CN109784581B - 一种考虑弹性的系统预防性维修周期优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑弹性的系统预防性维修周期优化方法，属于系统可靠性技术领域。首先确定与预防性维修周期优化有关的四个影响因素：单位时间费用、系统停机率、性能可用度和概率型弹性度量；然后，以单位时间费用最小化为目标，以性能可用度、系统停机率和概率型弹性度量为约束，建立多态系统预防性维修周期优化模型；接着，建立蒙特卡洛仿真流程，通过N次仿真计算某个给定预防性周期T下系统的各影响因素值；再根据中心极限定理，估算最优的蒙特卡洛仿真次数N，减少计算最优解的时间；最后采用黄金分割法对优化模型进行求解，得到最优的预防性维修周期。本发明增加了弹性要素，将可用性度量拓展到性能维度，解决传统方法考虑因素不全面的问题。

Description

一种考虑弹性的系统预防性维修周期优化方法

技术领域

本发明属于系统可靠性技术领域，具体涉及一种考虑弹性的系统预防性维修周期优化方法。

背景技术

预防性维修是为了降低产品故障的概率或防止功能退化，按预定的时间间隔或按规定准则实施的维修。预防性维修中最重要的问题是如何合理选择最优预防性维修周期，从而确定全寿命周期的维修活动安排。

目前的预防性维修周期优化主要针对二态系统，即系统仅有两种状态：正常或故障；而针对多态系统(系统除了正常工作和完全失效两种状态外还具有多种工作状态，或系统能够在多个性能水平下运行)的技术比较少，且大多集中于离散多态系统(即系统状态数量有限，系统状态变化呈跳跃型)，尚未发现对连续多态系统(即系统状态数量无限，系统状态变化呈渐变型)的相关研究。

当前研究离散多态系统预防性维修的技术有马尔科夫过程、通用生成函数、时间延迟模型以及柯西更新过程等，但是这些方法并不能应用于连续多态系统。

发明内容

本发明为了解决连续多态系统预防性维修周期优化问题，提出和增加了考虑性能连续变化的可用性度量以及弹性度量，设计了相关预防性维修周期优化模型和算法，具体是一种考虑弹性的系统预防性维修周期优化方法。

包括以下步骤：

步骤一、确定预防性维修周期优化的单位时间费用、停机率、性能可用度和概率型弹性度量四个因素；

单位时间费用是指单位时间内的系统费用；系统费用包括部件正常运行的费用、维修人力费用、维修硬件费用、系统停机损失费用、部件性能降级损失费用以及维修启动费用；

性能可用度用于度量整个周期内的平均性能水平；

系统停机率是预防性维修周期到达前，系统因故障导致停机的概率；

概率型弹性度量用来度量随机扰动下的系统弹性平均水平和满足用户期望的程度。

步骤二、以单位时间费用最小化为目标，以性能可用度、系统停机率和概率型弹性度量为约束，建立多态系统预防性维修周期优化模型；

模型如下：

min CPUT

η≤η^*

式中，CPUT为单位时间费用，A_P代表性能可用度，η代表系统停机率，

代表概率型弹性度量，

代表性能可用度的阈值；η^*代表系统停机率的阈值；

代表概率型弹性度量的阈值。

步骤三、建立蒙特卡洛仿真流程，通过N次仿真计算得某个给定预防性周期T下系统的各影响因素值。

首先，单次仿真的具体步骤如下：

步骤3.1，通过扰动识别确定扰动模式发生概率和扰动强度分布，抽样获得各扰动模式发生时间和扰动强度；

步骤3.2，对各扰动模式发生时间按升序排列，t₁,t₂,...,t_m,...,t_n；在每个时间点，注入相应的扰动，观察记录扰动后的系统性能降级情况。

按升序顺序依次选择各扰动模式，置计数器m＝1，由于扰动使得系统性能降到失效阈值Q_L以下的时间点初始值为t_Q＝T+1；

步骤3.3，针对当前选择的扰动模式t_m，依次比较t_Q，t_m和T的大小：

(1)如果min{t_m,t_Q,T}＝t_Q，即在第m次扰动注入之前，系统性能降到失效阈值Q_L以下，转到步骤3.4；

(2)如果min{t_m,t_Q,T}＝T，即在系统性能降到失效阈值Q_L之前，时间达到了预防性维修周期T，转到步骤3.5；

(3)如果min{t_m,t_Q,T}＝t_m，得到系统的性能变化过程，计算t_Q，并按顺序选择下一个扰动模式，置计数器m＝m+1，转到步骤3.3；

步骤3.4，进行修复性维修，根据修复性维修策略确定维修方式、维修次序，根据修复性维修时间分布确定维修时间；

步骤3.5，进行预防性维修，根据预防性维修策略确定维修方式、维修次序，根据预防性维修时间分布确定维修时间。

单次仿真得到一组单位时间费用、是否停机、性能可用度和确定型弹性度量的影响参数值作为样本。然后，同理共进行N次仿真，得到N组样本值。

最后，对N组样本值进行统计，得到各影响因素值的统计值；

具体如下：

1)、N次仿真的单位时间费用估算如下：

式中，C_O,j,k是单位时间下部件j在状态k的运行费用，系统中共有Num_n个部件；t_O,i,j,k是第i次仿真中第j个部件在状态k的运行时间长度；C_MMHC是单位时间下维修人力费用，t_PM,i是第i次仿真中预防性维修的时间；t_CM,i是第i次仿真中修复性维修的时间；C_MMC,j,k是部件j进行维修时状态为k的情况下所需要的备品备件和维修设备费用；n_i,j,k是第i次仿真中部件j进行维修时状态为k的次数；C_BM是启动维修所需要的基础费用，N是维修总次数，即仿真总次数；C_D是单位时间系统停机损失费用，t_D,i是系统第i次仿真中停机的时间；C_PD,p是单位时间系统性能降级至状态p造成的损失费用，t_PD,i,p是第i次仿真中系统性能降级至状态p的时间；T_i是第i次仿真时长，即系统到T_i时刻完全恢复。

2)、N次仿真的性能可用度公式为：

式中，Q₀是系统没有受到扰动下的性能函数，Q₁是系统受到扰动条件下的性能函数，时间区间[0，T_i]为第i次仿真中度量的时间长度。

3)、N次仿真的系统停机率计算公式为：

式中，r是预防性维修周期到达前，导致系统彻底失效而需要进行修复性维修的样本个数。

4)、N次仿真的概率型弹性度量包括弹性期望和弹性概率；

弹性期望计算公式为：

弹性概率计算公式为：

式中，

是第i次仿真得到的确定型弹性值，s为N次仿真中系统弹性值满足给定弹性阈值的次数。

步骤四、根据中心极限定理，估算最优的蒙特卡洛仿真次数N，减少计算最优解的时间。

样本量计算公式如下：

式中，N是样本参数X的数量；每个样本参数X由单次仿真得到的关键性能参数样本值，由单位时间费用、停机率、性能可用度和概率型弹性度量值组成；Z_α/2是概率统计参数，表示标准正态分布上侧

分位点，1-α是置信区间；σ是标准差；ε是允许误差。步骤五、采用黄金分割法对优化模型进行求解，得到最优的预防性维修周期。

本发明的优点与积极效果在于：

(1)一种考虑弹性的系统预防性维修周期优化方法，过去的预防性维修大都针对二态系统和离散多态系统，本发明方法针对多态系统，特别是连续多态系统，联合使用运筹学和蒙特卡洛仿真方法得到最优预防性维修周期；

(2)一种考虑弹性的系统预防性维修周期优化方法，除了沿用以往考虑的停机率和费用要素外，一方面增加了弹性要素，另一方面将可用性度量从时间维度拓展到性能维度，可以解决传统方法考虑因素不全面的问题；

(3)一种考虑弹性的系统预防性维修周期优化方法，采用经典的非线性优化方法，通过与枚举结果对比证明了算法的高效性。

附图说明

图1是本发明系统弹性行为示意图；

图2是本发明一种考虑弹性的系统预防性维修周期优化方法的流程图；

图3是本发明实施例选用的计算机集群系统结构图；

图4是本发明实施例得到的不同预防性维修周期下影响参数的值；

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

考虑到之前预防性维修周期优化中的可用性、可靠性等参数不能直接用于描述连续多态系统，而“弹性”恰能解决这一问题，本发明提出一种考虑弹性的系统预防性维修周期优化方法，在弹性度量的基础上，定义了能够描述系统性能连续变化的可用性度量，将上述参数纳入到预防性维修周期优化研究当中，改进了系统预防性维修周期优化方法，使之更加适用于连续多态系统。本发明中弹性描述的是系统承受扰动以及扰动后的恢复能力。系统可能遭受的扰动行为包括外部扰动和系统性扰动(即内部故障)，弹性度量通过对比扰动前后的性能曲线，可以细致刻画多态系统(特别是连续多态系统)扰动和恢复行为过程中复杂的性能变化过程，如图1所示。

本发明相应的前提假设如下：

(1)系统在经过预防性维修或修复性维修以后恢复如新，即完全维修；

(2)只有一个维修工人，一次只能维修一台设备；

(3)维修行为立即进行，不考虑保障延迟；

(4)部件受扰动的概率是独立同分布的。

如图2所示，具体步骤如下：

步骤一、确定预防性维修周期优化的影响因素；

影响因素包括系统单位时间费用、停机率、性能可用度和概率型弹性度量；

其定义如下：

(1)单位时间费用

系统费用包括部件正常运行的费用、维修人力费用、维修硬件费用、系统停机损失费用、部件性能降级损失费用以及维修启动费用；为了便于对系统费用进行比较，本实施例选用单位时间费用。

(2)性能可用度

性能可用度代表着系统处于正常工作条件的概率。本发明不考虑保障延迟，在针对二态系统的可达可用度的基础上，为了使其适用于多态系统，让其在性能上进行拓展，提出了性能可用度的概念，用于度量整个度量周期内的平均性能水平。

可达可用度是指：系统的工作时间作为分子，系统的工作时间、修复性维修时间以及预防性维修时间的总和作为分母，分子与分母之比的结果。

(3)系统停机率

系统停机率是预防性维修周期到达前，系统因故障导致停机的概率；系统停机造成的直接和间接损失较大。

(4)概率型弹性度量

概率型弹性度量可以度量随机扰动下的系统弹性平均水平和满足用户期望的程度。

步骤二、以单位时间费用最小化为目标，以性能可用度、系统停机率和概率型弹性度量为约束，建立多态系统预防性维修周期优化模型；

系统预防性维修周期优化模型如下：

式中，CPUT为系统单位时间费用，A_P代表性能可用度，η代表系统停机率，

代表概率型弹性度量，

代表性能可用度的阈值；η^*代表系统停机率的阈值；

代表概率型弹性度量的阈值。

步骤三：建立蒙特卡洛仿真流程，通过N次仿真计算某个给定预防性周期T下系统的各影响因素值。

由于预防性维修周期优化模型式(1)中系统的单位时间费用、性能可用度、系统停机率和概率型弹性度量难以解析计算，因此，本发明采用蒙特卡洛仿真求解某个给定预防性维修周期T前提下的上述参数值。

首先，单次仿真的具体步骤如下：

步骤3.1，通过扰动识别确定扰动模式发生概率和扰动强度分布，抽样获得各扰动模式发生时间和扰动强度；

步骤3.2，对各扰动模式发生时间按升序排列，t₁,t₂,...,t_m,...,t_n；在每个时间点，注入相应的扰动，观察记录扰动后的系统性能降级情况。

按升序顺序依次选择各扰动模式，置计数器m＝1，由于扰动使得系统性能降到失效阈值Q_L以下，系统停机；此时的时间点t_Q＝T+1(其初始值为某个比T大的数值)；

步骤3.3，针对当前选择的扰动模式t_m，依次比较t_Q，t_m和T的大小：

(1)如果min{t_m,t_Q,T}＝t_Q，即在第m次扰动注入之前，系统性能降到失效阈值Q_L以下，转到步骤3.4；

(2)如果min{t_m,t_Q,T}＝T，即在系统性能降到失效阈值Q_L之前，时间达到了预防性维修周期T，转到步骤3.5；

(3)如果min{t_m,t_Q,T}＝t_m，得到系统的性能变化过程，计算t_Q，并按顺序选择下一个扰动模式，置计数器m＝m+1,转到步骤3.3；

步骤3.4，进行修复性维修，根据修复性维修策略确定维修方式、维修次序，根据修复性维修时间分布确定维修时间；

步骤3.5，进行预防性维修，根据预防性维修策略确定维修方式、维修次序，根据预防性维修时间分布确定维修时间。

单次仿真得到一组单位时间费用、是否停机、性能可用度和确定型弹性度量作为样本。

然后，同理共进行N次仿真，得到N组样本值。N次仿真运行中，每次开始时系统如新，随着扰动的产生发生性能降级，继而通过维修恢复如新，结束当次仿真运行。通过N次仿真来获得系统性能降级和恢复过程的统计数据，继而统计得到每次仿真中的单位时间费用、是否停机、性能可用度和确定型弹性度量。

最后，对N次仿真得到的样本值进行统计，得到各影响因素值的统计值；

具体如下：

1)、N次仿真的系统单位时间费用估算如下：

式中，C_O,j,k是单位时间下部件j在状态k的运行费用，系统中共有Num_n个部件；t_O,i,j,k是第i次仿真中第j个部件在状态k的运行时间长度；C_MMHC是单位时间下维修人力费用；t_PM,i是第i次仿真中预防性维修的时间；t_CM,i是第i次仿真中修复性维修的时间；C_MMC,j,k是部件j进行维修时状态为k的情况下所需要的备品备件和维修设备费用；n_i,j,k是第i次仿真中部件j进行维修时状态为k的次数；C_BM是启动维修所需要的基础费用，N是维修总次数，即仿真总次数；C_D是单位时间系统停机损失费用，t_D,i是系统第i次仿真中停机的时间；C_PD,p是单位时间系统性能降级至状态p造成的损失费用，t_PD,i,p是第i次仿真中系统性能降级至状态p的时间；T_i是第i次仿真时长，即系统到T_i时刻完全恢复。

2)、N次仿真的性能可用度估算为：

式中，Q₀是系统没有受到扰动下的性能函数，Q₁是系统受到扰动条件下的性能函数，时间区间[0，T_i]为第i次仿真中度量的时间长度。如果研究对象是二态系统，那么其性能维要么为0要么为1，则公式(3)可以简化得到传统可达可用度表达式：

即

其中MTBM是平均维修间隔时间(含预防性维修和修复性维修)，

为平均维修时间。这里提出的考虑性能的可达可用度实际是给定时间区间内系统的平均性能比。

3)、N次仿真的系统停机率估算为：

式中，r是预防性维修周期到达前，导致系统彻底失效而需要进行修复性维修的样本个数。

4)、N次仿真的概率型弹性度量

确定型弹性度量是概率型度量的基础，其描述了系统在某次给定的扰动下在用户定义的最大允许恢复时间内系统的平均性能水平，可计算如下：

式中，t₀是系统受到扰动开始发生性能降级的时间点，T_A是用户决定的最大允许恢复时间。

考虑到扰动的随机性，在给定扰动下确定型弹性度量的基础上可以得到概率型弹性度量。

本发明给出两个概率型弹性度量：

1)弹性期望

2)弹性概率

式中，

是第i次仿真得到的确定型弹性值，s为N次仿真中系统弹性值满足给定弹性阈值的次数。

两类概率型弹性参数中，弹性期望是简明、直观地反映了系统整体弹性的平均水平；弹性概率反映了系统弹性值满足给定要求的概率。

步骤四、根据中心极限定理，估算最优的蒙特卡洛仿真次数N，减少计算最优解的时间。

根据中心极限定理，如果同分布的变量趋近于无穷大，样本的算术平均值服从正态分布

那么估计误差可以计算为：

由此，可知样本量计算如下：

式中，X是所取的样本参数X的估计值；X由单次仿真得到的关键性能参数样本值，由单位时间费用、停机率、性能可用度和概率型弹性度量值组成；N是样本参数X的数量。σ是标准差；Z_α/2是概率统计参数，表示标准正态分布上侧

分位点，1-α是置信区间。

如果缺乏标准差的数据，可以在步骤三得到蒙特卡洛仿真样本数据后，计算样本标准差S代替使用。根据置信区间需要选择相应的α数值(建议取0.05和0.1)，并根据问题需要选择允许误差ε值，则可以通过公式(9)计算得到本问题所需要的蒙特卡洛仿真次数。

步骤五、采用黄金分割法对优化模型进行求解，得到最优的预防性维修周期。

黄金分割法适用于单峰函数，通过取试探点使包含极小点的区间(不确定区间)不断缩短，当区间长度小到一定程度时，区间上各点的函数值均接近极小值，因此任意一点都可作为极小点的近似。

在此先证明单位时间费用函数的单峰特性：公式(2)的物理意义可以简述为：

显然，随着预防性维修间隔时间的增加，给定时间内的预防性维修次数减少，修复性维修次数增多，由此导致系统运行量减少，预防性维修时间减少，修复性维修时间增加，维修硬件费增加，维修启动次数减少，停机次数增多，产能损失增多。第1、2、5项是单减函数，第3、4、6、7项是单增函数。由于单增(减)函数的和仍然为单增(减)函数，而单增函数与单减函数之和一定存在单峰极小值点；证毕。

下面是黄金分割法算法的具体运算步骤：

步骤5.1，置预防性维修周期T的初始区间为[a₁,b₁]及精度要求L＞0，根据公式(10)计算试探点p₁和q₁，计算函数值CPUT(p₁)和CPUT(q₁)令κ＝1。

步骤5.2若b_κ-a_κ＜L，则停止计算，且记极小值点为

作为最优的预防性维修周期值。否则，当CPUT(p_κ)＞CPUT(q_κ)时，转步骤5.3；当CPUT(p_κ)≤CPUT(q_κ)时，转步骤5.4。

步骤5.3置a_κ+1＝p_κ，b_κ+1＝b_κ，则

计算函数值CPUT(q_κ+1)，转步骤5.5。

步骤5.4置a_κ+1＝a_κ，b_κ+1＝q_κ，则

计算函数值CPUT(p_κ+1)，转步骤5.5。

步骤5.5置κ＝κ+1，返回步骤5.2。

实施例：

以n台服务器组成的数据中心为例，其拓扑结构如图3所示。在运行阶段，n台服务器通过通讯网络连接成一个强大的集群系统；随着扰动的发生，部分服务器会出现故障，但系统整体依然可以在较低性能水平下继续工作，直到服务器故障数量超过阈值n_L，这时整个系统才会彻底停机。系统有两种维修方式，一种是在预防性维修周期到达时，如果系统还没有停机(即计算机故障数量没有超过阈值n_L)，则进行预防性维修；另一种是在预防性维修周期到达前，故障的服务器数量已经超过阈值n_L，从而引起系统停机，由此进行修复性维修。在恢复阶段，故障的服务器会因为进行了维修活动而逐个恢复工作状态，最终整个系统逐渐恢复。

假设数据中心服务器总台数为1000台，单台计算机故障时间服从指数分布E(1/8760)，即平均无故障工作时间为1年，单台计算机维修时长服从正态分布N(24,2²)，性能阈值n_L＝600。

首先，确定本案例的预防性维修周期优化问题中需要考虑的因素，并建立多态系统预防性维修模型。

然后，建立蒙特卡洛仿真流程，进行多态系统预防性维修周期分析。

实施例中，总费用率计算如公式(15)所示

式中单台服务器运行费用C_O是5元/小时，t_O,i,j是第i次仿真中第j台服务器的运行时间；单台服务器人工费C_MMHC是100元/小时；单台服务器维修费用C_MMC是3000元/台，t_O,i,j是第i次仿真中故障服务器个数；维修启动费C_BM是1000元/台；系统停机损失C_D是10000元/小时；单台服务器故障造成的盈利损失C_PD是100元/台，t_PD,i是第i次仿真中所有服务器故障时间之和。

进一步，确定具体问题的蒙特卡洛仿真次数。

取ε_CPUT＝100，

ε_η＝0.002，

α＝0.05(置信区间0.95)经过查表可得Z_α/2＝1.96，根据仿真算法在T＝1500时仿真1000次得到样本标准差S_CPUT＝1054.92，

S_η＝0.0316，

根据公式(9)分别可得N_CPUT＝428，

N_η＝959，

选择其中最大者再考虑到不同T的影响，本案例中取蒙特卡洛仿真次数N＝1000。

最后，使用相应的优化算法求解。

依照优化算法的步骤，得到相应的结果。

引入惩罚函数，令罚值P_f取无穷大，则惩罚函数f为

重复步骤直到满足退出的精度要求L＝0.5，输出最终优化结果如表1所示。为了与优化算法结果做对比，这里对不同的预防性维修周期下的单位时间费用、性能可用度、系统停机率和弹性概率的统计数据进行枚举(枚举间隔为1天)，得到结果如图4所示。

黄金分割法与枚举法的结果对比分析如下：

表1

结合图中总费用率的大体趋势，以枚举法为对照组，发现黄金分割法能迅速收敛到最优解附近，而且精度可以很高，由此可以证明黄金分隔法在有约束的非线性优化中寻优效果更好，验证了本发明提出的方法具有适用性。

Claims (2)

1.一种考虑弹性的系统预防性维修周期优化方法，基于n台服务器通过通讯网络连接成一个集群系统；随着扰动的发生，服务器会出现故障，系统依然在较低性能水平下继续工作，直到服务器故障数量超过阈值n_L，整个系统会彻底停机；其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、确定预防性维修周期优化的单位时间费用、系统停机率、性能可用度和概率型弹性度量四个因素；

步骤二、以单位时间费用最小化为目标，以性能可用度、系统停机率和概率型弹性度量为约束，建立多态系统预防性维修周期优化模型；

模型如下：

min CPUT

s.t.A_P≥A_P ^*

η≤η^*

式中，CPUT为单位时间费用，A_P代表性能可用度，η代表系统停机率，

代表概率型弹性度量，

代表性能可用度的阈值；η^*代表系统停机率的阈值；

代表概率型弹性度量的阈值；

步骤三、建立蒙特卡洛仿真流程，用于计算某个给定预防性维修周期T下，通过N次仿真得到系统的各影响因素值；

单次仿真得到一组单位时间费用、是否停机、性能可用度和概率型弹性度量的影响因素值作为样本；

单次仿真的步骤如下：

步骤3.1，通过扰动识别确定扰动模式发生概率和扰动强度分布，抽样获得各扰动模式发生时间和扰动强度；

步骤3.2，对各扰动模式发生时间按升序排列，t₁,t₂,...,t_m,...,t_n；在每个时间点，注入相应的扰动，观察记录扰动后的系统性能降级情况；

按升序顺序依次选择各扰动模式，置计数器m＝1，由于扰动使得系统性能降到失效阈值Q_L以下的时间点初始值为t_Q＝T+1；

步骤3.3，针对当前选择的扰动模式t_m，依次比较t_Q，t_m和T的大小：

(1)如果min{t_m,t_Q,T}＝t_Q，即在第m次扰动注入之前，系统性能降到失效阈值Q_L以下，转到步骤3.4；

(2)如果min{t_m,t_Q,T}＝T，即在系统性能降到失效阈值Q_L之前，时间达到了预防性维修周期T，转到步骤3.5；

(3)如果min{t_m,t_Q,T}＝t_m，得到系统的性能变化过程，计算t_Q，并按顺序选择下一个扰动模式，置计数器m＝m+1，转到步骤3.3；

步骤3.4，进行修复性维修，根据修复性维修策略确定维修方式、维修次序，根据修复性维修时间分布确定维修时间；

步骤3.5，进行预防性维修，根据预防性维修策略确定维修方式、维修次序，根据预防性维修时间分布确定维修时间；

然后，同理共进行N次仿真，得到N组样本值；对N组样本值进行统计，得到各影响因素值的统计值；计算如下：

1)、N次仿真的单位时间费用估算如下：

式中，C_O,j,k是单位时间下部件j在状态k的运行费用，系统中共有Num_n个部件；t_O,i,j,k是第i次仿真中第j个部件在状态k的运行时间长度；C_MMHC是单位时间下维修人力费用，t_PM,i是第i次仿真中预防性维修的时间；t_CM,i是第i次仿真中修复性维修的时间；C_MMC,j,k是部件j进行维修时状态为k的情况下所需要的备品备件和维修设备费用；n_i,j,k是第i次仿真中部件j进行维修时状态为k的次数；C_BM是启动维修所需要的基础费用，N是维修总次数，即仿真总次数；C_D是单位时间系统停机损失费用，t_D,i是系统第i次仿真中停机的时间；C_PD,p是单位时间系统性能降级至状态p造成的损失费用，t_PD,i,p是第i次仿真中系统性能降级至状态p的时间；T_i是第i次仿真时长，即系统到T_i时刻完全恢复；

2)、N次仿真的性能可用度公式为：

式中，Q₀是系统没有受到扰动下的性能函数，Q₁是系统受到扰动条件下的性能函数，时间区间[0，T_i]为第i次仿真中度量的时间长度；

3)、N次仿真的系统停机率计算公式为：

式中，r是预防性维修周期到达前，导致系统彻底失效而需要进行修复性维修的样本个数；

4)、N次仿真的概率型弹性度量包括弹性期望和弹性概率；

弹性期望计算公式为：

弹性概率计算公式为：

式中，

是第i次仿真得到的确定型弹性值，s为N次仿真中系统弹性值满足给定弹性阈值的次数；

步骤四、根据中心极限定理，估算最优的蒙特卡洛仿真次数N，减少计算最优解的时间；

样本量计算公式如下：

式中，N是维修总次数，即仿真总次数；每个样本参数X由单次仿真得到的关键性能参数样本值得到，由单位时间费用、停机率、性能可用度和概率型弹性度量值组成；Z_α/2是概率统计参数，表示标准正态分布上侧

分位点，1-α是置信区间；σ是标准差；ε是允许误差；

步骤五、采用黄金分割法对优化模型进行求解，得到最优的预防性维修周期。

2.如权利要求1所述的一种考虑弹性的系统预防性维修周期优化方法，其特征在于，步骤一中所述的单位时间费用是指单位时间内的系统费用；系统费用包括部件正常运行的费用、维修人力费用、维修硬件费用、系统停机损失费用、部件性能降级损失费用以及维修启动费用；

性能可用度用于度量整个周期内的平均性能水平；

系统停机率是预防性维修周期到达前，系统因故障导致停机的概率；

概率型弹性度量用来度量随机扰动下的系统弹性平均水平和满足用户期望的程度。

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