CN110110364A - 基于双超卫星平台碰振动力学模型的防碰撞最优控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于双超卫星平台碰振动力学模型的防碰撞最优控制方法，包括如下步骤：步骤1：基于动量守恒定理建立双超卫星平台碰振动力学模型；所述双超卫星平台包括载荷舱、平台舱、永久磁铁端、线圈端、间隙；步骤2：在建立的碰振动力学模型基础上，引入拉格朗日泛函概念，根据极值条件的约束，求得最优间隙的计算公式和最优控制规律。本发明解决了双超平台非接触式结构面临的碰振问题，能有效地给出最优控制律设计方法和磁浮机构间隙最优计算方法，能够指导双超卫星等具有间隙的非接触结构的设计。

Description

基于双超卫星平台碰振动力学模型的防碰撞最优控制方法

技术领域

本发明涉及航天卫星技术领域，具体地，涉及一种基于双超卫星平台碰振动力学模型的防碰撞最优控制方法。

背景技术

对超高精度超高稳定度的双超卫星平台而言，由于其关键部件磁浮机构采用电磁作用力原理设计，其结构是非接触的，磁浮机构的线圈端和磁铁端存在间隙，从而在干扰的作用下容易导致碰撞，影响卫星在轨性能，因此需要对碰撞的动力学特性进行研究，设计最优控制规律，对结构间隙进行优化，从而防止碰撞。

发明内容

针对现有技术中的空白，为了解决双超卫星平台防碰撞问题，本发明提出了一种基于双超卫星平台碰振动力学模型的防碰撞最优控制方法，给出了碰撞中冲量、动量矩、恢复系数、碰撞前后速度、角速度等的分析和计算方法，进而给出最优控制律和间隙的最优设计方法，解决双超卫星平台的最优控制问题，并能够判断碰撞的动力学特性，指导双超卫星的设计。

为实现上述目的，本发明通过以下技术方案实现：

一种基于双超卫星平台碰振动力学模型的防碰撞最优控制方法，包括如下步骤：

步骤1：基于动量守恒定理建立双超卫星平台碰振动力学模型；所述双超卫星平台包括载荷舱、平台舱、永久磁铁端、线圈端、间隙；所述载荷舱用于安装安静部件，并为敏感载荷提供超精超稳控制；所述平台舱用于安装嘈杂部件，为卫星提供保障；所述永久磁铁端被固连于载荷舱上，用于形成均匀磁场；所述线圈端固连于平台舱上，通电后用于产生变化的电流，从而产生期望输出力，用来控制载荷舱的姿态和两舱之间的相对位置；所述间隙为永久磁铁端和线圈端之间的空隙；也是载荷舱和平台舱易发生碰撞的位置，需要进行最优化设计，以避免碰撞；

步骤2：在建立的碰振动力学模型基础上，引入拉格朗日泛函概念，根据极值条件的约束，求得最优间隙的计算公式和最优控制规律。

进一步地，所述双超卫星平台碰振动力学模型包括：

1)：双超卫星平台在碰撞期间无外力作用时满足动量守恒定理：

m₁V₁+m₂V₂＝m₁v₁+m₂v₂

式中：m₁,m₂分别表示载荷舱和平台舱的质量，V₁,V₂分别表示碰撞前载荷舱质心的速度和平台舱质心的速度，v₁,v₂分别表示碰撞后载荷舱质心的速度和平台舱质心的速度；

则，碰撞期间，动量-冲量方程的矢量形式为：

m_i(V_i-v_i)＝(-1)^i-1P,i＝1,2 (1)

式中：下标i＝1,2，分别表示载荷舱和平台舱，P为碰撞冲量，速度V_i,v_i,(i＝1,2)的矢量形式为：

V₁＝V_1nn+V_1tt+V_1jj,V₂＝V_2nn+V_2tt+V_2jj

v₁＝v_1nn+v_1tt+v_1jj,v₂＝v_2nn+v_2tt+v_2jj

冲量P可以表示为

P＝P_nn+P_tt+P_jj

其中，n,t,j分别表示三个单位正交矢量，V_1n,V_1t,V_1j分别为碰撞前载荷舱三个正交方向的速度绝对值，v_1n,v_1t,v_1j分别为碰撞后载荷舱三个正交方向的速度绝对值，V_2n,V_2t,V_2j分别为碰撞前平台舱三个正交方向的速度绝对值，v_2n,v_2t,v_2j分别为碰撞后平台舱三个正交方向的速度绝对值，P_n,P_t,P_j分别为三个正交方向的冲量绝对值；

2)碰撞前后两舱对质心的角动量和冲量P之间的关系如下：

H_i-h_i＝(-1)^i-1M+d_i×(-1)^i-1P,i＝1,2 (2)

式中：H₁,h₁表示碰撞前、碰撞后载荷舱的角动量，H₂,h₂表示碰撞前、碰撞后平台舱的角动量，M为冲量矩，可以表示为M＝M_nn+M_tt+M_jj，M_n,M_t,M_j分别为三个正交方向的冲量矩绝对值，n,t,j分别表示三个单位正交矢量，i＝1,2分别表示载荷舱和平台舱，d₁,d₂分别为载荷舱、平台舱质心到碰撞面的距离；

3)基于牛顿恢复系数，碰撞前后接触点r相对法向n速度满足如下公式

V_rc·n＝-ev_rc·n (3)

其中：V_rc＝V₁+Ω₁×d₁-(V₂+Ω₂×d₂),v_rc＝v₁+ω₁×d₁-(v₂+ω₂×d₂)，V_rc表示碰撞前接触点的速度，v_rc表示碰撞后接触点的速度，e为牛顿恢复系数，Ω₁,Ω₂分别表示碰撞前载荷舱、平台舱的角速度，ω₁,ω₂分别表示碰撞后载荷舱、平台舱的角速度，d₁,d₂分别为载荷舱、平台舱质心到碰撞面的距离；

4)引入切向冲量比计算得到切向合冲量为

则碰撞冲量P可写为如下形式：

P＝P_n(n+μ_tt+μ_jj) (4)

5)引入角动量系数e_mn,e_mt,e_mp描述碰撞前后卫星的转动，用如下公式表示：

式中：其中I_1n,I_1t,I_1j分别表示载荷舱对过质心的三个正交轴(n,t,j)的转动惯量，I_2n,I_2t,I_2j分别表示平台舱对过质心的三个正交轴(n,t,j)的转动惯量，e_mn,e_mt,e_mp分别为三个正交方向(n,t,j)的角动量系数；

将方程(1)到方程(5)联立可以用于求解碰撞冲量，冲量矩等未知量。

进一步地，所述碰撞形式为瞬时点碰撞。

进一步地，所述步骤2包括：

步骤2.1：双超卫星平台碰撞动力学模型在控制变量u(t)的作用下，系统方程可以写成如下形式：

D(s)x(t)＝Q(s)u(t) (6)

其中，控制变量u(t)以T为周期，可以表示为x(t)为状态变量，D(s)为动刚度，根据系统的结构可以确定，Q(s)为控制器的传递函数。

步骤2.2：碰撞振动的周期性条件为

其中，Δ为永久磁铁端(3)和线圈端(4)之间的间隙。碰撞振动具有周期性T，且在区间内满足如下公式：

此时，系统的响应为

其中，P为碰振冲量，s为积分变量，为周期Green函数，可以表示为如下形式：

其中，其中，e^(2k+1)iωt表示周期性激励，k为简谐激励参数，e为自然对数，iω为虚数部，为周期Green函数，t为瞬时时间，s为拉普拉斯算子，T为时间周期，D(s)为动刚度，根据系统的结构可以确定，Q(s)为控制器的传递函数；

步骤2.3：在工程应用中，控制作用u(t)是有界的，双超卫星平台的控制律u(t)满足|u|≤U₀，U₀为上界，为了使碰撞振动过程时间最小化，引入表征快速性的泛函

其中，Φ(·)表示定义的泛函函数，表示在周期T内对时间t的积分，min表示最小化的积分值；

控制作用u(t)在区域|u|≤U₀中使泛函(10)式最小，即时间最优；

步骤2.4：将碰撞条件(7)应用于状态响应公式(9)中，可以将碰撞冲量P表示成泛函形式，公式如下：

式中：μ₂＝[m(1+e)]^-1为系数，P为碰撞冲量，表示控制系统的周期Green函数；T为碰撞周期，为固定参数；u(s)为控制变量。

步骤2.5：根据公式(11)，状态响应公式(9)可以化为如下形式：

其中，为系数，表示为

步骤2.6：引入拉格朗日形式的泛函，则公式(10)的时间最优泛函Φ(u)可以表示为如下的拉格朗日泛函形式：

其中，λ为拉格朗日乘子。

步骤2.7：最优控制问题即演化为拉格朗日泛函对控制量的最优极值问题，根据L对u的极值条件求得最优控制律为如下式所示

其中，代入(12)式，可以得到最优间隙Δ的计算公式如下式所示

与现有技术相比，本发明具有如下的有益效果：

1、本发明提供的碰振动力学建模方法可以对非接触双超卫星的碰撞行为进行建模和分析，以便掌握双超卫星的碰撞状态下的动力特点，最优控制律和间隙设计方法可以防止碰撞的发生，使得卫星在轨超精超稳性能得到保障。

2、本发明基于最优思想设计控制律和间隙，应用灵活，不需增加硬件，成本低。

附图说明

通过阅读参照以下附图对非限制性实施例所作的详细描述，本发明的其它特征、目的和优点将会变得更明显：

图1为本发明提供的双超卫星平台结构示意图；

图中：

1-载荷舱；

2-平台舱；

3-永久磁铁端；

4-线圈端；

5-间隙

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。以下实施例将有助于本领域的技术人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进。这些都属于本发明的保护范围。

图1是本发明非接触式双超卫星平台结构示意图；如图1所示，所述双超卫星平台包括：载荷舱1、平台舱2、永久磁铁端3、线圈端4、间隙5；

所述载荷舱1，用于安装高精度载荷、星敏等安静部件，并为敏感载荷提供超精超稳控制；

所述平台舱2，用于安装飞轮、太阳帆板等嘈杂部件，为卫星提供保障；

所述永久磁铁端3被固连于载荷舱1上，用于形成均匀磁场；

所述线圈端4被固连于平台舱2上，并置于永久磁铁3所形成的均匀磁场中，通电后用于产生变化的电流，从而产生期望输出力，用来控制载荷舱1的姿态和两舱之间的相对位置；

所述间隙5，是永久磁铁端3和线圈端4之间的空隙，也是载荷舱1和平台舱2易发生碰撞的位置，需要进行最优化设计，以避免碰撞。

本发明提供了一种基于双超卫星平台碰振动力学模型的防碰撞最优控制方法，包括如下步骤：

步骤1：基于动量守恒定律建立双超卫星平台碰振动力学模型；

通过引入碰撞冲量、冲量矩，碰撞前后载荷舱、平台舱的速度、角速度信息，根据动量守恒定律，建立碰撞前后动量方程，然后建立动量-冲量方程以及角动量和冲量的相互关系，接着引入牛顿恢复系数，建立碰撞前后速度、碰撞前后角速度的联系，引入冲量比和角动量恢复系数的概念，建立一组约束方程，进而构成碰振动力学模型。

步骤2：求得最优间隙计算方法和最优控制方法。

在建立的碰振动力学模型基础上，引入拉格朗日泛函概念，将碰撞冲量表示成拉格朗日泛函的形式，再根据极值条件，得到最优极值问题的拉格朗日泛函，最后求得最优控制规律、最优冲量和最优间隙的计算公式。

所述双超卫星平台碰振动力学模型包括：

1)：双超卫星平台在碰撞期间无外力作用时满足动量守恒定理：

m₁V₁+m₂V₂＝m₁v₁+m₂v₂

式中：m₁,m₂分别表示载荷舱和平台舱的质量，V₁,V₂分别表示碰撞前载荷舱质心的速度和平台舱质心的速度，v₁,v₂分别表示碰撞后载荷舱质心的速度和平台舱质心的速度；

则，碰撞期间，动量-冲量方程的矢量形式为：

m_i(V_i-v_i)＝(-1)^i-1P,i＝1,2 (1)

式中：下标i＝1,2，分别表示载荷舱和平台舱，P为碰撞冲量，速度V_i,v_i,(i＝1,2)的矢量形式为：

V₁＝V_1nn+V_1tt+V_1jj,V₂＝V_2nn+V_2tt+V_2jj

v₁＝v_1nn+v_1tt+v_1jj,v₂＝v_2nn+v_2tt+v_2jj

冲量P可以表示为

P＝P_nn+P_tt+P_jj

其中，n,t,j分别表示三个单位正交矢量，V_1n,V_1t,V_1j分别为碰撞前载荷舱三个正交方向的速度绝对值，v_1n,v_1t,v_1j分别为碰撞后载荷舱三个正交方向的速度绝对值，V_2n,V_2t,V_2j分别为碰撞前平台舱三个正交方向的速度绝对值，v_2n,v_2t,v_2j分别为碰撞后平台舱三个正交方向的速度绝对值，P_n,P_t,P_j分别为三个正交方向的冲量绝对值；

2)碰撞前后两舱对质心的角动量和冲量P之间的关系如下：

H_i-h_i＝(-1)^i-1M+d_i×(-1)^i-1P,i＝1,2 (2)

式中：H₁,h₁表示碰撞前、碰撞后载荷舱的角动量，H₂,h₂表示碰撞前、碰撞后平台舱的角动量，M为冲量矩，可以表示为M＝M_nn+M_tt+M_jj，M_n,M_t,M_j分别为三个正交方向的冲量矩绝对值，n,t,j分别表示三个单位正交矢量，i＝1,2分别表示载荷舱和平台舱，d₁,d₂分别为载荷舱、平台舱质心到碰撞面的距离；

3)基于牛顿恢复系数，碰撞前后接触点r相对法向n速度满足如下公式

V_rc·n＝-ev_rc·n (3)

其中：V_rc＝V₁+Ω₁×d₁-(V₂+Ω₂×d₂),v_rc＝v₁+ω₁×d₁-(v₂+ω₂×d₂)，V_rc表示碰撞前接触点的速度，v_rc表示碰撞后接触点的速度，e为牛顿恢复系数，Ω₁,Ω₂分别表示碰撞前载荷舱、平台舱的角速度，ω₁,ω₂分别表示碰撞后载荷舱、平台舱的角速度，d₁,d₂分别为载荷舱、平台舱质心到碰撞面的距离；

4)引入切向冲量比计算得到切向合冲量为

则碰撞冲量P可写为如下形式：

P＝P_n(n+μ_tt+μ_jj) (4)

5)引入角动量系数e_mn,e_mt,e_mp描述碰撞前后卫星的转动，用如下公式表示：

式中：其中I_1n,I_1t,I_1j分别表示载荷舱对过质心的三个正交轴(n,t,j)的转动惯量，I_2n,I_2t,I_2j分别表示平台舱对过质心的三个正交轴(n,t,j)的转动惯量，e_mn,e_mt,e_mp分别为三个正交方向(n,t,j)的角动量系数；

将方程(1)到方程(5)联立可以用于求解碰撞冲量，冲量矩等未知量。

本发明提供的最优碰振控制律和最优间隙计算方法，具体的先后和逻辑关系如下：

步骤2.1：双超卫星平台碰撞动力学模型在控制变量u(t)的作用下，系统方程可以写成如下形式：

D(s)x(t)＝Q(s)u(t) (6)

其中，控制变量u(t)以T为周期，可以表示为x(t)为状态变量，D(s)为动刚度，根据系统的结构可以确定，Q(s)为控制器的传递函数。

步骤2.2：碰撞振动的周期性条件为

其中，Δ为永久磁铁端(3)和线圈端(4)之间的间隙。碰撞振动具有周期性T，且在区间内满足如下公式：

此时，系统的响应为

其中，P为碰振冲量，s为积分变量，为周期Green函数，可以表示为如下形式：

其中，其中，e^(2k+1)iωt表示周期性激励，k为简谐激励参数，e为自然对数，iω为虚数部，为周期Green函数，t为瞬时时间，s为拉普拉斯算子，T为时间周期，D(s)为动刚度，根据系统的结构可以确定，Q(s)为控制器的传递函数；

步骤2.3：在工程应用中，控制作用u(t)是有界的，双超卫星平台的控制律u(t)满足|u|≤U₀，U₀为上界，为了使碰撞振动过程时间最小化，引入表征快速性的泛函

其中，Φ(·)表示定义的泛函函数，表示在周期T内对时间t的积分，min表示最小化的积分值；

控制作用u(t)在区域|u|≤U₀中使泛函(10)式最小，即时间最优；

步骤2.4：将碰撞条件(7)应用于状态响应公式(9)中，可以将碰撞冲量P表示成泛函形式，公式如下：

式中：μ₂＝[m(1+e)]^-1为系数，P为碰撞冲量，表示控制系统的周期Green函数；T为碰撞周期，为固定参数；u(s)为控制变量。

步骤2.5：根据公式(11)，状态响应公式(9)可以化为如下形式：

其中，为系数，表示为

步骤2.6：引入拉格朗日形式的泛函，则公式(10)的时间最优泛函Φ(u)可以表示为如下的拉格朗日泛函形式：

其中，λ为拉格朗日乘子。

步骤2.7：最优控制问题即演化为拉格朗日泛函对控制量的最优极值问题，根据L对u的极值条件求得最优控制律为如下式所示

其中，代入(12)式，可以得到最优间隙Δ的计算公式如下式所示

以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出各种变形或修改，这并不影响本发明的实质内容。

Claims (4)

1.一种基于双超卫星平台碰振动力学模型的防碰撞最优控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：基于动量守恒定理建立双超卫星平台碰振动力学模型；所述双超卫星平台包括载荷舱(1)、平台舱(2)、永久磁铁端(3)、线圈端(4)、间隙(5)；所述载荷舱(1)用于安装安静部件，并为敏感载荷提供超精超稳控制；所述平台舱(2)用于安装嘈杂部件，为卫星提供保障；所述永久磁铁端(3)被固连于载荷舱(1)上，用于形成均匀磁场；所述线圈端(4)固连于平台舱(2)上，通电后用于产生变化的电流，从而产生期望输出力，用来控制载荷舱(1)的姿态和两舱之间的相对位置；所述间隙(5)为永久磁铁端(3)和线圈端(4)之间的空隙；

步骤2：在建立的碰振动力学模型基础上，引入拉格朗日泛函概念，根据极值条件的约束，求得最优间隙的计算公式和最优控制规律。

2.根据权利要求1所述的基于双超卫星平台碰振动力学模型的防碰撞最优控制方法，其特征在于，所述双超卫星平台碰振动力学模型包括：

1)：双超卫星平台在碰撞期间无外力作用时满足动量守恒定理：

m₁V₁+m₂V₂＝m₁v₁+m₂v₂

式中：m₁,m₂分别表示载荷舱和平台舱的质量，V₁,V₂分别表示碰撞前载荷舱质心的速度和平台舱质心的速度，v₁,v₂分别表示碰撞后载荷舱质心的速度和平台舱质心的速度；

则，碰撞期间，动量-冲量方程的矢量形式为：

m_i(V_i-v_i)＝(-1)^i-1P,i＝1,2 (1)

式中：下标i＝1,2，分别表示载荷舱和平台舱，P为碰撞冲量，速度V_i,v_i,(i＝1,2)的矢量形式为：

V₁＝V_1nn+V_1tt+V_1jj,V₂＝V_2nn+V_2tt+V_2jj

v₁＝v_1nn+v_1tt+v_1jj,v₂＝v_2nn+v_2tt+v_2jj

冲量P可以表示为

P＝P_nn+P_tt+P_jj

其中，n,t,j分别表示三个单位正交矢量，V_1n,V_1t,V_1j分别为碰撞前载荷舱三个正交方向的速度绝对值，v_1n,v_1t,v_1j分别为碰撞后载荷舱三个正交方向的速度绝对值，V_2n,V_2t,V_2j分别为碰撞前平台舱三个正交方向的速度绝对值，v_2n,v_2t,v_2j分别为碰撞后平台舱三个正交方向的速度绝对值，P_n,P_t,P_j分别为三个正交方向的冲量绝对值；

2)碰撞前后两舱对质心的角动量和冲量P之间的关系如下：

H_i-h_i＝(-1)^i-1M+d_i×(-1)^i-1P,i＝1,2 (2)

式中：H₁,h₁表示碰撞前、碰撞后载荷舱的角动量，H₂,h₂表示碰撞前、碰撞后平台舱的角动量，M为冲量矩，可以表示为M＝M_nn+M_tt+M_jj，M_n,M_t,M_j分别为三个正交方向的冲量矩绝对值，n,t,j分别表示三个单位正交矢量，i＝1,2分别表示载荷舱和平台舱，d₁,d₂分别为载荷舱、平台舱质心到碰撞面的距离；

3)基于牛顿恢复系数，碰撞前后接触点r相对法向n速度满足如下公式

V_rc·n＝-ev_rc·n (3)

其中：V_rc＝V₁+Ω₁×d₁-(V₂+Ω₂×d₂),v_rc＝v₁+ω₁×d₁-(v₂+ω₂×d₂)，V_rc表示碰撞前接触点的速度，v_rc表示碰撞后接触点的速度，e为牛顿恢复系数，Ω₁,Ω₂分别表示碰撞前载荷舱、平台舱的角速度，ω₁,ω₂分别表示碰撞后载荷舱、平台舱的角速度，d₁,d₂分别为载荷舱、平台舱质心到碰撞面的距离；

4)引入切向冲量比计算得到切向合冲量为

则碰撞冲量P可写为如下形式：

P＝P_n(n+μ_tt+μ_jj) (4)

5)引入角动量系数e_mn,e_mt,e_mp描述碰撞前后卫星的转动，用如下公式表示：

式中：其中I_1n,I_1t,I_1j分别表示载荷舱对过质心的三个正交轴(n,t,j)的转动惯量，I_2n,I_2t,I_2j分别表示平台舱对过质心的三个正交轴(n,t,j)的转动惯量，e_mn,e_mt,e_mp分别为三个正交方向(n,t,j)的角动量系数。

3.根据权利要求2所述的基于双超卫星平台碰振动力学模型的防碰撞最优控制方法，所述碰撞形式为瞬时点碰撞。

4.根据权利要求1所述的基于双超卫星平台碰振动力学模型的防碰撞最优控制方法，其特征在于，所述步骤2包括如下步骤：

步骤2.1：双超卫星平台碰撞动力学模型在控制变量u(t)的作用下，系统方程可以写成如下形式：

D(s)x(t)＝Q(s)u(t) (6)

其中，控制变量u(t)以T为周期，可以表示为x(t)为状态变量，D(s)为动刚度，根据系统的结构可以确定，Q(s)为控制器的传递函数；

步骤2.2：碰撞振动的周期性条件为

其中，Δ为永久磁铁端(3)和线圈端(4)之间的间隙；碰撞振动具有周期性T，且在区间内满足如下公式：

此时，系统的响应为

其中，P为碰振冲量，s为积分变量，χ₂(t),为周期Green函数，可以表示为如下形式：

其中，e^(2k+1)iωt表示周期性激励，k为简谐激励参数，e为自然对数，iω为虚数部，为周期Green函数，t为瞬时时间，s为拉普拉斯算子，T为时间周期，D(s)为动刚度，根据系统的结构可以确定，Q(s)为控制器的传递函数；

步骤2.3：在工程应用中，控制作用u(t)是有界的，双超卫星平台的控制律u(t)满足|u|≤U₀，U₀为上界，为了使碰撞振动过程时间最小化，引入表征快速性的泛函

其中，Φ(·)表示定义的泛函函数，表示在周期T内对时间t的积分，min表示最小化的积分值；

控制作用u(t)在区域|u|≤U₀中使泛函(10)式最小，即时间最优；

步骤2.4：将碰撞条件(7)应用于状态响应公式(9)中，可以将碰撞冲量P表示成泛函形式，公式如下：

式中：μ₂＝[m(1+e)]^-1为系数，P为碰撞冲量，表示控制系统的周期Green函数；T为碰撞周期，为固定参数；u(s)为控制变量；

步骤2.5：根据公式(11)，状态响应公式(9)可以化为如下形式：

其中，为系数，表示为

步骤2.6：引入拉格朗日形式的泛函，则公式(10)的时间最优泛函Φ(u)可以表示为如下的拉格朗日泛函形式：

其中，λ为拉格朗日乘子；

步骤2.7：最优控制问题即演化为拉格朗日泛函对控制量的最优极值问题，根据L对u的极值条件求得最优控制律为如下式所示

其中，代入(12)式，可以得到最优间隙Δ的计算公式如下式所示