CN109834664B - 适用于长方形工作台的自校准方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种适用于长方形工作台的自校准方法，利用本发明的一种适用于长方形工作台的自校准方法对长方形工作台校准时，只需要利用与长方形工作台大小相同的长方形栅格板分别在与工作台重合的0位姿、相对栅格板中心旋转90°的1位姿、沿工作台长度方向平移一个栅格的边长距离的2位姿的3个位姿状态下测量栅格板上的标记点的坐标值并计算处各标记点的测量误差，然后定义出使工作台和栅格板满足自校准中的假设前提条件的坐标系，根据各位姿状态下计算测出的测量误差与工作台系统误差之间的转换关系，结合假设前提条件建立出有关位姿0、位姿1和位姿2的自校准方程，利用最小二乘原理求解工作台系统误差，完成自校准。

Description

适用于长方形工作台的自校准方法

技术领域

本发明涉及一种适用于长方形工作台的自校准方法。

背景技术

随着集成电路、光学仪器、微型机电等现代高科技产业的发展，超精密加工技术的精度在20世纪80年代达到纳米级，目前可达到亚纳米级，甚至原子级，并一直向更小的数量级极限逼进。除了用于工业、国防等领域，满足国家战略需求外，超精密加工技术还融入了国民生活的方方面面。为追求产品的高性能与小型化，制造业逐渐进入微型制造时代。纳米级微型仪器层出不穷，对加工技术的精度要求日益严格，误差范围必须控制在极小的范围内。

超精密工作台在机械工件和电子器件的加工过程中起着十分重要的作用，其定位和运动精度的大小直接决定了加工元器件的精度。普通的校准是通过精度高于被校准对象的计量仪器进行比对，确定精度量级，对计量仪器精度标准的要求非常高。所以大部分超精密工作台的校准，采用误差分离和补偿技术来评估仪器性能指标和测量结果。其中，自校准技术比较常见,也是最有效的方法之一。

自校准最早由M.R.Raugh在1984年为解决电子束光刻机校准问题而提出。R.M.Sliver的科研团队将之前的成果应用在光刻机工作台上，设计并制造了用于自校准算法的辅助测量工具。J.Ye采用正交傅立叶级数展开，对工作台误差进行计算，形成了较为完整的自校准理论体系。国内率先开展有关自校准研究的是清华大学的朱立伟、朱煜等人，他们基于非线性优化法和刚性方程，建立了自校准模型。上海交通大学的陈欣，丁国清提出一种基于最小二乘法的自校准方法，证明了该方法可有效抑制噪声。但这些方法实现的均是正方形工作台的校准，对于长方形工作台的自校准还没有一种切实可行的方法。

发明内容

鉴于以上所述现有技术的缺点，本发明的目的在于提供一种适用于长方形工作台的自校准方法，能够方便地得出长方形工作台的系统误差，对长方形工作台进行校准。

为实现上述目的，本发明提供一种适用于长方形工作台的自校准方法，包括如下作业步骤：

1)准备一块与长方形工作台大小相同、可完全覆盖工作台的长方形栅格板，栅格板上具有a条沿其宽度方向延伸的栅格线和b条沿其长度方向延伸的栅格线，a、b均为整数；各栅格线的交叉点为标记点，各栅格线在栅格板上分割出多个正方形栅格单元；

2)将栅格板放置于工作台上，使栅格板与工作台重合；此时栅格板的位姿为初始位姿，记为0位姿；测量栅格板上的各标记点的坐标值，计算得到位姿0时各标记点的测量值误差M₀；

3)以位姿0为基准，将栅格板绕其中心逆时针旋转90°，记为位姿1；测量栅格板与工作台重合区域的各标记点坐标值，计算得到位姿1时各标记点的测量值误差M₁；

4)以位姿0为基准，将栅格板沿其长度方向平移一个正方形栅格单元边长的距离，记为位姿2；测量栅格板与工作台重合区域的各标记点坐标值，计算得到位姿2时各标记点的测量值误差M₂；

5)定义坐标系，使工作台和栅格板满足自校准中的假设前提条件；

6)根据测量值误差M₀、M₁、M₂与工作台系统误差间的转换关系，结合假设前提条件，建立有关位姿0、位姿1和位姿2的自校准方程；

7)利用最小二乘原理求解工作台系统误差，完成自校准。

优选地，在所述步骤2)中，矩阵M₀表示为式(1)：

在所述步骤3)中，矩阵M₁表示为式(2)：

在所述步骤4)中，矩阵M₂表示为式(3)：

式(1)、(2)、(3)中，S表示工作台系统误差，P表示栅格板排列误差。下标0、1、2分别代表栅格板所处的位姿0、位姿1和位姿2；下标x、y用以区分X和Y两个方向上的分量；m、n表示该元素在矩阵中第m行n列的位置；(x_m,y_n)表示栅格板第m行n列的标记点的理想坐标值；

式(1)中，位姿0时工作台与栅格板坐标系间的位移偏差量为(t_0,x,t_0,y)，角度偏差为θ₀；因位姿0时栅格板完全覆盖工作台，所有标记点均处在工作台的被校准区域内，m、n的取值范围为1≤m≤b，1≤n≤a；

式(2)中，位姿1时工作台与栅格板坐标系间的位移偏差量为(t_1,x,t_1,y)，角度偏差为θ₁；因为逆时针旋转栅格板后，被校准区域内的标记点发生变化，只有中心部分正方形区域内的标记点参与自校准的过程，m、n的取值范围变为

式(3)中，位姿2时工作台与栅格板坐标系间的位移偏差量为(t_2,x,t_2,y)，角度偏差为θ₂；式(3)选取栅格板沿长边方向向右平移的位姿进行表示，栅格板上最右边一列标记点超出被校准区域，不列入计算，m、n的取值范围为1≤m≤b，2≤n≤a。

优选地，在所述步骤5)中，使工作台和栅格板分别满足以下自校准中的假设前提条件：

5.1)工作台满足无平移误差、无旋转误差和无标尺误差：

无平移误差表示为：

无旋转误差表示为：

无标尺误差表示为：

5.2)栅格板满足无平移误差、无旋转误差：

无平移误差表示为：

无旋转误差表示为：

5.3)定义坐标系的过程中，工作台坐标系与栅格板坐标系产生的位移量和旋转角度可以计入前文定义的位移偏差量(t_0,x,t_0,y)和角度偏差θ₀中，合并计算。

优选地，在所述步骤6)中，联立假设前提条件与式(1)、式(2)和式(3)，得到自校准方程式(4)：

方程式(4)中，下标中的数字0、1、2分别代表位姿0，位姿1和位姿2。下标中的x、y用以区分X和Y两个方向上的分量；V0表示元素全为0的列向量；V1表示元素全为1的列向量；V0和V1的右上角标T表示该矩阵的转置矩阵；X表示由元素x_m组成的(1×ab)矩阵；Y表示由元素y_n组成的(1×ab)矩阵；S_x、S_y表示X和Y方向上(ab×1)的工作台系统误差；P_x、P_y表示X和Y方向上(ab×1)的栅格板排列误差；

M_0,x、M_0,y表示位姿0时，分别在X和Y方向上(ab×1)的测量值误差矩阵；L_0,S为位姿0时工作台上所有被校准点的位置矩阵，大小为(ab×ab)；L_0,P为位姿0时栅格板上所有被用来校准工作台的标记点位置矩阵，大小为(ab×ab)；Z₀为元素全为0的(ab×ab)矩阵；X₀、Y₀分别表示位姿0时被校准区域内栅格点对应的横、纵坐标理想值组成的(ab×1)的矩阵；(t_0,x,t_0,y)为位姿0时栅格板坐标系与工作台坐标系间的位移偏差量，θ₀为角度偏差；

M_1,x、M_1,y表示位姿1时，分别在X和Y方向上(b²×1)的测量值误差矩阵；L_1,S为位姿1时工作台上所有被校准点的位置矩阵，大小为(b²×ab)；L_1,P为位姿1时栅格板上所有被用来校准工作台的标记点位置矩阵，大小为(b²×ab)；Z₁为元素全为0的(b²×ab)矩阵；X₁、Y₁分别表示位姿1时被校准区域内栅格点对应的横、纵坐标理想值组成的(b²×1)的矩阵；(t_1,x,t_1,y)为位姿1时栅格板坐标系与工作台坐标系间的位移偏差量，θ₁为角度偏差；

M_2,x、M_2,y表示位姿2时，分别在X和Y方向上[(ab-b)×1]的测量值误差矩阵；L_2,S为位姿2时工作台上所有被校准点的位置矩阵，大小为[(ab-b)×ab]；L_2,P为位姿2时栅格板上所有被用来校准工作台的标记点位置矩阵，大小为[(ab-b)×ab]；Z₂为元素全为0的[(ab-b)×ab]矩阵；X₂、Y₂分别表示位姿2时被校准区域内栅格点对应的横、纵坐标理想值组成的[(ab-b)×1]的矩阵；(t_2,x,t_2,y)为位姿2时栅格板坐标系与工作台坐标系间的位移偏差量，θ₂为角度偏差。

优选地，在所述步骤7)中，利用最小二乘原理求解自校准方程式(4)，得到工作台系统误差S_x和S_y的最小二乘解。

优选地，在所述步骤1)中，a、b均为奇数或者偶数。

优选地，在所述步骤7)中，除计算得出工作台系统误差外，还计算得出栅格板排列误差的P_x和P_y的最小二乘解。

如上所述，本发明涉及的一种适用于长方形工作台的自校准方法，具有以下有益效果：利用本发明的一种适用于长方形工作台的自校准方法对长方形工作台校准时，只需要利用与长方形工作台大小相同的长方形栅格板分别在与工作台重合的0位姿、相对栅格板中心旋转90°的1位姿、沿工作台长度方向平移一个栅格的边长距离的2位姿的3个位姿状态下测量栅格板上的标记点的坐标值并计算处各标记点的测量误差，然后定义出使工作台和栅格板满足自校准中的假设前提条件的坐标系，根据各位姿状态下计算测出的测量误差与工作台系统误差之间的转换关系，结合假设前提条件建立出有关位姿0、位姿1和位姿2的自校准方程，利用最小二乘原理求解工作台系统误差，完成自校准。由此可见，本发明的一种适用于长方形工作台的自校准方法只需要利用一块与长方形工作台大小相同的长方形栅格板进行几个简单移动操作及测量，然后利用数学模型即可计算得出工作台的系统误差。因此，本发明的一种适用于长方形工作台的自校准方法能够方便地得出长方形工作台的系统误差，对长方形工作台进行校准。

附图说明

图1显示为本发明的一种适用于长方形工作台的自校准方法的流程图。

图2显示为工作台与栅格板在0位姿时的坐标系误差示意图。

图3-1显示为位姿0时栅格板与工作台示意图。

图3-2显示为位姿1时栅格板与工作台示意图。

图3-3显示为位姿2时栅格板与工作台示意图。

图4-1显示为在有噪声的状态下对一种适用于长方形工作台的自校准方法进行模拟仿真的结果图，包含工作台系统误差的计算值与工作台系统误差的真实值，放大了1000倍。

图4-2显示为图4-1中工作台系统误差计算值与真实值的差值，放大了1000倍。

具体实施方式

以下由特定的具体实施例说明本发明的实施方式，熟悉此技术的人士可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点及功效。

须知，本说明书所附图式所绘示的结构、比例、大小等，均仅用以配合说明书所揭示的内容，以供熟悉此技术的人士了解与阅读，并非用以限定本发明可实施的限定条件，故不具技术上的实质意义，任何结构的修饰、比例关系的改变或大小的调整，在不影响本发明所能产生的功效及所能达成的目的下，均应仍落在本发明所揭示的技术内容得能涵盖的范围内。同时，本说明书中所引用的如“上”、“下”、“左”、“右”、“中间”及“一”等的用语，亦仅为便于叙述的明了，而非用以限定本发明可实施的范围，其相对关系的改变或调整，在无实质变更技术内容下，当亦视为本发明可实施的范畴。

如图1所示，本发明提供一种适用于长方形工作台的自校准方法，包括如下作业步骤：

1)准备一块与长方形工作台大小相同、可完全覆盖工作台的长方形栅格板，栅格板上具有a条沿其宽度方向延伸的栅格线和b条沿其长度方向延伸的栅格线，a、b均为整数；各栅格线的交叉点为标记点，各栅格线在栅格板上分割出多个正方形栅格单元；

2)请参考图3-1，将栅格板放置于工作台上，使栅格板与工作台重合；此时栅格板的位姿为初始位姿，记为0位姿；测量栅格板上的各标记点的坐标值，计算得到位姿0时各标记点的测量值误差M₀；

3)请参考图3-2，以位姿0为基准，将栅格板绕其中心逆时针旋转90°，记为位姿1；测量栅格板与工作台重合区域的各标记点坐标值，计算得到位姿1时各标记点的测量值误差M₁；

4)请参考图3-3，以位姿0为基准，将栅格板沿其长度方向平移一个正方形栅格单元边长的距离，记为位姿2；测量栅格板与工作台重合区域的各标记点坐标值，计算得到位姿2时各标记点的测量值误差M₂；

5)定义坐标系，使工作台和栅格板满足自校准中的假设前提条件；

6)根据测量值误差M₀、M₁、M₂与工作台系统误差间的转换关系，结合假设前提条件，建立有关位姿0、位姿1和位姿2的自校准方程；

7)利用最小二乘原理求解工作台系统误差，完成自校准。

在位姿0的状态下，栅格板与工作台重合，但是，请参考图2，栅格板的坐标系原点与工作台的坐标系原点之间存在一定的角度偏差θ₀和位移偏差量为(t_0,x,t_0,y)。如图3-1所示，工作台的长度方向为X方向，工作台的宽度方向为Y方向，所述栅格板由透明材料制成，栅格板上具有a条沿其宽度方向延伸的栅格线和b条沿其长度方向延伸的栅格线，纵横交错的栅格线在栅格板上划分出多个正方形网格，栅格线的交点为标记点，图2中的(x_m,y_n)表示栅格板上某标记点的理想坐标。下标m、n表示该点在所有栅格点排列中处于第m行第n列的位置，这也是该点的有关数值在对应的变量矩阵中的位置。P_x,m,n、P_y,m,n分别表示此标记点与理想坐标之间的栅格板排列误差在X和Y方向上分量。S_x,m,n、S_y,m,n分别表示与该标记点对应的工作台上相应的参考点在X和Y方向上的工作台系统误差分量。下标x、y用以区分X和Y轴方向。测量值误差M由上述坐标系偏差、栅格板排列误差和工作台系统误差以及环境噪声共同决定。

在所述步骤2)中，如图3-1所示，将长方形栅格板放置于工作台上，使栅格板标记点X和Y排列方向与工作台坐标轴方向对齐，栅格板坐标系原点与工作台坐标系原点重合。长方形栅格板较长的一边共有a个标记点，较短的一边有b个标记点。此时的位姿为初始位姿，记为位姿0。其他位姿均在初始位姿的基础上进行变换。测量栅格板上的各标记点的坐标值，计算得到位姿0时各标记点的测量值误差M₀，根据变量间关系，M₀可以表示为式(1)：

因位姿0时栅格板完全覆盖工作台，所有标记点均处在工作台的被校准区域内，故m、n的取值范围为1≤m≤b，1≤n≤a。

为方便自校准方程的矩阵表示，将相关变量的矩阵按顺序重新排列。将X和Y方向上的工作台系统误差重新排列得到(ab×1)的工作台系统误差S_x、S_y。将X和Y方向上的栅格板排列误差重新排列为(ab×1)的栅格板排列误差P_x、P_y。

式(1)用矩阵形式表示为式(1-1)：

式(1-1)中，M_0,x、M_0,y是位姿0时X和Y方向上的重新排列为(ab×1)的测量值误差。L_0,P1、L_0,P2…L_0,Pab，L_0,S1、L_0,S2…L_0,Sab分别是栅格板上一点在所有标记点中的位置及对应的工作台参考点在工作台中的位置。该点的元素为1，其余点的元素均为0，各自被重新排列为(1×ab)的矩阵。下标第一个数字0代表位姿0。下标大写字母P代表栅格板，大写字母S代表工作台。下标字母后的数字代表该点的顺序。Z_0,1、Z_0,2…Z_0,ab均表示元素为0的(1×ab)大小的零向量。x₁、x₂…x_ab，y₁、y₂…y_ab分别是位姿0时栅格板上标记点按顺序重新排列后各点对应的理想横坐标值和纵坐标值。(t_0,x,t_0,y)是位姿0时工作台与栅格板坐标系间的位移偏差量，θ₀为角度偏差。

在所述步骤3)中，如图3-2所示，以位姿0为基准，绕栅格板的中心逆时针旋转90°，记为位姿1。被校准区域在图3-2中用阴影斜线标出。测量栅格板上被校准区域内的标记点的坐标值，计算得到位姿1时各标记点的测量值误差M₁，根据变量间关系，M₁可以表示为式(2)：

因为逆时针旋转栅格板后，被校准区域内的标记点发生变化，只有中心部分正方形区域内的标记点参与自校准的过程，所以m、n的取值范围变为

与所述步骤2)相似，为方便自校准方程的矩阵表示，将相关变量的矩阵按顺序重新排列。式(2)用矩阵形式表示为式(2-1)：

式(2-1)中，M_1,x、M_1,y是位姿1时X和Y方向上的重新排列为(b²×1)的测量值误差。

分别是栅格板上一点在所有标记点中的位置及对应的工作台参考点在工作台中的位置。该点的元素为1，其余点的元素均为0，各自被重新排列为(1×ab)的矩阵。下标第一个数字1代表位姿1。下标大写字母P代表栅格板，大写字母S代表工作台。下标字母后的数字代表该点的顺序。

均表示元素为0的(1×ab)大小的零向量。

分别是栅格板上标记点按顺序重新排列后各点对应的理想横坐标值和纵坐标值。(t_1,x,t_1,y)是位姿1时工作台与栅格板坐标系间的位移偏差量，θ₁为角度偏差。

在所述步骤4)中，如图3-3所示，以位姿0为基准，沿着长方形栅格板较长的一边的方向，即X轴方向，优选地，向右平移一个栅格距离，记为位姿2，当然也可以向左平移一个栅格的距离，此处以向右平移一个栅格的距离作以说明解释。被校准区域在图3-3中用斜线标出。测量栅格板上被校准区域内的标记点的坐标值，计算得到位姿1时各标记点的测量值误差M₂，根据变量间关系，M₂可以表示为式(3)：

式(3)选取栅格板沿长边方向向右平移的位姿进行表示，栅格板上最右边一列标记点超出被校准区域，不列入计算，故m、n的取值范围为1≤m≤b，2≤n≤a。与所述步骤2)相似，为方便自校准方程的矩阵表示，将相关变量的矩阵按顺序重新排列。式(3)用矩阵形式表示为式(3-1)：

式(3-1)中，M_2,x、M_2,y是位姿2时X和Y方向上的重新排列为((ab-b)x1)的测量值误差。L_2,P1、L_2,P2…L_2,P(ab-b)，L_2,S1、L_2,S2…L_2,S(ab-b)分别是栅格板上一点在所有标记点中的位置及对应的工作台参考点在工作台中的位置。该点的元素为1，其余点的元素均为0，各自被重新排列为(1×ab)的矩阵。下标第一个数字2代表位姿2。下标大写字母P代表栅格板，大写字母S代表工作台。下标字母后的数字代表该点的顺序。Z_2,1、Z_2,2…Z_2,(ab-b)均表示元素为0的(1×ab)大小的零向量。x₁、x₂…x_(ab-b)，y₁、y₂…y_(ab-b)分别是栅格板上标记点按顺序重新排列后各点对应的理想横坐标值和纵坐标值。(t_2,x,t_2,y)是位姿2时工作台与栅格板坐标系间的位移偏差量，θ₂为角度偏差。

在所述步骤5)中，根据J.Ye在1997年发表的《An exact algorithm for self-calibration of two-dimensional precision metrology stages》。基于坐标系误差的定义，在精密测量的约束下，定义坐标系，使工作台系统误差S和栅格板排列误差P满足以下假设前提条件。

5.1)工作台满足无平移误差、无旋转误差和无标尺误差。

无平移误差表示为：

无旋转误差表示为：

无标尺误差表示为：

5.2)栅格板满足无平移误差、无旋转误差。

无平移误差表示为：

无旋转误差表示为：

5.3)定义坐标系的过程中，工作台坐标系与栅格板坐标系产生的位移量和旋转角度可以计入前文定义的位移偏差量(t_0,x,t_0,y)和角度偏差θ₀中，合并计算。

上述假设前提条件用矩阵形式表示为式(I)：

式(I)中，V0^T表示元素全为0的列向量的转置，即元素全为0的行向量。V1^T表示元素全为1的列向量的转置，即元素全为1的行向量。X表示由元素x_m组成的(1×ab)矩阵。Y表示由元素y_n组成的(1×ab)矩阵。

在所述6)中，联立位姿0的测量值矩阵表达式(1)、位姿1的测量值矩阵表达式(2)、位姿2的测量值矩阵表达式(3)和假设前提条件的矩阵表达式(I)，得到自校准方程式(4)：

式(4)中，下标中的数字0、1、2分别代表位姿0，位姿1和位姿2。下标x、y用以区分X和Y两个方向上的分量。0表示数字0。V0表示元素全为0的列向量。V1表示元素全为1的列向量。V0和V1的右上角标T表示该矩阵的转置矩阵。X表示由元素x_m组成(1×ab)的矩阵。Y表示由元素y_n组成的(1×ab)矩阵。S_x、S_y表示X和Y方向上(ab×1)的工作台系统误差。P_x、P_y表示X和Y方向上(ab×1)的栅格板排列误差。

M_0,x、M_0,y表示位姿0时，分别在X和Y方向上(ab×1)的测量值误差矩阵。L_0,S为位姿0时工作台上所有被校准点的位置矩阵，大小为(ab×ab)。L_0,P为位姿0时栅格板上所有被用来校准工作台的标记点位置矩阵，大小为(ab×ab)。Z₀为元素全为0的(ab×ab)矩阵。X₀、Y₀分别表示位姿0时被校准区域内栅格点对应的横、纵坐标理想值组成的(ab×1)的矩阵。(t_0,x,t_0,y)为位姿0时栅格板坐标系与工作台坐标系间的位移偏差量，θ₀为角度偏差。

M_1,x、M_1,y表示位姿1时，分别在X和Y方向上(b²×1)的测量值误差矩阵。L_1,S为位姿1时工作台上所有被校准点的位置矩阵，大小为(b²×ab)。L_1,P为位姿1时栅格板上所有被用来校准工作台的标记点位置矩阵，大小为(b²×ab)。Z₁为元素全为0的(b²×ab)矩阵。X₁、Y₁分别表示位姿1时被校准区域内栅格点对应的横、纵坐标理想值组成的(b²×1)的矩阵。(t_1,x,t_1,y)为位姿1时栅格板坐标系与工作台坐标系间的位移偏差量，θ₁为角度偏差。

M_2,x、M_2,y表示位姿2时，分别在X和Y方向上[(ab-b)×1]的测量值误差矩阵。L_2,S为位姿2时工作台上所有被校准点的位置矩阵，大小为[(ab-b)×ab]。L_2,P为位姿2时栅格板上所有被用来校准工作台的标记点位置矩阵，大小为[(ab-b)×ab]。Z₂为元素全为0的[(ab-b)×ab]矩阵。X₂、Y₂分别表示位姿2时被校准区域内栅格点对应的横、纵坐标理想值组成的[(ab-b)×1]的矩阵。(t_2,x,t_2,y)为位姿2时栅格板坐标系与工作台坐标系间的位移偏差量，θ₂为角度偏差。

在所述步骤7)中，自校准方程式(4)为超定方程，利用最小二乘原理求得等式(4)右边的待求量：(S_x S_y P_x P_y t_0,x t_0,y θ₀ t_1,x t_1,y θ₁ t_2,x t_2,y θ₂)^T。其中，S_x、S_y为工作台在X和Y方向上的系统误差。

在本发明的一种适用于长方形工作台的自校准方法中，所述工作台和栅格板均为长方形，优选地，栅格板上相邻两边的标记点个数奇偶性相同，即a、b均为奇数或者偶数。

如图4-1显示为在有环境噪声的状态下对一种适用于长方形工作台的自校准方法进行模拟仿真的结果图，包含工作台系统误差的计算值和工作台系统误差的真实值。因为误差本身相对于工作台的数量级较小，故放大了1000倍方便观察。并将计算值与真值的差值放大了10000倍显示在图4-2中。可见，本发明的一种适用于长方形工作台的自校准方法能够将长方形工作台的系统误差有效分离出来，与真实值非常接近，可实现长方形工作台的自校准。

基于上述实施例的技术方案，本发明的一种适用于长方形工作台的自校准方法不需要更高精度要求的校准工具，通过使用一块与之面积相同，精度一致的长方形栅格板，对栅格板进行旋转和平移操作，测量校准区域内标记点的坐标值，利用最小二乘原理求解自校准方程，可以得到工作台系统误差。这种方法精度高，易于操作，适用范围广，便于用户适用，具有以下几个优点：

1、不需要更高精度要求的校准工具，成本降低。

2、可实现长方形工作台系统误差的有效分离。

3、栅格板的位姿数少，操作简单。

综上所述，本发明有效克服了现有技术中的种种缺点而具高度产业利用价值。

上述实施例仅例示性说明本发明的原理及其功效，而非用于限制本发明。任何熟悉此技术的人士皆可在不违背本发明的精神及范畴下，对上述实施例进行修饰或改变。因此，举凡所属技术领域中具有通常知识者在未脱离本发明所揭示的精神与技术思想下所完成的一切等效修饰或改变，仍应由本发明的权利要求所涵盖。

Claims (4)

1.一种适用于长方形工作台的自校准方法，其特征是，包括如下作业步骤：

1)准备一块与长方形工作台大小相同、可完全覆盖工作台的长方形栅格板，栅格板上具有a条沿其宽度方向延伸的栅格线和b条沿其长度方向延伸的栅格线，a、b均为整数；各栅格线的交叉点为标记点，各栅格线在栅格板上分割出多个正方形栅格单元；

2)将栅格板放置于工作台上，使栅格板与工作台重合；此时栅格板的位姿为初始位姿，记为0位姿；测量栅格板上的各标记点的坐标值，计算得到位姿0时各标记点的测量值误差M₀；

3)以位姿0为基准，将栅格板绕其中心逆时针旋转90°，记为位姿1；测量栅格板与工作台重合区域的各标记点坐标值，计算得到位姿1时各标记点的测量值误差M₁；

4)以位姿0为基准，将栅格板沿其长度方向平移一个正方形栅格单元边长的距离，记为位姿2；测量栅格板与工作台重合区域的各标记点坐标值，计算得到位姿2时各标记点的测量值误差M₂；

5)定义坐标系，使工作台和栅格板满足自校准中的假设前提条件；

6)根据测量值误差M₀、M₁、M₂与工作台系统误差间的转换关系，结合假设前提条件，建立有关位姿0、位姿1和位姿2的自校准方程；

7)利用最小二乘原理求解工作台系统误差，完成自校准；

在所述步骤2)中，矩阵M₀表示为式(1)：

在所述步骤3)中，矩阵M₁表示为式(2)：

在所述步骤4)中，矩阵M₂表示为式(3)：

式(1)、(2)、(3)中，S表示工作台系统误差，P表示栅格板排列误差；下标0、1、2分别代表栅格板所处的位姿0、位姿1和位姿2；下标x、y用以区分X和Y两个方向上的分量；m、n表示该元素在矩阵中第m行n列的位置；(x_m,y_n)表示栅格板第m行n列的标记点的理想坐标值；

式(1)中，位姿0时工作台与栅格板坐标系间的位移偏差量为(t_0,x,t_0,y)，角度偏差为θ₀；因位姿0时栅格板完全覆盖工作台，所有标记点均处在工作台的被校准区域内，m、n的取值范围为1≤m≤b，1≤n≤a；

式(2)中，位姿1时工作台与栅格板坐标系间的位移偏差量为(t_1,x,t_1,y)，角度偏差为θ₁；因为逆时针旋转栅格板后，被校准区域内的标记点发生变化，只有中心部分正方形区域内的标记点参与自校准的过程，m、n的取值范围变为

式(3)中，位姿2时工作台与栅格板坐标系间的位移偏差量为(t_2,x,t_2,y)，角度偏差为θ₂；式(3)选取栅格板沿长边方向向右平移的位姿进行表示，栅格板上最右边一列标记点超出被校准区域，不列入计算，m、n的取值范围为1≤m≤b，2≤n≤a；

在所述步骤5)中，使工作台和栅格板分别满足以下自校准中的假设前提条件：

5.1)工作台满足无平移误差、无旋转误差和无标尺误差：

无平移误差表示为：

无旋转误差表示为：

无标尺误差表示为：

5.2)栅格板满足无平移误差、无旋转误差：

无平移误差表示为：

无旋转误差表示为：

5.3)定义坐标系的过程中，工作台坐标系与栅格板坐标系产生的位移量和旋转角度可以计入前文定义的位移偏差量(t_0,x,t_0,y)和角度偏差θ₀中，合并计算；

在所述步骤6)中，联立假设前提条件与式(1)、式(2)和式(3)，得到自校准方程式(4)：

方程式(4)中，下标中的数字0、1、2分别代表位姿0，位姿1和位姿2；下标中的x、y用以区分X和Y两个方向上的分量；V0表示元素全为0的列向量；V1表示元素全为1的列向量；V0和V1的右上角标T表示该矩阵的转置矩阵；X表示由元素x_m组成的(1×ab)矩阵；Y表示由元素y_n组成的(1×ab)矩阵；S_x、S_y表示X和Y方向上(ab×1)的工作台系统误差；P_x、P_y表示X和Y方向上(ab×1)的栅格板排列误差；

M_0,x、M_0,y表示位姿0时，分别在X和Y方向上(ab×1)的测量值误差矩阵；L_0,S为位姿0时工作台上所有被校准点的位置矩阵，大小为(ab×ab)；L_0,P为位姿0时栅格板上所有被用来校准工作台的标记点位置矩阵，大小为(ab×ab)；Z₀为元素全为0的(ab×ab)矩阵；X₀、Y₀分别表示位姿0时被校准区域内栅格点对应的横、纵坐标理想值组成的(ab×1)的矩阵；(t_0,x,t_0,y)为位姿0时栅格板坐标系与工作台坐标系间的位移偏差量，θ₀为角度偏差；

M_1,x、M_1,y表示位姿1时，分别在X和Y方向上(b²×1)的测量值误差矩阵；L_1,S为位姿1时工作台上所有被校准点的位置矩阵，大小为(b²×ab)；L_1,P为位姿1时栅格板上所有被用来校准工作台的标记点位置矩阵，大小为(b²×ab)；Z₁为元素全为0的(b²×ab)矩阵；X₁、Y₁分别表示位姿1时被校准区域内栅格点对应的横、纵坐标理想值组成的(b²×1)的矩阵；(t_1,x,t_1,y)为位姿1时栅格板坐标系与工作台坐标系间的位移偏差量，θ₁为角度偏差；

M_2,x、M_2,y表示位姿2时，分别在X和Y方向上[(ab-b)×1]的测量值误差矩阵；L_2,S为位姿2时工作台上所有被校准点的位置矩阵，大小为[(ab-b)×ab]；L_2,P为位姿2时栅格板上所有被用来校准工作台的标记点位置矩阵，大小为[(ab-b)×ab]；Z₂为元素全为0的[(ab-b)×ab]矩阵；X₂、Y₂分别表示位姿2时被校准区域内栅格点对应的横、纵坐标理想值组成的[(ab-b)×1]的矩阵；(t_2,x,t_2,y)为位姿2时栅格板坐标系与工作台坐标系间的位移偏差量，θ₂为角度偏差。

2.根据权利要求1所述的适用于长方形工作台的自校准方法，其特征在于：在所述步骤7)中，利用最小二乘原理求解自校准方程式(4)，得到工作台系统误差S_x和S_y的最小二乘解。

3.根据权利要求1所述的适用于长方形工作台的自校准方法，其特征在于：在所述步骤1)中，a、b均为奇数或者偶数。

4.根据权利要求1所述的适用于长方形工作台的自校准方法，其特征在于：在所述步骤7)中，除计算得出工作台系统误差外，还计算得出栅格板排列误差的P_x和P_y的最小二乘解。

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