CN110397714A - 基于给定相对曲率的齿轮共轭齿廓设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于给定相对曲率的齿轮共轭齿廓设计方法，对于接触齿轮廓之间的任何给定的相对曲率，可以先将其转化为经典的三体系统，在辅助体上选取一生成点。然后，保证三体的瞬心处于重合状态，在辅助体上的生成点将以设定的相对曲率追踪并得到其他两齿轮啮合时产生的完全共轭齿廓。由于曲线的相对曲率会直接影响到齿轮齿廓间的接触应力，故如果将共轭曲线用作齿轮的齿形，相对曲率将成为决定赫兹接触应力的基本几何性质。由于如何合成具有所需相对曲率的齿廓对于发现低接触应力齿廓来说至关重要，本设计方法因此而产生。采用本设计方法，可设计出给定相对曲率及啮合压力角的共轭曲线，简易方便，具有较高的应用价值。

Description

基于给定相对曲率的齿轮共轭齿廓设计方法

技术领域

本发明涉及基于给定相对曲率的齿轮共轭齿廓设计方法，属齿轮齿形设计技术领域。

背景技术

现代齿轮工业建立在使用渐开线圆齿轮齿廓上，渐开线齿轮通常被用作动力传输的标准部件。虽然近年来发展的W-N轮廓，以及Logix轮廓较传统的渐开线齿廓在承载能力以及耐点蚀耐腐蚀性能上有较大的提升，但由于其凸-凸啮合接触的特性，以及固有的共轭曲线成形理论，齿廓的承载能力一直得不到较大的提升。如果将共轭曲线用作齿轮的齿形，相对曲率将成为决定赫兹接触应力的基本几何性质。因此，如何合成具有所需相对曲率的齿廓对于发现低接触应力齿廓来说是至关重要的。

中国发明专利“一种基于B样条啮合线的内啮合齿轮齿形设计方法”(201610346340.9) 所公开的，是利用B样条构造啮合线，通过改变控制顶点的位置坐标，可方便的调整啮合线形状，在内啮合齿轮共轭齿廓的几何形状设计及啮合性能设计上具有很大的自由性，然而该方法却存在一定的局限性与不足，首先该方法设计的曲线针对内啮合齿轮齿廓，其次该方法设计的曲线是通过优化算法逼进完全共轭齿廓，并非完全共轭；中国发明专利“高阶变性偏心圆齿轮及其共轭非圆齿轮副的设计方法”(201410528341.6)是：首先建立高阶变性偏心圆齿轮及其共轭非圆齿轮副的节曲线方程，并利用数值方法计算中心距；然后校验节曲线凹凸性，求解插齿法加工齿轮不根切情况下的最大模数，计算压力角变化范围，校验最大压力角值，计算高阶变性偏心圆齿轮及其共轭非圆齿轮副啮合时的重合度。所述方法为高阶变性偏心圆齿轮及其共轭非圆齿轮的实际应用中提供了设计理论基础，有利于高阶变性偏心圆齿轮及其共轭非圆齿轮的推广使用，但该方法同样存在一定的局限性与不足，首先该设计方法主要针对偏心圆齿轮及其共轭非圆齿轮副，其次该设计方法是由给定的偏心圆齿廓及其位置运动方程计算共轭非圆齿轮副的齿廓，设计的共轭齿廓并没有考虑其承载性能与啮合性能。

综上所述，有必要利用一个新的共轭曲率理论，为三体系统合成给定相对曲率的新共轭曲线，并将这种共轭曲率理论应用于三体系统，以求在联动运动学和齿轮运动学之间获得突破，并采用曲率理论来解决相对曲率的新齿轮齿廓设计问题。

发明内容

本发明目的是针对背景技术提出问题，公开了基于给定相对曲率的齿轮共轭齿廓设计方法，是一种对于给定相对曲率的共轭齿廓设计的方法，其理论依据是：对于接触齿轮廓之间的任何给定的相对曲率，可以先将其转化为经典的三体系统，在辅助体上选取一生成点并保证三体的瞬心处于重合状态，然后，在辅助体上的生成点将以设定的相对曲率追踪并得到其他两齿轮啮合时产生的完全共轭齿廓。由于曲线的相对曲率会直接影响到齿轮齿廓间的接触应力，故如果将共轭曲线用作齿轮的齿形，相对曲率将成为决定赫兹接触应力的基本几何性质。因此，如何合成具有所需相对曲率的齿廓对于发现低接触应力齿廓来说是至关重要，本发明技术方案正是基于此而提出。

本发明的技术方案是：

基于给定相对曲率的齿轮共轭齿廓设计方法，是一种对于给定相对曲率的共轭齿廓设计的方法，包括如下步骤：

步骤一：三体正交坐标系的初步建立

设定：在共轭定理中的三个刚体分别为Σ2，Σ3和Σ4；同时设定：Σ2，Σ3和Σ4也代表这三个刚体的运动中心控制点，G点为刚体Σ4上的生成点，G点的坐标为(x，y)，由此得到的曲线φ₂为Σ4和Σ2刚体在运动时G点的轨迹曲线、曲线φ₃为Σ4和Σ3刚体在运动时G点的轨迹曲线；由三体的共轭曲线定理可知，Σ2和Σ3两刚体在做纯滚动运动时，曲线φ₂和φ₃是完全共轭的；由此设定：S₂(O₂：X₂，Y₂)、S₃(O₃：X₃，Y₃)、S₄(o：x，y)分别为固定在刚体Σ2、Σ3和Σ4上的坐标系，当刚体Σ4相对刚体Σ2运动时，曲线φ₂可表示为：

公式(1)中：为刚体啮合绕原点转动的角度，为自变量；和则为的函数，其中：是指刚体Σ4相对刚体Σ2的原点X轴坐标，是指刚体Σ4相对刚体Σ2的原点Y轴坐标。

同理，当刚体Σ4相对Σ3运动时，曲线φ₂可以表示为：

公式(2)中：式中为刚体啮合绕原点转动的角度；和则为的函数，其中：是指刚体Σ4相对刚体Σ3的原点X轴坐标，是指刚体Σ4相对刚体Σ3的原点Y 轴坐标。

步骤二：三体典范坐标系的建立

对公式(1)和(2)分别进行二次求导得到：

刚体运动的开始时刻，即时，有：

公式(5)中，X₂₀、Y₂₀分别为在时刚体Σ2的原点X轴坐标与Y轴坐标。X₂₁、Y₂₁、X₂₂、 Y₂₂则分别为时刚体Σ2的原点X轴坐标与Y轴坐标的一阶导数与二阶导数。X₃₀、Y₃₀分别为在时刚体Σ3的原点X轴坐标与Y轴坐标。X₃₁、Y₃₁、X₃₂、Y₃₂则分别为时刚体Σ3的原点X轴坐标与Y轴坐标的一阶导数与二阶导数，a₂₀、b₂₀分别为在时刚体Σ4相对Σ2的原点X轴坐标与Y轴坐标。a₂₁、、b₂₁、a₂₂b₂₂则分别为时刚体Σ4相对Σ2的原点X轴坐标与Y轴坐标的一阶导数与二阶导数。a₃₀、b₃₀分别为在时刚体Σ4相对Σ 3的原点X轴坐标与Y轴坐标。a₃₁、、b₃₁、a₃₂b₃₂则分别为时刚体Σ4相对Σ3的原点X 轴坐标与Y轴坐标的一阶导数与二阶导数。

现引入经典的三体系统S_c(O_c:X_c,)Y_c,其中：S_c为坐标系，O_c为坐标系原点，X_c、Y_c分别表示坐标系的X轴与Y轴，首先令刚体坐标系S₂,S₃,S₄的原点重合，将有：

a₂₀＝a₃₀＝b₂₀＝b₃₀＝0 (6)

其次令：O_c与三个刚体的共同瞬心I重合，有：

a₂₁＝a₃₁＝b₂₁＝b₃₁＝0 (7)

然后令：Y_c坐标轴的方向与刚体Σ4和Σ2的瞬心加速度方向一致，X_c坐标轴的方向与刚体Σ4和Σ3的瞬心加速度方向一致，则有：

将公式(6)、公式(7)代入公式(5)中，可知在三体典范坐标系中有：

在公式(9)中，b₂₂和b₂₃被称为三个刚体共轭运动的二阶瞬时不变量，如果角速度以单位角速度给出，则在规范坐标系中，Σ4和Σ2的瞬时中心I₁的速度和加速度分别为： v₂(0,0),a₂(0,b₂₂)。同理，Σ3和Σ2中的瞬时中心I的速度和加速度分别为 v₃(0,0),a₃(0,b₃₂)。对于任意给定的三个中心Σ2，Σ3和Σ4，可以从中心点滚动和坐标转换的运动学分析中求解一组独特的瞬时不变量。

步骤三：特定相对曲率轮廓曲线的建立

对于由三个刚体共轭运动产生的共轭曲线，相对曲率将成为决定赫兹接触应力的基本几何性质。因此，如何合成具有所需相对曲率的齿廓，对于发现低接触应力齿廓来说是至关重要。定义曲线φ₂和φ₃的相对曲率为：

k₂₃＝||k₂|±|k₃|| (10)

公式(10)中，k₂₃表示曲线φ₂和φ₃的相对曲率，k₂表示曲线φ₂的曲率，k₃表示曲线φ₃的曲率。

根据数学定义的曲率，曲线φ₂和φ₃的曲率半径分别为：

联合公式(10)和(11)可得：

公式(11)中，ρ₂、ρ₃分别表示曲线φ₂和φ₃的曲率半径。

对于任何给定的相对曲率k₂₃，公式(11)中的方程定义了刚体中的生成元素G(x，y)的所有可能位置，它跟踪给定相对曲率k₂₃的共轭曲线。在三体曲率理论中，相对曲率等值线也可以看作是二体曲率理论ρ曲线的类比。因此根据公式(12)可画出相对曲率轮廓k₂₃的曲线。

相对曲率轮廓k₂₃曲线显示了生成点G位置的等值线。如果选择点G作为同一等值线上的不同点，则其共轭轨迹将具有相同的相对曲率k₂₃。亦即通过相对曲率轮廓的引导，可以找到具有相同相对曲率的无限共轭曲线对，若考虑啮合压力角因素，则G点将不再为k₂₃曲线上的任意一点，G点可由与水平直线的夹角为α的直线l_α与k₂₃曲线相交得到。G点分别跟踪刚体Σ4与刚体Σ2的相对滚动，以及刚体Σ4与刚体Σ3的相对滚动生成曲线φ₂φ₃。由三体曲

率理论可知，曲线φ₂φ₃即为满足相对曲率以及啮合压力角的完全共轭曲线。

本发明有益效果是：

(1)本发明提出了一种新共轭曲线设计方法，该方法可设计出给定相对曲率及啮合压力角的共轭曲线，简易方便。

(2)本发明提供的方法改变了共轭曲线设计方式，提供了一种新思路，具有较高的应用价值。

附图说明

图1是本发明实施例的三体曲率理论原理图；

图2是本发明实施例的三体经典坐标系示意图；

图3是本发明实施例的共轭曲线生成图示意图。

附图中标记说明：

Xc表示平面直角坐标的X轴、Yc表示Y轴、Oc(I)表示坐标原点(同时也是接触点)，Σ2、Σ3和Σ4表示三个刚体，同时：Σ2、Σ3和Σ4也代表这三个刚体的运动中心控制点，G表示为刚体Σ4上的生成点，G点的坐标为(x，y)，φ₂为刚本Σ4和刚体Σ2在运动时G点的轨迹曲线，φ₃为刚本Σ4和刚体Σ3在运动时G点的轨迹曲线。R₂,R₃,r₄分别代表刚体Σ2、Σ 3和Σ4的半径。

l_α代表通过接触点Oc(I)点并与水平方向夹角α的一条直线，α代表该直线与X轴的夹角， K₂₃代表过接触点Oc(I)曲率为k₂₃的线段。

具体实施方式

以下结合附图对本发明实施例作进一步说明，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的量纲。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制，凡在本发明的精神和原则之内所做的任何修改、等同替换或改进等，均应包含在本发明的权利要求范围之内，本技术方案中未详细述及的，均为公知技术。

参见图1～图3，本发明是指一种基于给定相对曲率的齿轮共轭齿廓设计方法，为了便于本领域普通技术人员理解和实施本发明，下面结合附图及实施例对本发明作进一步的详细描述，应当理解，此处所描述的实施示例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明的具体实现包括以下步骤：

步骤一：三体正交坐标系建立

设定：在共轭定理中的三个刚体分别为Σ2，Σ3和Σ4；同时设定：Σ2，Σ3和Σ4也代表这三个刚体的运动中心控制点，G点为刚体Σ4上的生成点，G点的坐标为(x，y)，由此得到的曲线φ₂为Σ4和Σ2刚体在运动时G点的轨迹曲线、曲线φ₃为Σ4和Σ3刚体在运动时G点的轨迹曲线；由三体的共轭曲线定理可知，Σ2和Σ3两刚体在做纯滚动运动时，曲线φ₂和φ₃是完全共轭的；由此设定：S₂(O₂：X₂，Y₂)、S₃(O₃：X₃，Y₃)、S₄(o：x，y)分别为固定在刚体Σ2、Σ3和Σ4上的坐标系，当刚体Σ4相对刚体Σ2运动时，曲线φ₂可表示为：

公式(1)中：为刚体啮合绕原点转动的角度，为自变量；和则为的函数，其中：是指刚体Σ4相对刚体Σ2的原点X轴坐标，是指刚体Σ4相对刚体Σ2的原点Y轴坐标。

同理，当刚体Σ4相对Σ3运动时，曲线φ₂可以表示为：

公式(2)中：式中为刚体啮合绕原点转动的角度；和则为的函数，其中：是指刚体Σ4相对刚体Σ3的原点X轴坐标，是指刚体Σ4相对刚体Σ3的原点Y轴坐标。

步骤二：求解瞬时不变量

对公式(1)和(2)分别进行二次求导得到：

刚体运动的开始时刻，即时，有：

公式(5)中，X₂₀、Y₂₀分别为在时刚体Σ2的原点X轴坐标与Y轴坐标。X₂₁、Y₂₁、X₂₂、Y₂₂则分别为时刚体Σ2的原点X轴坐标与Y轴坐标的一阶导数与二阶导数。X₃₀、Y₃₀分别为在时刚体Σ3的原点X轴坐标与Y轴坐标。X₃₁、Y₃₁、X₃₂、Y₃₂则分别为时刚体Σ3的原点X轴坐标与Y轴坐标的一阶导数与二阶导数，a₂₀、b₂₀分别为在时刚体Σ4相对Σ2 的原点X轴坐标与Y轴坐标。a₂₁、、b₂₁、a₂₂b₂₂则分别为时刚体Σ4相对Σ2的原点X轴坐标与Y轴坐标的一阶导数与二阶导数。a₃₀、b₃₀分别为在时刚体Σ4相对Σ3的原点X 轴坐标与Y轴坐标。a₃₁、、b₃₁、a₃₂b₃₂则分别为时刚体Σ4相对Σ3的原点X轴坐标与Y 轴坐标的一阶导数与二阶导数。

现引入经典的三体系统S_c(O_c:X_c,)Y_c,其中：S_c坐标系，O_c为坐标系原点，X_c、Y_c分别表示坐标系的X轴与Y轴，首先令刚体坐标系S₂,S₃,S₄的原点重合，将有：

a₂₀＝a₃₀＝b₂₀＝b₃₀＝0(6)

其次令：O_c与三个刚体的共同瞬心I重合，有：

a₂₁＝a₃₁＝b₂₁＝b₃₁＝0 (7)

然后令：Y_c坐标轴的方向与刚体Σ4和Σ2的瞬心加速度方向一致，X_c坐标轴的方向与刚体Σ4和Σ3的瞬心加速度方向一致，则有：

将公式(6)、公式(7)代入公式(5)中，可知在三体典范坐标系中有：

在公式(9)中，b₂₂和b₂₃被称为三个刚体共轭运动的二阶瞬时不变量，如果角速度以单位角速度给出，则在规范坐标系中，Σ4和Σ2的瞬时中心I₁的速度和加速度分别为： v₂(0,0),a₂(0,b₂₂)。同理，Σ3和Σ2中的瞬时中心I₂的速度和加速度分别为 v₃(0,0),a₃(0,b₃₂)。对于任意给定的三个中心Σ2，Σ3和Σ4，可以从中心点滚动和坐标转换的运动学分析中求解一组独特的瞬时不变量。

刚体Σ4作为辅助体，其形状大小都会对生成的共轭曲线造成巨大影响。为简单起见且不失一般性，设定刚体Σ4为球体，设定该球体的半径为r4。如图2所示，对经典坐标系中的瞬时中心，进行动力学分析，刚体Σ4与刚体Σ2接触点Oc(I)的加速度a₂ ^I可由下式计算得出：

式中j_c为沿Y_c轴的单位向量，R₂,R₃,r₄分别代表刚体Σ2、Σ3和Σ4的半径。

同理，I也作为刚体Σ4与刚体Σ3接触点，加速度a₃ ^I可由下式计算得出：

式中R₃，r₄分别代表刚体Σ3和Σ4的半径。

通过先前对瞬时不变量的定义，可知瞬时不变量的取值为：

步骤三：共轭齿廓曲线求解

对于由三个刚体共轭运动产生的共轭曲线，相对曲率将成为决定赫兹接触应力的基本几何性质。因此，如何合成具有所需相对曲率的齿廓，对于发现低接触应力齿廓来说是至关重要。定义曲线φ₂和φ₃的相对曲率为：

k₂₃＝||k₂|±|k₃|| (10)

公式(10)中，k₂₃表示曲线φ₂和φ₃的相对曲率，k₂表示曲线φ₂的曲率，k₃表示曲线φ₃的曲率。

根据数学定义的曲率，曲线φ₂和φ₃的曲率半径分别为：

联合公式(10)和(11)可得：

公式(11)中，ρ₂、ρ₃分别表示曲线φ₂和φ₃的曲率半径。

对于任何给定的相对曲率k₂₃，公式(11)中的方程定义了刚体中的生成元素G(x，y)的所有可能位置，它跟踪给定相对曲率k₂₃的共轭曲线。

在图3的基础上，根据式(12)继续绘制出曲线曲率为k₂₃的图像K₂₃，选取啮合所需的压力角α，通过接触点Oc(I)并与水平方向夹角α做一条直线，与K₂₃图像交于一点，此点为符合压力角及相对曲率的点，即为共轭曲线的生成点G点。

G点分别跟踪刚体4与刚体2的相对滚动，以及刚体Σ4与刚体Σ3的相对滚动生成曲线φ₂、φ₃。由三体曲率理论可知，曲线φ₂、φ₃即为满足相对曲率以及啮合压力角的完全共轭曲线。

应当理解的是，本说明书未详细阐述的部分均属于现有技术。

应当理解的是，上述针对较佳实施例的描述较为详细，并不能因此而认为是对本发明专利保护范围的限制，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明权利要求所保护的范围情况下，还可以做出替换或变形，均落入本发明的保护范围之内，本发明的请求保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (1)

1.基于给定相对曲率的齿轮共轭齿廓设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一：三体正交坐标系的初步建立

设定：在共轭定理中的三个刚体分别为Σ2，Σ3和Σ4；同时设定：Σ2，Σ3和Σ4也代表这三个刚体的运动中心控制点，G点为刚体Σ4上的生成点，G点的坐标为(x，y)，由此得到的曲线φ₂为Σ4和Σ2刚体在运动时G点的轨迹曲线、曲线φ₃为Σ4和Σ3刚体在运动时G点的轨迹曲线；由三体的共轭曲线定理可知，Σ2和Σ3两刚体在做纯滚动运动时，曲线φ₂和φ₃是完全共轭的；由此设定：S₂(O₂：X₂，Y₂)、S₃(O₃：X₃，Y₃)、S₄(o：x，y)分别为固定在刚体Σ2、Σ3和Σ4上的坐标系，当刚体Σ4相对刚体Σ2运动时，曲线φ₂可表示为：

公式(1)中：为刚体啮合绕原点转动的角度，为自变量；和则为的函数，其中：是指刚体Σ4相对刚体Σ2的原点X轴坐标，是指刚体Σ4相对刚体Σ2的原点Y轴坐标；

同理，当刚体Σ4相对Σ3运动时，曲线φ₂可以表示为：

公式(2)中：式中为刚体啮合绕原点转动的角度；和则为的函数，其中：是指刚体Σ4相对刚体Σ3的原点X轴坐标，是指刚体Σ4相对刚体Σ3的原点Y轴坐标；

步骤二：三体典范坐标系的建立

对公式(1)和(2)分别进行二次求导得到：

刚体运动的开始时刻，即时，有：

公式(5)中，X₂₀、Y₂₀分别为在时刚体Σ2的原点X轴坐标与Y轴坐标；X₂₁、Y₂₁、X₂₂、Y₂₂则分别为时刚体Σ2的原点X轴坐标与Y轴坐标的一阶导数与二阶导数；X₃₀、Y₃₀分别为在时刚体Σ3的原点X轴坐标与Y轴坐标；X₃₁、Y₃₁、X₃₂、Y₃₂则分别为时刚体Σ3的原点X轴坐标与Y轴坐标的一阶导数与二阶导数，a₂₀、b₂₀分别为在时刚体Σ4相对Σ2的原点X轴坐标与Y轴坐标；a₂₁、a₂₂ b₂₂则分别为时刚体Σ4相对Σ2的原点X轴坐标与Y轴坐标的一阶导数与二阶导数；a₃₀、b₃₀分别为在时刚体Σ4相对Σ3的原点X轴坐标与Y轴坐标；a₃₁、a₃₂ b₃₂则分别为时刚体Σ4相对Σ3的原点X轴坐标与Y轴坐标的一阶导数与二阶导数；

现引入经典的三体系统其中：S_c坐标系，O_c为坐标系原点，X_c、Y_c分别表示坐标系的X轴与Y轴，首先令刚体坐标系S₂,S₃,S₄的原点重合，将有：

a₂₀＝a₃₀＝b₂₀＝b₃₀＝0 (6)

其次令：O_c与三个刚体的共同瞬心I重合，有：

a₂₁＝a₃₁＝b₂₁＝b₃₁＝0 (7)

然后令：Y_c坐标轴的方向与刚体Σ4和Σ2的瞬心加速度方向一致，X_c坐标轴的方向与刚体Σ4和Σ3的瞬心加速度方向一致，则有：

将公式(6)、公式(7)代入公式(5)中，可知在三体典范坐标系中有：

在公式(9)中，b₂₂和b₂₃被称为三个刚体共轭运动的二阶瞬时不变量，如果角速度以单位角速度给出，则在规范坐标系中，Σ4和Σ2的瞬时中心I₁的速度和加速度分别为：v₂(0,0),a₂(0,b₂₂)；同理，Σ3和Σ2中的瞬时中心I的速度和加速度分别为v₃(0,0),a₃(0,b₃₂)；对于任意给定的三个中心Σ2，Σ3和Σ4，可以从中心点滚动和坐标转换的运动学分析中求解一组独特的瞬时不变量；

步骤三：特定相对曲率轮廓曲线的建立

定义曲线φ₂和φ₃的相对曲率为：

k₂₃＝||k₂|±|k₃|| (10)

公式(10)中，k₂₃表示曲线φ₂和φ₃的相对曲率，k₂表示曲线φ₂的曲率，k₃表示曲线φ₃的曲率；

根据数学定义的曲率，曲线φ₂和φ₃的曲率半径分别为：

联合公式(10)和(11)可得：

公式(11)中，ρ₂、ρ₃分别表示曲线φ₂和φ₃的曲率半径；

对于任何给定的相对曲率k₂₃，公式(11)中的方程定义了刚体中的生成元素G(x，y)的所有可能位置，它跟踪给定相对曲率k₂₃的共轭曲线；由于在三体曲率理论中，相对曲率等值线也可以看作是二体曲率理论ρ曲线的类比，因此根据公式(12)可画出相对曲率轮廓k₂₃的曲线；

相对曲率轮廓k₂₃曲线显示了生成点G位置的等值线，如果选择点G作为同一等值线上的不同点，则其共轭轨迹将具有相同的相对曲率k₂₃，亦即通过相对曲率轮廓的引导，可以找到具有相同相对曲率的无限共轭曲线对，若考虑啮合压力角因素，则G点将不再为k₂₃曲线上的任意一点，G点可由与水平直线的夹角为α的直线l_α与k₂₃曲线相交得到；G点分别跟踪刚体Σ4与刚体Σ2的相对滚动，以及刚体Σ4与刚体Σ3的相对滚动生成曲线φ₂、φ₃，得到满足相对曲率以及啮合压力角的完全共轭曲线。