CN110186480A - 一种惯性器件线性系统误差系数确定方法 - Google Patents

Abstract

一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，对惯性器件线性系统方程的结构矩阵先后进行相关性检验和显著性检验，最后利用最小二乘法计算显著性检验后惯性器件线性系统方程中的未知参数向量估计值；所述未知参数向量估计值即为惯性器件线性系统的误差系数。该方法既能够适应线性系统结构矩阵不为列满秩的情况，同时也可满足显著性分析的需求。

Description

一种惯性器件线性系统误差系数确定方法

技术领域

本发明一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，属于航空航天技术领域。

背景技术

当前航天飞行器的惯性导航主要采用陀螺仪和加速度计构成的捷联系统或平台系统。在实弹飞行前，需要在地面对陀螺仪和加速度计的误差系数进行标定，根据标定的结果通过误差补偿可有效提高惯性导航的使用精度。目前，经过地面标定的惯性器件，在实际飞行导航试验中，根据遥测数据计算的速度和位置的理论值仍与外测获得的真实飞行速度和位置值之间存在较大的偏差，出现所谓的“天地不一致”的情况。经分析，出现“天地不一致”的原因是地面标定方法和数据处理方法的精度不足，造成实际飞行过程中误差积累，导致飞行精度变差，因此需要对地面标定时的误差模型和数据处理方法进行修正。

现有技术中，对误差模型和数据处理方法进行修正过程中，只考虑误差项的相关性而忽略显著性，或只考虑显著性而忽略相关性的不足。例如：

在多元线性回归模型中，惯性器件线性系统方程可采用矩阵形式写为

设C为列满秩，则(C^TC)^-1存在，采用最小二乘法求得参数的估值为

但上述方程有解的前提是C为列满秩，而当C不为列满秩时，则根据上式计算的参数估值偏差非常大，甚至由奇异引起无解。

C不为列满秩的情况在现实中经常遇到，比如，在遥外测分离制导工具误差系数时，由于无法从根本上避免病态矩阵求逆的问题，在《惯性制导武器精度分析与评估》(国防科技大学出版社)中就给出了主成分估计和偏最小二乘回归等方法。

但上述方法都没有从根本上解决C不为列满秩时的精确求解问题，下面以主成分估计为例。将矩阵Φ＝C^TC的特征值按从大到小顺序排列：λ₁₁、λ₂₂、λ₃₃、…，各参数对应的单位特征向量p₁、p₂、p₃、…。特征值矩阵为Λ，对应特征矩阵为P＝[p₁,p₂,p₃,…]，有关系：

Φ＝C^TC＝P·Λ·P^T (3)

将模型参数作相同变换参数X变为新的模型参数α：

α＝P^T·X (4)

辨识模型变为下述形式：

Y＝CX+ε＝(CP)α+ε＝C^*α+ε (5)

上述新模型中环境函数矩阵C^*＝CP各列间的复共线性大大削弱，按各误差项显著性水平可将参数分为两组α_A和α_B，其中α_B为主成分。那么上述回归模型可写作下述形式

令上述次要成分相关项为零，即回归模型变为如下形式

此时，有

求解待估参数

根据

因此，由于α_A不可观测，求解方程Y＝CX等效为求解

在上式中，由于不是列满秩，需对其进行非相关性处理，才能对上式求解方程。主成分辨识法的优点是采用最小二乘法时方程的个数由取决于Y的维数降为取决于α_B的维数，但其缺点是求解式(11)时仍然需要非相关处理。既然如此，还不如直接对Y＝CX进行非相关性处理。主成分辨识法的另外一个缺点是按照特征值的大小进行模型结构简化，但特征值大并不意味着对应参数也显著。

另外，在《系统辨识与自适应控制(上册)》(哈尔滨工业大学出版社)给出了一种显著性检验的最小二乘法，在《中国惯性技术学报》(第22卷第1期)中的文章《一种惯性测量装置火箭橇试验误差分离方法》也应用了该方法进行火箭橇试验误差分离。但该方法的主要缺点是没有进行相关性检验，使得保留下来的显著误差系数为相关参数，偏离真实情况。

根据相关性的定义，设有向量c_i为(i＝1,2，…，m)，当c_i全不为零时，若有某些非零标量α_i(i＝1,2，…，m)满足

α₁c₁+α₂c₂+…+α_mc_m＝0(12)

则称向量c₁、c₂、…、c_m线性相关。若仅当

α₁＝α₂＝…＝α_m＝0

时上式才成立，则称向量c₁、c₂、…、c_m线性独立，或不相关。

当由列向量c₁、c₂、…、c_m-1构成的结构矩阵[c₁,c₂,…,c_m-1]非奇异时，如果存在一个c_i(i<j)，其与c_m的相关系数ρ′_i,m≈1，把此种情况定义为强相关，则有

c_m＝r₁c₁+r₂c₂+…+r_m-1c_m-1≈r_ic_i (13)

但上述方程只在结构矩阵[c₁,c₂,…,c_j-1]非奇异时成立，而在结构矩阵[c₁,c₂,…,c_j-1]奇异时不成立。比如，c_m≈r_ic_i，c_i≈r_ijc_j时，ρ′_i,m≈1，ρ′_j,m≈1，结构矩阵奇异，上式不成立。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供了一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，对惯性器件线性系统方程的结构矩阵先后进行相关性检验和显著性检验，最后利用最小二乘法计算显著性检验后惯性器件线性系统方程中的未知参数向量估计值；所述未知参数向量估计值即为惯性器件线性系统的误差系数。该方法既能够适应线性系统结构矩阵不为列满秩的情况，同时也可满足显著性分析的需求。

本发明目的通过以下技术方案予以实现：

一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，包括如下步骤：

S1、建立惯性器件线性系统方程；

S2、对S1所述惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行相关性检验，获得相关性检验后惯性器件线性系统方程；

S3、对S2所述相关性检验后惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行显著性检验，获得显著性检验后惯性器件线性系统方程；

S4、利用最小二乘法计算显著性检验后惯性器件线性系统方程中的未知参数向量估计值；所述未知参数向量估计值即为惯性器件线性系统的误差系数。

上述惯性器件线性系统误差系数确定方法，S1中所述的惯性器件线性系统方程为：

式中，为随机变量的观测向量；C为结构矩阵；为未知参数向量；ε为n维随机误差向量。

上述惯性器件线性系统误差系数确定方法，对S1所述惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行相关性检验包括如下步骤：

S21、设定相关系数临界值ρ_LJ、相关性简化次数p、相关性结构矩阵C_p、第一转换矩阵Q_A、第二转换矩阵Q_X；其中p＝0；C_p＝C；Q_A和Q_X均为单位矩阵；Q_A＝I_m；Q_X＝I_m；

S22、计算获得相关性结构矩阵C_p的列数为q；

S23、计算获得相关性结构矩阵C_p中最相关的两列C_ip与C_jp，同时计算获得C_ip与C_jp的相关系数为ρ_ij；其中ip和jp均为序号；

S24、比较相关系数临界值的绝对值|ρ_ij|与S23中获得的C_ip与C_jp的相关系数绝对值|ρ_LJ|；如果|ρ_ij|<|ρ_LJ|，则将C_p作为相关性检验后惯性器件线性系统方程中的结构矩阵C′，转入步骤S28，否则，使相关性简化次数p的值增加1，转入S25；

S25、根据计算比例系数r_ji；

S26、根据S22中获得的列数为q，建立第一单位矩阵I_q；首先将第一单位矩阵I_q中的第jp列删除，获得第一降维矩阵Q_Ap；然后将第一单位矩阵I_q中第ip行加上第jp行的r_ji倍之和作为第一单位矩阵I_q的第ip行，然后将第一单位矩阵I_q的第jp行删除，获得第二降维矩阵Q_Xp；

S27、将C_p×Q_Ap作为相关性结构矩阵C_p、将Q_A×Q_Ap作为第一转换矩阵Q_A、将Q_Xp×Q_X作为第二转换矩阵Q_X；然后转入步骤S22；

S28、惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行相关性检验结束。

上述惯性器件线性系统误差系数确定方法，S23中C_ip与C_jp的相关系数ρ_ij的计算方法为：

式中，l为第一序数。

上述惯性器件线性系统误差系数确定方法，对S2所述相关性检验后惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行显著性检验包括如下步骤：

S31、设定显著性简化次数u、显著性结构矩阵C′_u、系数显著性临界值F_LJ；其中u＝0；C′_u的取值为相关性检验后惯性器件线性系统方程中的相关性结构矩阵C′；

S32、采用最小二乘法对进行求解，其中

为随机变量的观测向量；为未知参数组合向量，当u为0时，为 为相关性检验后的未知参数向量；ε为n维随机误差向量；

S33、计算中的各分量的显著性水平，获得显著性水平最小的变量x_uj，以及x_uj对应的显著性水平F_uj；

S34、如果F_uj>F_LJ，则将C′_u作为显著性检验后的结构矩阵C″，转入S35；否则将u的值增加1，x_uj＝0，将C′_u-1中的第j列删除后作为显著性结构矩阵C′_u；然后转入S32；

S35、惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行显著性检验结束。

上述惯性器件线性系统误差系数确定方法，所述惯性器件包括但不限于加速度计或陀螺仪或组合导航系统。

一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，该程序被处理器执行时，实现上述惯性器件线性系统误差系数确定方法的步骤。

本发明相比于现有技术具有如下有益效果：

(1)本发明给出了一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，克服了传统的最小二乘法不能分离由强相关引起的结构矩阵奇异时的参数的缺点，本发明采用合并强相关参数并对结构矩阵降维的措施，提高了分离参数的置信度；

(2)本发明给出了一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，克服了在结构矩阵奇异时传统的最小二乘法分离出的参数显著性水平容易有较大偏差的问题，本发明分离的参数具有精确的显著性水平；

(3)本发明给出了一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，覆盖了传统的最小二乘法，也就是说，传统的最小二乘法是本发明专利的一种特殊情况，本发明具有更广的应用范围和工程价值。

附图说明

图1为本发明实施例1的流程图；

图2为本发明实施例3的流程图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明的实施方式作进一步详细描述。

实施例1：

一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，如图1所示包括如下步骤：

S1、建立惯性器件线性系统方程。惯性器件线性系统方程为：

式中，为随机变量的观测向量；C为结构矩阵；为未知参数向量；ε为n维随机误差向量。

S2、对S1所述惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行相关性检验，获得相关性检验后惯性器件线性系统方程。

对S1所述惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行相关性检验包括如下步骤：

S21、设定相关系数临界值ρ_LJ、相关性简化次数p、相关性结构矩阵C_p、第一转换矩阵Q_A、第二转换矩阵Q_X；其中p＝0；C_p＝C；Q_A和Q_X均为单位矩阵；Q_A＝I_m；Q_X＝I_m；

S22、计算获得相关性结构矩阵C_p的列数为q；

S23、计算获得相关性结构矩阵C_p中最相关的两列C_ip与C_jp，同时计算获得C_ip与C_jp的相关系数为ρ_ij；其中ip和jp均为序号；

其中

式中，l为第一序数；

S24、比较相关系数临界值的绝对值|ρ_ij|与S23中获得的C_ip与C_jp的相关系数绝对值|ρ_LJ|；如果|ρ_ij|<|ρ_LJ|，则将C_p作为相关性检验后惯性器件线性系统方程中的结构矩阵C′，转入步骤S28，否则，使相关性简化次数p的值增加1，转入S25；

S25、根据计算比例系数r_ji；

S26、根据S22中获得的列数为q，建立第一单位矩阵I_q；首先将第一单位矩阵I_q中的第jp列删除，获得第一降维矩阵Q_Ap；然后将第一单位矩阵I_q中第ip行加上第jp行的r_ji倍之和作为第一单位矩阵I_q的第ip行，然后将第一单位矩阵I_q的第jp行删除，获得第二降维矩阵Q_Xp；

S27、将C_p×Q_Ap作为相关性结构矩阵C_p、将Q_A×Q_Ap作为第一转换矩阵Q_A、将Q_Xp×Q_X作为第二转换矩阵Q_X；然后转入步骤S22；

S28、惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行相关性检验结束。

S3、对S2所述相关性检验后惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行显著性检验，获得显著性检验后惯性器件线性系统方程。

对S2所述相关性检验后惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行显著性检验包括如下步骤：

S31、设定显著性简化次数u、显著性结构矩阵C′_u、系数显著性临界值F_LJ；其中u＝0；C′_u的取值为相关性检验后惯性器件线性系统方程中的相关性结构矩阵C′；

S32、采用最小二乘法对进行求解，其中

为随机变量的观测向量；为未知参数组合向量，当u为0时，为 为相关性检验后的未知参数向量；ε为n维随机误差向量；

S33、计算中的各分量的显著性水平，获得显著性水平最小的变量x_uj，以及x_uj对应的显著性水平F_uj；

S34、如果F_uj>F_LJ，则将C′_u作为显著性检验后的结构矩阵C″，转入S35；否则将u的值增加1，x_uj＝0，将C′_u-1中的第j列删除后作为显著性结构矩阵C′_u；然后转入S32；

S35、惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行显著性检验结束。

S4、利用最小二乘法计算显著性检验后惯性器件线性系统方程中的未知参数向量估计值；所述未知参数向量估计值即为惯性器件线性系统的误差系数。

所述惯性器件包括但不限于加速度计或陀螺仪或组合导航系统。

实施例2：

一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，该程序被处理器执行时，实现上述惯性器件线性系统误差系数确定方法的步骤。

实施例3：

一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，如图2所示包括如下步骤：

(1)、设惯性器件线性系统的方程为

式中，

(2)、给定相关系数临界值ρ_LJ，对步骤(1)给出的结构矩阵进行相关性检验并简化步骤(1)给出的线性方程，得到一个新的线性方程

该方程的结构矩阵C′中的任意两列的相关系数都小于ρ_LJ。

(3)、给定系数显著性临界值F_LJ，对步骤(2)给出的简化线性方程进行显著性检验并简化该线性方程，得到一个新的线性方程

根据上式求解的未知参数向量中所有参数的显著性水平都大于F_LJ。此时，根据最小二乘法求解的参数为

根据公式(17)获得惯性器件线性系统的误差系数。

步骤(2)中相关性检验步骤为：

(21)设模型简化次数的初值p＝0、C_p＝C，单位矩阵Q_A＝I_m、Q_X＝I_m；

(22)求出结构矩阵C_p的列数q；

(23)求出结构矩阵C_p中最相关的两列C_ip与C_jp，二者相关系数为ρ_ij；

(24)比较|ρ_ij|与临界值|ρ_LJ|的大小；

(25)如果|ρ_ij|<|ρ_LJ|，意味着结构矩阵C_p中各列互不相关，令C′＝C_p，进入步骤(2b)，停止相关性检验。否则，进入步骤(26)。

(26)如果|ρ_ij|≥|ρ_LJ|，意味着结构矩阵C_p中C_ip与C_jp相关，二者对应的参数x_ip与x_jp不能单独被辨识出来，则需对结构矩阵C_p进行简化，置p＝p+1；

(27)求比例系数

(28)定义q×q维单位矩阵I_q，在I_q中去掉第j_p列，得到一个新的矩阵Q_Ap；在I_q中把第i_p行加上第j_p行的r_ji倍之和作为第i_p行，同时去掉第j_p行，得到一个降维的矩阵Q_Xp；

(29)根据公式C_p＝C_p×Q_Ap、Q_A＝Q_A×Q_Ap和Q_X＝Q_Xp×Q_X，求出新的结构矩阵C_p、转换矩阵Q_A和Q_X；

(2a)返回步骤(22)；

(2b)结束相关性检验，此时，有

C′＝CQ_A＝C_p

步骤(3)中显著性检验步骤为

(31)取初值u＝0，C′_u＝C′；

(32)对方程采用最小二乘法求解，得到

(33)计算中的各分量的显著性水平，并找出显著性水平最小的变量x_uj，对应的显著性水平为F_uj；

(34)比较F_uj与临界值F_LJ的大小；

(35)如果F_uj>F_LJ，意味着各分量都显著，令C″＝C′_u，进入步骤(38)，停止显著性检验。否则，进入步骤(36)。

(36)如果F_uj≤F_LJ，意味着模型需要简化，令u＝u+1，x_uj＝0，同时简化结构矩阵C′_u为原C′_u-1中去掉第j列的矩阵；

(37)返回步骤(32)；

(38)结束显著性检验，此时，有

实施例4：

设线性系统的结构矩阵为：

系统的真值为

输出量为

在采用本发明的方法时，过程如下：

(1)给出相关系数临界值ρ_LJ＝0.99；

(2)找出最相关的两列为第1列和第4列，二者相关系数ρ₁₄为1；(3)由于ρ₁₄>ρ_LJ，需对结构矩阵进行简化；

(4)求出比例系数r₄₁＝4；

(5)去掉第4列，得到降维后的结构矩阵为

以及新的未知参数

(6)重新进行相关性检验，C₁中最相关的两列为第2列和第3列，相关系数ρ₂₃＝0.852，其值小于临界值，停止相关性检验。

(7)求解方程Y＝C₁X₁，得到惯性器件线性系统的误差系数：

本发明说明书中未作详细描述的内容属本领域技术人员的公知技术。

Claims (7)

1.一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、建立惯性器件线性系统方程；

S2、对S1所述惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行相关性检验，获得相关性检验后惯性器件线性系统方程；

S3、对S2所述相关性检验后惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行显著性检验，获得显著性检验后惯性器件线性系统方程；

S4、利用最小二乘法计算显著性检验后惯性器件线性系统方程中的未知参数向量估计值；所述未知参数向量估计值即为惯性器件线性系统的误差系数。

2.根据权利要求1所述的一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，其特征在于，S1中所述的惯性器件线性系统方程为：

式中，为随机变量的观测向量；C为结构矩阵；为未知参数向量；ε为n维随机误差向量。

3.根据权利要求2所述的一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，其特征在于，对S1所述惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行相关性检验包括如下步骤：

S21、设定相关系数临界值ρ_LJ、相关性简化次数p、相关性结构矩阵C_p、第一转换矩阵Q_A、第二转换矩阵Q_X；其中p＝0；C_p＝C；Q_A和Q_X均为单位矩阵；Q_A＝I_m；Q_X＝I_m；

S22、计算获得相关性结构矩阵C_p的列数为q；

S23、计算获得相关性结构矩阵C_p中最相关的两列C_ip与C_jp，同时计算获得C_ip与C_jp的相关系数为ρ_ij；其中ip和jp均为序号；

S24、比较相关系数临界值的绝对值|ρ_ij|与S23中获得的C_ip与C_jp的相关系数绝对值|ρ_LJ|；如果|ρ_ij|<|ρ_LJ|，则将C_p作为相关性检验后惯性器件线性系统方程中的结构矩阵C′，转入步骤S28，否则，使相关性简化次数p的值增加1，转入S25；

S25、根据计算比例系数r_ji；

S26、根据S22中获得的列数为q，建立第一单位矩阵I_q；首先将第一单位矩阵I_q中的第jp列删除，获得第一降维矩阵Q_Ap；然后将第一单位矩阵I_q中第ip行加上第jp行的r_ji倍之和作为第一单位矩阵I_q的第ip行，然后将第一单位矩阵I_q的第jp行删除，获得第二降维矩阵Q_Xp；

S27、将C_p×Q_Ap作为相关性结构矩阵C_p、将Q_A×Q_Ap作为第一转换矩阵Q_A、将Q_Xp×Q_X作为第二转换矩阵Q_X；然后转入步骤S22；

S28、惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行相关性检验结束。

4.根据权利要求3所述的一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，其特征在于，S23中C_ip与C_jp的相关系数ρ_ij的计算方法为：

式中，l为第一序数。

5.根据权利要求1所述的一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，其特征在于，对S2所述相关性检验后惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行显著性检验包括如下步骤：

S31、设定显著性简化次数u、显著性结构矩阵C′_u、系数显著性临界值F_LJ；其中u＝0；C′_u的取值为相关性检验后惯性器件线性系统方程中的相关性结构矩阵C′；

S32、采用最小二乘法对进行求解，其中

为随机变量的观测向量；为未知参数组合向量，当u为0时，为 为相关性检验后的未知参数向量；ε为n维随机误差向量；

S33、计算中的各分量的显著性水平，获得显著性水平最小的变量x_uj，以及x_uj对应的显著性水平F_uj；

S34、如果F_uj>F_LJ，则将C′_u作为显著性检验后的结构矩阵C″，转入S35；否则将u的值增加1，x_uj＝0，将C′_u-1中的第j列删除后作为显著性结构矩阵C′_u；然后转入S32；

S35、惯性器件线性系统方程中的结构矩阵进行显著性检验结束。

6.根据权利要求1～5之一所述的一种惯性器件线性系统误差系数确定方法，其特征在于，所述惯性器件包括但不限于加速度计或陀螺仪或组合导航系统。

7.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，该程序被处理器执行时，实现权利要求1～5之一所述惯性器件线性系统误差系数确定方法的步骤。