CN109697691B - 一种基于l0范数和奇异值阈值分解的双正则项优化的有限角投影重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于L0范数和奇异值阈值分解的双正则项优化的有限角投影重建方法，属于图像处理领域。该方法具体包括：S1：根据CT成像原理和正则化框架以及投影数据集P，建立最优化问题目标方程；S2：初始化参数；S3：采用SART算法进行迭代，得图像X，通过误差反馈，对X进行修正；S4：对修正后图像X进行梯度L0范数优化图像得X_L0，并更新误差d₁；S5：对步骤S4优化后的图像进行奇异值分解并加软阈值约束优化图像得X_SVT，并更新误差d₂；S6：对步骤S5所得图像按照步骤S3进行下一轮迭代，直至满足迭代终止条件。本发明能够有效恢复CT图像轮廓，减少有限角伪影，从而提高有限角CT成像质量和适用性。

Description

一种基于L0范数和奇异值阈值分解的双正则项优化的有限角 投影重建方法

技术领域

本发明属于图像处理领域，涉及一种基于L0范数和奇异值阈值分解的双正则项优化的有限角投影重建方法。

背景技术

计算机层析成像技术(Computed tomography,CT)通过采集到的投影数据和一定重建算法，利用X射线的衰减信息反投影重建出被测物体密度分布图像，具有无损、高精度和可视化等优点，因此被广泛应用在医学影像、工业无损检测和安全检查等领域。在投影数据完备的情况下，即完整的角度投影，采用迭代重建算法和解析重建算法均能得到很好的重建效果。但在实际CT扫描过程，因检测环境、物体结构、扫描方式等外界因素的影响，通常只能获取不完全角度的投影数据。

针对角度受限型有限角CT图像重建问题，若采用解析算法重建图像，则存在显著的条形伪影且导致缺失角度部分图像失真，而迭代重建算法则不同，通过迭代逼近可有效降低不完全投影引入的伪影。典型的迭代类重建算法有代数重建法(AlgebraReconstruction Technique, ART)和联合代数重建法(Simultaneous algebraicreconstruction technique,SART)算法，其中 SART算法收敛速度快，借助松弛因子对噪声有一定的抑制作用，因此在迭代算法中常选用 SART。但是由于对图像质量要求的日渐提升，该算法已经无法满足其应用需求。Candes等提出的压缩感知(Compressive Sensing,CS)理论，其中L0算子是稀疏型的一种标准度量方式，但是实际应用中基于L0范数的最小化问题很难求解，通常用L1范数作为L0范数的凸松弛，以便易于求解，即通过求解一个稀疏图像的L1范数最小的凸优化问题可以得到重建图像。 2006年Sidky和Pan将全变差(TotalVariation,TV)最小化与SART重建算法结合，通过最速下降法求极小值，实现了对具有稀疏特性图像的优化重建，取得不错的效果。徐立等将图像梯度的L0范数作为正则化项，研究了一种新的图像光滑的正则化方法；余维等提出基于 L0范数正则优化的有限角投影边缘保持重建。但是该算法尚存在以下不足：利用图像梯度稀疏性的单一的先验信息，对于大角度有限角投影重建细节和边缘恢复效果欠佳。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种基于L0范数和奇异值阈值分解的双正则项优化的有限角投影重建方法，用于解决现有有限角投影重建图像细节和边缘缺失的问题，从而提高 CT图像的重建质量。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种基于L0范数和奇异值阈值分解的双正则项优化的有限角投影重建方法，采用变量分裂的交替方向优化方法，在梯度L0范数正则化的基础上引入奇异值阈值分解作为附加正则项，以更好地恢复图像轮廓和细节。该方法具体包括以下步骤：

S1：根据CT成像原理和正则化框架以及投影数据集P，建立最优化问题目标方程如下：

式中，A为系统投影矩阵，P为投影数据，X为重建图像，λ₁为第一项正则化参数，λ₂为第二项正则化参数；

S2：初始化参数X，X_L0，X_SVT，λ₁，λ₂，β，u₁，u₂，d₁，d₂，其中X_L0为L0范数优化后图像，X_SVT为奇异值阈值分解优化后图像，β为L0范数平滑速率，u₁为L0范数平滑权重，u₂为奇异值阈值，d₁为L0范数优化后图像的误差，d₂为奇异值阈值分解优化后图像的误差；

S3：采用传统联合代数重建算法SART进行迭代，得图像X，通过误差反馈，对X进行修正；

S4：对修正后图像X进行梯度L0范数优化图像得X_L0，并更新误差d₁；

S5：对步骤S4优化后的图像进行奇异值分解并加软阈值约束优化图像得X_SVT，并更新误差d₂；

S6：对步骤S5所得图像按照步骤S3进行下一轮迭代，直至满足迭代终止条件。

进一步，所述步骤S1中，投影射线为扇形、等间距模式。

进一步，所述步骤S1中，采用变量分裂方法将最优化问题目标方程的

和||X||_*部分分开，并采用增广拉格朗日乘子法优化。

进一步，所述步骤S1中，所述最优化问题目标方程的最优化求解，采用的是变量分裂的交替方向优化方法，分解子问题并分别求解。

进一步，所述步骤S4中，采用梯度L0范数优化图像，采用一种近似处理方法，即通过引入辅助变量，然后分解成三个子问题求解。

进一步，所述步骤S5中，所述奇异值分解优化图像，采用奇异值收缩近似图像核范数。

本发明的有益效果在于：本发明所述方法综合采用了图像的稀疏性和低秩性。利用图像稀疏性，对图像梯度进行L0范数优化，降低有限角CT图像伪影；再在梯度正则优化基础上利用图像低秩性，对图像进行奇异值分解并加以软阈值约束优化，对图像进行降维，能够有效恢复图像轮廓和细节，从而提高有限角CT图像的质量和实用性。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为本发明所述投影重建方法的流程示意图；

图2为本发明中重建的Shepp-Logan模型的理想图像；

图3为本发明中SART算法重建结果图；

图4为本发明中奇异值阈值分解(SVT)正则化算法重建结果图；

图5为本发明中梯度L0范数正则化算法重建结果图；

图6为本发明所述投影重建方法的结果图。

具体实施方式

下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。

本发明提供的基于L0范数和奇异值阈值分解的双正则项优化的有限角投影重建方法，利用图像梯度L0范数进行稀疏优化，使图像稀疏，在此基础上对图像奇异值分解对图像进行降维，使图像更低秩，能有效提高CT图像的重建质量。

参照图1，本发明所述的基于L0范数和奇异值阈值分解的双正则项优化的有限角投影重建方法，其主要步骤为：

S1：根据CT成像原理和正则化框架以及投影数据集P，建立优化目标方程如下：

式中，A为系统投影矩阵，P为投影数据，X为重建图像，λ₁为第一项正则化参数，λ₂为第二项正则化参数；

其中：(1)采用变量分裂技术将最优化问题目标方程的

和||X||_*部分分开，并采用增广拉格朗日函数优化得：

式中，X_L0为L0范数优化后的图像,X_SVT为奇异值阈值分解优化后的图像，μ₁为L0 范数项引入的拉格朗日乘数，μ₂为奇异值阈值分解项引入的拉格朗日乘数，d₁为L0范数优化后图像的误差，d₂为奇异值阈值分解优化后图像的误差；

(2)采用变量分裂的交替方向优化方法，分解为三个子问题X、X_L0、X_SVT，按如下公式分别求解：

S2：初始化参数X，X_L0，X_SVT，λ₁，λ₂，u₁，β，u₂，d₁，d₂，其中u₁为L0范数平滑权重

β为L0范数平滑速率，u₂为奇异值阈值

S3：采用传统联合代数重建算法SART进行迭代，得图像X，通过误差反馈，对X进行修正；

S4：对修正后图像X进行梯度L0范数优化图像得X_L0，并更新误差d₁；

其中，采用梯度L0范数优化图像，L0范数求解采用一种近似处理方案。即引入重建点p 处的x方向和y方向上的梯度分量

分别对应的辅助变量h_p和v_p，然后分解成子问题求解，分解过程如下：

近似处理：

子问题：

子问题：

式中，

β为梯度控制参数，

S5：对步骤S4优化后的图像进行奇异值分解并加软阈值约束优化图像得X_SVT，并更新误差d₂；

其中，奇异值分解正则优化，采用奇异值收缩近似图像核范数，先将图像进行奇异值分解，其奇异值按从大到小排列，对奇异值采用软阈值约束。具体为，若奇异值大于设定阈值则减去阈值，若奇异值小于或等于阈值则置零，而后生成新的矩阵进行迭代，达到奇异值收缩目的，实现公式如下：

式中，X_L0＝UΣS'，Σ＝diag({σ_i})，

σ_i为对角矩阵Σ的对角线上元素，u₂为设定的阈值；

S6：对步骤S5所得图像返回步骤S3进行下一轮迭代，直至满足迭代终止条件。

下面结合附图对本发明的具体实施方式做详细说明。

实施例1

为了更好地体现本发明所述的一种基于L0范数和奇异值阈值分解的双正则项优化的有限角投影重建算法在重建效果方面的优势，下面结合具体实施例将本发明所述的算法与已有的SART算法、奇异值阈值分解(SVT)正则化算法、梯度L0范数正则化算法比较。

在实际应用中，投影数据通常不可避免含有噪声。因此，为验证本发明重建算法的有效性和稳定性，如图2所示，选取重建的Shepp-Logan模型的理想图像，对选取的Shepp-Logan 模型投影数据叠加了均值为零、标准偏差为最大投影数据0.4％的高斯噪声。设定迭代次数n 为1000次，有限角扫描范围是[0,π/2]，探测器单元个数为512，单元尺寸为0.3mm，射线源到旋转中心的距离为250mm，到探测器的距离为500mm。

通过对采用SART算法、奇异值阈值分解(SVT)正则化算法、梯度L0范数正则化算法和本发明算法对扫描数据进行图像重建，重建图像如图3到图6所示。可以看出，SART算法的重建结果中存在严重的图像模糊和有限角伪影；奇异值阈值分解(SVT)正则化算法，对重建结果细节和清晰度有一定的改善；梯度L0范数正则化算法较前两者对重建结果有更好的改善，但无法完全正确的恢复物体细节；而本发明所述的投影重建算法有效恢复了图像细节，并且保证了图像的清晰，有效提高了有限角CT图像的质量。

最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其做出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。

Claims (1)

1.一种基于L0范数和奇异值阈值分解的双正则项优化的有限角投影重建方法，其特征在于，该方法具体包括以下步骤：

S1：根据CT成像原理和正则化框架以及投影数据集P，建立最优化问题目标方程如下：

式中，A为系统投影矩阵，P为投影数据，X为重建图像，λ₁为第一项正则化参数，λ₂为第二项正则化参数；其中，投影射线为扇形、等间距模式；

采用变量分裂方法将最优化问题目标方程的

和||X||_*部分分开，并采用增广拉格朗日函数优化得：

式中，X_L0为L0范数优化后的图像,X_SVT为奇异值阈值分解优化后的图像，μ₁为L0范数项引入的拉格朗日乘数，μ₂为奇异值阈值分解项引入的拉格朗日乘数，d₁为L0范数优化后图像的误差，d₂为奇异值阈值分解优化后图像的误差；

采用变量分裂的交替方向优化方法，分解为三个子问题X、X_L0、X_SVT，按如下公式分别求解：

其中d₁ ^k+1＝d₁ ^(k)-(X^(k+1)-X_L0 ^(k+1)) (3)

其中d₂ ^k+1＝d₂ ^(k)-(X^(k+1)-X_SVT ^(k+1))(4)

S2：初始化参数X，X_L0，X_SVT，λ₁，λ₂，β，u₁，u₂，d₁，d₂，其中β为L0范数平滑速率，u₁为L0范数平滑权重，

u₂为奇异值阈值，

S3：采用传统联合代数重建算法(Simultaneous algebraic reconstructiontechnique，SART)进行迭代，得图像X，通过误差反馈，对X进行修正；

S4：对修正后图像X进行梯度L0范数优化图像得X_L0，并更新误差d₁；

采用梯度L0范数优化图像，采用一种近似处理方法，即通过引入辅助变量，然后分解成三个子问题求解；

S5：对步骤S4优化后的图像进行奇异值分解并加软阈值约束优化图像得X_SVT，并更新误差d₂；其中，奇异值分解优化图像，采用奇异值收缩近似图像核范数，先将图像进行奇异值分解，其奇异值按从大到小排列，对奇异值采用软阈值约束；具体为，若奇异值大于设定阈值则减去阈值，若奇异值小于或等于阈值则置零，而后生成新的矩阵进行迭代，达到奇异值收缩目的；

S6：对步骤S5所得图像按照步骤S3进行下一轮迭代，直至满足迭代终止条件。

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