CN110286585A - 基于扩展干扰估计器的一类机械系统二重积分滑模控制设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于扩展干扰估计器的一类机械系统二重积分滑模控制设计方法，首先构建了一类机械系统的动力学方程，然后设计了非线性扩展干扰估计器及改进的二重积分滑模面，再设计的扩展干扰观测器和改进的二重积分滑动面，创建了控制器。本发明可以避免知道干扰的上界，而且不论系统遭受的是消退型干扰还是非消退型的干扰，此外对于不同类型的跟踪参考，包括非周期性梯形指令、周期性正弦指令和可变频率正弦指令，均具有良好的跟踪性能。所设计的非线性扩展干扰估计器，在不需要已知干扰上界的情况下，不仅可以估计出消退型干扰，也可以实现对不消退型干扰的有效估计。基于改进的二重积分滑模面，实现全程滑模，提高控制系统的鲁棒性。

Description

基于扩展干扰估计器的一类机械系统二重积分滑模控制设计 方法

技术领域

本发明属于控制系统设计技术领域，特别涉及一种滑模控制设计方法。

背景技术

滑模控制(SMC)由于其强大的鲁棒性，已经在机械系统、电力系统、电子系统、化工系统中得到了广泛关注[1-12].

在传统的SMC中，干扰的界限通常需要是已知的，并且根据最坏情况原则来设计控制器的[3]。因此，控制精度受到限制。一般来说，精度的提高和鲁棒性的提高是矛盾 的。尽管如此，许多研究人员已经研究了一些处理这类问题的方法。有的设计不同滑动 面[11,13]，有的改进控制器设计方法[6,14]，还有的采用神经网络[8]，模糊逻辑[15]， 干扰观测器[1，16]等方法来逼近或估计系统中的干扰，从而提高控制系统的鲁棒性。

文[13]给出了一种积分滑模控制方法虽然可以使状态渐近滑动到期望的平衡点，但 是要求不匹配的干扰具有一个恒定的稳态值。事实上，许多干扰是不消退的，不是稳定在一个常值。文[8]结合了神经网络，但它需要预先获取足够的可靠数据来训练神经网络。文[6]中给出了一种自适应鲁棒控制器，但需要已知干扰的上界。

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发明内容

本发明目的是针对一类机械系统，提出一种基于扩展干扰估计器的一类机械系统二 重积分滑模控制设计方法，以提高跟踪精度和系统鲁棒性。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种基于扩展干扰估计器的一类机械系统二重积分滑模控制设计方法，包括以下步 骤：

步骤1，构建如下的机械系统的动力学方程：

其中，z＝[z₁,z₂,...,z_n]^T，是n×1向量，表征机 械系统的位置、速度和加速度变量，n表示机械系统的自由度；M＝diag[M₁,M₂,...,M_n]，C＝diag[C₁,C₂,...,C_n]，K＝diag[K₁,K₂,...,K_n]，B＝diag[B₁,B₂,...,B_n]分别是n×n的对角 型惯性、阻尼、刚度和输入系数矩阵，u＝[u₁,u₂,...,u_n]^T是n×1的控制向量， f＝[f₁,f₂,...,f_n]^T是n×1向量，其包含外部干扰，未建模的非线性动态和被忽略的耦 合项；△C、△K、△B分别表示C、K、B的参数摄动；

令为集成干扰，则式(1)改写成

这里，不要求集成干扰d满足匹配条件，即d可能是不匹配干扰；

将状态z的跟踪误差定义为e＝z_m-z，其中z_m表示参考轨迹；跟踪误差相应的一阶和二阶导数为

设定条件1，集成干扰d连续，并且满足零阶、一阶、二阶导数范数有界，但是界 不需要已知，即

其中μ＝[μ₁,μ₂,...,μ_n]^T，μ_i(i＝1,2,...,n)是正值常数；

设定条件2，z_m，是已知的，z，是可测量的，B_i≠0，M_i>0，(i＝1,2,...,n)；

式(1)中M、C、K、B均为对角阵，即在机械系统建模时把n个子系统视为解 耦的，它们之间的耦合作用体现在f中；因此，n个子系统的控制设计方法是类似的， 以下步骤围绕系统的第i个子系统进行设计；

第i个子系统模型为

其中，M_i∈M，C_i∈C、K_i∈、z_i∈z、B_i∈B、u_i∈u、d_i∈ d，i＝1,2,...,n；

步骤2，非线性扩展干扰观测器设计：

令ξ_i表示扩展干扰向量，并为ξ_i设计扩展干扰观测器，如式(5)所示

其中,

和分别是d_i和的估计值，是d_i的一阶导数，p_i是扩展干扰观测器的内部状态, 是p_i的一阶导数，和是用户可设计的正值常数；

因此，将式(4)改写为

其中，

根据式(5),的导数是

定义观测误差为引入辅助参数β＝[0,1]^T,于是

步骤3，改进的二重积分滑模面设计：

考虑跟踪误差并设计一个改进的二重积分滑动面：

其中，是滑模面用户可设计参数，且α_i>0是用户可选择的正值常数；s_i是滑模变量；是辅助变量，是e_i的一阶导数；

s_i的导数是

步骤4，基于非线性扩展干扰估计器的滑模控制器设计：

基于步骤2设计的扩展干扰观测器(5)和步骤3设计的改进的二重积分滑动面(7)，创建以下控制器：

式中，u_i∈u，是控制量；

是用户可选择的正值常数，是关于s_i的可设计的非负非线性函数。

有益效果：本发明可以避免知道干扰的上界，而且不论系统遭受的是消退型干扰还 是非消退型的干扰，此外对于不同类型的跟踪参考，包括非周期性梯形指令、周期性正弦指令和可变频率正弦指令，均具有良好的跟踪性能。所设计的非线性扩展干扰估计器，在不需要已知干扰上界的情况下，不仅可以估计出消退型干扰，也可以实现对不消退型 干扰的有效估计。基于改进的二重积分滑模面，实现全程滑模，提高控制系统的鲁棒性。 基于Lyapunov理论，证明了干扰观测误差的范数最终有界，二重积分滑模面可达。通 过适当选择干扰估计器参数，可以降低干扰观测误差的界，控制系统的鲁棒性可以通过 选择合适的控制器参数或非线性函数给与调整。

综上，本发明所设计的控制作用下，二重积分滑动面可达，并实现全程滑模，干扰观测器可以实现对消退型和不消退型干扰的估计，且不需要已知干扰上界，干扰观测误 差最终有界，控制系统具有良好的跟踪精度和鲁棒性。

附图说明

图1为基于扩展干扰观测器的二重积分滑模控制(DO-DISMC)方法流程；

图2为示意图；

图3为简化的TAMB控制系统几何结构；

图4为非周期性梯形指令；

图5为非周期性梯形指令下的跟踪误差e；

图6为非周期梯形指令下跟踪误差的导数

图7为非周期梯形指令下的干扰估计误差和干扰d；

图8为非周期性梯形指令下的输入电流u；

图9为周期性正弦指令；

图10为周期性正弦指令下的转子位置响应，其中，虚线表示±0.1边界。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更进一步的解释。

1、本发明所针对的机械系统描述

在实际生活中，以下动力学方程(1)可以涵盖很大范围的机械系统，典型的有主动磁轴承系统[7,8]、工业台架[18]、机械手[19]、倒立摆[9]等等。

其中z＝[z₁,z₂,...,z_n]^T，是n×1向量，表征系统的 位置、速度和加速度变量，n表示系统的自由度。M＝diag[M₁,M₂,...,M_n]， C＝diag[C₁,C₂,...,C_n]，K＝diag[K₁,K₂,...,K_n]，B＝diag[B₁,B₂,...,B_n]分别是n×n的对角 型惯性、阻尼、刚度和输入系数矩阵，u＝[u₁，u₂，...，u_n]^T是n×1的控制向量， f＝[f₁,f₂,...,f_n]^T是n×1向量，其包含外部干扰，未建模的非线性动态和被忽略的耦 合项。△C、△K、△B分别表示C、K、B的参数摄动。

令为集成干扰，则(1)可以改写成

这里，不要求集成干扰d满足匹配条件，即d可能是不匹配干扰。

将状态z的跟踪误差定义为e＝z_m-z，其中z_m表示参考轨迹。跟踪误差相应的一阶和二阶导数为

假设1、集成干扰d连续，并且满足零阶、一阶、二阶导数范数有界，但是界不需 要已知，即

其中μ＝[μ₁,μ₂,...,μ_n]^T，μ_i(i＝1,2,...,n)是正值常数。

假设2、z_m，是已知的，z，是可测量的，B_i≠0，M_i>0，(i＝1,2,...,n).

从机械系统(1)可见M、C、K、B均为对角阵，即在系统建模时把n个子系统 视为解耦的，它们之间的耦合作用体现在f中。因此，n个子系统的控制设计方法可以 是类似的。为了简洁陈述本发明的控制系统设计方法，下面围绕系统的第i子系统进行 设计。

第i子系统模型为

其中，M_i∈M，C_i∈C、K_i∈、z_i∈z、B_i∈B、u_i∈u、d_i∈d，i＝1,2,...,n；

2、基于非线性扩展干扰估计器的滑模控制方法

2.1非线性扩展干扰观测器设计

令并为ξ_i设计扩展干扰观测器，如式(5)所示

其中,

和分别是d_i和的估计值，是d_i的一阶导数，p_i是观测器的内部状态,是p_i的一阶导数，和是用户可设计的正值常数。

显然，在干扰观测器(5)中融入了观测器的设计中，因此，该观测器考虑了机械系统的本身特性。

式(4)可以改写为

其中，

根据(5),的导数是

定义观测误差为引入辅助参数β＝[0,1]^T,于是

2.2改进的二重积分滑模面设计 考虑跟踪误差并设计一个改进的二重积分滑动面

其中，是滑模面用户可设计参数，且α_i>0是用户可选择的正值常数；s_i是滑模变量；是辅助变量，是e_i的一阶导数。

本发明所提的改进的二重积分滑动面(7)可以实现滑模变量在初始时刻t＝0时就有 s_i＝0。因此二重积分滑动面(7)是一类全程滑模面，消除了传统滑模控制中的趋近模态， 提高了系统的鲁棒性。

显然，s_i的导数是

2.3基于非线性扩展干扰估计器的滑模控制器设计

基于上述设计的扩展干扰观测器(5)和改进的二重积分滑动面(7)，创建以下控制器，

式中，u_i∈u，是控制量；

其中

是用户可选择的正值常数，是关于s_i的可设计的非负非线性函数。

在式(9)中，发挥的是线性反馈作用，用于镇定没有干扰时的被控系统，发挥的是非线性反馈作用，用于保证系统在有干扰时具有鲁棒性。

基于扩展干扰观测器的二重积分滑模控制(DO-DISMC)方法结构框图如图1所 示。

2.4鲁棒稳定性分析

2.4.1扩展干扰观测器稳定性分析 根据扩展干扰观测器(5)，很明显，可以选择合适的和来使得Q_i特征值稳定，具 有满意的性能。从(6)可以发现，总是可以找到正定对称矩阵P_i使得对于任意给定的 正定矩阵N_i有式(11)成立。

因此，假设表示N_i的最小的特征值,并且选择Lyapunov函数为于是有

因为假设(3)和(11)，存在

因此,在足够长的时间后，观测误差的范数有界,即

其中

因此，观测误差是最终有界的，而且该界的大小可以通过选择合适的P_i，N_i来降低。

值得指出的是扩展干扰观测器(5)不需要干扰满足因此扩展干扰观测器(5)可以处理消退的和非消退的干扰。

2.4.2滑模可达性分析

选择Lyapunov函数因此有

根据(4)，(8)，(9)，(10)，有

根据控制器(9)和式(12),的导数是

为了保证系统的稳定性，需要满足以下两个条件

其中∈_i是可设计参数，它可以任意小的。

把(14)带入(13)，有

显然，除了s_i＝0，因为∈_i可以任意小，因此总是存在合适的和从而保证因此滑模面是可达的。

根据滑模控制理论，跟踪误差状态在达到滑模面(7)后，将在滑模控制器(9)系 统的作用下保持在滑模面上，因此，闭环系统是鲁棒稳定的。

根据文[6],[14],当有界时,总是存在连续的或充分光滑的函数，使得条件(14)对于任意∈_i都成立。

对于机械系统(4)，一种可选的是

该对应的示意图如图2所示。

图中，线条a给出了的可选形式，实际上任何函数在第一象限中的线条b之上和 第三象限中的线条b之下，都可以选择为函数。

实施例

本发明的方法可以用于n自由度的受扰系统，不过，一方面各个自由度之间的耦合作用可以视为一种干扰而被包含在d里面，另一方面为了简洁展示本发明所提基于扩展 干扰观测器的二重积分滑模控制(DO-DISMC)方法，下面以非线性推力主动磁悬浮轴承 系统(TAMB)为对象，阐述本发明的具体实施过程。

TAMB控制系统的简化几何结构如图3所示，其中z是转子位置也是距标称气隙z₀的偏离，m是转子的质量，F_z是电磁力，f_dz是干扰，i₀是偏置电流，i_z是控制电流。

TAMB控制系统的动态模型可以描述为

其中c是常数，非线性电磁力可以描述为可以表示为F_z＝K_zz+K_Ii_z+o,其中K_zz+K_Ii_z是线性化的电磁力，o是F_z的高阶无穷小，K_z和 K_I分别是位置和电流刚度系数。

于是(15)可以改写为

考虑c,K_z,K_I,可能存在的不确定性，对比(16)和(2)，有M＝m,C＝c,K＝-K_z, B＝K_I,u＝i_z,

本实施例中对应的TAMB系统参数为m＝2.565kg,i₀＝1.4×0.5A,K_z＝25.2 N/mm,K_I＝40N/A,c＝0.001.

假设不确定性为△c＝-0.3×c，f_dz＝0.03×2×0.38×9.8N.注意到o是F_z的高阶无 穷小，F_z与z有关,当参考轨迹z_m是周期信号时,o将有一些周期的特性，因此这时的 集成干扰d可能是一类周期的非消退的干扰。

考虑到不同速度的非周期的梯形指令信号可以验证瞬时跟踪响应的有效性，不同频 率的变周期正弦指令信号可以检查跟踪响应的平滑性和鲁棒性，

本发明的目的是提高机械系统(1)的跟踪精度和鲁棒性，不管系统遭受消退的或非消 退的干扰，也无论跟踪轨迹的导数是否为零。

因此，下面将通过非周期的梯形信号、周期的正弦信号、变周期的正弦信号来检验本发明所提DO–DISMC方法的跟踪性能和鲁棒性。

DO–DISMC方法中涉及的可选参数选取如下值：

在扩展干扰观测器中q＝[1.9,1]^T和γ＝0.05,在改进的二重积分滑模中σ₁＝55,σ₂＝5, σ₃＝1和α＝10,在控制器中l₁＝9和∈＝0.01.

为了做比较，这里同时设计了PID控制器和传统滑模控制器，

PID控制器形式如下：

其中传统滑模控制器如下：

其中滑模面函数为相关参数取值为λ_SMC＝1.8,δ_SMC＝2.5,ψ_SMC＝0.01.

图4和图9分别给出了非周期性梯形指令和周期性正弦曲线指令。图5-图8显示 了系统在非周期性梯形指令下的响应。图10显示了系统在周期性正弦指令下的响应。 仿真结果的一些数值显示在表1和表2中，其中max、RMS、P2P和∑代表最大值、 均方根值、峰谷值和相应变量的和值。

表1:具有非周期性梯形指令的三个控制器的性能比较

表2:具有不变周期性正弦指令的三个控制器的性能比较

从图5中可以明显看出，所提出的DO-DISMC方法可以提高跟踪精度。图6显示 了对非周期梯形指令导数的跟踪也很好。图7表明干扰观测误差最终收敛于一个非常 小的零邻域内。尽管图8显示与SMC相比，DO-DISMC中的最大输入电流稍大，但 是如表1所示，与SMC相比，DO-DISMC中输入电流的RMS(u)和P(u)值都较小。 从图10可以看出，在DO-DISMC下，转子位置z非常接近周期性正弦曲线指令z_m， 而在PID控制下，z的峰值大大超过z_m的峰值，在SMC控制下，z不平滑。DO-DISMC 下的跟踪误差e比SMC和PID下的小得多。干扰观测误差最终被限制在0.05之间。 转子位置z仍然非常接近变化频率正弦曲线指令z_m，但是SMC和PID的跟踪误差迅速 增加。根据表1和表2，DO-DISMC下的大部分最大值、RMS值、P2P值和Σ值小于 SMC和PID下的值，只有两个值等于，两个值比SMC下有点大，但这四个值仍然比 PID下的小得多。

因此，提出的DO-DISMC方法可以实现系统具有更强的鲁棒性，更高的跟踪精度，更低的输入电流消耗，总的来说具有更好的性能。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员 来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种基于扩展干扰估计器的一类机械系统二重积分滑模控制设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1，构建如下的机械系统的动力学方程：

其中，z＝[z₁,z₂,...,z_n]^T，是n×1向量，表征机械系统的位置、速度和加速度变量，n表示机械系统的自由度；M＝diag[M₁,M₂,...,M_n]，C＝diag[C₁,C₂,...,C_n]，K＝diag[K₁,K₂,...,K_n]，B＝diag[B₁,B₂,...,B_n]分别是n×n的对角型惯性、阻尼、刚度和输入系数矩阵，u＝[u₁,u₂,...,u_n]^T是n×1的控制向量，f＝[f₁,f₂,...,f_n]^T是n×1向量，其包含外部干扰，未建模的非线性动态和被忽略的耦合项；△C、△K、△B分别表示C、K、B的参数摄动；

令为集成干扰，则式(1)改写成

这里，不要求集成干扰d满足匹配条件，即d可能是不匹配干扰；

将状态z的跟踪误差定义为e＝z_m-z，其中z_m表示参考轨迹；跟踪误差相应的一阶和二阶导数为

设定条件1，集成干扰d连续，并且满足零阶、一阶、二阶导数范数有界，但是界不需要已知，即

其中μ＝[μ₁,μ₂,...,μ_n]^T，μ_i(i＝1,2,...,n)是正值常数；

设定条件2，z_m，是已知的，z，是可测量的，B_i≠0，M_i>0，(i＝1,2,...,n)；

式(1)中M、C、K、B均为对角阵，即在机械系统建模时把n个子系统视为解耦的，它们之间的耦合作用体现在f中；因此，n个子系统的控制设计方法是类似的，以下步骤围绕系统的第i个子系统进行设计；

第i个子系统模型为

其中，M_i∈M，C_i∈C、K_i∈、z_i∈z、B_i∈B、u_i∈u、d_i∈d，i＝1,2,...,n；

步骤2，非线性扩展干扰观测器设计：

令ξ_i表示扩展干扰向量，并为ξ_i设计扩展干扰观测器，如式(5)所示

其中,

和分别是d_i和的估计值，是d_i的一阶导数，p_i是扩展干扰观测器的内部状态,是p_i的一阶导数，和是用户可设计的正值常数；

因此，将式(4)改写为

其中，

根据式(5),的导数是

定义观测误差为引入辅助参数β＝[0,1]^T,于是

步骤3，改进的二重积分滑模面设计：

考虑跟踪误差并设计一个改进的二重积分滑动面：

其中，是滑模面用户可设计参数，且α_i>0是用户可选择的正值常数；s_i是滑模变量；是辅助变量，是e_i的一阶导数；

s_i的导数是

步骤4，基于非线性扩展干扰估计器的滑模控制器设计：

基于步骤2设计的扩展干扰观测器(5)和步骤3设计的改进的二重积分滑动面(7)，创建以下控制器：

式中，u_i∈u，是控制量；

是用户可选择的正值常数，是关于s_i的可设计的非负非线性函数。

2.根据权利要求1所述的基于扩展干扰估计器的一类机械系统二重积分滑模控制设计方法，其特征在于：所述步骤3中，改进的二重积分滑动面(7)能够实现滑模变量在初始时刻t＝0时就有s_i＝0。

3.根据权利要求1所述的基于扩展干扰估计器的一类机械系统二重积分滑模控制设计方法，其特征在于：所述步骤4中，式(9)中，发挥的是线性反馈作用，用于镇定没有干扰时的被控系统，发挥的是非线性反馈作用，用于保证系统在有干扰时具有鲁棒性。