CN109635372A - 基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，具体按照选择多个备选线型、分别计算每个备选线型的综合指数值和根据综合指数值建立贝叶斯模型，并由该贝叶斯模型计算洪水的设计值的步骤。本发明基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，通过改进先验概率来提高贝叶斯模型精度，进而达到降低线型选择不确定性影响的目的，从而提高设计结果精度。

Description

基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法

技术领域

本发明属于水利工程设计技术领域，涉及一种基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法。

背景技术

洪水频率分析是设计洪水推求的核心环节，降低其计算过程中的不确定性有助于提高结果精度，为水利工程设计等提供可靠依据。洪水频率计算中，分布线型的选择尤为重要，为了减少线型选择对洪水频率计算结果的影响程度，国内外学者提出了采用贝叶斯模型综合的方法进行计算^[1-4]。贝叶斯模型综合基于贝叶斯原理，是一种将模型本身的不确定性考虑在内的多模型分析统计综合方法^[5-6]。桑燕芳等人^[7]的研究结果支持水文线型选择和综合方法能够有效的提高水文设计结果的精度和可靠度。刘攀等人^[8]的研究结果表明，贝叶斯模型能够通过各线型的后验概率自动设置权重进行模型综合，并且能够均衡模型的参数个数与拟合度之间的关系，能够有效的识别数据的真实线型。贝叶斯模型的核心旨在充分利用先验信息来合理预估后验概率^[9-10]。但目前，考虑线型不确定性的研究中，先验信息均是采用无先验信息时的先验概率，即认为先验概率为P(M_i)＝1/k(k为线型个数)，而实际情况中，不同线型对样本的拟合情况是不同的，其先验概率也是不同的。梁忠民^[11]提出若不能合理利用先验信息得出可靠的先验分布，采用贝叶斯方法时会引入额外的不确定性从而降低贝叶斯理论的优越性。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，能够降低洪水频率计算过程中线型选择的不确定性，从而提高设计洪水结果精度。

本发明所采用的技术方案是，基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，具体按照下述步骤进行：

步骤1，选择多个备选线型；

步骤2，分别计算每个备选线型的综合指数值；

步骤3，根据综合指数值建立贝叶斯模型，并由该贝叶斯模型计算洪水的设计值。

本发明的特点还在于：

步骤1具体按照下述步骤选择备选线型：

步骤1.1，根据研究区域的实测水文数据挑选多种不同的分布线型；

步骤1.2，对每种的分布线型分别进行参数估计，分别得到每种分布线型的参数结果；

步骤1.3，对每种分布线型的参数结果均进行柯尔莫哥洛夫检验，将通过检验的分布线型作为备选线型。

步骤1.3进行柯尔莫哥洛夫检验时，显著性水平设定为α＝0.05。

步骤2具体按照下述步骤进行：

步骤2.1，根据目标需求选择多个评价准则；

步骤2.2，分别根据各个备选线型的参数估计结果计算该备选线型的各个评价准则结果值；

步骤2.3，分别根据每个备选线型的各个评价准则结果值计算该备选线型的综合指数。

步骤2.1中的评价准则包括AICc准则、ABS准则、RMSE准则、WLS准则。

每个备选线型的AICc准则结果值按照下述公式进行计算：

式中，为似然函数，n为实测样本容量，p为参数个数，θ为目标分布的参数估计结果；每个备选线型的ABS准则结果值按照下述公式进行计算：

其中，x_l为第l个样本值，x(p_l,θ)为频率曲线纵坐标值，p_l为样本x_l的经验频率；

每个备选线型的RMSE准则结果值具体按照下式进行计算：

每个备选线型的WLS准则结果值具体按照下述公式进行计算：

步骤2.3具体按照下述方法进行：

步骤2.3.1，将每个备选线型的各个评价准则结果值均进行同向化处理：

将评价准则结果值越小越优的评价准则分为第一类评价准则，将评价准则结果值越大越优的评价准则分为第二类评价准则；

步骤2.3.2，计算每个备选线型的综合指数：

其中，m为评价准则的个数，n₁为第一类评价准则的个数，k为线型个数，y_i,o是指第i个备选线型中的第o个评价准则值的大小。

步骤3具体按照下述步骤进行：

步骤3.1，根据每个备选线型的综合指数计算该备选线型的先验概率：

步骤3.2，根据每个备选线型的先验概率计算每个备选线型的后验概率：

式中，B_ji为贝叶斯因子， 为线型M_i的参数θ_i的极大似然估计值，d_i为线型M_i的参数个数。；

步骤3.3，根据各个线型的后验概率建立贝叶斯模型计算洪水的设计值：

其中，f_i(Q|M_i)为第i个备选线型的概率密度函数值。

本发明的有益效果是

本发明基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，通过改进先验概率来提高贝叶斯模型精度，进而达到降低线型选择不确定性影响的目的，从而提高设计结果精度。

附图说明

图1是本发明基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法的流程图；

图2是本发明基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法的实施例中安康水库的线型拟合情况图；

图3是本发明基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法的实施例中石泉水库的线型拟合情况图；

图4是本发明基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法的实施例中安康水库有、无先验信息时的贝叶斯模型的洪水频率曲线对比图；

图5是本发明基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法的实施例中石泉水库有、无先验信息时的贝叶斯模型的洪水频率曲线对比图；

图6是本发明基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法的实施例中安康水库有、无先验信息时的贝叶斯模型的洪水的设计值情况对比图；

图7是本发明基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法的实施例中石泉水库有、无先验信息时的贝叶斯模型的洪水的设计值情况对比图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，具体按照下述步骤进行：

步骤1，选择多个备选线型，具体按照下述步骤进行：

步骤1.1，根据研究区域的实测水文数据挑选多种不同的分布线型；

步骤1.2，对每种的分布线型均采用适应于中小型样本且稳定性较高的线性矩法进行参数估计，分别得到每种分布线型的参数结果；

步骤1.3，对每种分布线型的参数结果均进行柯尔莫哥洛夫检验，给定显著性水平α＝0.05，将通过检验的分布线型作为该研究区域备选线型。

步骤2，分别计算每个备选线型的综合指数值，具体按照下述步骤进行：

步骤2.1，选择目标需求选择多个评价准则，选择的评价准则包括Akaike'sinformation criterion corrected(AICc准则)、离差绝对值和最小准则(ABS准则)、均方根误差(RMSE准则)和相对离差平方和最小准则(WLS准则)。；

步骤2.2，分别根据各个备选线型的参数估计结果计算该备选线型的各个评价准则结果值；

每个备选线型的AICc准则结果值按照下述公式进行计算：

式中，为似然函数，n为实测样本容量，p为参数个数，θ为目标分布的参数估计结果；

每个备选线型的ABS准则结果值按照下述公式进行计算：

其中，x_l为第l个样本值，x(p_l,θ)为频率曲线纵坐标值，p_l为样本x_l的经验频率；

每个备选线型的均方根误差结果值具体按照下式进行计算：

每个备选线型的相对离差平方和最小准则结果值具体按照下述公式进行计算：

步骤2.3，分别根据每个备选线型的各个评价准则结果值计算该备选线型的综合指数，具体按照下述方法进行：

步骤2.3.1，将每个备选线型的各个评价准则结果值均进行同向化处理：

将评价准则结果值越小越优的评价准则分为第一类评价准则，将评价准则结果值越大越优的评价准则分为第二类评价准则；

步骤2.3.2，计算每个备选线型的综合指数：

其中，CI_i为第i个备选线型的综合指数值，m为评价准则的个数，n₁为第一类评价准则的个数，k为线型个数，y_i,o是指第i个备选线型中的第o个评价准则值的大小。

步骤3，根据综合指数值建立贝叶斯模型，根据所述贝叶斯模型计算洪水的设计值，具体按照下述步骤进行：

步骤3.1，根据每个备选线型的综合指数计算该备选线型的先验概率：

步骤3.2，引入贝叶斯因子B_ji：

其中，为线型M_i的参数θ_i的极大似然估计值，d_i为线型M_i的参数个数。

根据贝叶斯因子和各备选线型的先验概率计算各备选线型的后验概率：

步骤3.3，根据各线型的后验概率建立贝叶斯模型计算洪水的设计值：

其中，f_i(Q|M_i)为第i个备选线型的概率密度函数值。

实施例

以汉江上游流域石泉、安康水库坝址洪峰流量序列作为研究对象，收集到石泉水库1954-2005年年最大洪峰流量资料和安康水库1950-2013年年最大洪峰流量资料，以及各水库相对应的历史洪峰资料进行计算。

备选线型的拟合情况。针对研究区域的概况，选取了四种常见的三参数分布线型进行对比计算，分别为皮尔逊III型分布(P-III分布)、广义极值分布(Gev分布)、三参数威布尔分布(Weibull-3分布)、三参数对数正态分布(LN-3分布)。

首先，检验各备选线型的选择是否恰当，是否适应于研究区域的数据情况。针对研究区域对四种备选线型P-III分布、Gev分布、Weibull-3分布和LN-3分布分别采用考虑历史洪水的线性矩法进行计算，线型拟合情况如图2和图3所示，参数估计结果见表1。

对各分布的计算结果进行柯尔莫哥洛夫检验(K-S检验)，给定显著性水平α＝0.05，安康水库数据长度为66，石泉水库的数据长度为54，查找K-S检验的临界值表，如表2所示，对比研究区域各线型的统计值情况，结果均小于其临界值，表明研究区域的样本可以认为是来自于不同备选分布的总体，故本文选取的四种备选线型均可用于该研究区域的洪水频率计算。

表1各分布线型的参数估计结果表

表2各水库在不同模型下的拟合检验情况

(2)各线型的综合指数值的求解。为了充分获得各线型对研究区域数据的拟合情况，本次选取了四种考虑不同方面的信息评价准则：AICc准则、ABS准则、RMSE准则、WLS准则来评价模型的各方面信息，计算各线型参数估计结果所对应的各个评价指标值，通过式(5)得出各线型的综合指数值CI，结果见表3。四种备选线型的综合指数值结果表明：安康、石泉水库的年最大洪峰流量采用这四种备选分布进行计算时，Weibull-3分布最优，P-III分布次之。

表3各分布线型的评价指标结果表

(3)考虑线型不确定性的贝叶斯模型。

基于上述的各线型的参数拟合结果进行贝叶斯模型计算。先验概率的计算以本文提出的综合指数值来求解，同时，以无先验信息时的先验概率作为对比计算。

采用模型综合指数值来挖掘先验信息时，则样本属于各线型的先验概率由式(6)进行计算；若认为无先验信息时，则样本属于各线型的先验概率采用P(M_i)＝1/k，本文中备选线型有四种，故样本属于各线型的先验概率为0.25。基于各线型的先验概率结果，根据式(8)计算其后验概率，结果见表4。

表4贝叶斯模型先验、后验概率结果表

对比各水库有、无先验信息对应的后验概率结果可得出：无先验信息时，其后验概率更为均匀，样本对各线型拟合效果的代表性不强，且会发生后验概率权重与拟合效果不匹配的现象。例如安康水库采用传统模型进行计算时，Gev分布的后验概率为0.242，P-III分布的后验概率为0.197，拟合效果不好的线型反而有更高的权重，该结果与曲线拟合结果不符，而有先验信息时，Gev分布的后验概率为0.127，P-III分布的后验概率为0.217，拟合效果好的线型得到更高的权重，该结果与曲线拟合结果一致，说明了有先验信息所计算出的后验概率更具代表性，更符合真实的线型拟合结果，也证明了基于多评价指标的综合指数CI来求解先验概率是合理的。

根据不同条件下的后验概率结果，由式(9)求解相对应的贝叶斯模型，其中，有先验信息的贝叶斯模型简称为Y-Bayes模型，无先验信息的贝叶斯模型简称为N-Bayes模型，各模型的洪水频率曲线拟合图如图4和图5所示，评价指标结果见表3。

表5贝叶斯模型评价指标结果表

注：下划线表示各方案中个评价准则的最优值

由图4和图5可看出，Y-Bayes模型和N-Bayes模型均拟合较好，而且线型拟合结果较为接近，说明考虑线型不确定性的贝叶斯模型具有较高的稳定性；相比而言，在高重现期下，Y-Bayes模型更接近经验点距，但在低重现期下，二者变化不大。对比表5中有先验信息和无先验信息的综合指数值结果，不论是安康还是石泉，Y-Bayes模型的综合指数值结果均优于N-Bayes模型的结果，这与曲线拟合结果一致，说明了由综合指数值得出了较为可靠的先验、后验概率结果，从而提高了计算结果精度。

表5中，安康水库的评价指标并不统一，其中，有先验信息的WLS、ABS、RMSE准则结果较优，而无先验信息的AICc准则较优，若不考虑综合指数值，则面临着方案优选的问题，本文通过综合指数值的计算，量化各备选方案，结果表明Y-Bayes模型较优，该结果与线型拟合结果一致，表明该综合指数值具有较好适用性。

对比频率曲线图图2、图3、图4和图5，可看出图4和图5中Y-Bayes模型总体拟合效果均优于图2、图3中单一分布的拟合结果，说明贝叶斯模型较单一线型更接近数据的真实线型。

不同重现期下，对比Y-Bayes模型和N-Bayes模型的设计值情况，结果见图6、表6。相比而言，同一重现期下，有先验信息和无先验信息所对应的设计洪峰值在高重现期下的差异较大，且无先验信息的设计洪峰值均大于有先验信息时的设计洪峰值；而在低重现期下，两者的设计洪峰值差异较小，结果较为接近。

表6不同贝叶斯模型下的设计洪峰值 单位：(m³/s)

注：变化比例为N-Bayes模型与Y-Bayes的设计值变化情况

本方法提出以耦合多个评价准则的综合指数为基础进行计算，来改善传统贝叶斯模型先验概率的确定方面考虑片面化的不足，提高了贝叶斯模型的精度，进而降低了洪水频率计算受概率分布线型选择不确定性的影响。以汉江上游的石泉、安康水库的洪水资料为例进行说明，可得出以下结论：基于综合指数来挖掘样本先验信息时，综合指数能够从不同的信息准则中量化各备选方案的优劣，能够使拟合效果较好的线型获得更高的权重，可获得较为可信的先验、后验概率结果，从而降低了线型选择的不确定性对洪水频率计算所造成的影响，提高了设计洪水精度。

Claims (8)

1.基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，其特征在于，具体按照下述步骤进行：

步骤1，选择多个备选线型；

步骤2，分别计算每个所述备选线型的综合指数值；

步骤3，根据所述综合指数值建立贝叶斯模型，并由该贝叶斯模型计算洪水的设计值。

2.根据权利要求1所述的基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，其特征在于，所述步骤1具体按照下述步骤选择备选线型：

步骤1.1，根据研究区域的实测水文数据挑选多种不同的分布线型；

步骤1.2，对每种的分布线型分别进行参数估计，分别得到每种分布线型的参数结果；

步骤1.3，对每种分布线型的参数结果均进行柯尔莫哥洛夫检验，将通过检验的分布线型作为备选线型。

3.根据权利要求2所述的基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，其特征在于，所述步骤1.3进行柯尔莫哥洛夫检验时，显著性水平设定为α＝0.05。

4.根据权利要求1所述的基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，其特征在于，所述步骤2具体按照下述步骤进行：

步骤2.1，根据目标需求选择多个评价准则；

步骤2.2，分别根据各个备选线型的参数估计结果计算该备选线型的各个评价准则结果值；

步骤2.3，分别根据每个备选线型的各个评价准则结果值计算该备选线型的综合指数。

5.根据权利要求4所述的基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，其特征在于，所述步骤2.1中的评价准则包括AICc准则、ABS准则、RMSE准则、WLS准则。

6.根据权利要求5所述的基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，其特征在于，每个备选线型的AICc准则结果值按照下述公式进行计算：

式中，为似然函数，n为实测样本容量，p为参数个数，θ为目标分布的参数估计结果；每个备选线型的ABS准则结果值按照下述公式进行计算：

其中，x_l为第l个样本值，x(p_l,θ)为频率曲线纵坐标值，p_l为样本x_l的经验频率；

每个备选线型的RMSE准则结果值具体按照下式进行计算：

每个备选线型的WLS准则结果值具体按照下述公式进行计算：

7.根据权利要求4所述的基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，其特征在于，所述步骤2.3具体按照下述方法进行：

步骤2.3.1，将每个备选线型的各个评价准则结果值均进行同向化处理：

将评价准则结果值越小越优的评价准则分为第一类评价准则，将评价准则结果值越大越优的评价准则分为第二类评价准则；

步骤2.3.2，计算每个备选线型的综合指数：

其中，m为评价准则的个数，n₁为第一类评价准则的个数，k为线型个数，y_i,o是指第i个备选线型中的第o个评价准则值的大小。

8.根据权利要求1述的基于改进先验概率的贝叶斯模型的设计洪水方法，其特征在于，所述步骤3具体按照下述步骤进行：

步骤3.1，根据每个备选线型的综合指数计算该备选线型的先验概率：

步骤3.2，根据每个备选线型的先验概率计算每个备选线型的后验概率：

式中，B_ji为贝叶斯因子， 为线型M_i的参数θ_i的极大似然估计值，d_i为线型M_i的参数个数；

步骤3.3，根据各个线型的后验概率建立贝叶斯模型计算洪水的设计值：

其中，f_i(Q|M_i)为第i个备选线型的概率密度函数值。