元素都是小于1的数，

会因为β的存在而减小，所以

的值相较于Lippmann-Schwinger积分方程中的

降低很多，这能很有效的降低逆散射模型的非线性程度。

本发明的有益效果是：

本发明主要是考虑在实际测量散射数据时，存在相位测量困难和测量不准确等问题，提出利用总场数据的幅值的平方来重构未知散射体。针对无相位反演算法非线性程度高的问题，本发明提出利用一种新的收缩积分方程来代替传统的Lippmann-Schwinger积分方程来用于对比源反演方法的建立。并利用离散傅里叶基来扩展电流空间，通过合理的选择β值和低频傅里叶基个数，能有效的降低逆散射问题的非线性，在抗噪声性能和节约计算成本上有很大的效用。通过对仿真数据和实测数据的重构结果表明：所提出的成像方法具有很好的有效性和准确性。

附图说明

图1是无相位反演成像的实验测量装置结构图；

图2是PD-CSI-CIE方法对介电常数为3.5的Austria散射体的重建结果。

图3是PD-CSI-CIE方法对实测数据的重建结果。

具体实施方式

下面结合说明书附图对本发明的技术方案作进一步说明，具体如下。

本发明提出用无相位的总场数据来重构未知散射体。在实际操作时，接收到的是总场的幅度信息，但在创建优化的目标函数时，实际使用的是总场幅值的平方数据。传统的对比源反演方法(CSI)都是基于LSIE方程建立的(为了方便，简称CSI-LSIE)，在无相位反演算法中，因为缺少相位信息，所以逆散射模型相较于传统的有相位反演算法具有更高程度的非线性。因此本发明在传统的LSIE方程上，提出一种新的收缩积分方程(CIE)，并结合对比源反演方法提出基于CIE方程的CSI方法(简称CSI-CIE)。该方法能有效的利用无相位数据重构出未知散射体，针对一些强散射体的重构也是有效的。一、从数学上分析逆散射问题的非线性原由并建立新的收缩积分方程；

假定在自由空间背景下，某未知物体存在于该目标区域D,

内，并将该目标区域剖分成M＝M₁×M₂(M₁为x轴划分的网格数，M₂为y轴划分的网格数)个网格，定义每一个网格的中心点位置为r_m,n(m＝1,2,…,M₁,n＝1,2,…,M₂)。而在该区域外侧，安装有发射天线和接收天线(发射天线位置表示为r_p,p＝1,2,…,N_i，接收天线位置表示为r_q,q＝1,2,…,N_r)，用于测试区域外部场的数据。当网格划分的很细时，每个网格内的介电常数相当于一个常数，逆散射问题就可以简化为利用外部场的信息来求解目标区域内的介电常数分布ε(r_m,n)。

基于Lippmann-Schwinger电场/电流积分方程，可以得到电磁逆散射的几个基本方程，第一个积分方程描述的是区域内总场的信息：

其中E^inc(r)表示位于区域内部r处的入射场；χ(r)＝(ε(r)-ε₀)/ε₀为区域内的对比度函数；k₀表示自由空间中的波矢；格林函数

表示一个位于空间r′处的点源对其周围空间某点r所产生的场，

表示零阶第一类汉克尔函数。

第二个积分方程是描述外部测量散射场的积分方程：

其中E^sca(r_q)表示位于r_q处的接收天线接收到的散射场的信息；G(r_q,r′)＝

定义归一化的对比源函数为I(r)＝χ(r)E^tot(r) (3)

将方程(1)-(3)离散化：

其中⊙表示对应元素相乘，格林函数

表示区域内感应电流和测量区域散射场之间的映射，

为格林函数

的矩阵算子形式，通过数学变换，把(6)中的感应电流代入到(5)中，可以得到以下方程：

其中

为单位矩阵，公式(7)中的求逆可以通过泰勒公式，将散射场

展开成关于

的高阶形式，因此散射场和对比度之间是一个典型的非线性关系，而非线性程度的大小取决于格林函数算子与对比度函数之间内积的范数值

大小。

值越大，求解逆问题的非线性程度就越高，当

很小时，大于等于1阶的泰勒项可以忽略不计，此时散射场与对比度函数之间成一个线性关系，这也是born近似的由来，不过这种情况一般出现在重构弱散射体时。在重构强散射体(电大尺寸或者介电常数比较高)时，

的值会很大，这时需要提供更多的高次多项式来平衡方程，在这种情况下，即使无噪声，逆散射问题也是一个高度非线性问题。

为了降低电磁逆散射模型的非线性，本发明提出了一种新的收缩积分方程(CIE)。在方程(6)左右两边同时乘以

经过一些数学变换，得到新的对比源函数为：

定义修正后的对比度函数

将公式(8)代入公式(5)，经过数学转换，此时的散射场为：

公式(9)能被泰勒公式展开成关于

的幂形式，规定β是一个正常数且是一个大于1的数，因此有

的每一个元素都是小于1的数，

会因为β的存在而减小，所以

的值相较于Lippmann-Schwinger积分方程中的

降低很多，这能很有效的降低逆散射模型的非线性程度。

二、定义一种新的目标方程；

方程(5)和(6)组成了全数据反演算法的基本方程，分别定义为目标方程和数据方程，在全数据反演算法中，散射场数据可以通过测量得到的总场数据减去入射场数据得到。然而在无相位反演算法中，直接得到的是总场的幅度数据，因此本发明重新定义了一种目标方程(强度方程)：

表示在无未知散射体时，接收天线接收到的场信息，*表示取共轭。方程(5)、(8)、(10)一起组成无相位反演算法的基本方程。下面对具体的方法进行说明。

对比源方法是一种有效的，被广泛使用的电磁逆问题求解方法，基于提出的新的收缩积分方程，对比源使用的电磁散射问题模型是：

总场的强度方程：

散射场方程：

对比源方程：

对比源的思想是将逆问题转化为一个优化问题，最直观的想法是求解一种介电常数分布，使得这种分布下的散射场与测量场尽量接近。依照这个思想，对比源反演方法先得需要一个目标函数。对于第p次入射，定义强度方程的残差为：

其中

表示实际测量得到的总场的幅值的平方数据，

在这里，利用傅里叶基来扩展对比源函数：

表示对对比源进行离散傅里叶变换后得到的傅里叶系数，其中零元素对应高频傅里叶基，非零元素对应低频傅里叶基，vec{}表示向量化算子。在MATLAB约定中，大小为M₁×M₂的

在四个角上各有一个大小为M_F的非零元素块，对应于基的个数为

为了方便，定义算子形式的傅里叶变换和傅里叶逆变换：

F_T表示快速傅里叶变换，

表示快速傅里叶逆变换。所以

接下来定义对比源方程的残差函数：

因此，目标函数可以定义为：

其中归一化因子

定义为在测量区域的L₂范数，

定义为在目标区域的L₂范数。目标函数中的后一项在逆问题的求解中起到了重要的正则化作用。最小化目标函数的方法有很多种，在该目标函数中存在两个未知量：傅里叶系数

和修正的对比度函数

对比源方法使用了交替迭代技术，在这里首先保持修正的对比度函数不变更新未知量傅里叶系数使目标函数最小化，然后利用更新得到的傅里叶系数来更新修正的对比度函数。在整个迭代优化过程中，这两个未知量互不干扰，这简化了问题。具体迭代步骤如下：

步骤1：根据离散的网格位置和发射、接收天线的位置，计算映射矩阵

和

其中a表示每个网格的面积大小，m＝1,2,…,M表示目标区域内的第几个网格。

步骤2：初始化(t＝0)，

或者根据后向散射方法确定初值。

初始的搜索方向为

步骤3：t＝t+1，使用共轭梯度法依次更新对比源和对比度函数(也即依次更新傅里叶系数和修正的对比度函数)。首先利用线性搜索方法来更新未知量傅里叶系数：

表示前一次迭代的结果，d_t表示步长，

表示搜索方向。首先计算目标函数的导数：

(1)对目标函数第一个式子求关于傅里叶系数的导数：

在这里表示对于两个行数相同的向量和矩阵运算，先将

按列复制n次，变成与

具有相同的维度的矩阵

然后再进行⊙运算。

(2)对目标函数第二个式子求关于傅里叶系数的导数：

(3)求得导数为：

因此由导数值确定下一步的搜索方向：

(4)然后设置步长，最佳的搜索步长应该是求解：

求目标函数对d的导数，然后将求得的导数等于0，即可得到最佳步长。对目标函数求d的导数得到的是一个三次方程，利用MATLAB求解这个三次方程能够得到一个实数解d。

步骤4：更新修正的对比度函数

在得到

后，通过离散傅里叶逆变换，可以得到感应电流

然后将感应电流代入方程(8)，通过最小二乘法，得到修正的对比度函数在第t次迭代时的表达式为：

其中

所以对比度函数被重构为：

步骤5：设置一个终止条件δ^2D，当δ^2D小于一个很小的值时，终止优化，否则回到步骤3。其中δ^2D为前后两次迭代更新得到的傅里叶系数的差值。

为了论证所提出技术的有效性，以具体的实施例子来佐证，在实际操作中，两种不同类型的数据被用来验证该技术：实验仿真数据和实测数据。为了评估反演结果的质量，引入了一误差函数，该误差函数定义为反演得到的相对介电常数分布

与实际相对介电常数分布

之间的平均误差：

在反演过程中，设置了多轮优化过程，每一轮优化过程都按照迭代流程步骤1-4进行，不同的是每一轮优化中使用的初始条件(步骤2)不同。在第一轮优化过程中，依旧是将

或者根据后向散射方法确定初值和

作为初始条件，但是第二轮优化，却是将第一轮优化得到的结果

和

作为初始条件代入迭代流程步骤2中，之后的优化过程都是按此思路进行，将前一轮优化的结果作为下一轮优化的初始条件。

实施例1.

本发明设计采用的实验装置结构图如图1所示，本例采用实验仿真数据验证所提出的成像方法。仿真时，采用Austria散射体作为未知散射体，Austria散射体是一种比较复杂的散射体结构，它包含了两个介质圆和一个介质圆环。设置被探测的目标区域为2λ×2λ的矩形感兴趣域，背景为空气。Austria散射体置于其内，其中两个介质圆的半径都为0.2λ，它们的圆心位置分别位于(-0.3λ,0.6λ)和(0.3λ,0.6λ)。介质圆环的内径为0.3λ，外径为0.6λ，其圆心位于(0λ,0.2λ)。在感兴趣域外，半径为3.75的圆上，均匀分布20个发射天线和40个接收天线用于测量散射场数据。在前向问题中，将感兴趣域离散为64×64个网格，而在逆问题中，感兴趣域被离散为32×32个网格。在所有仿真数据中，为了更符合实际情况，在仿真数据中都增加10％的加性高斯白噪声。图2展示的是重构介电常数为3.5的Austria散射体的结果图，每一行对应每一轮的重构结果。这时的Austria散射体相当于一个强散射体，但PD-CSI-CIE方法依旧能得到一个令人满意的重建结果。

实施例2.

为了验证本发明对实测数据的成像效果。选择了来自Institute Fresnel实验室的实测数据。选择一种新的散射体FoamDielExt，它由两个介质圆组成，一个直径为8cm，介电常数为1.45的小介质圆，和一个直径为3.1cm，介电常数为3.0的大介质圆。在20cm×20cm的感兴趣域中，使用8个入射天线、241个接收天线和9个频率(2-10GHz)来收集TM情况下的FoamDielExt的数据集。所有的数值试验都是用单一频率的数据进行的，为了验证PD-CSI-CIE方法的性能，直接用8GHz情况下的数据集来重建FoamDielExt散射体，重建结果展示在图3中，每一行对应每一轮的重构结果，可以看到，反演结果很成功，这表明提出的成像方法具有很高的可行性。

上述两实例仅仅只是例证本发明方法，并非是对于本发明的限制，本发明也并非仅限于上述实例，只要符合本发明方法的要求，均属于本发明方法的保护范围。

本发明针对逆散射成像问题中相位测量困难和测量不准等难点，提出一种利用总场幅度来重构未知散射体的无相位反演方法。在无相位反演算法中，逆散射模型中存在的非线性程度会比有相位反演方法的非线性程度高。为了使无相位反演方法对于一些强散射体的反演有效，在Lippmann-Schwinger积分方程(LSIE)的基础上，增加了一个实参数来缓和模型的非线性，提出一种新的收缩积分方程(CIE)，结合用低频的傅里叶基来扩展电流空间，这样不仅能有效的过滤掉大部分的噪声干扰(噪声存在于高频分量中)，且通过选择合适的傅里叶基个数和CIE方程中的参数值，逆散射模型的非线性能够有效的降低。基于CIE方程的对比源反演方法在本发明中使用，通过仿真数据和实测数据的反演验证了该方法的有效性。

Claims (8)

1.利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法，其特征在于包括以下：基于CIE方程的对比源反演方法使用的电磁逆散射模型是：

总场的强度方程：

散射场方程：

对比源方程：

对于第p次入射，定义强度方程的残差为：

其中

表示实际测量得到的总场的幅值的平方数据，

利用傅里叶基来扩展对比源函数：

表示对对比源进行离散傅里叶变换后得到的小波系数，其中零元素对应高频傅里叶基，非零元素对应低频傅里叶基，vec{}表示向量化算子，约定大小为M₁×M₂的

在四个角上各有一个大小为M_F的非零元素块，对应于基的个数为

定义算子形式的傅里叶变换和傅里叶逆变换：

F_T表示快速傅里叶变换，

表示快速傅里叶逆变换，所以

接下来定义对比源方程的残差函数：

因此，目标函数定义为：

其中归一化因子

定义为在测量区域的L₂范数，

定义为在目标区域的L₂范数，然后最小化目标函数。

2.根据权利要求1所述的利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法，其特征在于最小化目标函数的方法为：在该目标函数中存在两个未知量：傅里叶系数

和修正的对比度函数

对比源方法使用了交替迭代技术，在这里首先保持修正的对比度函数不变更新未知量傅里叶系数使目标函数最小化，然后利用更新得到的傅里叶系数来更新修正的对比度函数，在整个迭代优化过程中，这两个未知量互不干扰。

3.根据权利要求2所述的利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法，其特征在于所述最小化目标函数的具体迭代步骤如下：

步骤1：根据离散的网格位置和发射、接收天线的位置，计算映射矩阵

和

其中a表示每个网格的面积大小，m＝1，2，...，M表示目标区域内的第几个网格；

步骤2：初始化(t＝0)，

或者根据后向散射方法确定初值，

初始的搜索方向为

步骤3：t＝t+1，使用共轭梯度法依次更新对比源和对比度函数(也即依次更新傅里叶系数和修正的对比度函数)；

步骤4：更新修正的对比度函数

步骤5：设置一个终止条件δ^2D，当δ^2D小于一个很小的值时，终止优化，否则回到步骤3。其中δ^2D为前后两次迭代更新得到的傅里叶系数的差值。

。

4.根据权利要求3所述的利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法，其特征在于所述更新对比源和对比度函数的具体方法为：

利用线性搜索方法来更新未知量傅里叶系数：

表示前一次迭代的结果，d_t表示步长，

表示搜索方向；

首先计算目标函数的导数：

(1)对目标函数第一个式子求关于傅里叶系数的导数：

在这里表示对于两个行数相同的向量和矩阵运算，先将

按列复制n次，变成与

具有相同的维度的矩阵

然后再进行⊙运算。

(2)对目标函数第二个式子求关于傅里叶系数的导数：

(3)求得导数为：

因此由导数值确定下一步的搜索方向：

(4)然后设置步长，最佳的搜索步长应该是求解：

求目标函数对d的导数，然后将求得的导数等于0，即可得到最佳步长，对目标函数求d的导数得到的是一个三次方程，求解这个三次方程能够得到一个实数解d。

5.根据权利要求3所述的利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法，其特征在于所述的更新修正的对比度函数

的具体方法为：在得到

后，通过离散傅里叶逆变换，可以得到感应电流

然后将感应电流代入方程(8)，通过最小二乘法，得到修正的对比度函数在第t次迭代时的表达式为：

其中

所以对比度函数被重构为：

6.根据权利要求1所述的利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法，其特征在于为了评估反演结果的质量，引入了一误差函数，该误差函数定义为反演得到的相对介电常数分布

与实际相对介电常数分布

之间的平均误差：

7.根据权利要求3所述的利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法，其特征在于在反演过程中，设置了多轮优化过程，每一轮优化过程都按照迭代流程步骤1-4进行，不同的是每一轮优化中使用的初始条件(步骤2)不同，在第一轮优化过程中，依旧是将

或者根据后向散射方法确定初值和

作为初始条件，但是第二轮优化，却是将第一轮优化得到的结果

和

作为初始条件代入迭代流程步骤2中，之后的优化过程都是按此思路进行，将前一轮优化的结果作为下一轮优化的初始条件。

8.根据权利要求1所述的利用无相位数据解决高度非线性电磁逆散射问题的方法，其特征在于所述散射场方程和对比源方程的建立方法为：

假定在自由空间背景下，某未知物体存在于该目标区域D，

内，并将该目标区域剖分成M＝M₁×M₂(M₁为x轴划分的网格数，M₂为y轴划分的网格数)个网格，定义每一个网格的中心点位置为r_m，n(m＝1，2，...，M₁，n＝1，2，...，M₂)，在该区域外侧，安装有发射天线和接收天线(发射天线位置表示为r_p，p＝1，2，...，N_i，接收天线位置表示为r_q，q＝1，2，...，N_r)，用于测试区域外部场的数据，当网格划分的很细时，每个网格内的介电常数相当于一个常数，逆散射问题就可以简化为利用外部场的信息来求解目标区域内的介电常数分布ε(r_m，n)；

基于Lippmann-Schwinger电场/电流积分方程，得到电磁逆散射的几个基本方程，第一个积分方程描述的是区域内总场的信息：

其中E^inc(r)表示位于区域内部r处的入射场；χ(r)＝(ε(r)-ε₀)/ε₀为区域内的对比度函数；k₀表示自由空间中的波矢；格林函数

表示一个位于空间r′处的点源对其周围空间某点r所产生的场，

表示零阶第一类汉克尔函数；

第二个积分方程是描述外部测量散射场的积分方程：

其中E^sca(r_q)表示位于r_q处的接收天线接收到的散射场的信息；

定义归一化的对比源函数为

I(r)＝χ(r)E^tot(r) (3)

将方程(1)-(3)离散化：

其中⊙表示对应元素相乘，格林函数

表示区域内感应电流和测量区域散射场之间的映射，

为格林函数

的矩阵算子形式，通过数学变换，把(6)中的感应电流代入到(5)中，得到以下方程：

其中

为单位矩阵，公式(7)中的求逆可以通过泰勒公式，将散射场

展开成关于

的高阶形式，因此散射场和对比度之间是一个典型的非线性关系，而非线性程度的大小取决于格林函数算子与对比度函数之间内积的范数值

大小，

值越大，求解逆问题的非线性程度就越高，当

很小时，大于等于1阶的泰勒项可以忽略不计，此时散射场与对比度函数之间成一个线性关系；在重构强散射体(电大尺寸或者介电常数比较高)时，

的值会很大，这时需要提供更多的高次多项式来平衡方程，在这种情况下，即使无噪声，逆散射问题也是一个高度非线性问题；

为了降低电磁逆散射模型的非线性，提出一种新的收缩积分方程(CIE)，在方程(6)左右两边同时乘以

经过数学变换，得到新的对比源函数为：

定义修正后的对比度函数

将公式(8)代入公式(5)，经过数学转换，此时的散射场为：

公式(9)能被泰勒公式展开成关于

的幂形式，规定β是一个正常数且是一个大于1的数，因此有

的每一个元素都是小于1的数，

会因为β的存在而减小，所以

的值相较于Lippmann-Schwinger积分方程中的

降低很多，这能很有效的降低逆散射模型的非线性程度。

Images