CN110232250B - 多层拓扑绝缘体结构的反射克尔极化偏转的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于光学技术领域，具体涉及多层拓扑绝缘体结构的反射克尔极化偏转的计算方法，包括以下步骤：S1、建立多层拓扑绝缘体结构的模型；S2、确定拓扑绝缘体的电磁特性；S3、确定电磁波在分界面上的边界条件；S4、计算多层拓扑绝缘体结构的传输矩阵；S5、计算多层拓扑绝缘体结构的反射系数；S6、计算所述模型下反射电磁波的克尔极化偏转。本发明通过传输矩阵法计算了多层拓扑绝缘体结构的反射电磁波的克尔极化偏转效应，能够准确地分析多层拓扑绝缘体结构的反射电磁波的克尔极化偏转特性；本发明能够准确地反映出入射角、材料的介电常数、拓扑绝缘体表面的磁化方向以及拓扑绝缘体层数等影响因素下反射电磁波的克尔极化偏转效应。

Description

多层拓扑绝缘体结构的反射克尔极化偏转的计算方法

技术领域

本发明属于光学技术领域，具体涉及多层拓扑绝缘体结构的反射克尔极化偏转的计算方法。

背景技术

在当前调控电磁波偏振态的研究中，主要是通过电磁波的反射和折射来改变入射电磁波的偏振态，而利用一些特殊材料的光学特性成为调控电磁波偏振态的重要途径。拓扑绝缘体(Topological insulator,TI)是一类时间反演对称性拓扑材料，拥有非平凡的电磁特性。入射电磁波在经过拓扑绝缘体的作用后，反射电磁波会发生克尔极化偏转，从而可以用于调控电磁波的偏振态。拓扑绝缘体的发展速度越来越快，在光学领域已经成为研究热点，现已发现并证实了多种三维拓扑绝缘体的存在。

目前对拓扑绝缘体的研究主要集中在其单界面的材料效应上，而多层拓扑绝缘体的结构可以将拓扑绝缘体上下两个表面的作用进行叠加，使得拓扑绝缘体对反射克尔极化偏转的作用进行累加，从而实现反射电磁波偏振态的完全极化偏转。

因此，对多层拓扑绝缘体的结构的研究是必要的。

发明内容

基于现有技术中存在的上述不足，本发明提供多层拓扑绝缘体结构的反射克尔极化偏转的计算方法。

为了达到上述发明目的，本发明采用以下技术方案：

多层拓扑绝缘体结构的反射克尔极化偏转的计算方法，包括以下步骤：

S1、建立多层拓扑绝缘体结构的模型；

S2、确定拓扑绝缘体的电磁特性；

S3、确定电磁波在分界面上的边界条件；

S4、计算多层拓扑绝缘体结构的传输矩阵；

S5、计算多层拓扑绝缘体结构的反射系数；

S6、计算所述模型下反射电磁波的克尔极化偏转。

作为优选方案，所述多层拓扑绝缘体结构的模型为拓扑绝缘体和常规绝缘体周期排列组合而成的多层结构；其中，入射介质为常规绝缘体，其介电常数和磁导率分别为ε₁和μ₁，三维拓扑绝缘体的介电常数和磁导率分别为ε₂和μ₂，三维拓扑绝缘体之间以及出射介质均为真空，介电常数和磁导率为ε＝μ＝1。

作为优选方案，所述步骤S2具体包括：

根据拓扑场论，在打破三维拓扑绝缘体表面的时间反演对称性之后，会产生拓扑磁电耦合效应，使得拓扑绝缘体拥有不平凡的电磁响应；根据拓扑场论，拓扑绝缘体中的传统电磁响应项为：

S₀＝∫dx³dt(ε₂E²-B²/μ₂) (1)；

其中，x表示坐标轴方向，t表示时间，E和B分别表示电场强度和磁感应强度。

与拓扑磁电耦合效应相关的电磁响应项为：

S_Θ＝(αΘ/4π²)∫dx³dtE·B (2)；

其中，α为精细结构常数，Θ为拓扑磁电极化率。

在拓扑磁电耦合效应的存在下，三维拓扑绝缘体的本构关系中要添加与拓扑磁电耦合效应相关的拓扑贡献项，表达式为：

其中，D和H分别表示电位移矢量和磁场强度。本构关系表征了拓扑绝缘体中电场和磁场分量之间的关系。

作为优选方案，所述步骤S3具体包括：

在拓扑绝缘体多层结构的分界面处，电场和磁场的各分量要满足在入射面切向方向上连续，在拓扑绝缘体多层结构的分界面处，电磁场的边界条件为：

其中，z表示分界面的法向量，E₁和H₁分别表示常规绝缘体中的电场和磁场，E₂和H₂分别表示三维拓扑绝缘体中的电场和磁场。

作为优选方案，所述步骤S4具体包括：

根据电磁场的边界条件，得到常规绝缘体和三维拓扑绝缘体在分界面上入射电场、反射电场和透射电场之间的方程组为：

其中，

θ＝cosθ₂/cosθ₁，θ₁和θ₂分别表示入射角和透射角，s(p)表示电场的垂直(平行)分量，+(-)表示入射(反射)的方向；由此可以得到电磁波在常规绝缘体和拓扑绝缘体分界面上的传递矩阵

为：

其中，

根据电磁波在介质内部传播的特性，得到第j层介质中电磁波的传播矩阵

为：

其中，i表示虚数单位，k_js表示电磁波在垂直方向上的波数，d_j表示第j层介质的厚度；

对于具有N层介质的周期性结构，整个多层结构的传输矩阵为传递矩阵与传播矩阵按多层结构的顺序依次相乘，得到总的传输矩阵M_N为：

其中，

表示出射介质为真空。

作为优选方案，所述步骤S5具体包括：

根据传输矩阵，得到反射系数的表达式为：

其中，M_ij(i,j＝1,2,3,4)表示传输矩阵M_N中的第i行第j列元素；r_ss和r_pp为直接反射系数，r_sp和r_ps为偏转反射系数，是反射电磁波产生克尔极化偏转的原因，来源于拓扑绝缘体的拓扑磁电耦合效应；当Θ＝0，偏转反射系数r_sp＝r_ps＝0，拓扑绝缘体的反射系数将简化为常规绝缘体的菲涅尔反射系数。

作为优选方案，所述步骤S6具体包括：

为了表征反射电磁波的克尔极化偏转，采用极化偏转率表示反射电磁波中偏转分量所占的比率；当s极化波入射时，极化偏转率的表达式为：

当直接反射系数r_ss＝0时,入射波中的s极化分量消失,其全部转化为反射波中的p极化分量,此时PCR＝1,表示发生了完全克尔极化偏转；

将步骤S5计算的反射系数代入到极化偏转率的表达式中，以分析反射电磁波的克尔极化偏转结果以及电场分量之间的转化情况。

本发明与现有技术相比，有益效果是：

1、本发明通过传输矩阵法计算了多层拓扑绝缘体结构的反射电磁波的克尔极化偏转效应，能够准确地分析多层拓扑绝缘体结构的反射电磁波的克尔极化偏转特性。

2、本发明能够准确地反映出入射角、材料的介电常数、拓扑绝缘体表面的磁化方向以及拓扑绝缘体层数等影响因素下反射电磁波的克尔极化偏转效应。

附图说明

图1为本发明实施例的多层拓扑绝缘体结构的反射克尔极化偏转的计算方法的流程图；

图2为本发明实施例的多层拓扑绝缘体模型的示意图(拓扑绝缘体TI表面覆盖薄磁层)；

图3为本发明实施例的多层拓扑绝缘体结构的反射克尔极化偏转的计算方法对应的系统输入输出示意图；

图4为本发明实施例的平行磁化时，直接反射系数随入射角的变化曲线图；

图5为本发明实施例的平行磁化时，偏转反射系数随入射角的变化曲线图；

图6为本发明实施例的平行磁化时，极化偏转率随入射角的变化曲线图；

图7为本发明实施例的反平行磁化时，直接反射系数随入射角的变化曲线图；

图8为本发明实施例的反平行磁化时，偏转反射系数随入射角的变化曲线图；

图9为本发明实施例的反平行磁化时，极化偏转率随入射角的变化曲线图；

图10为本发明实施例的平行磁化时，极化偏转率随层数的变化曲线图。

具体实施方式

为了更清楚地说明本发明实施例，下面将对照附图说明本发明的具体实施方式。

如图1所示，本发明实施例的多层拓扑绝缘体结构的反射克尔极化偏转的计算方法,包括以下六个步骤：

第一步：建立多层拓扑绝缘体结构的模型；

第二步：确定拓扑绝缘体的电磁特性；

第三步：确定电磁波在分界面上的边界条件；

第四步：求出多层拓扑绝缘体结构的传输矩阵；

第五步：求出多层拓扑绝缘体结构的反射系数；

第六步：求出此模型下反射电磁波的克尔极化偏转。

多层拓扑绝缘体结构的模型示意图如图2所示,拓扑绝缘体上下表面覆盖薄磁层。多层拓扑绝缘体结构的模型为拓扑绝缘体和常规绝缘体周期排列组合而成的多层结构；其中，入射介质为常规绝缘体，其介电常数和磁导率分别为ε₁和μ₁，三维拓扑绝缘体的介电常数和磁导率分别为ε₂和μ₂，三维拓扑绝缘体之间以及出射介质均为真空，介电常数和磁导率为ε＝μ＝1。

电磁波入射到多层拓扑绝缘体结构，经过拓扑绝缘体的作用后重新反射到入射介质。在计算多层拓扑绝缘体的反射系数之前，首先要先确定拓扑绝缘体的电磁特性。根据拓扑场论，在打破三维拓扑绝缘体表面的时间反演对称性之后，会产生拓扑磁电耦合效应，使得拓扑绝缘体拥有不平凡的电磁响应。拓扑绝缘体中的传统电磁响应项为：

S₀＝∫dx³dt(ε₂E²-B²/μ₂) (1)；

其中，x表示坐标轴方向，t表示时间，E和B分别表示电场强度和磁感应强度。

与拓扑磁电耦合效应相关的电磁响应项为：

S_Θ＝(αΘ/4π²)∫dx³dtE·B (2)；

其中，α为精细结构常数，Θ为拓扑磁电极化率。

在拓扑磁电耦合效应的存在下，三维拓扑绝缘体的本构关系中要添加与拓扑磁电耦合效应相关的拓扑贡献项，表达式为：

其中，D和H分别表示电位移矢量和磁场强度。本构关系便表征了拓扑绝缘体中电场和磁场分量之间的关系。得到拓扑绝缘体的电磁特性后，接下来确定电磁波在分界面处的边界条件。在拓扑绝缘体多层结构的分界面处，电场和磁场的各分量要满足在入射面切向方向上连续，边界条件为：

其中，z表示分界面的法向量，E₁和H₁分别表示介质1中的电场和磁场，E₂和H₂分别表示介质2中的电场和磁场。

接下来利用边界条件推导多层拓扑绝缘体结构的反射矩阵。据电磁场的边界条件，并根据本构关系中磁场与电场的关系式，得到常规绝缘体(介质1)和三维拓扑绝缘体(介质2)在分界面上入射电场、反射电场和透射电场之间的方程组为：

其中，

θ＝cosθ₂/cosθ₁，θ₁和θ₂分别表示入射角和透射角，s(p)表示电场的垂直(平行)分量，+(-)表示入射(反射)的方向。由此可以得到电磁波在介质1和介质2分界面上的传递矩阵

为：

其中，

根据电磁波在介质内部的传输特性和传播理论，得到第j层介质中电磁波的传播矩阵

为：

其中，i表示虚数单位，k_js表示电磁波在垂直方向上的波数，d_j表示第j层介质的厚度。对于具有N层介质的周期性结构，整个多层结构的传输矩阵为传递矩阵与传播矩阵按多层结构的顺序依次相乘，得到总的传输矩阵M_N为：

其中，

表示出射介质为真空。

然后根据多层拓扑绝缘体结构的传输矩阵推导反射系数。根据传输矩阵M_N，可以得到反射系数的表达式为：

其中，M_ij(i,j＝1,2,3,4)表示传输矩阵M_N中的第i行第j列元素。r_ss和r_pp为直接反射系数，r_sp和r_ps为偏转反射系数，是反射电磁波产生克尔极化偏转的原因，来源于拓扑绝缘体的拓扑磁电耦合效应；当Θ＝0，偏转反射系数r_sp＝r_ps＝0，拓扑绝缘体的反射系数将简化为常规绝缘体的菲涅尔反射系数。求出反射系数后，最后可以求出反射电磁波的克尔极化偏转。为了表征反射电磁波的克尔极化偏转，采用极化偏转率(PCR)表示反射电磁波中偏转分量所占的比率。当s极化波入射时，极化偏转率表示为：

将第五步中计算的反射系数带入到极化偏转率的表达式中，可以分析出多层拓扑绝缘体结构的反射电磁波的克尔极化偏转结果以及电场分量之间的转化情况。

在本实施例中，如图3所示，为本发明实施例的从入射角、材料的介电常数、拓扑绝缘体表面的磁化方向以及拓扑绝缘体层数等方面分析反射电磁波的克尔极化偏转效应。选取材料为非磁性，磁导率μ₁＝μ₂＝1，拓扑磁电极化率|Θ|＝5π。拓扑绝缘体以及真空层的厚度取d_TI＝d_vac＝0.001λ，λ为入射电磁波的波长。

在A端口输入入射介质的相关参数，如介电常数和磁导率。在B端口输入多层拓扑绝缘体结构的相关参数，包括介电常数、表面磁化方向、拓扑磁电极化率、层数等。在C端口输入入射电磁波的相关参数，如偏振态、频率和入射角。在D端口输出多层拓扑绝缘体结构的直接反射系数，在E端口输出偏转反射系数，在F端口输出极化偏转率。

本实施例中，在A端口输入入射常规绝缘体的介电常数为ε₁＝(9,12,15)，在B端口输入拓扑绝缘体介电常数ε₂＝(6,8,10)，拓扑绝缘体层数为45层，拓扑绝缘体表面磁化方向为平行磁化，在C端口输入入射电磁波为s极化线偏振，频率为10GHz，反射电磁波的克尔极化偏转随入射角的变化如图4-6。图4为直接反射系数，图5为偏转反射系数，图6为极化偏转率，可以看到分别在入射角为16.6°、11°和3°时达到完全极化偏转，并且材料介电常数越大，所需的入射角越小。平行磁化时，在发生全反射之前可以获得入射s极化到反射p极化的完全克尔极化偏转。

本实施例中，将B端口输入的拓扑绝缘体表面磁化方向取反平行磁化，反射电磁波的克尔极化偏转随入射角的变化如图7-9。图7为直接反射系数，在全反射之后r_ss的值大致都为1。图8为偏转反射系数，图9为极化偏转率，反平行磁化时偏转反射系数和极化偏转率量值较小接近为零。

本实施例中，在A端口输入入射常规绝缘体的介电常数为ε₁＝9，在B端口输入拓扑绝缘体介电常数ε₂＝6，拓扑绝缘体表面磁化方向为平行磁化，在C端口输入入射电磁波为s极化线偏振，频率为10GHz，入射角为16.6°，反射电磁波的极化偏转率随层数的变化如图10，可以看到随着层数的增大，极化偏转率增大，在45层的时候达到最大值从而得到完全克尔极化偏转。而再增加层数后极化偏转率开始减小，说明多层拓扑绝缘体结构对反射克尔极化偏转的作用存在一个饱和层数。

本发明是基于传输矩阵法的多层拓扑绝缘体结构的反射克尔极化偏转的计算方法，可以准确地计算出多层拓扑绝缘体结构的反射系数，并能够根据入射角、材料的介电常数、拓扑绝缘体表面的磁化方向以及拓扑绝缘体层数等影响因素分析出各种参数对反射电磁波克尔极化偏转的影响。由于实际中材料的造价较高，本发明中所使用的理论模型比较接近于实际的多层拓扑绝缘体材料，作为测试模型比较有应用价值。此方法可以先计算多层拓扑绝缘体结构的反射系数，进而测试反射电磁波的克尔极化偏转效应，可为拓扑绝缘体材料提供一种新的应用，也为电磁波偏振态的调控提供了新的途径。

以上所述仅是对本发明的优选实施例及原理进行了详细说明，对本领域的普通技术人员而言，依据本发明提供的思想，在具体实施方式上会有改变之处，而这些改变也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.多层拓扑绝缘体结构的反射克尔极化偏转的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、建立多层拓扑绝缘体结构的模型；

S2、确定拓扑绝缘体的电磁特性；

S3、确定电磁波在分界面上的边界条件；

S4、计算多层拓扑绝缘体结构的传输矩阵；

S5、计算多层拓扑绝缘体结构的反射系数；

S6、计算所述模型下反射电磁波的克尔极化偏转；

所述多层拓扑绝缘体结构的模型为拓扑绝缘体和常规绝缘体周期排列组合而成的多层结构；其中，入射介质为常规绝缘体，其介电常数和磁导率分别为ε₁和μ₁；三维拓扑绝缘体的介电常数和磁导率分别为ε₂和μ₂；三维拓扑绝缘体之间以及出射介质均为真空，其介电常数和磁导率为ε＝μ＝1；

所述步骤S2具体包括：

根据拓扑场论，拓扑绝缘体中的传统电磁响应项为：

S₀＝∫dx³dt(ε₂E²-B²/μ₂) (1)；

其中，x表示坐标轴方向，t表示时间，E和B分别表示电场强度和磁感应强度；

与拓扑磁电耦合效应相关的电磁响应项为：

S_Θ＝(αΘ/4π²)∫dx³dtE·B (2)；

其中，α为精细结构常数，Θ为拓扑磁电极化率；

在三维拓扑绝缘体的本构关系中添加拓扑贡献项，表达式为：

其中，D和H分别表示电位移矢量和磁场强度；

所述步骤S3具体包括：

在拓扑绝缘体多层结构的分界面处，电场和磁场的各分量要满足在入射面切向方向上连续，在拓扑绝缘体多层结构的分界面处，电磁场的边界条件为：

其中，z表示分界面的法向量，E₁和H₁分别表示常规绝缘体中的电场和磁场，E₂和H₂分别表示三维拓扑绝缘体中的电场和磁场；

所述步骤S4具体包括：

根据电磁场的边界条件，得到常规绝缘体和三维拓扑绝缘体在分界面上入射电场、反射电场和透射电场之间的方程组为：

其中，

θ＝cosθ₂/cosθ₁，θ₁和θ₂分别表示入射角和透射角，s和p分别表示电场的垂直和平行分量，+和-分别表示入射和反射的方向；由此得到电磁波在常规绝缘体和三维拓扑绝缘体分界面上的传递矩阵

为：

其中，

根据电磁波在介质内部传播的特性，得到第j层介质中电磁波的传播矩阵

为：

其中，i表示虚数单位，k_js表示电磁波在垂直方向上的波数，d_j表示第j层介质的厚度；

对于具有N层介质的周期性结构，整个多层结构的传输矩阵为传递矩阵与传播矩阵按多层结构的顺序依次相乘，得到总的传输矩阵M_N为：

其中，

表示出射介质为真空；

所述步骤S5具体包括：

根据传输矩阵，得到反射系数的表达式为：

其中，M_ij(i,j＝1,2,3,4)表示传输矩阵M_N中的第i行第j列元素；r_ss和r_pp为直接反射系数，r_sp和r_ps为偏转反射系数，是反射电磁波产生克尔极化偏转的原因，来源于拓扑绝缘体的拓扑磁电耦合效应；当Θ＝0，偏转反射系数r_sp＝r_ps＝0，拓扑绝缘体的反射系数为常规绝缘体的菲涅尔反射系数；

所述步骤S6具体包括：

采用极化偏转率表示反射电磁波中偏转分量所占的比率；当s极化波入射时，极化偏转率的表达式为：

将步骤S5计算的反射系数代入到极化偏转率的表达式中，以分析反射电磁波的克尔极化偏转结果以及电场分量之间的转化情况。

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