CN109918707B - 一种基于Lévy过程的航空发动机剩余寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Lévy过程的航空发动机剩余寿命预测方法，该方法中，结合伽马过程和复合泊松过程提出了一种新的基于Lévy从属过程的退化模型，该模型综合考虑了发动机的逐渐缓慢退化和因受外部冲击影响导致的零星跳跃退化；通过使用逆傅里叶变换，进一步推导出可靠性函数和寿命概率密度函数；列出了当跳跃大小满足常见的指数分布、伽马分布以及逆高斯分布时的可靠性函数、寿命分布函数与寿命概率密度函数的具体表达式；利用监测数据与极大似然估计算法估计基于Lévy从属过程退化模型的参数，预测航空发动机的剩余寿命。本发明的方法提高了发动机寿命预测结果的准确性，具有较高实用价值。

Description

一种基于Lévy过程的航空发动机剩余寿命预测方法

技术领域

本发明属于航空发动机剩余寿命预测技术领域，特别涉及一种基于Lévy从属过程的航空发动机剩余寿命预测方法。

背景技术

航空发动机价格高昂，若发动机在运行工作中发生严重故障会造成机毁人亡的重大经济损失，通过发动机健康管理相关技术对发动机运行的可靠性进行有效监控和评估，对发动机的寿命进行预测，可在发生故障前进行预警，提前指定相应的维修计划。剩余寿命预测是指根据设备在某一时刻的运行状态，预测设备从该时刻状态到达失效状态的时间。目前，国内外剩余寿命相关的研究主要分为两类：(1)基于物理性能衰退模型的寿命预测；(2)基于数据驱动的剩余寿命预测。由于发动机具有结构复杂，部件间的依赖性大，运行环境恶劣等特点，基于物理性能衰退模型的剩余寿命预测难以适用。基于数据驱动的剩余寿命预测不需要建立精准可靠的数学模型，主要依靠产品运行过程中监测的退化数据，建立相应的退化模型，具有明显的计算和建模优势，当退化达到给定阈值时发生故障，可以通过更换一些组件来维修发动机使其继续工作。主要分为三类：(1)基于统计学相关理论的剩余寿命预测；(2)基于人工智能算法的剩余寿命预测；(3)基于随机模型的剩余寿命预测。

发动机的性能退化过程具有随机性，使用基于随机过程的剩余寿命预测可以很好的描述退化过程的随机性，从而基于概率对发动机的寿命进行相应的预测。但是，现有的基于随机过程的航空发动机剩余寿命预测方法都是假设退化过程为渐进退化，在实际运行环境中，很少有系统经历纯粹的渐进退化过程。由于随机因素、环境、冲击的影响，实际退化过程通常会出现零星跳跃退化的情况。对于受到零星跳跃损伤的系统，复合泊松过程是一种具有独立且相同跳跃分布的随机过程，适合于模拟纯跳跃退化系统的退化过程。

在实践中，很少有系统经历纯粹的零星跳跃退化过程或只有渐进退化过程。伽马过程因样本路径严格增加，这体现了随着运行时间的推移，系统退化的单调性。

发明内容

针对于上述现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种基于Lévy过程的航空发动机剩余寿命预测方法，以解决现有技术中发动机的逐渐缓慢退化和因受外部冲击影响导致的零星跳跃退化的问题。本发明的方法提高了发动机寿命预测结果的准确性，具有较高实用价值。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案如下：

本发明的一种基于Lévy过程的航空发动机剩余寿命预测方法，包括步骤如下：

a、结合伽马过程和复合泊松过程构建一种基于Lévy从属过程的退化模型，该模型考虑发动机的退化和因受外部冲击影响导致的零星跳跃退化；

b、通过使用逆傅里叶变换，推导出可靠性函数、寿命累积分布函数和寿命概率密度函数；

c、列出当跳跃大小满足指数分布、伽马分布以及逆高斯分布时的可靠性函数、寿命累积分布函数与寿命概率密度函数的具体表达式；通过分析航空发动机的退化跳跃过程可知，航空发动机的退化跳跃大小满足指数分布；

d、利用发动机性能监测数据与极大似然估计算法估计基于Lévy从属过程退化模型的参数，预测航空发动机的剩余寿命。

进一步地，所述步骤a具体包括：若一个Lévy过程X(t)是非减少和非负的，则称其为一个从属过程；Lévy从属过程取值范围为[0，∞)，满足如下条件：

式中，X(t)为t时刻的性能退化量，t、s为不同的性能监测时刻；

对于航空发动机的性能退化，利用Lévy从属过程来考虑渐进退化与零星跳跃过程，构建如下式(2)所示的Lévy从属过程：

X(t)＝G(t)+C(t) (2)

式中，G(t)表示航空发动机渐进退化的伽马过程，C(t)表示航空发动机具有零星跳跃的复合泊松过程。

进一步地，所述步骤b具体包括：作为构建本文Lévy从属过程的一种，非平稳伽马过程G(t)通常定义如下：

式中，G(0)为G(t)在0时刻的值；P为概率；a(t)为伽马过程的形状参数，其用来确定某一时刻的伽马分布的具体形状；β为伽马过程的尺度参数，其决定某一时刻的伽马分布的尺度大小；伽马过程形状参数与时间之间的关系是线性的，即形状参数a(t)＝at,a＞0，根据伽马过程G(t)的定义可知，时间上均匀的伽马过程的概率密度函数为：

式中，a为伽马过程的形状参数；Γ(at)为伽马函数；

根据特征函数的定义，求得伽马过程的特征函数如下：

同时，求得伽马过程G(t)的特征指数与Lévy测度：

v_G(t)(dx)＝ax^-1e^-βxdx (7)

时间上均匀的伽玛过程是一个Lévy从属过程，样本路径为单调递增的，伽马过程任意时刻性能退化量的均值为E(G(t))＝at/β；

作为另一种Lévy从属过程，复合泊松过程C(t)表示如下：

其中，N(t)为符合参数为λ的泊松过程，表示直到时间t的冲击次数，J_i表示跳跃大小独立并且跳跃大小分布相同的随机变量；根据特征函数的定义，复合泊松过程具有如下的特征函数：

式中，λ满足复合泊松过程的跳跃强度，其范围为0＜λ＜∞；u_J(dx)是J_i的累积分布函数；i为虚数；

根据复合泊松过程的特征函数，求得复合泊松过程的特征指数与Lévy测度：

η_C(t)(u)＝∫_R(e^iux-1)λu_J(x) (10)

v_C(t)(dx)＝λu_J(dx) (11)

式中，u_J(dx)是J_i的累积分布函数，当J_i满足不同类型的分布时，求得复合泊松过程的Lévy测度；

假设退化开始时X(t)＝0，当航空发动机的退化X(t)超过预定的故障阈值时，即产生失效，令故障阈值为K；

航空发动机的寿命为首次超过阈值的时间，表示如下：

T＝inf{t:X(t)＞K} (12)

航空发动机的寿命分布函数表示如下：

F(t)＝P(T＜t) (13)

发动机的可靠性R(t)定义为在任何时间t内累积退化不超过阈值K的概率，定义表达如下：

R(t)＝P{X(t)≤K}＝P(T≥t)＝1-F(t) (14)

由于伽马过程和复合泊松过程相互独立，根据式(14)可靠性函数的定义，将式(2)和(8)代入到式(14)中，通过传统卷积方法得到从属过程的可靠性函数为：

若G(t)和J_i的分布函数相同，即J_i也满足伽马分布，且G(t)和J_i的尺度参数大小相等，则通过利用随机变量的数学特性计算出R(t)、F(t)与f(x)；若分布函数不同，则R(t)、F(t)与f(x)通过从属过程的Lévy测度和特征函数间接推导出来；

从属过程X(t)的特征函数为：

式中，u_J'为J_i的概率密度函数，此时，X(t)的Lévy测度表示为：

若概率密度函数f(x)和特征函数φ_X(u)在勒贝格积分意义上是可积的，并且假设存在随机变量平均值的情况下，以下等式成立：

对于受渐进退化和跳跃退化综合影响的航空发动机，令故障失效阈值为K，将式(16)代入到式(18)中，得Lévy从属过程X(t)的可靠性函数为：

R(t)具体表达式根据跳跃大小J_i的不同分布类型确定的；根据可靠性函数与累积分布函数的关系，得航空发动机的寿命累积分布函数为：

航空发动机的寿命概率密度函数为：

进一步地，所述步骤c具体包括：

(1)指数分布

当跳跃尺寸J_i满足参数为θ的指数分布时，跳跃大小的概率密度函数表示为：

u_J'(x；θ)＝θe^-θx,x＞0 (22)

将式(22)代入到式(16)中，复合泊松过程的特征函数具有以下形式：

根据式(19)、(20)、(21)得航空发动机运行的可靠性函数与寿命概率密度函数如下：

(2)伽马分布

当跳跃大小J_i满足伽马分布时，跳跃大小的概率密度函数表示为：

式中，a^*是形状参数，β^*是尺度参数；

在这种情况下，复合泊松过程的特征函数具有以下形式：

根据式(19)、(20)、(21)得航空发动机运行的可靠性函数与寿命概率密度函数如下：

(3)逆高斯分布

当跳跃大小J_i满足均值为η、形状参数为υ，且η＞0,υ＞0的逆高斯分布时，跳跃大小的概率密度函数表示为：

在这种情况下，复合泊松过程的特征函数具有以下形式：

因此，根据式(19)、(20)、(21)得航空发动机运行的可靠性函数与寿命概率密度函数如下：

本发明的有益效果：

本发明不仅考虑了航空发动机的渐进退化过程，也同时考虑了因离散的突发情况而导致的发动机的零星随机跳跃退化。该退化模型更加符合实际的发动机性能退化过程，根据所建立退化模型的特征函数与特征指数，通过逆傅里叶变化推导出了航空发动机运行的可靠性函数、寿命的概率密度函数以及累积分布函数。通过极大似然估计算法估计出了模型的参数；提高了发动机寿命预测结果的准确性，具有较高实用价值。

附图说明

图1为本发明的航空发动机剩余寿命预测方法的结构框架示意图；

图2为前50台发动机的寿命情况示意图；

图3为发动机的可靠性函数图；

图4为发动机的概率密度函数图；

图5为发动机的寿命累积分布函数图；

图6为当前运行时刻分别为30、60、90时的剩余寿命概率密度函数。

具体实施方式

为了便于本领域技术人员的理解，下面结合实施例与附图对本发明作进一步的说明，实施方式提及的内容并非对本发明的限定。

参照图1所示，本发明的一种基于Lévy过程的航空发动机剩余寿命预测方法，包括步骤如下：

a、结合伽马过程和复合泊松过程构建一种基于Lévy从属过程的退化模型，该模型考虑发动机的退化和因受外部冲击影响导致的零星跳跃退化；

b、通过使用逆傅里叶变换，推导出可靠性函数、寿命累积分布函数和寿命概率密度函数；

c、列出当跳跃大小满足指数分布、伽马分布以及逆高斯分布时的可靠性函数、寿命累积分布函数与寿命概率密度函数的具体表达式；通过分析航空发动机的退化跳跃过程可知，航空发动机的退化跳跃大小满足指数分布。

d、利用发动机性能监测数据与极大似然估计算法估计基于Lévy从属过程退化模型的参数，预测航空发动机的剩余寿命。

其中，所述步骤a具体包括：若一个Lévy过程X(t)是非减少和非负的，则称其为一个从属过程；Lévy从属过程取值范围为[0，∞)，满足如下条件：

式中，X(t)为t时刻的性能退化量，t、s为不同的性能监测时刻；

对于航空发动机的性能退化，利用Lévy从属过程来考虑渐进退化与零星跳跃过程，构建如下式(2)所示的Lévy从属过程：

X(t)＝G(t)+C(t) (2)

式中，G(t)表示航空发动机渐进退化的伽马过程，C(t)表示航空发动机具有零星跳跃的复合泊松过程。

其中，所述步骤b具体包括：作为构建本文Lévy从属过程的一种，非平稳伽马过程G(t)通常定义如下：

式中，G(0)为G(t)在0时刻的值；P为概率；a(t)为伽马过程的形状参数，其用来确定某一时刻的伽马分布的具体形状；β为伽马过程的尺度参数，其决定某一时刻的伽马分布的尺度大小；伽马过程形状参数与时间之间的关系是线性的，即形状参数a(t)＝at,a＞0，根据伽马过程G(t)的定义可知，时间上均匀的伽马过程的概率密度函数为：

式中，a为伽马过程的形状参数；β为伽马过程的尺度参数；Γ(at)为伽马函数；

根据特征函数的定义，求得伽马过程的特征函数如下：

同时，求得伽马过程G(t)的特征指数与Lévy测度：

v_G(t)(dx)＝ax^-1e^-βxdx (7)

时间上均匀的伽玛过程是一个Lévy从属过程，样本路径为单调递增的，伽马过程任意时刻性能退化量的均值为E(G(t))＝at/β；

作为另一种Lévy从属过程，复合泊松过程C(t)表示如下：

其中，N(t)为符合参数为λ的泊松过程，表示直到时间t的冲击次数，J_i表示跳跃大小独立并且跳跃大小分布相同的随机变量；通常，它可能受到不同概率分布的影响，例如指数分布、伽马分布、高斯分布等。根据特征函数的定义，复合泊松过程具有如下的特征函数：

式中，λ满足复合泊松过程的跳跃强度，其范围为0＜λ＜∞；u_J(dx)是J_i的累积分布函数；i为虚数；

根据复合泊松过程的特征函数，求得复合泊松过程的特征指数与Lévy测度：

η_C(t)(u)＝∫_R(e^iux-1)λu_J(x) (10)

v_C(t)(dx)＝λu_J(dx) (11)

式中，u_J(dx)是J_i的累积分布函数，当J_i满足不同类型的分布时，求得复合泊松过程的Lévy测度；

假设退化开始时X(t)＝0，当航空发动机的退化X(t)超过预定的故障阈值时，即产生失效，令故障阈值为K；

航空发动机的寿命为首次超过阈值的时间，表示如下：

T＝inf{t:X(t)＞K} (12)

航空发动机的寿命分布函数表示如下：

F(t)＝P(T＜t) (13)

发动机的可靠性R(t)定义为在任何时间t内累积退化不超过阈值K的概率，定义表达如下：

R(t)＝P{X(t)≤K}＝P(T≥t)＝1-F(t) (14)

由于伽马过程和复合泊松过程相互独立，根据式(14)可靠性函数的定义，将式(2)和(8)代入到式(14)中，通过传统卷积方法得到从属过程的可靠性函数为：

若G(t)和J_i的分布函数相同，即J_i也满足伽马分布，且G(t)和J_i的尺度参数大小相等，则通过利用随机变量的数学特性计算出R(t)、F(t)与f(x)；若分布函数不同，则R(t)、F(t)与f(x)通过从属过程的Lévy测度和特征函数间接推导出来；

从属过程X(t)的特征函数为：

式中，u_J'为J_i的概率密度函数，此时，X(t)的Lévy测度表示为：

若概率密度函数f(x)和特征函数φ_X(u)在Lebesgue(勒贝格积分)意义上是可积的，并且假设存在随机变量平均值的情况下，以下等式成立：

对于受渐进退化和跳跃退化综合影响的航空发动机，令故障失效阈值为K，将式(16)代入到式(18)中，得Lévy从属过程X(t)的可靠性函数为：

R(t)具体表达式根据跳跃大小J_i的不同分布类型确定的；根据可靠性函数与累积分布函数的关系，得航空发动机的寿命累积分布函数为：

航空发动机的寿命概率密度函数为：

其中，所述步骤c具体包括：

(1)指数分布

当跳跃尺寸J_i满足参数为θ的指数分布时，跳跃大小的概率密度函数表示为：

u_J'(x；θ)＝θe^-θx,x＞0 (22)

将式(22)代入到式(16)中，复合泊松过程的特征函数具有以下形式：

根据式(19)、(20)、(21)得航空发动机运行的可靠性函数与寿命概率密度函数如下：

(2)伽马分布

当跳跃大小J_i满足伽马分布时，跳跃大小的概率密度函数表示为：

式中，a^*是形状参数，β^*是尺度参数；

在这种情况下，复合泊松过程的特征函数具有以下形式：

根据式(19)、(20)、(21)得航空发动机运行的可靠性函数与寿命概率密度函数如下：

(3)逆高斯分布

当跳跃大小J_i满足均值为η、形状参数为υ，且η＞0,υ＞0的逆高斯分布时，跳跃大小的概率密度函数表示为：

在这种情况下，复合泊松过程的特征函数具有以下形式：

因此，根据式(19)、(20)、(21)得航空发动机运行的可靠性函数与寿命概率密度函数如下：

由于航空发动机的结构复杂、主要运行在高温高压高负荷的极端恶劣的环境下，无法有效的获得完整且不含噪声的监测数据，当缺乏航空发动机的实时有效的性能监测数据时，发动机的实时性能退化状态难以进行准确估计。对于已经投入使用中的航空发动机，发动机厂商可以根据同类型发动机在设计试验阶段的可靠性数据，寿命数据以及故障监测数据来给出发动机的初始的可靠性函数、寿命分布函数、寿命概率密度函数，从而为航空公司对实际运行中发动机的剩余寿命估计以及发动机的维修计划制定提供依据。因此，本发明所进行的实验是假设缺乏实时监测数据或数据受到较大噪声污染无法使用，只有同类型发动机的历史数据的条件下进行的。

发动机性能退化跳跃的大小随着时间的增大而变大，其跳跃大小满足指数分布的情况。为了验证本发明所提出的基于Lévy从属过程的航空发动机的可靠性函数与寿命概率密度函数的准确性，本发明选用NASA经过仿真实验获取到的100台发动机寿命周期的退化监测数据来对本章建立的模型进行验证。

图2给出了训练集中前50台发动机的寿命数据；

从图2可知同类型发动机的寿命差异明显，最小寿命为128cycle，最大为287cycle。对于跳跃大小满足指数分布的情况，通过极大似然估计算法来进行估计Lévy从属退化模型的参数，由于本例的概率密度函数比较复杂，通过传统的求偏导数的极大似然估计方法有一定的困难。针对此问题本例，采用单纯形法(Neilder-Mead)来优化求得对数似然函数极大值，相关的参数估计结果如下表1所示。

表1

将估计的模型参数值代入式(24)、(25)，可以得到航空发动机运行时的可靠性函数与寿命概率密度函数，通过matlab软件绘制了航空发动机运行时的可靠性函数图、寿命累积分布函数图与寿命概率密度函数图，具体如图3、4、5所示。

图3显示了航空发动机运行可靠性随着运行时间的增加而不断下降，在初始0-150cycle时，发动机可靠性下降较慢，基本不变。在大于150cycle时，发动机由于磨损等原因，性能产生衰退，此时可靠性下降较快，在260cycle左右时发动机的运行可靠性接近0。

在获得航空发动机的初始寿命概率密度函数具体表达式后，可以通过下式34，来求得当前运行时刻m时的剩余寿命概率密度函数

图6给出了当前运行时刻分别为30、60、90时的剩余寿命概率密度函数

在得到每个时刻的剩余寿命概率密度函数后，可以根据下式35求得航空发动机剩余寿命的期望值。

通过式35获得寿命的期望值后，可以对测试集中发动机在故障点的剩余寿命进行估计，下表2给出了剩余寿命预测与实际寿命的比较，如下：

表2

根据以上预测结果可知，编号7、8、10号发动机剩余寿命的预测结果与实际结果存在较大差异，这是因为本例是在缺少实时的发动机健康监测数据或监测数据受到较大噪声污染而无法使用，只有同类型发动机的历史监测数据的情况下进行的，因发动机运行环境的差异，个体发动机的退化过程具有差异性，因此，某些发动机的剩余寿命估计结果具有较大误差。本例模型适合于缺乏实时监测数据或数据受到较大噪声污染时，发动机厂商或者维修部门为航空公司对运行中发动机的剩余寿命估计以及发动机的维修计划制定提供依据。

本发明具体应用途径很多，以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以作出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于Lévy过程的航空发动机剩余寿命预测方法，其特征在于，包括步骤如下：

a、结合伽马过程和复合泊松过程构建一种基于Lévy从属过程的退化模型；

b、通过使用逆傅里叶变换，推导出可靠性函数、寿命累积分布函数和寿命概率密度函数；

c、列出当跳跃大小满足指数分布、伽马分布以及逆高斯分布时的可靠性函数、寿命累积分布函数与寿命概率密度函数的具体表达式，通过分析航空发动机的退化跳跃过程可知，航空发动机的退化跳跃大小满足指数分布；

d、利用发动机性能监测数据与极大似然估计算法估计基于Lévy从属过程退化模型的参数，预测航空发动机的剩余寿命；

所述步骤a具体包括：若一个Lévy过程X(t)是非减少和非负的，则称其为一个从属过程；Lévy从属过程取值范围为[0，∞)，满足如下条件：

式中，X(t)为t时刻的性能退化量，t、s为不同的性能监测时刻；

对于航空发动机的性能退化，利用Lévy从属过程来考虑渐进退化与零星跳跃过程，构建如下式(2)所示的Lévy从属过程：

X(t)＝G(t)+C(t) (2)

式中，G(t)表示航空发动机渐进退化的伽马过程，C(t)表示航空发动机具有零星跳跃的复合泊松过程；

所述步骤b具体包括：作为构建本文Lévy从属过程的一种，非平稳伽马过程G(t)定义如下：

式中，G(0)为G(t)在0时刻的值；P为概率；a(t)为伽马过程的形状参数；β为伽马过程的尺度参数；伽马过程形状参数与时间之间的关系是线性的，即形状参数a(t)＝at,a＞0，根据伽马过程G(t)的定义可知，时间上均匀的伽马过程的概率密度函数为：

式中，a为伽马过程的形状参数；Γ(at)为伽马函数；

根据特征函数的定义，求得伽马过程的特征函数如下：

同时，求得伽马过程G(t)的特征指数与Lévy测度：

v_G(t)(dx)＝ax^-1e^-βxdx (7)

时间上均匀的伽玛过程是一个Lévy从属过程，样本路径为单调递增的，伽马过程任意时刻性能退化量的均值为E(G(t))＝at/β；

作为另一种Lévy从属过程，复合泊松过程C(t)表示如下：

其中，N(t)为符合参数为λ的泊松过程，表示直到时间t的冲击次数，J_i表示跳跃大小独立并且跳跃大小分布相同的随机变量；根据特征函数的定义，复合泊松过程具有如下的特征函数：

式中，λ满足复合泊松过程的跳跃强度，其范围为0＜λ＜∞；u_J(dx)是J_i的累积分布函数；i为虚数；

根据复合泊松过程的特征函数，求得复合泊松过程的特征指数与Lévy测度：

η_C(t)(u)＝∫_R(e^iux-1)λu_J(x) (10)

v_C(t)(dx)＝λu_J(dx) (11)

式中，u_J(dx)是J_i的累积分布函数，当J_i满足不同类型的分布时，求得复合泊松过程的Lévy测度；

假设退化开始时X(t)＝0，当航空发动机的退化X(t)超过预定的故障阈值时，即产生失效，令故障阈值为K；

航空发动机的寿命为首次超过阈值的时间，表示如下：

T＝inf{t:X(t)＞K} (12)

航空发动机的寿命分布函数表示如下：

F(t)＝P(T＜t) (13)

发动机的可靠性R(t)定义为在任何时间t内累积退化不超过阈值K的概率，定义表达如下：

R(t)＝P{X(t)≤K}＝P(T≥t)＝1-F(t) (14)

由于伽马过程和复合泊松过程相互独立，根据式(14)可靠性函数的定义，将式(2)和(8)代入到式(14)中，通过传统卷积方法得到从属过程的可靠性函数为：

若G(t)和J_i的分布函数相同，即J_i也满足伽马分布，且G(t)和J_i的尺度参数大小相等，则通过利用随机变量的数学特性计算出R(t)、F(t)与f(x)；若分布函数不同，则R(t)、F(t)与f(x)通过从属过程的Lévy测度和特征函数间接推导出来；

从属过程X(t)的特征函数为：

式中，u_J'为J_i的概率密度函数，此时，X(t)的Lévy测度表示为：

若概率密度函数f(x)和特征函数φ_X(u)在勒贝格积分意义上是可积的，并且假设存在随机变量平均值的情况下，以下等式成立：

对于受渐进退化和跳跃退化综合影响的航空发动机，令故障失效阈值为K，将式(16)代入到式(18)中，得Lévy从属过程X(t)的可靠性函数为：

R(t)具体表达式根据跳跃大小J_i的不同分布类型确定的；根据可靠性函数与累积分布函数的关系，得航空发动机的寿命累积分布函数为：

航空发动机的寿命概率密度函数为：

所述步骤c具体包括：

(1)指数分布

当跳跃尺寸J_i满足参数为θ的指数分布时，跳跃大小的概率密度函数表示为：

u_J'(x；θ)＝θe^-θx,x＞0 (22)

将式(22)代入到式(16)中，复合泊松过程的特征函数具有以下形式：

根据式(19)、(20)、(21)得航空发动机运行的可靠性函数与寿命概率密度函数如下：

(2)伽马分布

当跳跃大小J_i满足伽马分布时，跳跃大小的概率密度函数表示为：

式中，a^*是形状参数，β^*是尺度参数；

在这种情况下，复合泊松过程的特征函数具有以下形式：

根据式(19)、(20)、(21)得航空发动机运行的可靠性函数与寿命概率密度函数如下：

(3)逆高斯分布

当跳跃大小J_i满足均值为η、形状参数为υ，且η＞0,υ＞0的逆高斯分布时，跳跃大小的概率密度函数表示为：

在这种情况下，复合泊松过程的特征函数具有以下形式：

因此，根据式(19)、(20)、(21)得航空发动机运行的可靠性函数与寿命概率密度函数如下：

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