CN110673469B - 一种基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法 - Google Patents

一种基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于反步迭代学习的欧拉‑伯努利梁的振动控制方法，该方法过程如下：根据欧拉‑伯努利梁的动力学特征构建欧拉‑伯努利梁系统；根据欧拉‑伯努利梁系统，结合李雅普诺夫方法，构建基于反步迭代学习的振动控制方法，包括虚拟控制量设计、反步项设计及迭代项设计；验证上述欧拉‑伯努利梁系统在振动控制方法下的稳定性；利用MATLAB仿真软件对欧拉‑伯努利梁系统进行数字仿真，验证控制效果是否符合预期；若不符合，则根据仿真结果调节控制器的增益参数，使之具有较好的控制效果。本发明所提出的基于反步迭代学习的振动控制方法能够有效抑制欧拉‑伯努利梁系统的振动，使得欧拉‑伯努利梁系统工作更加稳定。

Description

一种基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法
技术领域
本发明涉及振动控制技术领域，具体涉及一种基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法。
背景技术
柔性结构因为其重量轻、能耗低等优点，被广泛地应用于机械臂、机械工程、航天器等工程领域。在柔性机械臂、柔性立管、柔性卫星等系统的研究中，欧拉-伯努利梁经常被作为这些柔性结构系统的基础模型。但是由于外部扰动的作用，欧拉-伯努利梁会产生弹性形变，进而产生长时间持续的弹性振动，这将会影响系统的正常工作，也成为了柔性结构在工程领域应用的一个阻碍。所以，如何从控制方面，减少或消除欧拉-伯努利梁的弹性变形与振动，是一个需要解决的问题。欧拉-伯努利梁是典型的分布式参数系统，即模型参数与工作特性是时间与空间坐标的函数，所以在弹性振动中其动力学响应比较复杂。研究欧拉-伯努利梁的振动控制，能够使具有基于该种模型的柔性结构系统，如柔性机械臂、柔性立管、柔性卫星等系统，在实际工程中获得较高的精度。
目前对于欧拉-伯努利梁的振动控制研究大多是采用PID控制、鲁棒控制等方法，关于反步迭代学习控制方法却很少报道。因而本发明的研究，将为具有欧拉-伯努利梁结构的系统，在航空航天、机械工程等领域的振动控制方面提供理论参考。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有技术中的上述缺陷，提供一种基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法。
本发明的目的可以通过采取如下技术方案达到：
一种基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法，所述的振动控制方法包括下列步骤：
根据欧拉-伯努利梁的动力学特征，构建欧拉-伯努利梁系统的动力学模型；
基于所述的欧拉-伯努利梁系统，构建基于反步迭代学习的边界控制器，所述边界控制器包括虚拟控制量、反步项及迭代项；
基于所述的欧拉-伯努利梁系统和边界控制器，构建欧拉-伯努利梁系统的Lyapunov函数；
根据所述的Lyapunov函数，验证所述的欧拉-伯努利梁系统的稳定性；
当判断所述的欧拉-伯努利梁系统在基于反步迭代学习的边界控制器的作用下能满足预设的稳定性要求时，用仿真软件对所述的欧拉-伯努利梁系统进行数字仿真，得到仿真结果；
若仿真结果得到的控制效果符合预期，则保留所构建的基于反步迭代学习的边界控制器的增益参数，结束该操作；
若仿真结果得到的不符合预期，则修正所构建的基于反步迭代学习的边界控制器的增益参数，重新进行数字仿真。
进一步地，所述的动力学特征包括欧拉-伯努利梁的动能、势能以及非保守力对所述的欧拉-伯努利梁系统所做的虚功，将动能、势能、虚功代入哈密顿原理，得到欧拉-伯努利梁系统为：
Figure BDA0002144583740000031
其中，
Figure BDA0002144583740000032
分别表示w(x，t)对时间的一次导数和二次导数， w′(x，t)、w″(x，t)、w″′(x，t)、w″″(x，t)分别表示w(x，t)对x的一次导数、二次导数、三次导数和四次导数；
边界条件如下：
Figure BDA0002144583740000033
其中，
Figure BDA0002144583740000034
L为欧拉-伯努利梁的长度，ρ为欧拉-伯努利梁的单位长度均匀质量，EI为欧拉-伯努利梁的弯曲刚度，T为欧拉-伯努利梁的张力，Ms为末端负载的质量，w(x，t)为在xoy坐标系下在时间t位置为x时欧拉-伯努利梁的弹性形变，
Figure BDA0002144583740000035
进一步地，所述的虚拟控制量为
α(t)＝-k1w′(L，t)+k2w″′(L，t)；
所述的反步项为
Figure BDA0002144583740000036
其中，
Figure BDA0002144583740000037
分别为w′(L，t)、w″′(L，t)对时间的一次导数。
Figure BDA0002144583740000038
为迭代学习项；
所述的迭代学习项为
Figure BDA0002144583740000039
其中，β、γ、η、k1、k2、k3为所述控制器的增益参数，β、γ、η、k1、 k2、k3的值均大于0，误差变量为z2(t)＝y2(t)-α(t)，
Figure BDA00021445837400000310
分别表示第k次迭代项及其上一次迭代项，z2，k(t)表示第k次误差变量值。
进一步地，所述的基于所述的欧拉-伯努利梁系统和虚拟控制量、反步项及迭代项，构建欧拉-伯努利梁系统的Lyapunov函数，具体如下：
(1)根据虚拟控制量，构建Lyapunov函数为：
V1(t)＝Va(t)+Vb(t)；
其中，
Figure BDA0002144583740000041
(2)根据反步项，构建Lyapunov函数为：
Figure BDA0002144583740000042
(3)根据迭代学习项，构建闭环欧拉-伯努利梁系统的Lyapunov函数为：
Figure BDA0002144583740000043
进一步地，根据所述的Lyapunov函数，验证所述的欧拉-伯努利梁系统模型的稳定性，具体如下：
通过验证Lyapunov函数的正定性，得出所述的拉-伯努利梁系统符合 Lyapunov意义下的稳定；
通过验证Lyapunov函数一阶导数的负定性，得出所述的欧拉-伯努利梁系统符合渐进稳定。
进一步地，所述的若仿真结果得到的不符合预期，则修正控制器的增益参数，重新进行数字仿真，具体为：
修正控制器的增益参数，根据所述的增益参数验证所述的Lyapunov函数的正定性和Lyapunov函数一阶导数的负定性，并利用MATLAB仿真软件对所述的欧拉-伯努利梁系统进行数字仿真。
进一步地，所述的仿真结果包括欧拉-伯努利梁无控制作用的振动幅值与有控制作用时不同迭代次数的振动幅值，以及欧拉-伯努利梁的边界振动幅值最大误差与迭代次数的关系。
本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：
本发明提出了一种基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法，与传统的控制方法相比，基于反步迭代学习的控制方法仅需较少的先验知识和计算量，且适应性强，易于实现。本发明所设计的控制器包含了虚拟控制量、反步项及迭代项，通过反复应用先前试验得到的信息来产生期望输出的控制输入，有效改善欧拉-伯努利梁的控制质量。而且随着迭代次数的增加，欧拉-伯努利梁的弹性形变明显降低，并不断趋近于零，这说明所设计的控制器具有很好的控制效果，有利于提高其在工业中的控制精度。
附图说明
图1是本发明实施例提供的针对欧拉-伯努利梁的基于反步迭代学习的振动控制方法的流程示意图；
图2是本发明实施例的另一个流程示意图；
图3是本发明实施例中欧拉-伯努利梁系统的结构示意图；
图4是本发明实施例中未施加控制的欧拉-伯努利梁的弹性形变w(x，t) 仿真结果示意图；
图5是本发明实施例中施加控制后，迭代次数k＝15的欧拉-伯努利梁的弹性形变wk(x，t)的仿真结果示意图；
图6是本发明实施例中施加控制后，迭代次数k＝35的欧拉-伯努利梁的弹性形变wk(x，t)的仿真结果示意图；
图7是本发明实施例中的施加控制后，欧拉-伯努利梁的边界弹性形变 wk(L，t)的最大误差与迭代次数k的关系示意图。
具体实施方式
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
实施例
参阅图1，图1是本发明实施例公开的基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法的流程示图，包括以下步骤：
S101、根据欧拉-伯努利梁动力学特征，构建欧拉-伯努利梁系统的动力学模型。
如附图3所示，一种典型的欧拉-伯努利梁系统，其柔性梁的左侧边界固定于坐标原点，而边界控制器u(t)和外部未知扰动d(t)作用于柔性梁的右侧。柔性梁长度为L，其振动偏移量为w(x，t)。
欧拉-伯努利梁式结构的动力学方程如下：
Figure BDA0002144583740000061
其中，
Figure BDA0002144583740000062
分别表示w(x，t)对时间的一次导数和二次导数， w′(x，t)、w″(x，t)、w″′(x，t)、w″″(x，t)分别表示w(x，t)对x的一次导数、二次导数、三次导数和四次导数。
边界条件如下：
Figure BDA0002144583740000063
其中，x∈[0，L]为欧拉-伯努利梁的各个位置，t∈[0，∞)为时间，L为欧拉-伯努利梁的长度，ρ为欧拉-伯努利梁的单位长度均匀质量，EI为欧拉-伯努利梁的弯曲刚度，T为欧拉-伯努利梁的张力，Ms为末端负载的质量， w(x，t)为在xoy坐标系下在时间t位置为x时欧拉-伯努利梁的弹性形变。
S102、基于所述的欧拉-伯努利梁系统，构建基于反步迭代学习的边界控制器，所述边界控制器包括虚拟控制量、反步项及迭代项。
为了减少或消除欧拉-伯努利梁的振动，提出基于反步迭代学习的边界振动控制方法。具体为：
将所提出的欧拉-伯努利梁的动力学模型改写为状态空间表达式如下
Figure BDA0002144583740000071
(1)设计虚拟控制量，具体为：
给出误差变量的定义为
z2(t)＝y2(t)-α(t) (4)
其中，α(t)为y2(t)的虚拟控制量。虚拟控制量α(t)设计为
α(t)＝-k1w′(L，t)+k2w″′(L，t) (5)
(2)设计反步项，具体为：
反步项的设计与之后的迭代学习相关，主要是为了抑制扰动d(t)及限制误差z2(t)在0的足够小的邻域内。
求式(4)对时间的导数为：
Figure BDA0002144583740000072
设计控制输入u(t)为：
Figure BDA0002144583740000081
其中，
Figure BDA0002144583740000082
分别为w′(L，t)、w″′(L，t)对时间的一次导数。
Figure BDA0002144583740000083
为迭代学习项。
(3)设计迭代学习项，具体为：
基于上文的欧拉-伯努利梁动力学模型，进行迭代学习项的设计。
设计迭代学习项如下
Figure BDA0002144583740000084
其中，k代表第k次迭代，η表示学习率。
Figure BDA0002144583740000088
分别表示第k次迭代项及其上一次迭代项，z2，k(t)表示第k次误差变量值。
以上所有信号均可通过传感器或计算得到，并直接利用z2，k(t)作为实时反馈量去更新迭代项
Figure BDA0002144583740000085
S103、基于欧拉-伯努利梁系统和边界控制器，构建欧拉-伯努利梁系统的Lyapunov函数；
根据虚拟控制量，构建Lyapunov函数为
V1(t)＝Va(t)+Vb(t) (9)
其中，Va(t)和Vb(t)分别为
Figure BDA0002144583740000086
根据反步项，构建Lyapunov函数为
Figure BDA0002144583740000087
根据迭代学习项，构建闭环欧拉-伯努利梁系统的Lyapunov函数为
Figure BDA0002144583740000091
其中，
Figure BDA0002144583740000092
定义σk(t)＝D sgn(zk(t))，
Figure BDA0002144583740000093
是对σk(t)的估计值。
S104、根据Lyapunov函数，验证欧拉-伯努利梁系统的稳定性；该步骤直接利用李雅普诺夫直接法证明验证欧拉-伯努利梁系统的稳定性。
本实施例中，欧拉-伯努利梁系统满足预设要求，即通过验证Lyapunov 函数的正定性，得出欧拉-伯努利梁系统符合Lyapunov意义下的稳定；
通过验证Lyapunov函数一阶导数的负定性，得出欧拉-伯努利梁系统符合渐进稳定。
本实施例中，验证Lyapunov函数的正定性，方法如下：
根据不等式
Figure BDA0002144583740000094
可以得到
Figure BDA0002144583740000095
根据式(7)可以得到Lyapunov函数为正定的，即
0＜μ1Va(t)≤V1(t)≤μ2Va(t) (14)
其中，μ1与μ2分别为
Figure BDA0002144583740000096
Lyapunov函数V1(t)的正定性得证。
验证Lyapunov函数一阶导数的负定性，具体为
求V1(t)对时间的导数为
Figure BDA0002144583740000097
分别对式(6)中的Va(t)和Vb(t)求时间的导数，可得
Figure BDA0002144583740000101
与
Figure BDA0002144583740000102
最终相加得到
Figure BDA0002144583740000103
为
Figure BDA0002144583740000104
考虑Lyapunov函数为
Figure BDA0002144583740000105
求Lyapunov函数V2(t)对时间的导数，当δ1＞0，可得
Figure BDA0002144583740000106
其中，Λ为
Figure BDA0002144583740000107
选择合适的参数如下
Figure BDA0002144583740000108
使得Λ≥0。
考虑闭环系统的Lyapunov函数为
Figure BDA0002144583740000111
求其对时间的导数
Figure BDA0002144583740000112
其中，
Figure BDA0002144583740000113
假设
Figure BDA0002144583740000114
可得
Figure BDA0002144583740000115
从上式可说明
Figure BDA0002144583740000116
V0(t)是连续有界的，所以w0(x，t)、
Figure BDA0002144583740000117
Figure BDA0002144583740000118
是有界的。
从式(21)，可以得到
Figure BDA0002144583740000119
根据(23)，可得
Figure BDA00021445837400001110
从上式可知，每次迭代wk(x，t)、w′k(x，t)、w″k(x，t)和
Figure BDA00021445837400001111
在
Figure BDA00021445837400001112
条件下是有界的。
若Vk(tn)是一个非递增序列，且Vk(t)为正，可以得到
Figure BDA00021445837400001113
其证明如下：
将V2，k(t)改写为
Figure BDA00021445837400001114
求其增量为
Figure BDA0002144583740000121
由上式可知，V2，k(t)是一个非递增序列。因为V0(t)是有界的，所以Vk(t) 是正的且为连续的。
然后，可以得到当k→∞时，
Figure BDA0002144583740000122
Figure BDA0002144583740000123
因而，当
Figure BDA0002144583740000124
时，
Figure BDA0002144583740000125
Figure BDA0002144583740000126
成立。
根据以上的分析，基于反步迭代学习振动控制的欧拉-伯努利梁系统的稳定性得证。
S105、当判断欧拉-伯努利梁系统在所提出的基于反步迭代学习控制方法条件下满足预设的稳定性要求时，利用MATLAB仿真软件对欧拉-伯努利梁系统进行数字仿真，得到仿真结果。
S106、根据仿真结果，验证对欧拉-伯努利梁系统施加控制动作的控制效果是否符合预期；若所述控制效果符合预期，则保存所设计的边界控制器的增益参数，结束该操作；若所述控制效果不符合所述预期，则修正所设计的边界控制器的增益参数，重新进行数字仿真。
需要说明的是，请参阅图2和图3，图2为基于本发明实施例的另一个流程图。图3为本发明实施例中的欧拉-伯努利梁系统示意图。如图2所示，若所述控制效果不符合预期，则修正所构建的边界控制器增益参数，重新进行数字仿真，具体为：
修正所构建的边界控制器的增益参数，根据所述增益参数验证所述 Lyapunov函数的正定性和Lyapunov函数一阶导数的负定性，并利用 MATLAB仿真软件对所述欧拉-伯努利梁系统进行数字仿真。根据仿真结果判断欧拉-伯努利梁的振动是否满足要求，如果不能满足，重新调整控制器的增益参数k1，k2，k3，β，γ，η。如果满足要求，则结束。
在本实施例中，请参阅图4，图4为本发明实施例中的未施加控制的欧拉-伯努利梁系统的弹性形变wk(x，t)仿真结果示意图。在未施加控制时，欧拉-伯努利梁各处均存在振动(横向位移)。
在本实施例中，请参阅图5，图5为本发明实施例中施加控制作用后，迭代次数k＝15的欧拉-伯努利梁系统的弹性形变wk(x，t)仿真结果示意图。当施加控制后，其各个位置的横向位移的最大偏差不超过0.015m，在t＝20s 后，欧拉-伯努利梁的横向位移趋于相对平稳，振幅在平衡位置附近。
在本实施例中，请参阅图6，图6为本发明实施例中施加控制作用后，迭代次数k＝35的欧拉-伯努利梁系统的弹性形变wk(x，t)仿真结果示意图。当施加控制后，其各个位置的横向位移是一个很小的值，横向位移的最大偏差不超过4×10-4m，在t＝20s后，欧拉-伯努利梁的横向位移趋于相对平稳，振幅在平衡位置附近。由图5与图6对比可知，在一定范围内，随着迭代次数的增大，欧拉-伯努利梁的横向位移的最大误差也会降低。
在本实施例中，请参阅图7，图7为本发明实施例中的施加控制后，欧拉-伯努利梁的边界弹性形变wk(L，t)的最大误差与迭代次数k的关系示意图。随着迭代次数的增加，wk(L，t)的最大误差值随之减小，并趋近于零。
综上所述，本实施例提供了一种基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法，包括构建欧拉-伯努利梁的动力学模型；根据欧拉-伯努利梁系统，构建基于反步迭代学习的边界控制器，包括虚拟控制量的设计、反步项的设计、迭代项的设计；在控制作用下验证欧拉-伯努利梁系统的稳定性；利用MATLAB仿真软件对欧拉-伯努利梁系统进行数字仿真，得到仿真结果；根据仿真结果，验证对欧拉-伯努利梁系统施加控制作用后的控制效果是否达到预期；若控制效果不符合预期，则根据仿真结果修正所述控制器的增益参数，使之具有较好的抑制振动效果。本发明能够实现欧拉 -伯努利梁系统更稳定、精确的控制。
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法，其特征在于，所述的振动控制方法包括下列步骤：
根据欧拉-伯努利梁的动力学特征，构建欧拉-伯努利梁系统的动力学模型；
基于所述的欧拉-伯努利梁系统，构建基于反步迭代学习的边界控制器，所述边界控制器包括虚拟控制量、反步项及迭代项；
基于所述的欧拉-伯努利梁系统和边界控制器，构建欧拉-伯努利梁系统的Lyapunov函数；
根据所述的Lyapunov函数，验证所述的欧拉-伯努利梁系统的稳定性；
当判断所述的欧拉-伯努利梁系统在基于反步迭代学习的边界控制器的作用下能满足预设的稳定性要求时，用仿真软件对所述的欧拉-伯努利梁系统进行数字仿真，得到仿真结果；
若仿真结果得到的控制效果符合预期，则保留所构建的基于反步迭代学习的边界控制器的增益参数，结束该操作；
若仿真结果得到的不符合预期，则修正所构建的基于反步迭代学习的边界控制器的增益参数，重新进行数字仿真；其中，所述的动力学特征包括欧拉-伯努利梁的动能、势能以及非保守力对所述的欧拉-伯努利梁系统所做的虚功，将动能、势能、虚功代入哈密顿原理，得到欧拉-伯努利梁系统为：
Figure FDA0002769005590000011
其中，
Figure FDA0002769005590000012
分别表示w(x,t)对时间的一次导数和二次导数，w'(x,t)、w”(x,t)、w”'(x,t)、w””(x,t)分别表示w(x,t)对x的一次导数、二次导数、三次导数和四次导数；
边界条件如下：
Figure FDA0002769005590000021
其中，
Figure FDA0002769005590000022
L为欧拉-伯努利梁的长度，ρ为欧拉-伯努利梁的单位长度均匀质量，EI为欧拉-伯努利梁的弯曲刚度，T为欧拉-伯努利梁的张力，Ms为末端负载的质量，w(x,t)为在xoy坐标系下在时间t位置为x时欧拉-伯努利梁的弹性形变，
Figure FDA0002769005590000023
所述的虚拟控制量为
α(t)＝-k1w'(L,t)+k2w”'(L,t)；
所述的反步项为
Figure FDA0002769005590000024
其中，
Figure FDA0002769005590000025
分别为w'(L,t)、w”'(L,t)对时间的一次导数，
Figure FDA0002769005590000026
为迭代学习项；
所述的迭代学习项为
Figure FDA0002769005590000027
其中，β、γ、η、k1、k2、k3为所述控制器的增益参数，β、γ、η、k1、k2、k3的值均大于0，误差变量为z2(t)＝y2(t)-α(t)，
Figure FDA0002769005590000028
分别表示第k次迭代项及其上一次迭代项，z2,k(t)表示第k次误差变量值。
2.根据权利要求1所述的基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法，其特征在于，所述的基于所述的欧拉-伯努利梁系统和虚拟控制量、反步项及迭代项，构建欧拉-伯努利梁系统的Lyapunov函数，具体如下：
(1)根据虚拟控制量，构建Lyapunov函数为：
V1(t)＝Va(t)+Vb(t)；
其中，
Figure FDA0002769005590000031
(2)根据反步项，构建Lyapunov函数为：
Figure FDA0002769005590000032
(3)根据迭代学习项，构建闭环欧拉-伯努利梁系统的Lyapunov函数为：
Figure FDA0002769005590000033
3.根据权利要求1所述的基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法，其特征在于，根据所述的Lyapunov函数，验证所述的欧拉-伯努利梁系统模型的稳定性，具体如下：
通过验证Lyapunov函数的正定性，得出所述的拉-伯努利梁系统符合Lyapunov意义下的稳定；
通过验证Lyapunov函数一阶导数的负定性，得出所述的欧拉-伯努利梁系统符合渐进稳定。
4.根据权利要求1所述的基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法，其特征在于，所述的若仿真结果得到的不符合预期，则修正控制器的增益参数，重新进行数字仿真，具体为：
修正控制器的增益参数，根据所述的增益参数验证所述的Lyapunov函数的正定性和Lyapunov函数一阶导数的负定性，并利用MATLAB仿真软件对所述的欧拉-伯努利梁系统进行数字仿真。
5.根据权利要求1至4任一所述的基于反步迭代学习的欧拉-伯努利梁的振动控制方法，其特征在于，
所述的仿真结果包括欧拉-伯努利梁无控制作用的振动幅值与有控制作用时不同迭代次数的振动幅值，以及欧拉-伯努利梁的边界振动幅值最大误差与迭代次数的关系。
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