CN110687915B - 一种基于无向通信拓扑的航天器编队姿态协同控制方法 - Google Patents

一种基于无向通信拓扑的航天器编队姿态协同控制方法 Download PDF

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Abstract

一种基于无向通信拓扑的航天器编队姿态协同控制方法，它属于多航天器协同控制技术领域。本发明解决了现有方法未考虑控制输入以及控制输入变化率饱和约束，导致对多航天器控制的稳定性差的问题。本发明考虑系统通信拓扑为无向连通图，本发明针对控制输入以及控制输入变化率饱和约束的系统不确定性，设计了有限时间稳定的姿态协同控制器，可以确保多航天器系统的姿态信号在有限时间内实现协同。本发明的多航天器系统能够在20秒内实现对期望姿态信号的跟踪以及航天器间姿态信号的一致性收敛，有效提高了存在控制输入以及控制输入变化率饱和约束时的多航天器控制的稳定性。本发明可以应用于多航天器协同控制技术领域。

Description

一种基于无向通信拓扑的航天器编队姿态协同控制方法
技术领域
本发明属于多航天器协同控制技术领域，具体涉及一种基于无向通信拓扑的航天器编队姿态协同控制方法。
背景技术
传统的大型航天器通常具有较高的成本和较长的研究周期(Nurre G S.Dynamicsand control of large space structures[J].Journal of Guidance Control andDynamics,1984,7(5):514–526)。与此同时，随着材料、机械和电子信息等新兴技术的不断发展，使得研发小型航天器逐渐成为可能。并且，通过利用多颗小型航天器基于信息的共享、交互以及协同合作构成一颗“虚拟航天器”，不但能在很多应用领域中替代大型航天器的作用，还能获得很多的优点(孟云鹤.近地轨道航天器编队飞行控制与应用研究[D].长沙：国防科技大学,2006:1–4.)。多航天器协同控制技术作为对大型航天器技术的必要扩展和补充，具有十分重要的研究价值。对于多航天器系统，根据其控制信号产生的位置可以分为集中式控制和分布式控制两种形式。集中式控制系统包含一颗或多颗主航天器负责对地面指令和传感器信息进行集中处理，并将解算出的控制指令发送至其他航天器以改变其运动状态。该控制方式的系统结构较为简单，但由于系统中只有主航天器具有信息处理及信息通讯的能力，所以一旦主航天器发生故障，多航天器系统将无法继续运行，致使系统的鲁棒性较差；分布式控制系统中的各航天器均可以独立进行信息的处理，航天器间也存在一定的信息交互作用，所以具备更强的信息处理能力，并且可以根据实际情况迅速替换发生故障的航天器而不至于影响航天任务的顺利进行，所以其系统鲁棒性更强。近年来，航天器姿态协同控制的成果不断涌现：Lawton等(Lawton J R,Beard R W,Hadaegh FY.Elementary attitude formation maneuvers via leader-following and behavior-based control[R].AIAA-2000-4442,2000.)首先以利用多航天器系统执行深空探测任务为基本背景，针对期望姿态信号定常且通信拓扑为无向环图的具体情况，采用基于行为的控制方式设计了姿态协同控制器，但对各航天器的初始角速度和姿态具有特殊的限制。并且，在文献([8]Lawton J R,Beard R W.Synchronized multiple spacecraft rotations[J].Automatica,2002,38(8):1359–1364.)中通过结合文献(Lizarralde F,Wen JT.Attitude control without angular velocity measurement:a passivity approach[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1996,41(3):468–472.)中的无源角速度滤波器，设计了无角速度反馈的姿态协同控制器。VanDyke等(VanDyke M C,Hall CD.Decentralized coordinated attitude control within a formation of spacecraft[J].Journal of Guidance Control and Dynamics,2006,29(5):1101–1109.)针对期望角速度时变、通信拓扑为无向图的情况，采用基于行为的控制方式设计了姿态协同控制器，并严格分析了其稳定性。Mehrabian等(Mehrabian A R,Tafazoli S,KhorasaniK.Coordinated attitude control of spacecraft formation without angularvelocity feedback:a decentralized approach[R].AIAA-2009-0209,2009.)针对无向通信系统，通过构造绝对角速度误差滤波器和相对角速度滤波器，设计了无角速度反馈的姿态协同控制器。Abdessameud等(Abdessameud A,Tayebi A.Attitude synchronization ofa group of spacecraft without velocity measurements[J].IEEE Transactions onAutomatic Control,2009,54(11):2642–2648.)针对系统中存在期望跟踪信号、不存在期望跟踪信号以及期望跟踪信号仅部分成员可直接获得等情况，通过构造非线性辅助系统(Tayebi A.Unit quaternion based output feedback for the attitude trackingproblem[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2008,53(6):1516–1520.)向闭环控制系统中引入姿态阻尼，设计了无角速度反馈姿态协同控制器。Meng等(Meng Z,RenW,You Z.Decentralised cooperative attitude tracking using modified rodriguezparameters based on relative attitude information[J].International Journal ofControl,2010,83(12):2427–2439.)针对系统全状态反馈、无角速度反馈以及存在通信拓扑切换等不同情况设计了姿态协同控制器，并通过设计分布式滑模估计器以使各航天器均能获取期望角速度和角加速度得相关信息。Song等(Song Z Y,Duan C,Wang J N,etal.Chattering-free full-order recursive sliding mode control for finite timeattitude synchronization of rigid spacecraft[J].Journal of the FranklinInstitute,2018,356(2):998–1020.)针对通信拓扑为无向连通图且各航天器成员均能直接获取期望跟踪信号的多航天器系统，在精确已知外部干扰力矩的一阶导数上界的前提条件下，基于全阶滑模面设计了姿态协同控制器，并通过结合分布式观测器确保系统在至少有一个航天器能够获取期望跟踪信号情况下仍然是稳定的。Zhang等(Zhang C X,Wang JH,Zhang D X,et al.Fault tolerant adaptive finite time attitudesynchronization and tracking control for multi-spacecraft formation[J].Aerospace Science and Technology,2018,73:197–209.)分别考虑了通信拓扑为无向图和有向图的情况，基于带有时变参数的快速非奇异终端滑模面设计了协同控制器。
为获得更为优良的控制效果，有限时间控制方法被广泛应用于解决姿态协同控制问题。现有方法针对系统通信拓扑为无向连通图和有向连通图的情况，分别基于齐次方法、加幂积分方法和终端滑模控制方法设计了姿态协同有限时间控制器，但并未考虑外部干扰力矩和模型不确定性的影响；文献(Hu Q L,Zhang J,Zhang Y M.Velocity free attitudecoordinated tracking control for spacecraft formation flying[J].ISATransactions,2018,73:54–65.)基于加幂积分方法设计了姿态协同控制器，并考虑了有界的外部干扰力矩的影响。文献(Song Z Y,Duan C,Wang J N,et al.Chattering-freefull-order recursive sliding mode control for finite time attitudesynchronization of rigid spacecraft[J].Journal of the Franklin Institute,2018,356(2):998–1020.)针对通信拓扑为无向图的情况，并在外部干扰力矩一阶导数上界已知的条件下，基于全阶滑模面设计姿态协同控制器。文献(Zhang C X,Wang J H,Zhang DX,et al.Fault tolerant adaptive finite time attitude synchronization andtracking control for multi-spacecraft formation[J].Aerospace Science andTechnology,2018,73:197–209.)分别考虑通信拓扑为无向、有向连通图的情况，并通过结合时变快速非奇异终端滑模面和自适应控制方法有效处理了模型不确定性和外部干扰力矩等系统不确定性。
虽然现有方法中通过构造辅助系统、结合饱和函数以及给定控制输入最大幅值与系统不确定性上界的关系设计了饱和的姿态协同有限时间控制器，但是，对于存在控制输入、及控制输入变化率饱和约束的姿态跟踪控制问题则并未涉及，导致对多航天器控制的稳定性较差。
发明内容
本发明的目的是为解决在现有方法中，未考虑控制输入以及控制输入变化率饱和约束，导致对多航天器控制的稳定性差的问题，而提出了一种基于无向通信拓扑的航天器编队姿态协同控制方法。
本发明为解决上述技术问题采取的技术方案是：一种基于无向通信拓扑的航天器编队姿态协同控制方法，该方法包括以下步骤：
步骤一、建立包含n个航天器的多航天器系统的地心惯性坐标系oIxIyIzI、期望参考坐标系oRxRyRzR和航天器的本体坐标系
Figure BDA0002237402600000031
其中：i＝1,2,…,n，
Figure BDA0002237402600000032
代表第i个航天器的本体坐标系；
步骤二、分别建立每个航天器的姿态运动学方程和动力学方程；再根据每个航天器的本体坐标系相对于期望参考坐标系的误差四元数，获得每个航天器的误差姿态运动学方程和动力学方程；
步骤三、定义如下中间变量：
Figure BDA0002237402600000041
其中：
Figure BDA0002237402600000042
为第1个航天器的本体坐标系
Figure BDA0002237402600000043
相对于期望参考坐标系oRxRyRzR的误差四元数，
Figure BDA0002237402600000044
Figure BDA0002237402600000045
为误差四元数
Figure BDA0002237402600000046
的标量部分，
Figure BDA0002237402600000047
为误差四元数
Figure BDA0002237402600000048
的矢量部分，
Figure BDA0002237402600000049
为
Figure BDA00022374026000000410
的一阶导数，
Figure BDA00022374026000000411
为
Figure BDA00022374026000000412
的一阶导数，
Figure BDA00022374026000000413
为第1个航天器的本体坐标系
Figure BDA00022374026000000414
相对于期望参考坐标系oRxRyRzR的误差角速度，
Figure BDA00022374026000000415
为
Figure BDA00022374026000000416
的一阶导数，中间变量
Figure BDA00022374026000000417
δ1为作用于第1个航天器的系统综合不确定性，J1,0为第1个航天器的转动惯量矩阵的标称部分，u1为作用于第1个航天器的控制输入信号，
Figure BDA00022374026000000418
Q、Q0、Qv、
Figure BDA00022374026000000419
Ω、
Figure BDA00022374026000000420
U和F1均为中间变量；其他航天器参数的定义与第1个航天器相同；
则将描述多航天器系统的误差姿态运动学和动力学方程整理为公式(2)和公式(3)的形式：
Figure BDA00022374026000000421
Figure BDA00022374026000000422
考虑多航天器系统通信拓扑为无向连通图，利用G{V,K,A}表示多航天器系统的通信拓扑图，其中，V＝{v1,v2,…,vn}为通信拓扑图G的节点集，节点v1,v2,…,vn分别代表多航天器系统中的一个航天器；
Figure BDA00022374026000000423
为通信拓扑图G的边集，代表了各航天器间的通信关系，A为通信拓扑图G的加权邻接矩阵；
设计积分终端滑模面S：
S＝[s1,…,sn]T (4)
其中，
Figure BDA0002237402600000051
si表示针对第i个航天器设计的积分终端滑模面；
Figure BDA0002237402600000052
Figure BDA0002237402600000053
Figure BDA0002237402600000054
Figure BDA0002237402600000055
其中，i＝1,…,n，j＝1,…,n，bi为正常数，α1＞0，α2＞0，Jj,0表示第j个航天器转动惯量矩阵的已知部分，zi代表第i个航天器的一阶滤波器的状态变量，μ≥1，
Figure BDA0002237402600000056
为zi的一阶导数，0＜γ＜1，k＝1,2,3，
Figure BDA0002237402600000057
Figure BDA0002237402600000058
和
Figure BDA0002237402600000059
均为
Figure BDA00022374026000000510
中的分量；
Figure BDA00022374026000000511
ai,j为通信拓扑图的加权邻接矩阵A中的元素，ai,j≥0；
利用克罗内克积将公式(4)的积分终端滑模面整理为：
Figure BDA00022374026000000512
其中，L为多航天器系统的Laplace矩阵，
Figure BDA00022374026000000513
为克罗内克积的运算符号，Z＝[z1，…，zn]T表示由zi构成的列向量矩阵，对角矩阵B＝diag{b1,…,bn}；
假设多航天器系统中同时存在外部干扰力矩和转动惯量不确定性，则作用于第i个航天器的系统综合不确定性δi满足如下关系：
Figure BDA00022374026000000514
其中，ci,0、ci,1和ci,2均为未知正常数，||·||2为2范数；
根据公式(2)至(4)，基于连续自适应控制方法设计公式(12)至(16)的姿态协同控制器：
Figure BDA0002237402600000061
Figure BDA0002237402600000062
Figure BDA0002237402600000063
sigρ(S)＝[sigρ(s1),…,sigρ(sn)]T (15)
Ua＝[u1,a,…,un,a]T (16)
其中：0＜γ1＜1，0＜ρ＜1，k1、τ1和τ2均为大于0的常数；
Figure BDA0002237402600000064
Figure BDA0002237402600000065
Figure BDA0002237402600000066
Figure BDA0002237402600000067
Figure BDA0002237402600000068
和
Figure BDA0002237402600000069
分别为ci,0、ci,1和ci,2的在线估计值，k0为正常数；
Figure BDA00022374026000000610
其中：l＝0,1,2，pi,l和χi,l均为正常数，
Figure BDA00022374026000000611
为
Figure BDA00022374026000000612
的一阶导数；
在设计的姿态协同控制器的作用下，有如下结论成立：
(1)S在有限时间内收敛到原点的邻域；
(2)
Figure BDA00022374026000000613
和
Figure BDA00022374026000000614
在有限时间内收敛到期望平衡点
Figure BDA00022374026000000615
的邻域，且各航天器的状态变量趋于一致，即
Figure BDA00022374026000000616
j＝1,2,...,n且i≠j。
本发明的有益效果是：本发明提出了一种基于无向通信拓扑的航天器编队姿态协同控制方法，考虑系统通信拓扑为无向连通图，本发明针对控制输入以及控制输入变化率饱和约束的系统不确定性，设计了有限时间稳定的姿态协同控制器，可以确保多航天器系统的姿态信号在有限时间内实现协同。本发明的多航天器系统能够在20秒内实现对期望姿态信号的跟踪以及航天器间姿态信号的一致性收敛，有效提高了存在控制输入以及控制输入变化率饱和约束时的多航天器控制的稳定性。
附图说明
图1是本发明的第i个航天器的控制系统结构图；
图2为各航天器的误差四元数的标量部分Qi,0的响应曲线图；
图3为控制时间在0～20秒内，各航天器的误差四元数的矢量部分Qi,k的响应曲线图，k＝1,2,3；
图4为控制时间在20～100秒内，各航天器的误差四元数的矢量部分Qi,k的响应曲线图，k＝1,2,3；
图5为控制时间在0～20秒内，各航天器的误差角速度Ωi,k的响应曲线图，k＝1,2,3；
图6为控制时间在20～100秒内，各航天器的误差角速度Ωi,k的响应曲线图，k＝1,2,3；
图7为控制时间在0～1秒内，各航天器所定义的滑模变量si的响应曲线图，si＝[si,1,si,2,si,3]；
图8为控制时间在1～100秒内，各航天器所定义的滑模变量si的响应曲线图，si＝[si,1,si,2,si,3]；
图9为控制时间在0～10秒内，各航天器控制输入信号ui的响应曲线图，ui＝[ui,1,ui,2,ui,3]；
图10为控制时间在10～100秒内，各航天器控制输入信号ui的响应曲线图，ui＝[ui,1,ui,2,ui,3]；
图11为有协同作用的姿态协同控制器和无协同作用的姿态协同控制器作用下的姿态协同性能曲线图。
具体实施方式
具体实施方式一：如图1所示，本实施方式所述的一种基于无向通信拓扑的航天器编队姿态协同控制方法，该方法包括以下步骤：
步骤一、建立包含n个航天器的多航天器系统的地心惯性坐标系oIxIyIzI、期望参考坐标系oRxRyRzR和航天器的本体坐标系
Figure BDA0002237402600000071
其中：i＝1,2,…,n，
Figure BDA0002237402600000072
代表第i个航天器的本体坐标系；
步骤二、分别建立每个航天器的姿态运动学方程和动力学方程；再根据每个航天器的本体坐标系相对于期望参考坐标系的误差四元数，获得每个航天器的误差姿态运动学方程和动力学方程；
为实现多航天器系统的姿态协同控制，设计各航天器的控制信号ui，i＝1,2,…,n，使
Figure BDA0002237402600000081
和
Figure BDA0002237402600000082
在有限时间内收敛到期望平衡点
Figure BDA0002237402600000083
的邻域，使各航天器间的状态变量趋于一致，即
Figure BDA0002237402600000084
j＝1,2，...,n且i≠j；在设计姿态协同控制器时，第i个航天器除利用自身的状态信息外，还获取与第i个航天器邻近的航天器j的状态信息，j∈Ni，Ni表示系统中所有能够向第i个航天器传递自身信息的航天器的集合；
步骤三、定义如下中间变量：
Figure BDA0002237402600000085
其中：
Figure BDA0002237402600000086
为第1个航天器的本体坐标系
Figure BDA0002237402600000087
相对于期望参考坐标系oRxRyRzR的误差四元数，
Figure BDA0002237402600000088
Figure BDA0002237402600000089
为误差四元数
Figure BDA00022374026000000810
的标量部分，
Figure BDA00022374026000000811
为误差四元数
Figure BDA00022374026000000812
的矢量部分，
Figure BDA00022374026000000813
为
Figure BDA00022374026000000814
的一阶导数，
Figure BDA00022374026000000815
为
Figure BDA00022374026000000816
的一阶导数，
Figure BDA00022374026000000817
为第1个航天器的本体坐标系
Figure BDA00022374026000000818
相对于期望参考坐标系oRxRyRzR的误差角速度，
Figure BDA00022374026000000819
为
Figure BDA00022374026000000820
的一阶导数，中间变量
Figure BDA00022374026000000821
δ1为作用于第1个航天器的系统综合不确定性，J1,0为第1个航天器的转动惯量矩阵的标称部分，u1为作用于第1个航天器的控制输入信号，
Figure BDA0002237402600000091
即
Figure BDA0002237402600000092
Q1,0为Q1的标量部分，Q1,v为Q1的矢量部分，
Figure BDA0002237402600000093
Ω1＝[Ω1,1,Ω1,2,Ω1,3]T；Q、Q0、Qv、
Figure BDA0002237402600000094
Ω、
Figure BDA0002237402600000095
U和F1均为中间变量；其他航天器参数的定义与第1个航天器相同；
则将描述多航天器系统的误差姿态运动学和动力学方程整理为公式(2)和公式(3)的形式：
Figure BDA0002237402600000096
Figure BDA0002237402600000097
考虑多航天器系统通信拓扑为无向连通图，利用G{V,K,A}表示多航天器系统的通信拓扑图，其中，V＝{v1,v2,…,vn}为通信拓扑图G的节点集，节点v1,v2,…,vn分别代表多航天器系统中的一个航天器；
Figure BDA0002237402600000098
为通信拓扑图G的边集，代表了各航天器间的通信关系，A为通信拓扑图G的加权邻接矩阵；
通过考虑多航天器系统通信拓扑为无向连通图，可以实现多航天器系统的同时控制。
同时针对系统中的外部干扰力矩和模型不确定性，基于积分终端滑模面和连续自适应控制方法设计姿态协同控制器。为设计有限时间稳定的控制器同时避免控制奇异问题的产生：
设计积分终端滑模面S：
S＝[s1,…,sn]T (4)
其中，
Figure BDA0002237402600000099
si表示针对第i个航天器设计的积分终端滑模面；
Figure BDA00022374026000000910
Figure BDA00022374026000000911
Figure BDA00022374026000000912
Figure BDA00022374026000000913
其中，i＝1,…,n，j＝1,…,n，bi为正常数，α1＞0，α2＞0，Jj,0表示第j个航天器转动惯量矩阵的已知部分，zi代表第i个航天器的一阶滤波器的状态变量，μ≥1，
Figure BDA0002237402600000101
为zi的一阶导数，0＜γ＜1，k＝1,2,3，
Figure BDA0002237402600000102
Figure BDA0002237402600000103
和
Figure BDA0002237402600000104
均为
Figure BDA0002237402600000105
中的分量；
Figure BDA0002237402600000106
ai,j为通信拓扑图的加权邻接矩阵A中的元素，ai,j≥0；
zi具有零初始状态，即zi(0)＝03×1；
利用克罗内克积(Zhou N,Xia Y Q,Lu K F.Decentralised finite-timeattitude synchronisation and tracking control for rigid spacecraft[J].International Journal of Systems Science,2015,46(14):2493–2509.)将公式(4)的积分终端滑模面整理为：
Figure BDA0002237402600000107
其中，L为多航天器系统的Laplace矩阵，
Figure BDA0002237402600000108
为克罗内克积的运算符号，Z＝[z1，…，zn]T表示由zi构成的列向量矩阵，对角矩阵B＝diag{b1,…,bn}；
假设多航天器系统中同时存在外部干扰力矩和转动惯量不确定性，则作用于第i个航天器的系统综合不确定性δi满足如下关系：
Figure BDA0002237402600000109
其中，ci,0、ci,1和ci,2均为未知正常数，||·||2为2范数；
根据公式(2)至(4)，基于连续自适应控制方法设计公式(12)至(16)的姿态协同控制器：
Figure BDA00022374026000001010
Figure BDA00022374026000001011
Figure BDA00022374026000001012
sigρ(S)＝[sigρ(s1),…,sigρ(sn)]T (15)
Ua＝[u1,a,…,un,a]T (16)
其中：0＜γ1＜1，0＜ρ＜1，k1、τ1和τ2均为大于0的常数；
Figure BDA0002237402600000111
Figure BDA0002237402600000112
Figure BDA0002237402600000113
Figure BDA0002237402600000114
Figure BDA0002237402600000115
和
Figure BDA0002237402600000116
分别为ci,0、ci,1和ci,2的在线估计值，且具有零初始值；k0为正常数；
Figure BDA0002237402600000117
其中：l＝0,1,2，pi,l和χi,l均为正常数，
Figure BDA0002237402600000118
为
Figure BDA0002237402600000119
的一阶导数；
针对多航天器系统的姿态运动学和动力学方程(2)和(3)，若系统中同时存在外部干扰力矩和模型不确定性，各航天器的系统综合不确定性δi满足公式(11)，并且滑模面如式(4)至(8)所定义，那么：
在设计的姿态协同控制器的作用下，有如下结论成立：
(1)S在有限时间内收敛到原点的邻域；
(2)
Figure BDA00022374026000001110
和
Figure BDA00022374026000001111
在有限时间内收敛到期望平衡点
Figure BDA00022374026000001112
的邻域，且各航天器的状态变量趋于一致，即
Figure BDA00022374026000001113
j＝1,2,...,n且i≠j。
证明：定义Lyapunov函数
Figure BDA00022374026000001114
其中，
Figure BDA00022374026000001115
Figure BDA00022374026000001116
为对ci,l的估计误差，i＝1,…,n，l＝0,1,2。
对式(35)求导，并代入式(12)得
Figure BDA00022374026000001117
可以将式(36)中的
Figure BDA00022374026000001118
化简为：
Figure BDA0002237402600000121
进一步利用
Figure BDA0002237402600000122
i＝1,…,n，l＝1,2和
Figure BDA0002237402600000123
得
Figure BDA0002237402600000124
可以将式(37)整理为
Figure BDA0002237402600000125
式(36)变为
Figure BDA0002237402600000126
引理1(Yu S,Yu X,Shirinzadeh B,et al.Continuous finite time controlfor robotic manipulators with terminal sliding mode[J].Automatica,2005,41(11):1957–1964.)：
设α1＞0，α2＞0以及0＜c＜1，则有如下结论成立：
Figure BDA0002237402600000127
引理2(Yu S,Yu X,Shirinzadeh B,et al.Continuous finite time controlfor robotic manipulators with terminal sliding mode[J].Automatica,2005,41(11):1957–1964.)：
设a1＞0，α2＞0，…，an＞0以及0＜c＜2，则有如下结论成立：
Figure BDA0002237402600000128
基于引理1和引理2，将(40)整理为
Figure BDA0002237402600000131
其中，
Figure BDA0002237402600000132
和
Figure BDA0002237402600000133
Figure BDA0002237402600000134
均为正。
将式(41)重写为
Figure BDA0002237402600000135
Figure BDA0002237402600000136
因此，S将在有限时间内收敛到如下区间：
Figure BDA0002237402600000137
根据式(10)可知，对于航天器i，i＝1,…,n，存在如下关系：
Figure BDA0002237402600000138
分析可以得到
Figure BDA0002237402600000139
和
Figure BDA00022374026000001310
稳态值的保守上界为
Figure BDA00022374026000001311
Figure BDA00022374026000001312
其中，i＝1,…,n，k＝1,2,3，
Figure BDA00022374026000001313
的定义如式(45)所示，并且α1、α2、γ和μ的定义如式(6)至(8)所示。由于式(45)至(47)适用于航天器系统中的任意一颗航天器，因此，可以认为各航天器的状态变量
Figure BDA00022374026000001314
和
Figure BDA00022374026000001315
在向期望平衡点收敛过程中是一致收敛的。
(1)和(2)得证。
注1：在控制器(12)-(21)的作用下，
Figure BDA00022374026000001316
和
Figure BDA00022374026000001317
i＝1,…,n，均能够在有限时间内收敛到期望平衡点的邻域，并且其控制精度可通过选取适当的控制参数进行调节。
注2：本发明中不同航天器间的信息交互作用主要体现在如下两个方面：(1)在设计滑模面si(i＝1,…,n)时，利用了航天器i及其邻近航天器j的相关信息，具体包括：Ji,0、
Figure BDA0002237402600000141
Figure BDA0002237402600000142
Jj,0、
Figure BDA0002237402600000143
和
Figure BDA0002237402600000144
其中，j∈Ni；(2)在设计控制信号ui(i＝1,…,n)时，主要利用了si(i＝1,…,n)，所以，ui同时包含了航天器i及其邻近航天器j的相关信息。
注3：本发明中系统通信拓扑图是无向连通图，在此条件下，矩阵
Figure BDA0002237402600000145
及其逆矩阵
Figure BDA0002237402600000146
正定且对称(Zhou N,Xia Y Q,Lu K F.Decentralised finite-time attitude synchronisation and tracking control for rigid spacecraft[J].International Journal of Systems Science,2015,46(14):2493–2509.)，因此，可利用H构造李雅普诺夫函数，如式(35)所示，以消去积分终端滑模面(10)中的
Figure BDA0002237402600000147
部分，简化了姿态协同控制器的设计形式。
在多航天器系统中，各航天器成员除利用自身状态信息进行控制器设计之外，还可以按照一定的通信规则获取其他航天器的状态信息。本发明以代数图论为基础描述不同航天器间的信息交互，并利用G{V,K,A}表示多航天器系统的通信拓扑图。其中，V＝{v1,v2,…,vn}为图G的节点集，且每个节点均代表系统中的一颗航天器；
Figure BDA0002237402600000148
为图G的边集，且代表了航天器成员间的通信关系；
Figure BDA0002237402600000149
为图G的加权邻接矩阵。
根据航天器间信息传递的方向性，可将系统的通信拓扑结构分为无向通信拓扑和有向通信拓扑。在具有无向通信拓扑的多航天器系统中，具有通信关系的两个航天器可以互相传递自身的信息。此时，若存在由节点vj指向节点vi的边，即(vj,vi)∈V，则必有(vj,vi)∈V。据此定义矩阵A中各元素ai,j(i,j＝1,2,…,n)：若(vj,vi)∈V，则有ai,j＝aj,i＞0。否则，ai,j＝0；在有向通信拓扑描述的多航天器系统中，各航天器成员间仅存在单一方向的信息传递。此时，若有(vj,vi)∈V，则
Figure BDA00022374026000001411
那么，矩阵A中各元素ai,j有如下定义：若(vj,vi)∈V，则有ai,j＞0；否则，ai,j＝0。基于加权邻接矩阵A可以定义系统的Laplace(拉普拉斯)矩阵：
Figure BDA00022374026000001410
此外，在无向通信拓扑中，若任意两个节点之间都有边相连接，则称其为连通图；在有向通信拓扑中，若不考虑边的方向性，并且任意两个节点之间都有边相连接，则将其称为弱连通图。若考虑边的方向性，并且任意两个节点之间都可以通过若干有向边依次连接，则将其称为强连通图。据此，定义Ni表示第i颗航天器的邻近航天器集合，即系统中包含航天器i在内的所有能够向航天器i传递信息的航天器的集合。
具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一的具体过程为：
建立如下坐标系：
地心惯性坐标系oIxIyIzI：地心惯性坐标系的坐标原点位于地球球心，地心惯性坐标系的oIxIyI平面位于赤道面，oIxI轴指向空间中的春分点方向，oIzI轴垂直于赤道面并指向地球的北极点方向，oIyI轴与oIxI轴和oIzI轴共同构成右手直角坐标系；
第i个航天器的本体坐标系
Figure BDA0002237402600000151
第i个航天器的本体坐标系
Figure BDA0002237402600000152
的坐标原点
Figure BDA0002237402600000153
位于第i个航天器的质心，
Figure BDA0002237402600000154
轴、
Figure BDA0002237402600000155
轴和
Figure BDA0002237402600000156
轴与第i个航天器的三个惯性主轴重合；
期望参考坐标系oRxRyRzR：期望参考坐标系根据n颗航天器的跟踪目标决定。
定义航天器的轨道坐标系，第i个航天器轨道坐标系是以第i个航天器的质心为原点的，第i个航天器轨道坐标系的x轴是第i个航天器的质心到地心的指向，y轴在第i个航天器的轨道平面上，与x轴垂直，并指向第i个航天器的运动方向，z轴与x轴和y轴构成右手直角坐标系。
实际建立期望参考坐标系时，期望参考坐标系可以为航天器的轨道坐标系，也可以为航天器的本体坐标系，根据n颗航天器的跟踪目标确定。
具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式二不同的是：所述步骤二的具体过程为：
第i个航天器的姿态运动学方程和动力学方程为：
Figure BDA0002237402600000157
Figure BDA0002237402600000158
其中，qi为第i个航天器的本体坐标系
Figure BDA0002237402600000159
相对于地心惯性坐标系oIxIyIzI的姿态四元数，
Figure BDA00022374026000001510
qi,0为姿态四元数qi的标量部分，qi,v为姿态四元数qi的矢量部分，上角标T代表矩阵的转置；
Figure BDA00022374026000001511
为qi一阶导数；
ωi＝[ωi,1,ωi,2,ωi,3]T为第i个航天器的本体坐标系
Figure BDA00022374026000001512
相对于地心惯性坐标系oIxIyIzI的角速度，并表示于第i个航天器的本体坐标系
Figure BDA0002237402600000161
中，ωi,1、ωi,2和ωi,3均为ωi中的分量；
Figure BDA0002237402600000162
为ωi一阶导数，
Figure BDA0002237402600000163
为ωi的反对称矩阵；
Figure BDA0002237402600000164
Ji为第i个航天器的转动惯量矩阵；
Figure BDA0002237402600000165
ui为作用于第i个航天器的控制输入信号；
Figure BDA0002237402600000166
di为作用于第i个航天器的外部干扰力矩；
中间变量E(qi)的表达式为：
Figure BDA0002237402600000167
其中：I3×3为三阶单位矩阵，
Figure BDA0002237402600000168
为qi,v的反对称矩阵；
期望参考坐标系oRxRyRzR相对于地心惯性坐标系oIxIyIzI的姿态四元数为qd，期望参考坐标系oRxRyRzR相对于地心惯性坐标系oIxIyIzI的角速度为ωd，假设各个航天器均实时获得qd和ωd的信息，则定义第i个航天器的本体坐标系
Figure BDA0002237402600000169
相对于期望参考坐标系oRxRyRzR的误差四元数为
Figure BDA00022374026000001610
第i个航天器的本体坐标系
Figure BDA00022374026000001611
相对于期望参考坐标系oRxRyRzR的误差角速度为
Figure BDA00022374026000001612
其中：
Figure BDA00022374026000001613
为误差四元数
Figure BDA00022374026000001614
的标量部分，
Figure BDA00022374026000001615
为误差四元数
Figure BDA00022374026000001616
的矢量部分，
Figure BDA00022374026000001617
和
Figure BDA00022374026000001618
均为
Figure BDA00022374026000001619
中的分量；
Figure BDA00022374026000001620
Figure BDA00022374026000001621
Figure BDA00022374026000001622
为qd的对偶四元数，qd0为qd的标量部分，qdv为qd的矢量部分，
Figure BDA00022374026000001629
代表四元数乘法，
Figure BDA00022374026000001623
为qdv的反对称矩阵；
中间变量
Figure BDA00022374026000001624
的表达式为：
Figure BDA00022374026000001625
Figure BDA00022374026000001626
为
Figure BDA00022374026000001627
的反对称矩阵，则第i个航天器的误差姿态运动学方程和动力学方程表示为：
Figure BDA00022374026000001628
Figure BDA0002237402600000171
其中：
Figure BDA0002237402600000172
为
Figure BDA0002237402600000173
的一阶导数，
Figure BDA0002237402600000174
为中间变量，
Figure BDA0002237402600000175
为
Figure BDA0002237402600000176
的一阶导数，
Figure BDA0002237402600000177
为ωd的一阶导数；
令Ji＝Ji,0+ΔJi，
Figure BDA0002237402600000178
Ji,0为已知的对称正定矩阵，Ji,0表示第i个航天器的转动惯量矩阵的标称部分，
Figure BDA0002237402600000179
ΔJi为未知的对称正定矩阵，ΔJi表示第i个航天器的转动惯量不确定性，或第i个航天器的模型不确定性；
则将式(29)整理为公式(30)的形式：
Figure BDA00022374026000001710
中间变量Fi和ΔFi的表达式分别为：
Figure BDA00022374026000001711
Figure BDA00022374026000001712
δi＝ΔFi+di (33)
其中：
Figure BDA00022374026000001713
δi为作用于第i个航天器的系统综合不确定性；
Ji,0满足公式(34)的不等式：
Figure BDA00022374026000001714
其中：λmin(Ji,0)为Ji,0的最小特征值，λmax(Ji,0)为Ji,0的最大特征值。对于任意的3×1维实数矩阵x均满足公式(34)。
对于包含单颗航天器的系统，航天器的误差姿态运动学方程和动力学方程表示为：
Figure BDA00022374026000001715
Figure BDA00022374026000001716
公式(48)、(49)，结合参考文献(Chiu C S.Derivative and integral terminalsliding mode control for a class of MIMO nonlinear systems[J].Automatica,2012,48(2):316–326)以及(Gazi V,Ordonez R.Target tracking using artificialpotentials and sliding mode control[J].International Journal of Control,2007,129(10):4670–4675)，设计了具有如下形式的积分终端滑模面：
Figure BDA00022374026000001717
Figure BDA00022374026000001718
Figure BDA0002237402600000181
其中，α1＞0，α2＞0，μ≥1以及0＜γ＜1。函数
Figure BDA0002237402600000182
的定义为
Figure BDA0002237402600000183
Figure BDA0002237402600000184
Figure BDA0002237402600000185
为滤波器(51)的状态变量，且初始值为零，即z(0)＝03×1。
注1：对滑模面(50)求导得
Figure BDA0002237402600000186
z可以表示为
Figure BDA0002237402600000187
利用四元数的性质
Figure BDA0002237402600000188
以及公式(56)得
Figure BDA0002237402600000189
考虑到z(0)＝03×1以及μ≥1可知zi(t)是有界的，因此，滑模面(50)是一阶可导的，所以可以避免产生控制奇异问题。
引理1(Yu S,Yu X,Shirinzadeh B,et al.Continuous finite time controlfor robotic manipulators with terminal sliding mode[J].Automatica,2005,41(11):1957–1964)：设α1＞0，α2＞0以及0＜c＜1，则有如下结论成立：
Figure BDA00022374026000001810
引理2(Yu S,Yu X,Shirinzadeh B,et al.Continuous finite time controlfor robotic manipulators with terminal sliding mode[J].Automatica,2005,41(11):1957–1964)：设a1＞0，α2＞0，…，an＞0以及0＜c＜2，则有如下结论成立：
Figure BDA00022374026000001811
引理3(Zhou N,Xia Y Q,Lu K F.Decentralised finite-time attitudesynchronisation and tracking control for rigid spacecraft[J].InternationalJournal of Systems Science,2015,46(14):2493–2509)：若多航天器系统的通信拓扑是无向连通图，那么L+B以及
Figure BDA0002237402600000194
均为对称正定矩阵。
数值仿真分析
为了验证本发明所设计控制算法的有效性，进行如下仿真。
多航天器系统包括4颗航天器，且航天器系统的初始参数根据文献(Zhou N,Xia YQ,Lu K F.Decentralised finite-time attitude synchronisation and trackingcontrol for rigid spacecraft[J].International Journal of Systems Science,2015,46(14):2493–2509.以及Wu B L,Wang D W.Decentralized robust adaptivecontrol for attitude synchronization under directed communication topology[J].Journal of Guidance Control and Dynamics,2011,34(4):1275–1282.)进行设置，其中，各航天器转动惯量矩阵分别为
Figure BDA0002237402600000191
Figure BDA0002237402600000192
转动惯量矩阵的标称部分分别为
Figure BDA0002237402600000193
外部干扰力矩分别为
d1＝[0.1sin(0.4t),0.05cos(0.5t),0.08cos(0.7t)]T N·m，
d2＝[0.06cos(0.4t),0.1sin(0.5t),0.05sin(0.7t)]T N·m，
d3＝[0.08cos(0.4t+π/4),0.06cos(0.5t+π/4),0.07cos(0.7t+π/4)]T N·m，
d4＝[0.06cos(0.4t+π/4),0.08sin(0.5t+π/4),0.1sin(0.7t+π/4)]T N·m。
初始姿态四元数分别为
q1(0)＝[0.8986,0.4,-0.1,0.15]T，
q2(0)＝[0.8888,-0.2,0.1,0.4]T，
q3(0)＝[0.8062,0.1,-0.5,0.3]T，
q4(0)＝[0.8426,-0.4,-0.2,0.3]T。
期望参考坐标系FR的初始姿态四元数为qd(0)＝[1,0,0,0]T。FR的角速度为ωd＝[0.1cos(0.1t),-0.1sin(0.1t),-0.1cos(0.1t)]T rad/s。此外，在本发明中通过定义变量
Figure BDA0002237402600000201
来表征姿态协同控制性能。
首先，针对设计的姿态协同控制器，根据文献(Zhou N,Xia Y Q,Lu KF.Decentralised finite-time attitude synchronisation and tracking control forrigid spacecraft[J].International Journal of Systems Science,2015,46(14):2493–2509.以及多航天器系统有限时间姿态同步控制设计)选取Laplace矩阵如下：
Figure BDA0002237402600000202
各控制参数为B＝I4，α1＝1，α2＝0.1，γ＝γ1＝0.5，τ1＝1，τ2＝0.5，k1＝0.5，μ＝1，ρ＝0.6，k0＝0.005，pi,l＝1，χi,l＝1，其中，i＝1,2,3,4以及l＝0,1,2，并且仿真结果如图2至11所示。图2、图3、图4和图5分别为各航天器的误差四元数的标量部分Qi,0和矢量部分Qi,k(i＝1,2,3,4,k＝1,2,3)的响应曲线。由图4可知，多航天器系统能够在20秒内实现对期望姿态信号的跟踪以及航天器间姿态信号的一致性收敛，并且姿态跟踪误差稳态值的上界为2×10-4。图5和图6为各航天器的误差角速度Ωi,k(i＝1,2,3,4,k＝1,2,3)的响应曲线，且其稳态值的上界为2×10-4rad/s。图7和图8为针对各航天器所定义的滑模变量si(i＝1,2,3,4)的响应曲线，其稳态值的上界为0.02。图9和图10为各航天器控制输入信号ui(i＝1,2,3,4)的响应曲线，ui能够在整个控制过程中保持有界且无明显抖振。图11中仿真结果为有协同作用的姿态协同控制器和无协作用姿态协同控制器作用下的姿态协同性能曲线。其中，无协同作用的姿态协同控制器，对应于令设计姿态协同控制算法中的参数bi＝1和ai,j＝0(i＝1,2,3,4,j＝1,2,3,4)的情况，即系统中各航天器间不进行任何信息交互，而只利用自身状态信息和系统参数实现控制器设计。通过图11的仿真结果可知，具有协同项的姿态协同控制器能够获得更好的控制性能，包括更快的收敛速度以及更高的控制精度。
本发明通过结合滑模控制方法、反步控制方法和连续自适应控制方法设计的姿态协同控制器，能够有效处理多种系统不确定性，包括：外部干扰力矩和模型不确定性等，并且无需系统不确定性的先验信息；而且本发明所设计的姿态协同控制器均为连续的，能够显著削弱执行器的抖振现象。

Claims (3)

1.一种基于无向通信拓扑的航天器编队姿态协同控制方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
步骤一、建立包含n个航天器的多航天器系统的地心惯性坐标系oIxIyIzI、期望参考坐标系oRxRyRzR和航天器的本体坐标系
Figure FDA0002237402590000011
其中：i＝1,2,…,n，
Figure FDA0002237402590000012
代表第i个航天器的本体坐标系；
步骤二、分别建立每个航天器的姿态运动学方程和动力学方程；再根据每个航天器的本体坐标系相对于期望参考坐标系的误差四元数，获得每个航天器的误差姿态运动学方程和动力学方程；
步骤三、定义如下中间变量：
Figure FDA0002237402590000013
其中：
Figure FDA0002237402590000014
为第1个航天器的本体坐标系
Figure FDA0002237402590000015
相对于期望参考坐标系oRxRyRzR的误差四元数，
Figure FDA0002237402590000016
Figure FDA0002237402590000017
为误差四元数
Figure FDA0002237402590000018
的标量部分，
Figure FDA0002237402590000019
为误差四元数
Figure FDA00022374025900000110
的矢量部分，
Figure FDA00022374025900000111
为
Figure FDA00022374025900000112
的一阶导数，
Figure FDA00022374025900000113
为
Figure FDA00022374025900000114
的一阶导数，
Figure FDA00022374025900000115
为第1个航天器的本体坐标系
Figure FDA00022374025900000116
相对于期望参考坐标系oRxRyRzR的误差角速度，
Figure FDA00022374025900000117
为
Figure FDA00022374025900000118
的一阶导数，中间变量
Figure FDA00022374025900000119
δ1为作用于第1个航天器的系统综合不确定性，J1,0为第1个航天器的转动惯量矩阵的标称部分，u1为作用于第1个航天器的控制输入信号，
Figure FDA00022374025900000120
Q、Q0、Qv、
Figure FDA00022374025900000121
Ω、
Figure FDA00022374025900000122
U和F1均为中间变量；其他航天器参数的定义与第1个航天器相同；
则将描述多航天器系统的误差姿态运动学和动力学方程整理为公式(2)和公式(3)的形式：
Figure FDA0002237402590000021
Figure FDA0002237402590000022
考虑多航天器系统通信拓扑为无向连通图，利用G{V,K,A}表示多航天器系统的通信拓扑图，其中，V＝{v1,v2,…,vn}为通信拓扑图G的节点集，节点v1,v2,…,vn分别代表多航天器系统中的一个航天器；
Figure FDA0002237402590000023
为通信拓扑图G的边集，代表了各航天器间的通信关系，A为通信拓扑图G的加权邻接矩阵；
设计积分终端滑模面S：
S＝[s1,…,sn]T (4)
其中，
Figure FDA0002237402590000024
si表示针对第i个航天器设计的积分终端滑模面；
Figure FDA0002237402590000025
Figure FDA0002237402590000026
Figure FDA0002237402590000027
Figure FDA0002237402590000028
其中，i＝1,…,n，j＝1,…,n，bi为正常数，α1＞0，α2＞0，Jj,0表示第j个航天器转动惯量矩阵的已知部分，zi代表第i个航天器的一阶滤波器的状态变量，μ≥1，
Figure FDA0002237402590000029
为zi的一阶导数，0＜γ＜1，k＝1,2,3，
Figure FDA00022374025900000210
Figure FDA00022374025900000211
和
Figure FDA00022374025900000212
均为
Figure FDA00022374025900000213
中的分量；
Figure FDA00022374025900000214
ai,j为通信拓扑图的加权邻接矩阵A中的元素，ai,j≥0；
利用克罗内克积将公式(4)的积分终端滑模面整理为：
Figure FDA0002237402590000031
其中，L为多航天器系统的Laplace矩阵，
Figure FDA0002237402590000032
为克罗内克积的运算符号，Z＝[z1，…，zn]T表示由zi构成的列向量矩阵，对角矩阵B＝diag{b1,…,bn}；
假设多航天器系统中同时存在外部干扰力矩和转动惯量不确定性，则作用于第i个航天器的系统综合不确定性δi满足如下关系：
Figure FDA0002237402590000033
其中，ci,0、ci,1和ci,2均为未知正常数，||·||2为2范数；
根据公式(2)至(4)，基于连续自适应控制方法设计公式(12)至(16)的姿态协同控制器：
Figure FDA0002237402590000034
Figure FDA0002237402590000035
Figure FDA0002237402590000036
sigρ(S)＝[sigρ(s1),…,sigρ(sn)]T (15)
Ua＝[u1,a,…,un,a]T (16)
其中：0＜γ1＜1，0＜ρ＜1，k1、τ1和τ2均为大于0的常数；
Figure FDA0002237402590000037
Figure FDA0002237402590000038
Figure FDA0002237402590000039
Figure FDA00022374025900000310
Figure FDA00022374025900000311
和
Figure FDA00022374025900000312
分别为ci,0、ci,1和ci,2的在线估计值，k0为正常数；
Figure FDA00022374025900000313
其中：l＝0,1,2，pi,l和χi,l均为正常数，
Figure FDA00022374025900000314
为
Figure FDA00022374025900000315
的一阶导数；
在设计的姿态协同控制器的作用下，有如下结论成立：
(1)S在有限时间内收敛到原点的邻域；
(2)
Figure FDA0002237402590000041
和
Figure FDA0002237402590000042
在有限时间内收敛到期望平衡点
Figure FDA0002237402590000043
的邻域，且各航天器的状态变量趋于一致，即
Figure FDA0002237402590000044
j＝1,2,...,n且i≠j。
2.根据权利要求1所述的一种基于无向通信拓扑的航天器编队姿态协同控制方法，其特征在于，所述步骤一的具体过程为：
建立如下坐标系：
地心惯性坐标系oIxIyIzI：地心惯性坐标系的坐标原点位于地球球心，地心惯性坐标系的oIxIyI平面位于赤道面，oIxI轴指向空间中的春分点方向，oIzI轴垂直于赤道面并指向地球的北极点方向，oIyI轴与oIxI轴和oIzI轴共同构成右手直角坐标系；
第i个航天器的本体坐标系
Figure FDA0002237402590000045
第i个航天器的本体坐标系
Figure FDA0002237402590000046
的坐标原点
Figure FDA0002237402590000047
位于第i个航天器的质心，
Figure FDA0002237402590000048
轴、
Figure FDA0002237402590000049
轴和
Figure FDA00022374025900000410
轴与第i个航天器的三个惯性主轴重合；
期望参考坐标系oRxRyRzR：期望参考坐标系由n颗航天器的跟踪目标决定。
3.根据权利要求1或2所述的一种基于无向通信拓扑的航天器编队姿态协同控制方法，其特征在于，所述步骤二的具体过程为：
第i个航天器的姿态运动学方程和动力学方程为：
Figure FDA00022374025900000411
Figure FDA00022374025900000412
其中，qi为第i个航天器的本体坐标系
Figure FDA00022374025900000413
相对于地心惯性坐标系oIxIyIzI的姿态四元数，
Figure FDA00022374025900000414
qi,0为姿态四元数qi的标量部分，qi,v为姿态四元数qi的矢量部分，上角标T代表矩阵的转置；
Figure FDA00022374025900000415
为qi一阶导数；
ωi＝[ωi,1,ωi,2,ωi,3]T为第i个航天器的本体坐标系
Figure FDA00022374025900000416
相对于地心惯性坐标系oIxIyIzI的角速度，ωi,1、ωi,2和ωi,3均为ωi中的分量；
Figure FDA00022374025900000417
为ωi一阶导数，
Figure FDA00022374025900000418
为ωi的反对称矩阵；
Figure FDA00022374025900000419
Ji为第i个航天器的转动惯量矩阵；
Figure FDA00022374025900000420
ui为作用于第i个航天器的控制输入信号；
Figure FDA00022374025900000421
di为作用于第i个航天器的外部干扰力矩；
中间变量E(qi)的表达式为：
Figure FDA0002237402590000051
其中：I3为三阶单位矩阵，
Figure FDA0002237402590000052
为qi,v的反对称矩阵；
期望参考坐标系oRxRyRzR相对于地心惯性坐标系oIxIyIzI的姿态四元数为qd，期望参考坐标系oRxRyRzR相对于地心惯性坐标系oIxIyIzI的角速度为ωd，假设各个航天器均实时获得qd和ωd的信息，则定义第i个航天器的本体坐标系
Figure FDA0002237402590000053
相对于期望参考坐标系oRxRyRzR的误差四元数为
Figure FDA0002237402590000054
Figure FDA0002237402590000055
第i个航天器的本体坐标系
Figure FDA0002237402590000056
相对于期望参考坐标系oRxRyRzR的误差角速度为
Figure FDA0002237402590000057
其中：
Figure FDA0002237402590000058
为误差四元数
Figure FDA0002237402590000059
的标量部分，
Figure FDA00022374025900000510
为误差四元数
Figure FDA00022374025900000511
的矢量部分，
Figure FDA00022374025900000512
和
Figure FDA00022374025900000513
均为
Figure FDA00022374025900000514
中的分量；
Figure FDA00022374025900000515
Figure FDA00022374025900000516
Figure FDA00022374025900000517
为qd的对偶四元数，qd0为qd的标量部分，qdv为qd的矢量部分，
Figure FDA00022374025900000518
代表四元数乘法，
Figure FDA00022374025900000519
为qdv的反对称矩阵；
中间变量
Figure FDA00022374025900000520
的表达式为：
Figure FDA00022374025900000521
Figure FDA00022374025900000522
为
Figure FDA00022374025900000523
的反对称矩阵，则第i个航天器的误差姿态运动学方程和动力学方程表示为：
Figure FDA00022374025900000524
Figure FDA00022374025900000525
其中：
Figure FDA00022374025900000526
为
Figure FDA00022374025900000527
的一阶导数，
Figure FDA00022374025900000528
为中间变量，
Figure FDA00022374025900000529
为
Figure FDA00022374025900000530
的一阶导数，
Figure FDA00022374025900000531
为ωd的一阶导数；
令Ji＝Ji,0+ΔJi，
Figure FDA00022374025900000532
Ji,0为已知的对称正定矩阵，Ji,0表示第i个航天器的转动惯量矩阵的标称部分，
Figure FDA00022374025900000533
ΔJi为未知的对称正定矩阵，ΔJi表示第i个航天器的转动惯量不确定性；
则将式(29)整理为公式(30)的形式：
Figure FDA0002237402590000061
中间变量Fi和ΔFi的表达式分别为：
Figure FDA0002237402590000062
Figure FDA0002237402590000063
δi＝ΔFi+di (33)
其中：
Figure FDA0002237402590000064
δi为作用于第i个航天器的系统综合不确定性；
Ji,0满足公式(34)的不等式：
Figure FDA0002237402590000065
其中：λmin(Ji,0)为Ji,0的最小特征值，λmax(Ji,0)为Ji,0的最大特征值。
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