CN110824909A - 一种时滞系统的Smith自耦PI协同控制理论新方法 - Google Patents

Abstract

大时滞过程之所以难以控制，其根本原因在于信息反馈不及时，从而导致基于反馈信息的控制器对该类系统显得无能为力。针对大时滞系统的控制问题,发明了一种不依赖于受控对象模型的Smith自耦PI(SACPI)协同控制理论新方法。该方法在前期发明的基础上，根据时滞对象的标称参数来构造Smith标称预估器，并根据标称时间常数和标称时滞来整定速度因子。理论分析了SACPI控制系统不仅是全局渐近稳定的，而且还具有良好的参数摄动鲁棒性。数值仿真结果表明了在各种模型参数存在时变的摄动情况下，本发明的控制方法都能获得良好的动态品质和稳态性能，因而是一种有效的控制方法,在时滞系统控制领域具有广泛的应用价值。

Description

一种时滞系统的Smith自耦PI协同控制理论新方法

技术领域

本发明涉及一种时滞系统的控制方法，尤其是涉及一种Smith自耦PI(SmithAuto-Coupling Proportional-Integral，SACPI)协同控制理论新方法。

背景技术

在石油、化工、电网、核反应堆、废水处理等工业过程中广泛存在时滞现象。而这些工业过程往往可以简化为一个或多个一阶加纯滞后系统。由于时滞现象的存在,系统在时滞期间内一直处于无效输出(假设无效输出为y＝0)，因此，在时滞期间内，跟踪误差e₁＝y_d-y＝y_d一直处于最大值，很容易因积分饱和而导致整个系统出现超调大、响应时间长、甚至还可能出现振荡现象或者不稳定现象,给时滞系统控制器的设计带来了很大挑战。针对时滞系统的控制难题,PI控制和自抗扰控制(Active Disturbance Rejection Controller,ADRC)一直是主要控制方法。近年来主要使用忽略时滞环节的方法、或将时滞环节用一阶惯性环节近似的方法、或输入预测方法以及输出预测方法等四种控制方法。然而，这四种方法只适用于比较小时滞的对象。由于大时滞对象在较长时间内无有效输出,因而致使ADRC中观测器的两个输入y和u不同步。为此,有学者将控制信号u延迟后再进入扩张状态观测器(Extended State Observer,ESO)来实现与y的同步。然而，该方法对跟踪设定值初期改善效果不明显，特别是当时滞时间未知时，该方法难以实现y和u的同步问题。为了解决同步问题,有学者提出将Smith预估和ADRC相结合的预测自抗扰控制器(PADRC)。该方法给出了确保系统稳定的最大时滞摄动范围,为大时滞系统的控制提供了一定的理论指导。此外，针对大时滞系统的控制问题,有学者还提出了一种联合算法，即将PADRC算法和ADRC输入时滞改进算法通过相应的权重结合起来，在不同阶段，系统对应两种算法的不同权重,从而实现抗扰阶段以ADRC输入时滞改进算法为主，而跟踪阶段则以PADRC为主的控制策略。然而，在联合算法中权重系数的确定还缺乏有效的理论依据，而且待整定的参数较多,在实际应用中存在明显的局限性。针对大时滞系统的控制问题,也有学者采用预测控制来实现对输出进行提前预报以弥补信息不及时的问题,从而实现一种既有主动补偿总扰动又有信息预估的预测自抗扰控制器。然而，该控制方法结构复杂，计算量较大。针对ADRC在时滞系统稳定域求解问题,有学者基于双轨迹法获得了LADRC对一阶时滞系统的稳定域,分析了时滞系统模型参数、观测器和控制器带宽比对稳定域的影响。然而，该方法获得的稳定域裕度只有很小的适定范围，且对时滞系统的控制性能十分敏感，稳定域的微小变化(如0.005)即可能引起系统不稳定。此外，该方法的响应速度很慢，对于时滞时间τ＝60s的被控对象，需要6000秒左右才能进入稳定状态。

为了扩大控制系统的稳定域，中国学者曾喆昭教授先后发明了大时滞系统的智慧PI复合控制方法(申请号：201810709876.1)、大时滞系统的阻尼智慧PI控制方法(申请号：201811237644.7)以及大时滞系统的预测智慧PI控制方法(申请号：201811315515.5)。然而，智慧PI复合控制方法的速度因子由积分步长来整定，在实际应用中不易把握；阻尼智慧PI控制方法和预测智慧PI控制方法的速度因子由系统时间常数和时滞时间来共同整定，有效提高了实用性，然而，对时滞时间的摄动较敏感，需要对速度因子进行修正，给实际应用带来了一定难度。

发明内容

本发明要解决的技术问题是，克服现有技术存在的上述缺陷，发明一种模型结构简单、响应速度快、动态品质好、控制精度高、时变鲁棒性好的阻尼自耦PI控制新方法。

设时滞系统时滞时间、时间常数和系统增益的标称参数分别为τ₀、T₀和K₀，本发明解决其技术问题采用的技术方案是，一种Smith自耦PI协同控制理论新方法，包括如下步骤：

1)根据时滞系统已知的标称时间常数T₀，建立内部动态的过渡过程时间T_r为：

T_r＝nT₀

其中，1<n≤5；

2)根据步骤1)获得的T_r以及已知的标称时滞时间τ₀，建立速度因子z_c的模型为：

z_c＝20α/(T_r+τ₀)

其中，1≤α≤10；

3)根据时滞系统的标称参数τ₀、T₀和K₀，建立Smith预估器为：

其中，b_m＝K₀/T₀，a_m＝1/T₀，τ_m＝τ₀；

4)根据步骤3)获得Smith预估器G_m(s)后，建立Smith预估器的无时滞输出y_1m和有时滞输出y_m分别为：

5)根据步骤4)获得的y_1m和y_m，结合时滞对象的实际输出y_p＝y₁(t-τ)，建立Smith预测补偿输出为：

y＝y_p+y_m+y_1m

其中，y_p＝y₁(t-τ)是时滞对象的实际输出，y₁是时滞系统的内部状态；

6)根据步骤5)获得的Smith预测补偿输出y和给定的期望输出y_d，建立跟踪误差e₁及其积分e₀分别为：

7)根据步骤2)获得的z_c以及步骤6)获得的e₁、e₀，定义所述Smith自耦PI协同控制力为：

其中，b_m＝K₀/T₀，是控制通道的标称增益，

是期望输出y_d的微分；

8)为了有效避免因积分饱和而引起超调与振荡现象，要求对积分e₀进行限幅处理；考虑到实际系统的输入受限情况，需要对控制力u进行限幅处理，具体如下：

其中，u_m是控制力的最大幅值。

本发明将时滞系统的动态和内部时变不确定性定义为总和扰动，根据期望值与预测补偿输出值之间的误差来建立总和扰动反相激励下的受控误差系统，进而建立一种Smith自耦PI(SACPI)协同控制力模型，证明了SACPI闭环控制系统不仅是全局鲁棒稳定的，而且还具良好的抗扰动鲁棒性。

本发明的主要创新点是在本发明人现有发明的基础上，创造性发明了速度因子模型：z_c＝20α/T_r。其中：T_r＝nT₀+τ₀，且1<n≤5，1≤α≤10。不仅显著扩大了速度因子的整定范围，而且只需要根据时滞对象模型的标称参数τ₀和T₀即可轻易实现速度因子的整定，因而能够有效解决PI控制器的整定难题，便于实现SACPI协同控制理论与实际控制工程的零距离接轨。仿真结果表明了在时滞对象模型参数摄动情况下也能够获得良好的控制结果。

附图说明

图1是Smith自耦PI(SACPI)协同控制系统框图。

图2是标称模型下Smith自耦PI跟踪控制结果，(a)阶跃跟踪轨迹,(b)控制输入,(c)跟踪误差，(d)误差局部放大图。

图3是系统时间常数增大而时滞减小时的跟踪控制结果，(a)阶跃跟踪轨迹,(b)控制输入,(c)跟踪误差，(d)误差局部放大图。

图4是系统时间常数减小而时滞增大时的跟踪控制结果，(a)阶跃跟踪轨迹,(b)控制输入,(c)跟踪误差，(d)误差局部放大图。

图5是系统增益增大时的跟踪控制结果，(a)阶跃跟踪轨迹,(b)控制输入,(c)跟踪误差，(d)误差局部放大图。

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明的具体实施方式加以详细说明。

1.时滞系统的Smith预测补偿模型

1)问题描述

工业生产过程中,常使用一阶加纯滞后的模型来模拟生产过程中的大时滞过程，其传递函数可表示为

其中，T为系统时间常数、τ为时滞时间、K为系统增益。

时滞系统(1)相应的微分方程为

其中，a＝1/T，b＝K/T，u为控制输入，y₁为时滞系统内部状态、y_p为时滞系统实际输出。

设期望输出为y_d，根据时滞系统的特性，当t<τ时，由于被控对象一直处于无效输出(假设无效输出为0),因而跟踪误差e₁＝y_d-y_p＝y_d一直处于最大值状态；当t≥τ时，被控对象开始过渡到有效输出，此时，跟踪误差为：e₁＝y_d-y_p。

假设时滞系统的内部状态y₁由动态进入稳态的过渡过程时间为T_r>T，那么，时滞系统实际输出y_p的过渡过程时间则为T_r+τ，因此，时滞系统的实际输出可分为三个阶段，即：

2)Smith预估器模型

由于时滞系统在时滞期间内一直没有有效输出(假设为0)，因此跟踪控制误差一直处于最大值状态e₁＝y_d，容易因积分饱和而引起超调与振荡现象。为此，本发明根据时滞对象(1)的标称模型参数τ₀、T₀和K₀，建立Smith预估器为

其中，b_m＝K₀/T₀，a_m＝1/T₀，τ_m＝τ₀。

Smith预估器(4)相应的微分方程为：

假设Smith预估器的内部状态y_1m由动态进入稳态的过渡过程时间为T_rs>T₀，那么，Smith预估器输出y_m的过渡过程时间则为T_rs+τ₀，因此，Smith预估器的输出可分为三个阶段，即：

3)Smith预测补偿系统模型

根据时滞系统实际输出y_p和Smith预测系统无时滞输出y_1m以及有时滞输出y_m，可以建立Smith预测补偿输出为：

y＝y_p+y_m+y_1m (7)

设τ≈τ₀，由式(3)和式(6)可知，Smith预测补偿输出在三个阶段的分别表现为：

①t<τ时，y_p＝0、y_m＝0，y＝y_1m；

②τ≤t<T_r+τ时，y_p＝y₁(t-τ)，y_m＝-y_1m(t-τ)，由于y_p≈-y_m，因此，y≈y_1m；

③t≥T_r+τ时，y_p＝y₁，y_m＝-y_1m，由于y_p≈-y_m，因此，y≈y_1m。

由以上分析可知，要么y＝y_1m，要么y≈y_1m，因此，由式(7)构造的Smith预测补偿输出y的动态特性与无时滞的Smith预估器的特性要么相同，要么相近，即Smith预测补偿输出y的动态特性可近似表示为：

其中，b_m＝K₀/T₀，a_m＝1/T₀。

显然，对时滞系统(1)或(2)引入Smith预估器后，Smith预测补偿输出y的动态特性近似等效为一个无时滞的一阶惯性受控系统(8)。因此，对系统(8)的控制可以近似等效为对时滞系统(1)或(2)的控制。

考虑到系统(8)是一个近似的一阶无时滞受控系统，而系统(1)则是一个时变的时滞系统，因此，通过对系统(8)的控制来实现对系统(1)的有效控制，要求发明一种具有抗扰动能力的关键控制技术，即本发明的Smith自耦PI(SACPI)协同控制技术。

2.Smith自耦PI(SACPI)协同控制原理

1)SACPI控制力模型及其意义

设期望输出轨迹为y_d，跟踪误差为：e₁＝y_d-y，误差的积分为：

因此，结合受控系统(8)，误差的微分为：

考虑到

结合式(9)，可得受控误差系统为：

定义SACPI控制力为：

其中，z_c>0为速度因子，b_m＝K₀/T₀。

由SACPI控制力(11)可知，SACPI控制器通过速度因子z_c将比例环节和积分环节紧密耦合在一起来实现控制，使得比例控制力与积分控制力在控制过程中表现出功能各异而目标一致的协同控制机理，具有重要的科学指导意义。而传统PI控制器则是通过比例增益k_p和积分增益k_i分别对比例环节和积分环节进行独立加权求和来构成控制律，因而会使得PI控制器的比例控制力与积分控制力在控制过程中表现出相互独立、各自为阵的不协调控制行为。

2)SACPI的整定规则及其作用

由SACPI协同控制器(11)可知，SACPI的增益整定规则为：

SACPI整定规则(12)相当于比例环节与积分环节的当量换算规则，该整定规则不仅将比例环节与积分环节通过速度因子z_c紧密耦合在一起形成功能各异而目标一致的协同控制机理，体现了比例与积分两个不同物理环节之间的内在必然关系，不仅能够解决PI控制器的整定难题，而且为现行PI控制器的技术评估与技术升级提供了科学的理论依据。

3)速度因子的内在关系及其意义

考虑到PI控制器中的增益关系：k_i＝k_p/T_i，根据SACPI的整定规则(12)，可得速度因子为：

z_c＝2/T_i (13)

其中，T_i是PI控制器的积分时间常数。

由式(13)可知，z_c是T_i的倒数，其量纲为1/秒，因而称其为速度因子。式(13)表明了SACPI的速度因子z_c与积分时间常数T_i之间的内在关系。由于z_c与被控对象的模型毫无关系，因此，速度因子模型(13)具有重要的科学指导意义。

T_i越小，z_c则越大，否则反之。然而，PI控制器问世近一个世纪以来，国内外几代学者都一直忽视了两个关键科学问题：一是PI控制器的T_i如何整定？二是T_i与被控对象的什么特性相关？如果不解决这两个关键科学问题，速度因子z_c的整定则会遇到理论困难。

4)速度因子的外在联系及其整定方法

由于被控对象的时间尺度τ_p反映了对象动态变化的快慢特性，τ_p越小，对象动态变化的速度则越快，否则反之。因此，发明人认为：只要速度因子z_c＝2/T_i大于被控对象的动态变化速度，即z_c＝2/T_i>2/τ_p，SACPI协同控制器就能有效控制被控对象(8)或(1)。因此，可定义最小速度因子模型为：

z_c＝2α/τ_p (14)

其中，1≤α≤10。

由于时间尺度τ_p是是一个抽象的概念，难以从理论或实际中获取。为此，发明人做了一个科学设想：设时滞系统(2)的内部状态y₁由动态进入稳态的过渡过程时间为T_r，且T_r＝10τ_p，SACPI的最小速度因子则可表示为：

z_c＝20α/T_r (15)

其中，1≤α≤10，T_r是时滞系统内部状态y₁由动态进入稳态的过渡过程时间。

考虑到时滞系统(1)的标称时间常数为T₀，因此，过渡过程时间T_r应该定义如下：

T_r＝nT₀ (16)

其中，1<n≤5。

考虑到时滞系统(2)实际输出y_p的时滞特性，因此，SACPI的最小速度因子(15)应该修正为：

z_c＝20α/(T_r+τ₀) (17)

其中，T_r＝nT₀，1<n≤5，1≤α≤10，T₀和τ₀分别是时滞系统(1)在无时变情况下的标称时间常数和标称时滞。

显然，速度因子(17)完全由时滞对象的标称参数T₀和τ₀来整定。对于任意已知或未知的时滞对象而言，标称参数T₀和τ₀是可以预知的，也是可以测量的，因此，速度因子模型(17)建立了SACPI协同控制器的速度因子z_c与被控对象之间的外在联系。

比如：设n＝2，α＝1，SACPI协同控制器的速度因子则为z_c＝20/(2T₀+τ₀)，只要已知时滞对象在无时变情况下的标称参数T₀和τ₀，即可整定速度因子。

5)积分限幅与控制力限幅

为了有效避免因积分饱和引起超调与振荡现象，要求对积分e₀进行限幅处理，具体方法如下：

在单位阶跃控制情况下，进入稳态后，

y_d＝1，y＝1，因此，e₁＝0，根据式(8)，则有：

稳态控制力应为：u_s＝a_my/b_m＝1/K₀；根据SACPI控制力(11)，则有：

稳态情况下的积分应为：

因此，积分限幅条件为：

考虑到实际系统的输入受限情况，SACPI协同控制力(11)的限幅条件为：

|u|≤u_m (19)

其中，u_m是SACPI协同控制力u的最大幅值。

Smith自耦PI(SACPI)协同控制系统框图，如图1。

3.SACPI控制系统稳定性分析

定理1.设

且|y₂|<∞，则当且仅当z_c>0时，由SACPI协同控制器(11)组成的闭环控制系统是全局鲁棒稳定的，理论上可以实现零误差控制。

证明：1)全局稳定性分析

将SACPI协同控制力(11)代入受控误差系统(10)，即得闭环控制系统为：

显然，闭环控制系统(20)是一个在有界状态y₂反相激励下的动态误差系统。考虑到初始状态：

对系统(20)取单边拉普拉斯变换，则有

由闭环控制系统(21)整理，得：

由闭环控制系统(22)可知，第一项是误差系统的零输入响应E_1x(s)，第二项是误差系统的零状态响应E_1f(s)。设误差系统的传输函数为

当z_c>0时，由于误差传输系统(23)在左半复频面的实轴上有一对双重实极点-z_c，系统(23)是稳定的，因而闭环控制系统(22)是稳定的。又因为极点-z_c只与被控对象的动态快慢有关，而与被控对象的模型无关，因而，当且仅当z_c>0时，闭环控制系统(22)是全局稳定的。

2)鲁棒性分析

将系统(23)代入系统(22)，则有闭环控制系统为：

由于系统(23)的单位冲激响应为：

h(t)＝(z_ct-1)exp(-z_ct)，t>0 (25)

且

由闭环控制系统(24)可得跟踪控制误差时域解为：

其中，“*”表示卷积积分运算。

由于|y₂|<∞，因此，当且仅当z_c>0时，必有：

即理论上SACPI协同控制系统可以实现零误差跟踪控制。由于

只与|y₂|<∞有关，而与y₂的具体模型无关，因此，只要z_c>0时，SACPI闭环控制系统是全局鲁棒稳定的，理论上可以实现零误差跟踪控制，证毕。

4.时滞系统仿真控制结果与分析

1)问题背景

为了验证一种时滞系统的Smith自耦PI协同控制理论新方法的有效性，本发明选取某浊度大时滞过程为仿真对象,其传递函数可以表示为一阶惯性加纯滞后环节，如下所示：

其中，标称参数分别为：T₀＝1200s、K₀＝0.85、τ₀＝1800s。

2)Smith标称预估器

设标称模型参数分别为：a_m＝1/T₀＝0.0008、b_m＝K₀/T₀＝0.0007，τ_m＝τ₀＝1800s，则Smith预估器为：

根据Smith标称预估器(28)和时滞对象(27)，建立Smith预测补偿输出为：

y＝y_p+y_m+y_1m (29)

设期望输出轨迹为y_d＝1，则有：e₁＝y_d-y，

3)SACPI协同控制器相关参数

设α＝1、n＝2，由式(16)可得T_r＝2T₀＝2400秒；根据式(17)可得SACPI的速度因子为z_c＝20α/(T_r+τ₀)≈0.095。因此，SACPI协同控制器为：

其中，z_c≈0.095，b_m＝0.0007。

下列所有仿真实验中都使用参数完全相同的Smith标称预估器(28)和SACPI协同控制器(30)；积分限幅条件为：

SACPI协同控制力限幅条件为：u≤3。

4)时滞系统的仿真结果与分析

实验1.标称模型下的仿真结果

时滞对象在标称模型下，即T＝T₀＝1200秒、K＝K₀＝0.85、τ＝τ₀＝1800时，使用本发明的SACPI控制器(11)对时滞系统(27)进行控制，仿真结果如图2。由图2可知，本发明的控制方法不仅响应速度快(约3000秒之内进入稳定跟踪状态)、控制精度高(稳态绝对误差小于5×10^-15)，而且无超调无振荡，表明本发明的控制方法具有良好的动态品质和稳态性能。

此外，实验中还发现：速度因子z_c＝20α/(nT₀+τ₀)在1<n≤5和1≤α≤10的范围内取值时，SACPI协同控制器都能对时滞系统(27)实现有效控制，表明本发明的速度因子模型具有很大的整定裕度。

实验2.时间常数增大而时滞减小时的仿真结果

设时滞系统模型参数的摄动分别为：5000秒之前为标称参数，即T＝1200秒、τ＝1800秒；5000秒以后，参数时变为T＝1200×1.3＝1560秒、τ＝1800×0.93＝1674秒。Smith标称预估器(28)与SACPI协同控制器(30)与实验1完全相同，控制结果如图3。由图3可知，时滞对象模型参数在系统时间常数增大30％、时滞减小7％的摄动情况下，本发明的控制方法仍然获得了良好的动态品质和稳态性能，响应速度与无参数摄动时的相当，然而，稳态控制精度却更高，稳态绝对误差小于2.3×10^-16，进一步表明了本发明的控制方法具有良好的时变鲁棒性和全局鲁棒稳定性。

此外，实验中还发现：速度因子z_c＝20α/(nT₀+τ₀)在1<n≤5和1≤α≤10的范围内取值时，SACPI协同控制器都能对时滞系统(27)存在时变情况下都能实现有效控制，进一步表明本发明的速度因子模型具有很大的整定裕度。

实验3.系统时间常数减小而时滞增大时的仿真结果

设时滞系统模型参数的摄动分别为：5000秒之前为标称参数，即T＝1200秒、τ＝1800秒；5000秒以后，参数时变为T＝1200×0.8＝960秒、τ＝1800×1.2＝2160秒。Smith标称预估器(28)与SACPI协同控制器(30)与实验1完全相同，控制结果如图4。由图4可知，时滞对象模型参数在系统时间常数减小20％、时滞增加20％的较大摄动情况下，本发明的控制方法仍然获得了良好的动态品质和稳态性能，系统响应速度与无参数摄动时相当，但稳态跟踪精度明显降低，稳态误差绝对值小于3.0×10^-10，表明时滞时变增大时，会影响稳态精度，但总体而言仍然获得了良好的控制效果，再次表明了本发明的控制方法具有良好的时变鲁棒性和全局鲁棒稳定性。

此外，实验中还发现：速度因子z_c＝20α/(nT₀+τ₀)在1<n≤5和1≤α≤10的范围内取值时，SACPI协同控制器都能对时滞系统(27)存在时变情况下都能实现有效控制，再次表明本发明的速度因子模型具有很大的整定裕度。

实验4.系统增益增大时的仿真结果

设时滞系统的系统增益摄动为：5000秒之前系统增益为标称参数，即K＝0.85；5000秒以后，系统增益时变为K＝0.85×1.2＝1.02，其它模型参数为标称参数，Smith标称预估器(28)与SACPI协同控制器(30)与实验1完全相同，控制结果如图5。由图5可知，时滞对象的系统增益增大20％的较大摄动情况下，本发明的控制方法仍然获得了良好的动态品质和稳态性能，系统响应速度与无参数摄动时相当，但稳态跟踪精度明显降低，稳态误差绝对值小于4.5×10^-6，而且在系统增益出现时变后出现了明显的超调，但经过约3000秒后恢复到稳定状态，表明系统增益增大时，不仅会出现超调现象，而且还会降低稳态精度，但总体而言仍然获得了良好的控制效果，再次表明了本发明的控制方法具有良好的时变鲁棒性和全局鲁棒稳定性。

此外，实验中还发现：速度因子z_c＝20α/(nT₀+τ₀)在1<n≤5和1≤α≤10的范围内取值时，SACPI协同控制器都能对时滞系统(27)存在时变情况下都能实现有效控制，再次表明本发明的速度因子模型具有很大的整定裕度。

5.结论

本发明在已有发明的基础上，创造性发明了一种时滞系统的Smith自耦PI协同控制理论新方法。其主要创新点与特色是:将无时变情况下的时滞系统标称参数作为Smith标称预估器的模型参数，将Smith标称预估器与时滞对象结合在一起形成了无时滞的标称等效系统，通过标称系统时间常数和标称时滞来整定SACPI协同控制器的速度因子，并对积分和协同控制力分别进行限幅处理，有效避免了超调与振荡现象。四个仿真结果验证了在模型参数存在各种时变的较大摄动情况下都能实现有效控制，不仅响应速度快、稳态精度高，而且具有全局鲁棒稳定新和良好的时变鲁棒性。

本发明在时滞系统，特别是大时滞系统的控制领域具有重要的理论意义和应用价值。

Claims (1)

1.一种时滞系统的Smith自耦PI协同控制理论新方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)根据时滞系统已知的标称时间常数T₀，建立内部动态的过渡过程时间T_r为：

T_r＝nT₀

其中，1<n≤5；

2)根据步骤1)获得的T_r以及已知的标称时滞时间τ₀，建立速度因子z_c的模型为：

z_c＝20α/(T_r+τ₀)

其中，1≤α≤10；

3)根据时滞系统的标称参数τ₀、T₀和K₀，建立Smith预估器为：

其中，b_m＝K₀/T₀，a_m＝1/T₀，τ_m＝τ₀；

4)根据步骤3)获得Smith预估器G_m(s)后，建立Smith预估器的无时滞输出y_1m和有时滞输出y_m分别为：

5)根据步骤4)获得的y_1m和y_m，结合时滞对象的实际输出y_p＝y₁(t-τ)，建立Smith预测补偿输出为：

y＝y_p+y_m+y_1m

其中，y_p＝y₁(t-τ)是时滞对象的实际输出，y₁是时滞系统的内部状态；

6)根据步骤5)获得的Smith预测补偿输出y和给定的期望输出y_d，建立跟踪误差e₁及其积分e₀分别为：

7)根据步骤2)获得的z_c以及步骤6)获得的e₁、e₀，定义所述Smith自耦PI协同控制力为：

其中，b_m＝K₀/T₀，是控制通道的标称增益，

是期望输出y_d的微分；

8)为了有效避免因积分饱和而引起超调与振荡现象，要求对积分e₀进行限幅处理；考虑到实际系统的输入受限情况，需要对控制力u进行限幅处理，具体如下：

其中，u_m是控制力的最大幅值。

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