CN111899314B - 鲁棒的基于低秩张量分解和总变分正则化的cbct重建方法 - Google Patents

鲁棒的基于低秩张量分解和总变分正则化的cbct重建方法 Download PDF

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Abstract

本发明提供一种鲁棒的基于低秩张量分解和总变分正则化的CBCT重建方法，包括：在CBCT重建中使用Huber损失函数作为数据保真项，使得重建在低辐射剂量条件下对于脉冲噪声具有鲁棒性；低秩张量特性被用作为先验项，这种特性有助于恢复由脉冲噪声引起的结构信息丢失；通过进一步集成3D TV先验项以减少高斯噪声的影响，从而提出CBCT重建模型；通过交替最小化方法解决优化问题，得到并输出重建图像。本发明方法可以在高斯噪声和脉冲噪声混合的状态下，不仅可以有效的一直噪声的影响，还能很好的保留边缘，重建高质量的三维图像。

Description

鲁棒的基于低秩张量分解和总变分正则化的CBCT重建方法
技术领域
本发明属于图像重建技术领域，主要涉及混合高斯脉冲噪声下的CBCT重建方法，广泛适用于众多临床应用中。
背景技术
锥束计算机断层成像(Cone Beam Computed Tomographyct，CBCT)技术是一种新型的计算机断层成像(CT)技术，其以二维探测器为中心的一种锥形X 射线束为基础，可以以不同旋转角度捕获一系列的二维投影图像，并通过特定算法重建物体内部三维结构图像。由于CBCT技术具有低成本，高分辨率以及较短的数据采集时间的特点，因此在众多临床应用中起着重要作用。为了减少X 射线对患者的影响，在大多数临床应用中都建议使用低辐射剂量。在这种情况下，由于信号强度相对较低，因此重建的三维图像的质量会降低，从而影响噪声。因此，在低剂量条件下，从锥束X射线重建高质量三维图像对于CBCT仍然具有挑战性。
1984年，Feldkamp等人[1]提出了一种基于2D滤波反投影公式的锥束三维图像重建算法Feldkamp-Davis-Kress(FDK)算法。为了提高CBCT重建性能，同时代数重建技术(simultaneous algebraic reconstruction technique，SART)[2]被建议在迭代过程中实施。然而，FDK和SART都对噪声十分敏感。为了解决这个问题，可以使用传统的图像去噪算法来抑制2D投影图像中的噪声，例如在FDK 重建之前使用块匹配和3D滤波(block-matchingand 3D filtering，BM3D)即BM3D +FDK方法[3]。但是，通过BM3D进行降噪也会使2D投影图像的边缘信息模糊，从而在FDK重建后降低3D图像质量。研究者们发现，正则化迭代重建算法即使在高噪声条件下且投影数据很少的情况下，仍可以生成高质量的图像。文献[4]中提出了一种迭代算法，通过用惩罚加权最小二乘项作为边缘保留先验。实验结果证明了该算法在改善低剂量CBCT图像质量方面的效率。近年来，在 CBCT重建算法中使用总变分(totalvariation，TV)作为先验项[5，6]的方法被广泛使用。在这些方法中，适用于高斯噪声的L2范数始终用作数据保真度术语。但是，在低剂量条件下拍摄的真实2D投影图像有时会被异常值如读出噪声(脉冲噪声)污染。同时，尽管TV先验可以有效降低高斯噪声，但会引入阶梯伪像。并且，当由于脉冲噪声而丢失投影数据时，恢复丢失的数据效率不高。如何在高斯噪声和脉冲噪声混合的状态下，获得高质量的三维图像，成为该领域的重点问题。
发明内容
本发明针对现有技术的不足，提出了一种鲁棒的基于低秩张量分解和TV正则化的CBCT重建模型。我们通过引入了Huber损失函数，并利用张量核范数来描述不同切片之间的强相关性，从而重建高质量的图像。
本发明所采用的技术方案是一种鲁棒的CBCT重建方法，该方法包括以下步骤：
步骤1，从一系列二维投影图像
Figure BDA0002585668370000021
其向量形式表示为
Figure BDA0002585668370000022
重建目标，r、s分别为图像Yi的横向分辨率和纵向分辨率，N为投影角的总数。在CBCT重建中我们将目标表示为张量
Figure BDA0002585668370000023
表示在CBCT重建过程的基础上将χ映射为yi的第i个投影角的投影函数，m、n、p 是三阶张量χ在三个维度上的大小；通过构造优化模型对图像进行重建，所述优化模型包括数据保真项和先验约束项；
步骤2，通过引入Huber损失函数作为数据保真项；
步骤3，通过利用张量核范数来描述3D数据的高空间相关性和不同切片之间的强相关性，并加入3D TV正则化约束，共同构建先验约束项；
步骤4，利用替代方向乘数法求解优化模型，即求解三阶张量χ，得到并输出重建图像。
进一步的，步骤2中，在过去的方法中，L2范数是先前工作中使用最广泛的数据保真度术语，它直接测量yi和Diχ的差。由于脉冲噪声的影响，投影图像中总会出现一些异常值。然而，L2范数对异常值不具有鲁棒性，因此，重建图像的质量受到限制。而Huber损失函数对异常值具有鲁棒性，其定义为
Figure BDA0002585668370000024
其中，δ为预定义的常数。ω是Huber函数定义的变量，对于ω来说，当ω较小时，Hδ(ω)为ω的二次函数，当ω较大时，Hδ(ω)为ω的线性函数。由此，尽管异常值会导致ω的值较大，但其影响可以减少为线性关系。于是，我们将Huber 损失函数用作数据保真项。保真项定义为
Figure BDA0002585668370000031
进一步的，步骤3的具体实现包括了以下子步骤：
步骤3.1，CBCT图像被视为三阶张量χ，以充分探索潜在的3D结构信息。该张量的第n个(n∈[1，3])维称为n-mode，χ(n)表示沿第n个维的χ展开。例如，χ(1)表示从张量X展开的尺寸为m×np的2D矩阵。在不同的CBCT图像尺寸上可以找到具有相似结构的块，因此我们使用低秩张量属性(Tucker rank)作为一种先验约束项：
Figure BDA0002585668370000032
其中，rank(χ)表示χ的秩，αn(n∈[1，3])满足αn＞0，
Figure BDA0002585668370000033
||χ(n)||*为χ(n)的核范数，常用于低秩逼近。
步骤3.2，为有效去除高斯噪声，这里我们加入作用于三阶张量的3D TV正则化作为另一个先验约束项，表示为：
||χ||TV＝βh||Dhχ||+βv||Dvχ||+βo||Doχ||
其中，βh、βv、βo表示沿着三个方向的权重系数，||χ||TV是指χ的3D全变分正则化约束，即3D TV范数，|| ||是指范数的表示。
Figure BDA0002585668370000034
i，j，k是指三个方向上的坐标，由此，我们有约束先验项：
K(χ)：＝λrf(rank(χ))+λT||χ||TV
其中，λr和λT为两个先验约束项的权重系数。
进一步的，步骤4的具体实现包括了以下子步骤：
步骤4.1，结合上述约束，我们最终提出待求解的优化模型：
Figure BDA0002585668370000035
步骤4.2，我们使用交替最小化(ADMM)方法来处理上述优化问题。通过引入辅助变量
Figure BDA0002585668370000041
和
Figure BDA0002585668370000042
可以将原始优化问题分为以下较小的子问题：
Figure BDA0002585668370000043
ρ1、ρ2分别表示不同项的权重系数，
Figure BDA0002585668370000044
为引入的拉格朗日算子，k是迭代次数。对于χ子问题，其解决方案可以使用快递迭代收缩阈值法(fast iterative shrinkagethresholding approach，FISTA)得出，其结果等于
Figure BDA0002585668370000045
其中
Figure BDA0002585668370000046
Figure BDA0002585668370000047
其中，T表示转置，sign表示符号函数，L是Lipschitz常数。
对于
Figure BDA0002585668370000048
子问题，这是低阶张量分解问题，可以使用基于高阶奇异值分解的算法解决。
对于
Figure BDA0002585668370000049
子问题，这是常见的TV优化问题，同样的可以用FISTA解决。
对于
Figure BDA00025856683700000410
和
Figure BDA00025856683700000411
更新方式为：
Figure BDA00025856683700000412
由上可见，本发明所提供的一种CBCT重建方法，通过将Huber损失函数作为数据保真项，能够有效减少由脉冲噪声引起的异常值的影响，实现了对异常值的鲁棒性。并利用CBCT数据的潜在结构特性引入低秩张量和3D TV作为先验约束，能够在低辐射剂量下有效的实现CBCT重建，在临床分析中具有广阔的应用前景。
附图说明
图1是本发明总体流程图。
图2是本发明的算法流程图。
图3是本发明提出的方法与其他对比方法重建图像的视觉比较；其中(a)- (d)分别为FDK，SART，BM3D+FDK以及TV先验方法的重建结果，(e) 为本发明所提出的方法的重建结果，(f)为真实数据图。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下参照附图并举实施例，对本发明进一步详细说明。
如图1所示，本实施例提供了一种在混合高斯脉冲噪声下的CBCT重建方法，具体包括如下几个步骤：
步骤1：通过引入Huber损失函数作为数据保真项；
我们从一系列二维投影图像
Figure BDA0002585668370000051
其向量形式表示为
Figure BDA0002585668370000052
重建目标，N为投影角的总数。在CBCT重建中我们将目标表示为张量
Figure BDA0002585668370000053
表示在CBCT重建过程的基础上将χ映射为yi的第i 个角的投影函数。
在目标函数中，始终包含两项，一项是数据保真项，它对2D投影数据的统计信息进行建模；另一项为先验约束项，描述了用于规范化解决方案的先验信息。在过去的方法中，L2范数是先前工作中使用最广泛的数据保真度术语；它直接测量yi和Diχ的差。由于脉冲噪声的影响，投影图像中总会出现一些异常值。然而，L2范数对异常值不具有鲁棒性，因此，重建图像的质量受到限制。已证明， Huber损失函数对异常值具有鲁棒性，其定义为
Figure BDA0002585668370000054
其中，δ为预定义的常数。对于ω来说，当ω较小时，Hδ(ω)为ω的二次函数，当ω较大时，Hδ(ω)为ω的线性函数。由此，尽管异常值会导致ω的值较大，但其影响可以减少为线性关系。于是，我们将Huber损失函数用作数据保真项。保真项定义为
Figure BDA0002585668370000061
步骤2：通过利用张量核范数来描述3D数据的高空间相关性和不同切片之间的强相关性，并加入3D TV正则化约束，共同构建先验约束项；
步骤2.1：步骤2.1，CBCT图像被视为三阶张量χ，以充分探索潜在的3D 结构信息。该张量的第n个(n∈[1，3])维称为n-mode，χ(n)表示沿第n个维的χ展开。例如，χ(1)表示从张量X展开的尺寸为m×np的2D矩阵。在不同的CBCT 图像尺寸上总是可以找到具有相似结构的块，这促使我们使用低秩张量属性作为一种先验约束项：
Figure BDA0002585668370000062
其中，αn(n∈[1，3])满足αn＞0，
Figure BDA0002585668370000063
||χ(n)||*为χ(n)的核范数，常用于低秩逼近。
步骤2.2，为有效去除高斯噪声，这里我们加入作用于三阶张量的3D TV正则化作为另一个先验约束项，表示为：
||χ||TV＝βh||Dhχ||+βv||Dvχ||+βo||Doχ||
其中
Figure BDA0002585668370000064
由此，我们有约束先验项：
K(χ)：＝λrf(rank(χ))+λT||χ||TV
其中，λr和λT为两个先验约束项的权重系数。
步骤3：提出待求解的优化模型，用替代方向乘数法(alternative directionmultiplier method，ADMM)求解模型。
步骤3.1，结合上述约束，我们最终提出待求解的优化模型：
Figure BDA0002585668370000065
步骤3.2，我们使用交替最小化(ADMM)方法来处理上述优化问题。通过引入辅助变量
Figure BDA0002585668370000071
和
Figure BDA0002585668370000072
可以将原始优化问题分为以下较小的子问题：
Figure BDA0002585668370000073
对于χ子问题，其解决方案可以使用快递迭代收缩阈值法(fast iterativeshrinkage thresholding approach，FISTA)得出，其结果等于
Figure BDA0002585668370000074
其中
Figure BDA0002585668370000075
Figure BDA0002585668370000076
L是Lipschitz常数，这里我们设置L为1。
对于
Figure BDA0002585668370000077
子问题，这是低阶张量分解问题，可以使用基于高阶奇异值分解的算法解决。
对丁
Figure BDA0002585668370000078
子问题，这是常见的TV优化问题，同样的可以用FISTA解决。
对于
Figure BDA0002585668370000079
和
Figure BDA00025856683700000710
更新方式为：
Figure BDA00025856683700000711
整个算法流程如图2所示。
具体的，我们使用分辨率为128×128×128的仿真头部投影进行测试。角度为
Figure BDA00025856683700000712
时共有211个投影图像。投影图像的分辨率为256×200。我们添加混合的高斯脉冲噪声以比较降噪性能。这里，高斯噪声平均值固定为0，方差分别设定为5和30。之后我们分别添加1％和5％的脉冲噪声以模拟CBCT投影图像中读出噪声造成的影响。比较的方法包括FDK，SART，BM3D+FDK和TV先验。为了对重建结果进行定量的评价，我们选用均方根误差(RMSE)作为性能评价指标，并调整不同方法的参数以获得最佳性能。表1提供了客观比较结果。
表1不同重建方法的客观比较
Figure BDA0002585668370000081
如表1所示，由于噪声的影响，SART和FDK的性能并不能令人满意，可以看出依然存在大量噪声。在BM3D+FDK中，可以使用BM3D算法减少投影图像中的噪声，并且通过FDK算法将去噪的投影图像用于CBCT重建。因此，可以有效降低噪声的影响。但是，可以看出BM3D算法也会使投影图像的边缘模糊。因此，该算法也无法产生最佳的重建结果。通过将TV正则化作为先验约束合并到CBCT重建中，我们可以看到TV先验方法的性能优于BM3D+FDK。在我们的方法中，CBCT数据被视为张量。因此，通过添加低秩张量属性和3D TV 作为约束条件，可以充分利用它们的空间相关性。同时，通过采用Huber损失函数作为数据保真度项，可以有效地降低脉冲噪声的影响。因此，在不同的噪声水平下，所提出的方法优于其他方法。从图3可以得出类似的结论。我们选择第 45个切片作为示例进行演示，图3显示了不同方法的主观比较。其中，图(a) -(d)分别为FDK，SART，BM3D+FDK以及TV先验方法的重建结果，图(e)为本发明所提出的方法的重建结果，图(f)为真实数据图.可以看出所提出的方法可以有效地减少噪声，同时可以很好地保留边缘。它展现出最佳的视觉效果，并且最接近真实数据。
综上所述，本发明提出的一种基于低秩张量分解和TV正则化的CBCT重建方法，不管在脉冲噪声多还是少的状况下，都可以有效的抑制噪声的影响，同时还能很好的保留边缘，在临床分析等领域中都具有广泛的应用前景。
应当理解的是，本说明书未详细阐述的部分均属于现有技术。
应当理解的是，本说明书中所描述的具体实施例仅仅是对本发明作举例说明。本发明所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。
参考文献
[1]Xiaochuan Pan，Emil Sidky，and Michael Vannier，“Why do commercial CTscanners still employ traditional，filtered back-projection for imagereconstruction？，”Inverse problems，vol.25， pp.1230009，2009.
[2]Ming Jiang and Ge Wang，“Convergence of the simultaneous algebraicreconstruction technique(SART)，”IEEE Transactions on Image Processing，vol.12，no.8，pp.957-961，2003.
[3]J.Hao，L.zhang，L.Li，and K.Kang，“A comparison of projection domainnoise reduction methods in low-dose dental CBCT，”in 2012 IEEE Nuclear ScienceSymposium and Medical Imaging Conference Record(NSS/MIC)，Oct 2012，pp.3624-3627.
[4]J.Wang，T.Li，and L.Xing，“Iterative image reconstruction for CBCTusing edge-preserving prior，”Medical Physics，vol.36，pp.252-260，2009.
[5]Hsuan-Ming Huang and Ing-Tsung Hsiao，“Accelerating an ordered-subset low-dose X-ray cone beam computed tomography image reconstruction witha power factor and total variation minimization，”PLOS ONE，vol.11，no.4，pp.1-14，2016.
[6]Y.Zhang，J.N.Tehrani，and J.Wang，“A biomechanical modeling guidedCBCT estimation technique，”IEEE Transactions on Medical Imaging，vol.36，no.2，pp.641-652，2017.

Claims (3)

1.一种鲁棒的基于低秩张量分解和总变分正则化的CBCT重建方法，其特征在于，包含以下步骤：
步骤1，从一系列二维投影图像
Figure FDA0003534025630000011
其向量形式表示为
Figure FDA0003534025630000012
重建目标，r、s分别为图像Yi的横向分辨率和纵向分辨率，N为投影角的总数，在CBCT重建中，将重建目标表示为张量
Figure FDA0003534025630000013
Figure FDA0003534025630000014
表示在CBCT重建过程的基础上将
Figure FDA0003534025630000015
映射为yi的第i个角的投影函数，m、n、p是三阶张量
Figure FDA0003534025630000016
在三个维度上的大小；通过构造优化模型对图像进行重建，所述优化模型包括数据保真项和先验约束项；
步骤2，通过引入Huber损失函数作为数据保真项；
步骤3，通过利用张量核范数来描述3D数据的高空间相关性和不同切片之间的强相关性，并加入3D TV正则化约束，共同构建先验约束项；
步骤4，利用替代方向乘数法求解优化模型，即求解三阶张量
Figure FDA0003534025630000017
得到并输出重建图像；
步骤4的具体实现包括了以下子步骤：
步骤4.1，结合上述约束，构建待求解的优化模型：
Figure FDA0003534025630000018
其中，λr和λT为两个先验约束项的权重系数，Hδ为Huber损失函数，
Figure FDA0003534025630000019
表示
Figure FDA00035340256300000110
的秩，
Figure FDA00035340256300000111
是指
Figure FDA00035340256300000112
的3D全变分正则化约束，即3D TV范数；
步骤4.2，使用交替最小化方法来处理上述优化问题，通过引入辅助变量
Figure FDA00035340256300000113
和
Figure FDA00035340256300000114
将原始优化问题分为以下子问题：
Figure FDA00035340256300000115
其中，ρ1、ρ2分别表示不同项的权重系数，
Figure FDA00035340256300000116
为引入的拉格朗日算子，k是迭代次数；对于
Figure FDA00035340256300000117
子问题，使用快速迭代收缩阈值法得出，其结果等于
Figure FDA0003534025630000021
其中
Figure FDA0003534025630000022
Figure FDA0003534025630000023
其中，T表示转置，sign表示符号函数，L是Lipschitz常数，δ为预定义的常数；
对于
Figure FDA0003534025630000024
子问题，使用基于高阶奇异值分解的算法解决；
对于
Figure FDA0003534025630000025
子问题，利用快速迭代收缩阈值法解决；
对于
Figure FDA0003534025630000026
和
Figure FDA0003534025630000027
更新方式为：
Figure FDA0003534025630000028
2.如权利要求1所述的一种鲁棒的基于低秩张量分解和总变分正则化的CBCT重建方法，其特征在于：步骤2中，Huber损失函数定义如下，
Figure FDA0003534025630000029
其中，δ为预定义的常数，ω是Huber函数定义的变量；
将Huber损失函数用作数据保真项，保真项定义为
Figure FDA00035340256300000210
3.根据权利要求2所述的一种鲁棒的基于低秩张量分解和总变分正则化的CBCT重建方法，其特征在于：步骤3的具体实现包括了以下子步骤：
步骤3.1，CBCT图像被视为三阶张量
Figure FDA00035340256300000211
以充分探索潜在的3D结构信息，该张量的第n个维称为n-mode，n∈[1,3]，
Figure FDA00035340256300000212
表示沿第n个维的
Figure FDA00035340256300000213
展开；使用低秩张量属性作为一种先验约束项：
Figure FDA00035340256300000214
其中，
Figure FDA00035340256300000215
表示
Figure FDA00035340256300000216
的秩，αn满足αn>0，
Figure FDA00035340256300000217
Figure FDA00035340256300000218
为
Figure FDA00035340256300000219
的核范数；
步骤3.2，为有效去除高斯噪声，加入作用于三阶张量的3D TV正则化作为另一个先验约束项，表示为：
Figure FDA0003534025630000031
其中，βh、βv、βo表示沿着三个方向的权重系数，
Figure FDA0003534025630000032
是指
Figure FDA0003534025630000033
的3D全变分正则化约束，即3D TV范数，‖ ‖是指范数的表示；
Figure FDA0003534025630000034
i,j,k是指三个方向上的坐标，由此，得到约束先验项：
Figure FDA0003534025630000035
其中，λr和λT为两个先验约束项的权重系数。
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