CN110824910B - 一种确定磁轴承的乘性pid稳定域的方法 - Google Patents

Abstract

本申请公开了一种确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法，包括基于小增益定理确定出基于闭环系统鲁棒稳定性条件的乘性权重不确定性的H∞指数；基于边界交叉定理，采用D‑分割技术，确定出具有期望的PID控制器衰减率指标的参数边界；基于所述参数边界，确定(k_p，k_i)、(k_p，k_d)和(k_i，k_d)平面的鲁棒稳定区域。上述方法能够通过满足鲁棒的性能约束来找到具有时滞的主动磁轴承PID控制器的所有稳定参数集，确定出乘性PID的鲁棒稳定区域，在该区域中任意选择PID控制器参数都能够保证磁轴承的稳定性，从而实现对控制对象的外界干扰的有效抑制，实现反馈控制系统的逐步调节功能，提高磁轴承的悬浮精度。

Description

一种确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法

技术领域

本发明属于电机传动控制技术领域，特别是涉及一种确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法。

背景技术

在人造卫星、导弹等现代装备技术领域以及高性能的飞轮储能、发电机、人工心脏泵等技术领域，都要用到电力传动控制设备。其中，磁轴承利用磁力将物体稳定悬浮在空气中以产生非接触特性，常规的精密定位机构大多使用带有导螺杆的伺服电机，该螺杆具有非常大的转换比，以达到精确定位的目的，然而由于其自身机制的限制，存在严重的摩擦和游隙问题，从而影响系统精度。现有技术中，除了提高系统硬件的加工精度并增加导轨组件外，最常用的方法是使用润滑剂来减少摩擦。但是，这些方法只能减少摩擦的影响，而不能完全消除摩擦。由于磁浮系统利用电磁力的作用将物体悬挂在空中，或者在运动过程中以非接触方式支撑物体，因此非接触特性可以有效避免机械系统的直接接触、摩擦，振动，噪音，能量损失等，并延长机械寿命；另一方面，磁悬浮系统的非接触特性可以避免摩擦和灰尘的产生，并且没有一般机械系统润滑的问题，可以保持工作场所的清洁，因此经常用于特殊的工作环境，例如真空、洁净室、高温和低温，这有利于了磁悬浮定位系统的发展。

在主动磁轴承的开发中，已经采用了各种控制技术，常见的控制算法包括PI控制、PID控制、模糊控制、神经网络控制、预测控制和多目标遗传控制。尽管上述各种先进的控制算法可以应用在主动式电磁轴承系统中，并且可以在一定程度上优化系统的性能，但是由于控制器的复杂结构和计算资源的占用，对控制器的硬件提出了很高的要求，这通常很难实现。相比之下，比例积分微分控制算法简单，适应性强且成熟，已被广泛应用于主动轴承系统中，通常作为系统的主控制器。作为典型的固有不稳定系统，有源电磁轴承对控制器的参数非常敏感，控制器的设计要求非常苛刻，数字控制中存在额外的延迟通常会导致控制器不稳定。为了同时考虑瞬态和负载控制能力，将具有加权灵敏度约束的PID稳定性参数鲁棒域控制器用于主动磁轴承的控制中，具有良好的效果。

发明内容

为解决上述问题，本发明提供了一种确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法，能够通过满足鲁棒的性能约束来找到具有时滞的主动磁轴承PID控制器的所有稳定参数集，确定出乘性PID的鲁棒稳定区域，在该区域中任意选择PID控制器参数都能够保证磁轴承的稳定性，从而实现对控制对象的外界干扰的有效抑制，实现反馈控制系统的逐步调节功能，提高磁轴承的悬浮精度，该方法取决于控制系统的频率响应函数关系，而无需控制模型的传递函数系数，对控制系统的数学模型精度的要求不高。

本发明提供的一种确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法，包括：

基于小增益定理确定出基于闭环系统鲁棒稳定性条件的乘性权重不确定性的H∞指数；

基于边界交叉定理，采用D-分割技术，确定出具有期望的PID控制器衰减率指标的参数边界；

基于所述参数边界，确定(k_p，k_i)、(k_p，k_d)和(k_i，k_d)平面的鲁棒稳定区域。

优选的，在上述确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法中，所述基于小增益定理确定出基于闭环系统鲁棒稳定性条件的乘性权重不确定性的H∞指数为：

其中，ΔI(s)为乘积摄动，U_a(s)为输入灵敏度函数，W_s(j^ω)为乘法权重函数，W_I(j^ω)为逆乘法权重函数，K(s)为PID控制器传递函数，

其中，τ为时延常数，k_h为电流系数，k_s为传感器灵敏度系数，k_w为功放系数，k_x为位移系数。

优选的，在上述确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法中，所述基于所述参数边界，确定(k_p，k_i)平面的鲁棒稳定区域包括：

k_d是(k_p，k_i)平面中参数鲁棒稳定性区域的固定值，对于0＜ω＜∞，包含奇异边界线k_i＝0，并且非奇异边界曲线由以下方程式给出

将其转换为复数的表达式，令实部和虚部等于零，得到

基于D-分割法，鲁棒稳定域边界包含奇异边界ω＝0，ω＝∞和非奇异边界0<ω<∞；

当ω＝0且θ_A∈[0,2π)时，得到

G_p(0)k_i-(1/γ)W_A(s)k_i＝0；

得到k_i＝0，k_p是一个任意值，当ω＝∞并且θ_A∈[0,2π)时，方程无解，在(k_p，k_i)平面中具有非奇异稳定域；当0<ω<∞且θ_A∈[0,2π)时，方程具有唯一的连续解曲线，

当J>0时，稳定边界沿ω的增加方向的左侧为参数稳定区域，非奇异边界左侧的不稳定闭合极点小于右侧的不稳定闭合极点；当J<0时，稳定边界沿ω的增加方向的右侧为参数稳定区域，非奇异边界右侧的不稳定闭合极点小于左侧。

优选的，在上述确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法中，所述基于所述参数边界，确定(k_p，k_d)平面的鲁棒稳定区域包括：

将k_i设为固定值，将实部和虚部设置为零，得到

当0<ω<∞且θ_A∈[0,2π)时，(k_p，k_d)平面中的鲁棒稳定域为：

其雅可比矩阵可以写成如下：

将(k_p，k_d)平面上沿着ω的增加方向定义为鲁棒稳定域的右侧。

优选的，在上述确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法中，所述基于所述参数边界，确定(k_i，k_d)平面的鲁棒稳定区域包括：

K_p已知，当0<ω<∞且θ_A∈[0，2π)时，(k_i，k_d)平面中的鲁棒稳定区域是凸多边形，该凸多边形由一组线段相交组成，这组线段为k_d＝ak_i+b，在(k_p，k_i)和(k_p，k_d)平面中得到与k_p对应的k_d和k_i，然后确定(a，b)，非奇异参数鲁棒稳定区域的边界在(k_i，k_d)平面上。

优选的，在上述确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法中，所述PID控制器传递函数K(s)为：

k_p，k_i，k_d分别是比例、积分和微分增益。

通过上述描述可知，本发明提供的上述确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法中，由于包括先基于小增益定理确定出基于闭环系统鲁棒稳定性条件的乘性权重不确定性的H∞指数；然后基于边界交叉定理，采用D-分割技术，确定出具有期望的PID控制器衰减率指标的参数边界；最后基于所述参数边界，确定(k_p，k_i)、(k_p，k_d)和(k_i，k_d)平面的鲁棒稳定区域，因此能够通过满足鲁棒的性能约束来找到具有时滞的主动磁轴承PID控制器的所有稳定参数集，确定出乘性PID的鲁棒稳定区域，在该区域中任意选择PID控制器参数都能够保证磁轴承的稳定性，从而实现对控制对象的外界干扰的有效抑制，实现反馈控制系统的逐步调节功能，提高磁轴承的悬浮精度，该方法取决于控制系统的频率响应函数关系，而无需控制模型的传递函数系数，对控制系统的数学模型精度的要求不高。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据提供的附图获得其他的附图。

图1为本申请提供的一种确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法的示意图。

具体实施方式

本申请的核心是提供一种确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法，通过满足鲁棒的性能约束来找到具有时滞的主动磁轴承PID控制器的所有稳定参数集，确定出乘性PID的鲁棒稳定区域，在该区域中任意选择PID控制器参数都能够保证磁轴承的稳定性，从而实现对控制对象的外界干扰的有效抑制，实现反馈控制系统的逐步调节功能，提高磁轴承的悬浮精度，该方法取决于控制系统的频率响应函数关系，而无需控制模型的传递函数系数，对控制系统的数学模型精度的要求不高。

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本申请提供的一种确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法的实施例如图1所示，图1为本申请提供的一种确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法的示意图，该方法包括如下步骤：

S1：基于小增益定理确定出基于闭环系统鲁棒稳定性条件的乘性权重不确定性的H∞指数；

需要说明的是，这里的控制对象不是精确的模型，并且具有某些误差，PID控制器参数是否合适，取决于闭环控制系统的性能要求。

S2：基于边界交叉定理，采用D-分割技术，确定出具有期望的PID控制器衰减率指标的参数边界；

具体的，可以依次确定出(k_p，k_i)，(k_p，k_d)和(k_i，k_d)平面上的参数鲁棒稳定性区域的全部边界。

S3：基于参数边界，确定(k_p，k_i)、(k_p，k_d)和(k_i，k_d)平面的鲁棒稳定区域。

具体的，就是利用小增益定理，针对乘性不确定性，获得闭环系统的鲁棒稳定性条件，基于乘性不确定性的内部稳定性H∞指标，找出PID参数的鲁棒稳定区域。

通过上述描述可知，本申请提供的上述确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法的实施例中，由于包括先基于小增益定理确定出基于闭环系统鲁棒稳定性条件的乘性权重不确定性的H∞指数；然后基于边界交叉定理，采用D-分割技术，确定出具有期望的PID控制器衰减率指标的参数边界；最后基于参数边界，确定(k_p，k_i)、(k_p，k_d)和(k_i，k_d)平面的鲁棒稳定区域，因此能够通过满足鲁棒的性能约束来找到具有时滞的主动磁轴承PID控制器的所有稳定参数集，确定出乘性PID的鲁棒稳定区域，在该区域中任意选择PID控制器参数都能够保证磁轴承的稳定性，从而实现对控制对象的外界干扰的有效抑制，实现反馈控制系统的逐步调节功能，提高磁轴承的悬浮精度，该方法取决于控制系统的频率响应函数关系，而无需控制模型的传递函数系数，对控制系统的数学模型精度的要求不高。

在上述确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法的一个具体实施例中，基于小增益定理确定出基于闭环系统鲁棒稳定性条件的乘性权重不确定性的H∞指数为：

/>

其中，ΔI(s)为乘积摄动，U_a(s)为输入灵敏度函数，W_s(j^ω)为乘法权重函数，W_I(j^ω)为逆乘法权重函数，K(s)为PID控制器传递函数，

其中，τ为时延常数，k_h为电流系数，k_s为传感器灵敏度系数，k_w为功放系数，k_x为位移系数。

具体的，通过上述H∞指数就能够找出PID参数的鲁棒稳定区域。

在上述确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法的另一个具体实施例中，基于参数边界，确定(k_p，k_i)平面的鲁棒稳定区域包括：

k_d是(k_p，k_i)平面中参数鲁棒稳定性区域的固定值，对于0＜ω＜∞，包含奇异边界线k_i＝0，并且非奇异边界曲线由以下方程式给出

将其转换为复数的表达式，令实部和虚部等于零，得到

基于D-分割法，鲁棒稳定域边界包含奇异边界ω＝0，ω＝∞和非奇异边界0<ω<∞；

当ω＝0且θ_A∈[0,2π)时，得到

G_p(0)k_i-(1/γ)W_A(s)k_i＝0；

得到k_i＝0，k_p是一个任意值，当ω＝∞并且θ_A∈[0,2π)时，方程无解，在(k_p，k_i)平面中具有非奇异稳定域；当0<ω<∞且θ_A∈[0,2π)时，方程具有唯一的连续解曲线，

当J>0时，稳定边界沿ω的增加方向的左侧为参数稳定区域，非奇异边界左侧的不稳定闭合极点小于右侧的不稳定闭合极点；当J<0时，稳定边界沿ω的增加方向的右侧为参数稳定区域，非奇异边界右侧的不稳定闭合极点小于左侧。

在上述确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法的一个优选实施例中，基于参数边界，确定(k_p，k_d)平面的鲁棒稳定区域包括：

将k_i设为固定值，将实部和虚部设置为零，得到

当0<ω<∞且θ_A∈[0,2π)时，(k_p，k_d)平面中的鲁棒稳定域为：

其雅可比矩阵可以写成如下：

将(k_p，k_d)平面上沿着ω的增加方向定义为鲁棒稳定域的右侧。

在上述确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法的另一个优选实施例中，基于参数边界，确定(k_i，k_d)平面的鲁棒稳定区域包括：

K_p已知，当0<ω<∞且θ_A∈[0，2π)时，(k_i，k_d)平面中的鲁棒稳定区域是凸多边形，该凸多边形由一组线段相交组成，这组线段为k_d＝ak_i+b，在(k_p，k_i)和(k_p，k_d)平面中得到与k_p对应的k_d和k_i，然后确定(a，b)，非奇异参数鲁棒稳定区域的边界在(k_i，k_d)平面上。

在上述确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法的又一个优选实施例中，PID控制器传递函数K(s)为：

k_p，k_i，k_d分别是比例、积分和微分增益。

下面以一个实际的例子对上述实施例进行说明：

该例子中，提出一种确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法，在主动电磁轴承系统的所有控制算法中，比例积分微分(PID)控制算法简单，适应性强且成熟，已广泛应用于主动电磁轴承系统中，通常作为系统的主控制器。该方法通过满足鲁棒的性能约束来找到具有时滞的主动磁悬浮轴承PID控制器的所有稳定参数集。首先基于小增益定理给出了基于闭环系统鲁棒稳定性条件的乘性权重不确定性的H∞指数，然后基于边界交叉定理，采用D-分割技术，推导了具有期望的PID控制器衰减率指标的参数边界，逆乘模型用于描述不稳定扰动系统的不确定性。该方法的优点是其仅取决于系统的频率响应，而无需传递函数系数。

在本方案中，控制对象不是精确的模型，并且具有某些误差，PID控制器参数是否合适，取决于闭环控制系统的性能要求。PID控制器K(s)以及反馈控制系统中的乘重权函数W_A(s)和逆乘重函数W_I(s)的灵敏度函数可以表示为

W_s(jω)＝A_s(ω)+jB_s(ω)-----------------------------(2)

W_I(jω)＝A_I(ω)+jB_I(ω)-------------------------------(3)

其中A_s(ω)，A_I(ω)，B_s(ω)和B_I(ω)都是有理多项式，k_p，k_i，k_d分别是比例，积分和微分增益。具有时延频率响应G_p(s)的任意阶线性时不变系统的传递函数可以用以下公式描述：

G_P(jω)＝R(ω)+jI(ω)-------------------------------------(4)

其中R(ω)和I(ω)分别是G_p(jω)的实部和虚部。本方法的目标是在(k_p，k_i)，(k_p，k_d)和(k_i，k_d)平面的鲁棒稳定区域中任意选择PID控制器参数，当在控制对象G_p(s)中发生干扰时，被控制对象的动态特性不受不确定性因素的影响，从而实现了反馈控制系统的逐步调节功能。

磁轴承是一种机电设备，利用磁力使转子完全悬浮或将其悬浮在气隙中而没有物理接触，并且由功率放大器，转子和位移传感器组成。作为一阶低通滤波的线性模型，传递函数通过在平衡点局部线性化磁轴承模型，并考虑到带有时滞的情况，其传递函数为，

K(s)是控制器传递函数，τ为时延常数。实际控制对象G_Δ(s)是具有乘法不确定性的模型。乘积摄动Δ(s)可以由下式给出：

为了确保干扰效应对系统的负载很小，应考虑输入灵敏度函数的上限。输入灵敏度函数U_X(s)给出如下：

利用小增益定理，针对乘性不确定性，获得了闭环系统的鲁棒稳定性条件。

对于反馈控制系统，逆乘法权重函数W_I(s)是系统期望乘扰动Δ(s)达到期望性能的最大值。

|Δ_I(s)|≤|W_I(s)|--------------------------------------------------(9)

设计目标是基于乘性不确定性的内部稳定性H∞指标，找出PID参数的鲁棒稳定区域。该目标可以通过以下H∞指数来实现。

鲁棒性能指标γ＝1为有界干扰抑制水平。加权灵敏度约束可以表示为

从(11)，H∞期望指数可以改写为

对于所有θ_A∈[0，2π)，我们可以在鲁棒稳定区域中找到PID参数。闭环系统的特征多项式由下式给出

W_s(1+W_I)e^jθ-1-W_I-K(s)G_p(s)------(13)

左半开环平面定义为Г，PID参数鲁棒稳定区域是根据平面Г的所有PID控制器中的极点定义的。边界可以近似为将s＝jω代入特征多项式(13)并将其等于0。公式(13)可以重写为

D+ωB_I+ωk_pI-k_iR+k_dRω²+j(N-ω-ωA_I-ωk_pR-k_iI+k_dIω²)＝0----------(14)

根据边界定理，包含PID参数鲁棒稳定区域的边界。引入了新的任意阶线性时滞系统G_p(s)，

定理一：以下内容将证明PID控制器在(k_p，k_i)，(k_p，k_d)和(k_i，k_d)平面上的参数鲁棒稳定性区域。PID系数空间中的稳定区域可以定义为：

1)k_d是(k_p，k_i)平面中参数鲁棒稳定性区域的固定值。对于0＜ω＜∞，包含奇异边界线k_i＝0，并且非奇异边界曲线由以下方程式给出

比较方程(15)中的实部和虚部等于零，我们得到

D-分割法表明，鲁棒稳定域边界包含奇异边界(ω＝0，ω＝∞)和非奇异边界(0<ω<∞)。

当ω＝0且θ_A∈[0,2π)时，由(14)得到

G_p(0)k_i-(1/γ)W_A(s)k_i＝0

根据(11)，我们可以得到k_i＝0。k_p是一个任意值。当ω＝∞并且θ_A∈[0,2π)时，根据假设，方程没有解。综合以上分析，在(k_p，k_i)平面中具有非奇异稳定域。当0<ω<∞且θ_A∈[0,2π)时，该方程具有唯一的连续解曲线，因为G_P(s)在虚轴上不为零，例如R²+I²＝|G_p(jω)|²≠0。从表达式(17)，可以得到，

当J>0时，稳定边界沿ω的增加方向的左侧为参数稳定区域，非奇异边界左侧的不稳定闭合极点小于右侧的不稳定闭合极点，否则，当J<0时，稳定边界沿ω的增加方向的右侧为参数稳定区域。非奇异边界右侧的不稳定闭合极点小于左侧。等式(20)始终>0，且稳定边界沿ω的增加方向的左侧为参数稳定区域。

2)(k_p，k_d)平面上的鲁棒稳定性域的解与(k_p，k_d)平面上的鲁棒稳定性域的解相似。我们将k_i设为固定值。将等式(15)中的实部和虚部设置为零，很容易获得

当0<ω<∞且θ_A∈[0,2π)时，(k_p，k_i)平面中的鲁棒稳定域如下所示

式(19)的雅可比矩阵可以写成如下：

通过等式(21)，J总是<0，因此我们在(k_p，k_d)平面上沿着ω的增加方向定义了鲁棒稳定域的右侧。

3)k_p是已知的，当0<ω<∞并且θ_A∈[0,2π)时，(k_i，k_d)平面中的鲁棒稳定域是凸多边形，它们由一组线段相交。这组线可以表示为k_d＝ak_i+b。我们在(k_p，k_i)和(k_p，k_d)平面中得到与k_p对应的k_d和k_i，然后可以确定(a,b)。最后，非奇异参数鲁棒稳定性域的边界在(k_i，k_d)平面上。

对所公开的实施例的上述说明，使本领域专业技术人员能够实现或使用本发明。对这些实施例的多种修改对本领域的专业技术人员来说将是显而易见的，本文中所定义的一般原理可以在不脱离本发明的精神或范围的情况下，在其它实施例中实现。因此，本发明将不会被限制于本文所示的这些实施例，而是要符合与本文所公开的原理和新颖特点相一致的最宽的范围。

Claims (1)

1.一种确定磁轴承的乘性PID稳定域的方法，其特征在于，包括：

基于小增益定理确定出基于闭环系统鲁棒稳定性条件的乘性权重不确定性的H∞指数；

基于边界交叉定理，采用D-分割技术，确定出具有期望的PID控制器衰减率指标的参数边界；

基于所述参数边界和所述H∞指数，确定(k_p，k_i)、(k_p，k_d)和(k_i，k_d)平面的鲁棒稳定区域；

所述基于小增益定理确定出基于闭环系统鲁棒稳定性条件的乘性权重不确定性的H∞指数为：

其中，ΔI(s)为乘积摄动，U_a(s)为输入灵敏度函数，W_s(jω)为乘法权重函数，W_I(jω)为逆乘法权重函数，K(s)为PID控制器传递函数，

其中，τ为时延常数，k_h为电流系数，k_s为传感器灵敏度系数，k_w为功放系数，k_x为位移系数，γ为鲁棒性能指标；

所述基于所述参数边界，确定(k_p，k_i)平面的鲁棒稳定区域包括：

k_d是(k_p，k_i)平面中参数鲁棒稳定性区域的固定值，对于0﹤ω﹤∞，包含奇异边界线k_i＝0，并且非奇异边界曲线由以下方程式给出

将其转换为复数的表达式，令实部和虚部等于零，得到

基于D-分割法，鲁棒稳定域边界包含奇异边界ω＝0，ω＝∞和非奇异边界0<ω<∞；

当ω＝0且θ_A∈[0,2π)时，得到

G_p(0)k_i-(1/γ)W_A(s)k_i＝0；

得到k_i＝0，k_p是一个任意值，当ω＝∞并且θ_A∈[0,2π)时，方程无解，在(k_p，k_i)平面中具有非奇异稳定域；当0<ω<∞且θ_A∈[0,2π)时，方程具有唯一的连续解曲线，

当J>0时，稳定边界沿ω的增加方向的左侧为参数稳定区域，非奇异边界左侧的不稳定闭合极点小于右侧的不稳定闭合极点；当J<0时，稳定边界沿ω的增加方向的右侧为参数稳定区域，非奇异边界右侧的不稳定闭合极点小于左侧其中，R和I分别是G_p(jω)的实部和虚部；

所述基于所述参数边界，确定(k_p，k_d)平面的鲁棒稳定区域包括：

将k_i设为固定值，将实部和虚部设置为零，得到

当0<ω<∞且θ_A∈[0,2π)时，(k_p，k_d)平面中的鲁棒稳定域为：

其雅可比矩阵可以写成如下：

将(k_p，k_d)平面上沿着ω的增加方向定义为鲁棒稳定域的右侧；

所述基于所述参数边界，确定(k_i，k_d)平面的鲁棒稳定区域包括：

K_p已知，当0<ω<∞且θ_A∈[0，2π)时，(k_i，k_d)平面中的鲁棒稳定区域是凸多边形，该凸多边形由一组线段相交组成，这组线段为k_d＝ak_i+b，在(k_p，k_i)和(k_p，k_d)平面中得到与k_p对应的k_d和k_i，然后确定(a，b)，非奇异参数鲁棒稳定区域的边界在(k_i，k_d)平面上；

所述PID控制器传递函数K(s)为：

k_p，k_i，k_d分别是比例、积分和微分增益。

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