CN109948293B - 一种随机混合显隐式时域有限差分方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种随机混合显隐式时域有限差分方法，该方法：定义随机电磁参数，根据实验数据确定其均值、标准差的统计规律；对麦克斯韦方程进行线性期望运算，得到电场和磁场期望的迭代求解公式；对麦克斯韦方程进行方差运算，得到电场和磁场方差的迭代求解公式；输入随机电磁参数的均值和标准差，迭代求解麦克斯韦方程中电场和磁场的期望和标准差；对电场和磁场的期望和方差等电磁响应进行后处理，得到宽带的电磁散射特性。本发明仅需要一次运算即可获得目标宽频带的电磁散射特性，极大地节约了计算时间；在处理空间分辨率具有高对比度的材料时具有较大的优势和更高的计算效率；本发明在具有较高计算效率的同时，亦保证了计算的精度。
Description
技术领域
本发明涉及计算电磁学电磁散射特性数值仿真技术领域，尤其是一种随机混合显隐式时域有限差分方法。
背景技术
在处理实际工程问题的过程中，通常会遇到很多本征特性具有随机性的物体，这些物体在大自然中无处不在并且会对很多前沿的科学领域如生物电磁学，大气物理学，探地雷达和遥感等产生不可忽视的影响。具体来说，由于人体组织和器官的组成，多样的大气环境和地球的组成物质的电介质特性均具有不确定性，所以对物体随机特性的研究在上述领域有着至关重要的作用，因此其也引起了学者的广泛关注和研究。另一方面，制造和测量技术中的误差也会导致物质的电性能具有不确定性，例如军事工业领域中的隐身飞机的表面介质涂覆、超表面、频率选择表面和微波天线等。然而，传统的全波求解器无法统计和量化具有不确定性的材料对场值和能量造成的影响，模型中的不确定性参数仅能使用平均值代替，因此传统方法仅能得到平均值响应，这造成了数值模拟与实验的结果之间仍然存在很大的误差。因此，针对导电性和介电常数等电磁参数具有不确定性的材料，分析其对电磁场均值和方差的影响是非常重要且必要的。
量化电磁场统计变化规律最常规的方法是蒙特卡罗(MC)方法，其运算机理是在每次全波仿真之前，根据不确定性参数的统计规律随机的选择参数，并重复运行该过程数万次，从而统计得到系统响应的均值和方差。但是，大量的重复全波仿真过程需要消耗巨大的计算时间成本。因此，MC方法过于耗时的特性使其难以应用于处理较为复杂的结构和实际工程问题。然而针对空间分辨率具有高对比度的材料，传统的时域方法如FDTD方法的时间步长受最细网格单元大小的限制，使其计算效率大大地降低。
因此，如何设计出可以高效求解具有精细结构、电磁参数具有随机特性材料的统计变化规律的数值算法已经成为急需解决的技术问题。
发明内容
本发明的目的在于提供一种能够实现更加高效稳定的宽带电磁仿真的随机混合显隐式时域有限差分方法。
为实现上述目的，本发明采用了以下技术方案：一种随机混合显隐式时域有限差分方法，该方法包括下列顺序的步骤：
(1)定义随机电磁参数，根据实验数据确定其均值、标准差的统计规律；
(2)对麦克斯韦方程进行线性期望运算，采用泰勒级数展开方法进行展开化简，得到电场和磁场期望的迭代求解公式；
(3)对麦克斯韦方程进行方差运算，采用泰勒级数展开方法进行展开化简，得到电场和磁场方差的迭代求解公式；
(4)输入随机电磁参数的均值和标准差，迭代求解麦克斯韦方程中电场和磁场的期望和标准差；
(5)对电场和磁场的期望和方差等电磁响应进行后处理，得到宽带的电磁散射特性。
所述步骤(1)具体是指：
设定g为包含多个随机变量x1,x2,x3,…,xn的函数，上述随机变量的平均值分别对应为
随机变量x1,、x2、x3、x4分别一一对应为电场分量Em(m＝x,y,z)、磁场分量Hm(m＝x,y,z)、相对介电常数εr、电导率σ，采用数理统计的方法，获得上述随机变量的离散型随机分布，计算得到不确定性电磁参数的均值、标准差的统计规律。
所述步骤(2)具体是指：
对函数g进行线性期望运算，M表示期望运算符,采用泰勒级数展开方法进行展开化简并忽略高阶项可得：
其中，g为包含多个随机变量x1,x2,x3,…,xn的函数，上述随机变量的平均值分别对应为
对麦克斯韦方程在随机显隐式时域有限差分方法即HIE-FDTD下的离散方程进行线性期望运算，利用式(1)求得电场和磁场期望的迭代表达式,以Ex和Hy分量为例：
其中，ε0是自由空间的介电常数，μ为磁导率，Δt是时间步长，n是时间的索引，如
表示电场Ex分量在时刻t＝n·Δt的场值，
和μ σ 分别表示εr和σ的均值。
所述步骤(3)具体是指：
对麦克斯韦方程的离散公式进行方差运算可得：
其中，g为包含多个随机变量x1,x2,x3,…,xn的函数，上述随机变量的平均值分别对应为
σ2表示方差运算符；
采用泰勒级数展开方法进行展开化简并忽略高阶项可得：
以Ex为例进行说明，其在HIE-FDTD的离散公式为：
利用以下两个恒等式来展开上式：
σ2{αX}＝α2σ2{X} (7)
其中，α是常数；Cov(X,Y)是协方差，展开为Cov(X,Y)＝ρXYσ{X}σ{Y}；ρXY是X和Y之间的相关系数；σ表示标准差运算符；
式(6)的左侧展开为：
使用式(5)对式(9)第二项的平方进行展开得：
其中，ρXY为相关系数，表征了变量之间的相关性大小,例如：
表示σ和εr的相关系数，ρ σ ,E表示σ和E的相关系数,
表示εr和E的相关系数；
对上式进行化简、省略高阶项并进行开平方运算后可得出式(9)的开平方表达式：
同理可对式(6)的右侧进行展开化简，从而得到Ex分量标准差的表达式；由于该算法为隐式算法，设置HIE-FDTD方法的稳定性条件与y方向无关；在更新Ex和Hz的过程中，求解场分量Ex n+1需要用到Hz n+1的值，而求解场分量Hz n+1需要用到Ex n+1的值；因此将Hz n+1的表达式代入Ex n+1的表达式从而消去未知量，最终获得电场Ex分量标准差的最终表达式：
其中：
是空间步长,ρ σ ,H表示σ和H的相关系数,
表示εr和H的相关系数。
所述步骤(4)具体是指：将随机电磁参数的均值和标准差代入麦克斯韦方程的离散表达式，设置激励源和目标模型，利用电场和磁场及其边界条件的期望和标准差表达式迭代求解目标的电磁散射特性。
由上述技术方案可知，本发明的有益效果为：本发明仅需要一次运算即可获得目标宽频带的电磁散射特性，相比较于处理随机问题的传统MC方法需要重复成千上万次全波仿真，极大地节约了计算时间；本发明的时间步长不再受最细网格单元大小的限制，这使得本发明与S-FDTD方法相比，在处理空间分辨率具有高对比度的材料时具有较大的优势和更高的计算效率；本发明在具有较高计算效率的同时，亦保证了计算的精度。
附图说明
图1为本发明的方法流程图；
图2为多层人体组织三维仿真区域示意图；
图3使用MC方法、S-FDTD方法和本发明计算得出的人体组织内电场的均值对比图；
图4使用MC方法、S-FDTD方法和本发明计算得出的人体组织内电场的方差对比图；
图5(a)为频域选择表面单元俯视图；
图5(b)为三维仿真区域示意图；
图6为使用S-FDTD和本方法计算得到频域选择表面的传输系数结果对比图。
具体实施方式
为了高效准确地研究具有精细结构且电磁参数具有不确定性随机材料电磁散射特性的统计变化规律，本发明将量化电特性统计变化规律的方法与传统的HIE-FDTD方法相结合，提出了一种随机HIE-FDTD(S-HIE-FDTD)方法来应用数理统计理论表征电磁参数的不确定性对电磁散射特性的影响。本发明通过单次全波仿真过程即可获得电磁参数具有不确定性目标的宽带电磁散射特性，在大大地提高了原有方法计算效率的同时也保证了仿真的精准度。
一种随机混合显隐式时域有限差分方法，该方法包括下列顺序的步骤：
(1)定义随机电磁参数，根据实验数据确定其均值、标准差的统计规律；
(2)对麦克斯韦方程进行线性期望运算，采用泰勒级数展开方法进行展开化简，得到电场和磁场期望的迭代求解公式；
(3)对麦克斯韦方程进行方差运算，采用泰勒级数展开方法进行展开化简，得到电场和磁场方差的迭代求解公式；
(4)输入随机电磁参数的均值和标准差，迭代求解麦克斯韦方程中电场和磁场的期望和标准差；
(5)对电场和磁场的期望和方差等电磁响应进行后处理，得到宽带的电磁散射特性,如S参数，雷达散射截面(RCS)等。
所述步骤(1)具体是指：
设定g为包含多个随机变量x1,x2,x3,…,xn的函数，上述随机变量的平均值分别对应为
随机变量x1,、x2、x3、x4分别一一对应为电场分量Em(m＝x,y,z)、磁场分量Hm(m＝x,y,z)、相对介电常数εr、电导率σ，采用数理统计的方法，获得上述随机变量的离散型随机分布，计算得到不确定性电磁参数的均值、标准差的统计规律。
所述步骤(2)具体是指：
对函数g进行线性期望运算，M表示期望运算符,采用泰勒级数展开方法进行展开化简并忽略高阶项可得：
其中，g为包含多个随机变量x1,x2,x3,…,xn的函数，上述随机变量的平均值分别对应为
对麦克斯韦方程在随机显隐式时域有限差分方法即HIE-FDTD下的离散方程进行线性期望运算，利用式(1)求得电场和磁场期望的迭代表达式,以Ex和Hy分量为例：
其中，ε0是自由空间的介电常数，μ为磁导率，Δt是时间步长，n是时间的索引，如
表示电场Ex分量在时刻t＝n·Δt的场值，
和μ σ 分别表示εr和σ的均值。
所述步骤(3)具体是指：
对麦克斯韦方程的离散公式进行方差运算可得：
其中，g为包含多个随机变量x1,x2,x3,…,xn的函数，上述随机变量的平均值分别对应为
σ2表示方差运算符；
采用泰勒级数展开方法进行展开化简并忽略高阶项可得：
以Ex为例进行说明，其在HIE-FDTD的离散公式为：
利用以下两个恒等式来展开上式：
σ2{αX}＝α2σ2{X} (7)
其中，α是常数；Cov(X,Y)是协方差，展开为Cov(X,Y)＝ρXYσ{X}σ{Y}；ρXY是X和Y之间的相关系数；σ表示标准差运算符；
式(6)的左侧展开为：
使用式(5)对式(9)第二项的平方进行展开得：
其中，ρXY为相关系数，表征了变量之间的相关性大小,例如：
表示σ和εr的相关系数，ρ σ ,E表示σ和E的相关系数,
表示εr和E的相关系数；
对上式进行化简、省略高阶项并进行开平方运算后可得出式(9)的开平方表达式：
同理可对式(6)的右侧进行展开化简，从而得到Ex分量标准差的表达式；由于该算法为隐式算法，设置HIE-FDTD方法的稳定性条件与y方向无关；在更新Ex和Hz的过程中，求解场分量Ex n+1需要用到Hz n+1的值，而求解场分量Hz n+1需要用到Ex n+1的值；因此将Hz n+1的表达式代入Ex n+1的表达式从而消去未知量，最终获得电场Ex分量标准差的最终表达式：
其中：
是空间步长,ρ σ ,H表示σ和H的相关系数,
表示εr和H的相关系数。
所述步骤(4)具体是指：将随机电磁参数的均值和标准差代入麦克斯韦方程的离散表达式，依据图1所示流程图的步骤,设置激励源和目标模型，利用电场和磁场及其边界条件的期望和标准差表达式迭代求解目标的电磁散射特性。
现结合两个数值实例及说明书附图对本发明作进一步描述和验证。图2所示为多层人体组织三维仿真区域示意图，入射脉冲通过总场/散射场(TF/SF)技术引入，ABC为吸收边界条件，人体组织放置于空气(air)之中，人体组织(皮肤skin，脂肪fat和肌肉muscle)的介电常数和电导率的平均值和标准差和人体组织的厚度如下表所示。
图3和4所示分别为使用MC方法、S-FDTD方法和本方法计算得出的人体组织内电场的均值和方差对比图，CPU的计算效率如下表所示，可以看出本发明具有较高计算效率的同时保证了较高的精度。
图5所示为频域选择表面仿真示意图：图5(a)为频域选择表面单元俯视图，图5(b)为三维仿真区域示意图。
图6所示为使用S-FDTD和本发明方法计算得到频域选择表面的传输系数结果对比图，其中M表示直接对电场的均值实施傅里叶变换获得的结果，M+S(M-S)表示的是时域中电场的均值加上(减去)方差后再实施傅里叶变换获得的结果。CPU的计算效率如下表所示，可以看出本发明具有较高计算效率的同时保证了较高的精度。
| 方法 | 时间步 | 总的迭代次数 | CPU时间(s) |
| S-FDTD | Δx/6c | 10000 | 1213.56 |
| S-HIE-FDTD | 4Δx/6c | 2500 | 828.32 |
综上所述，本发明仅需要一次运算即可获得目标宽频带的电磁散射特性，相比较于处理随机问题的传统MC方法需要重复成千上万次全波仿真，极大地节约了计算时间；本发明的时间步长不再受最细网格单元大小的限制，这使得本发明与S-FDTD方法相比，在处理空间分辨率具有高对比度的材料时具有较大的优势和更高的计算效率；本发明在具有较高计算效率的同时，亦保证了计算的精度。
Claims (5)
1.一种随机混合显隐式时域有限差分方法，其特征在于：该方法包括下列顺序的步骤：
(1)定义随机电磁参数，根据实验数据确定其均值、标准差的统计规律；
(2)对麦克斯韦方程进行线性期望运算，采用泰勒级数展开方法进行展开化简，得到电场和磁场期望的迭代求解公式；
(3)对麦克斯韦方程进行方差运算，采用泰勒级数展开方法进行展开化简，得到电场和磁场方差的迭代求解公式；
(4)输入随机电磁参数的均值和标准差，迭代求解麦克斯韦方程中电场和磁场的期望和标准差；
(5)对电场和磁场的期望和方差等电磁响应进行后处理，得到宽带的电磁散射特性。
2.根据权利要求1所述的随机混合显隐式时域有限差分方法，其特征在于：所述步骤(1)具体是指：
设定g为包含多个随机变量x1,x2,x3,…,xn的函数，上述随机变量的平均值分别对应为
随机变量x1,、x2、x3、x4分别一一对应为电场分量Em(m＝x,y,z)、磁场分量Hm(m＝x,y,z)、相对介电常数εr、电导率σ，采用数理统计的方法，获得上述随机变量的离散型随机分布，计算得到不确定性电磁参数的均值、标准差的统计规律。
3.根据权利要求1所述的随机混合显隐式时域有限差分方法，其特征在于：所述步骤(2)具体是指：
对函数g进行线性期望运算，M表示期望运算符,采用泰勒级数展开方法进行展开化简并忽略高阶项可得：
其中，g为包含多个随机变量x1,x2,x3,…,xn的函数，上述随机变量的平均值分别对应为
对麦克斯韦方程在随机显隐式时域有限差分方法即HIE-FDTD下的离散方程进行线性期望运算，利用式(1)求得电场和磁场期望的迭代表达式,以Ex和Hy分量为例：
其中，ε0是自由空间的介电常数，μ为磁导率，Δt是时间步长，n是时间的索引，如
表示电场Ex分量在时刻t＝n·Δt的场值，
和μ σ 分别表示εr和σ的均值。
4.根据权利要求2所述的随机混合显隐式时域有限差分方法，其特征在于，所述步骤(3)具体是指：
对麦克斯韦方程的离散公式进行方差运算可得：
其中，g为包含多个随机变量x1,x2,x3,…,xn的函数，上述随机变量的平均值分别对应为
σ2表示方差运算符；
采用泰勒级数展开方法进行展开化简并忽略高阶项可得：
以Ex为例进行说明，其在HIE-FDTD的离散公式为：
利用以下两个恒等式来展开上式：
σ2{αX}＝α2σ2{X}(7)
其中，α是常数；Cov(X,Y)是协方差，展开为Cov(X,Y)＝ρXYσ{X}σ{Y}；ρXY是X和Y之间的相关系数；σ表示标准差运算符；
式(6)的左侧展开为：
使用式(5)对式(9)第二项的平方进行展开得：
其中，ρXY为相关系数，表征了变量之间的相关性大小,例如：
表示σ和εr的相关系数，ρ σ ,E表示σ和E的相关系数,
表示εr和E的相关系数；
对上式进行化简、省略高阶项并进行开平方运算后可得出式(9)的开平方表达式：
同理可对式(6)的右侧进行展开化简，从而得到Ex分量标准差的表达式；由于该算法为隐式算法，设置HIE-FDTD方法的稳定性条件与y方向无关；在更新Ex和Hz的过程中，求解场分量
需要用到
的值，而求解场分量
需要用到
的值；因此将
的表达式代入
的表达式从而消去未知量，最终获得电场Ex分量标准差的最终表达式：
其中：
是空间步长,ρ σ ,H表示σ和H的相关系数,
表示εr和H的相关系数。
5.根据权利要求1所述的随机混合显隐式时域有限差分方法，其特征在于：所述步骤(4)具体是指：将随机电磁参数的均值和标准差代入麦克斯韦方程的离散表达式，设置激励源和目标模型，利用电场和磁场及其边界条件的期望和标准差表达式迭代求解目标的电磁散射特性。
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