CN109858779A - 一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法，通过筛选待分析的水质参数及其先验分布特征、取值范围；利用拉丁超立方抽样法抽取适量的参数组；通过水环境数学模型，计算水质参数的水质模拟结果；再选取特定的置信区间作为判定不确定性区间的上下边界，定义区间覆盖率、不确定性区间宽度、相对不确定性区间宽度，评估水环境数学模型的不确定性；再通过敏感性分析图度量水质参数的敏感性；最后由参数后验分布，优化敏感性水质参数的取值范围。其对水质参数评价更全面，有效化解“异参同效”的问题；对参数敏感性进行量化，得到参数后验分布、缩小敏感参数取值范围，为参数定值提供更优的选择、提高模型的灵敏度提供依据。

Description

一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法

技术领域

本发明涉及一种水质参数分析方法，具体涉及一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法，属于水环境数学模型参数不确定性分析技术领域。

背景技术

不确定性与敏感性分析是数值模型的研究热点，数学模型模拟结果的不确定性主要来自三个方面：参数不确定性、输入数据不确定、模型结构不确定性。其中，参数的不确定性主要由于各参数的实际意义不同，部分参数难以获得精确的取值，而通过经验估计或者实测值率定的参数可能与实际值存在偏差导致。对参数的不确定性与敏感性分析对优化参数的取值范围、提高模型的灵敏度起着重要作用。

目前，对模型不确定性的研究中存在着多个不同的参数组合可能计算出近似的模拟结果的情况，又称“异参同效”现象。现有的不确定性或敏感性分析方法不能有效的解决这一问题，且现有研究通常单独分析不确定性结果或参数敏感性，往往得到的是模型结果的不确定性范围、参数敏感性的排列顺序，而实际上不确定性与敏感性之间存在密切关联，不确定性与敏感性分析的结合对于定量分析参数敏感性十分必要。

在参数估计方面，参数取值范围和先验分布的获取渠道十分有限，缩小参数的取值范围是不确定性分析的重要结果，然而对于先验分布的改善并不多见，不能同时优化参数的取值范围和通过参数取值范围回溯到其分布规律是现有分析方法的缺陷之一。

发明内容

为解决现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种有效减小参数取值区间、得到可靠的参数后验分布，为参数估计提供更加精准信息的水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法。

为了实现上述目标，本发明采用如下的技术方案：

一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法，包括以下步骤：

S1、参数确定：确定与水质指标对应的水质参数，并确定水质参数的先验分布和取值范围；

S2、利用拉丁超立方抽样法，从水质参数的取值范围内抽选一定量的水质参数组；

S3、模拟水质指标：将抽样得到的水质参数组输入水环境数学模型中，计算得到每组水质参数对应的水质指标模拟结果；

S4、不确定性分析：结合水质指标实测结果，选择Nash-Sutcilffe确定性系数作为目标似然函数，进行归一化计算得到似然值，并进行排序；

选取排序后似然值的特定的置信区间，作为判定不确定性区间的上下边界，定义区间覆盖率、不确定性区间宽度、相对不确定性区间宽度，并评估水环境数学模型的不确定性；

S5、敏感性分析：根据水质参数的取值及取值范围，计算累计频率，并绘制累计频率分布曲线；

使用K-S检验进行分析，使用最大垂向偏离度定义敏感性指数，量化不同水质参数对目标指数不确定性的贡献率；

S6、参数后验分布：将步骤S5确定的敏感性水质参数的取值区间分为若干组，计算每个小区间内对应的累计确定性系数的概率，则得到参数后验分布；

根据参数后验分布，可缩小敏感参数的取值范围。

上述步骤S1中的水质参数的确定，参考文献资料和水质指标的控制方程。

上述步骤S2中的拉丁超立方抽样法，包括以下步骤：

A1、假设：1个水质指标对应K个水质参数(X1，X₂，···，X_k)，根据先验分布将各水质参数的取值范围均分为n个小区间，分别从每个小区间内随机取值；预抽取n组数值；

A2、将X1的n个取值与X₂的n个取值随机配对，依次类推，对K个水质参数共随机组合出n个参数组，可得到(n！)^k-1种组合。

上述步骤S3中的水环境数学模型包括EFDC模型，表征水质指标模拟结果好坏程度的指标为Nash-Sutcilffe确定性系数。

上述步骤S4中的Nash-Sutcilffe确定性系数的计算公式为：

式中，L_i为第i组参数的Nash-Stucilffe确定性系数，表示水质指标的模拟结果的误差方差，表示水质指标的实测结果的方差；

其中，模拟结果的误差方差α_i ²的计算公式为：

实测结果的方差的计算公式为：

其中，Q₀指水质指标的实测值，Q_m指水质指标的模拟值，指第t时刻水质指标的实测值，指第t时刻水质指标的模拟值，指水质指标实测值的平均值。

上述步骤S4中似然值的计算、排序，包括以下步骤：

B1、计算：设置合适的阈值，保留高于阈值的确定性系数后，进行归一化处理，公式如下：

排序：式中，l_i为归一化后的似然值，和是最小和最大确定性系数；

B2、排序：将上述似然值根据数值大小排序。

上述步骤S4中似然值的置信区间的选取：取5％和95％对应的水质指标模拟结果作为90％置信度下不确定区间的上下边界。

上述步骤S4中的区间覆盖率的计算公式为：

CR＝p/q (式5)

式中CR是区间覆盖率，q是实测值的总个数，p是实测值落在90％置信度下不确定区间的实测值的个数；

所述不确定性区间平均宽度UI，为5％和95％两个边界水质指标浓度差的平均值；

所述相对不确定性区间宽度的计算公式为：

式中，RI是相对不确定性区间宽度，是水质指标实测值的平均值。

上述步骤S5中累计频率的计算公式为：

式中，X_i是水质参数的选取值，x是水质参数的取值范围的界值；

I_[-∝，x](X_i)是指标函数，当X_i≤x时为1，否则为0；

最大垂向距离D_i，j的计算公式为：

D_i，j＝sup|F_i，n(x)-F_j，m(x)| (式8)

式中，F_i，n(x)和F_j，m(x)分别为i和j两组累计分布函数，sup代表距离的上确界；

所述最大垂向偏离度MVD为max(D_i，j)，

表示参数的敏感性指数(SI)：

SI＝MVD＝max(sup|F_i，n(x)-F_j，m(x)|) (式9)。

本发明的有益之处在于：

本发明通过计算区间覆盖率(CR)、不确定性区间平均宽度(UI)、相对不确定性区间宽度(RI)更加全面地分析参数估计对模型结果不确定性的影响，有效化解“异参同效”的问题；计算确定性系数在不同参数范围下的概率密度，得到参数的后验分布规律，从而进一步缩小参数的取值范围，为参数定值提供更优的选择、提高模型的灵敏度提供依据。

附图说明

图1为本发明的分析方法的流程示意图。

图2为本发明的a、b两湖区氨氮指标的不确定性结果。

图3为本发明的a湖区的敏感性分析图。

图4为本发明的参数敏感性指数条形图。

图5为本发明的参数KHNitDO、KNit2的后验分布图。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施例对本发明作具体的介绍。

本发明基于已构建好的A湖泊水环境数学模型，并经过率定、验证过程，将A湖泊分为a、b两个湖区，每个湖区选取一个特征点位，分析水质参数取值对目标水质指标(氨氮、总氮)的不确定性，具体实施步骤如下：

步骤1，参数筛选，根据文献资料和计算水质指标的控制方程选择待分析参数，综合考虑藻类、温度、光照、溶解氧、水解和矿化能力对水质的影响，统计出与氨氮、总氮相关的水质参数的取值范围及先验分布，如表1：

表1水质参数先验分布及取值范围

步骤2，利用拉丁超立方抽样法，从筛选出的参数取值范围内分层抽样出多个参数组，综合考虑计算时间和模型结果后，本实施例选取500组作为拉丁超立方抽样的组数。

步骤3，模型参数输入，将抽样得到的参数组输入模型，计算得到不同参数组合下氨氮、总氮的模拟结果。

步骤4，不确定性分析，选择Nash-Sutcilffe确定性系数作为目标似然函数，其计算公式为：

式中，L_i为第i组参数的Nash-Sutcilffe确定性系数；表示模拟结果的误差方差；表示实测结果的方差。

设置0.5为确定性系数的阈值，保留高于阈值的确定性系数，将保留的确定性系数进行归一化处理，参数抽样值和归一化后的似然值，如表2：

表2参数抽样及似然值计算结果

对得到的似然值进行排序，选取其中5％～95％对应的氨氮、总氮模拟值作为90％置信度下不确定区间的上下边界，计算指标区间覆盖率CR、不确定性区间宽度UI、相对不确定性区间宽度RI，评估模型的不确定性：

如图2所示，为两湖区参数取值对氨氮指标的不确定性区间与实测值的关系；各不确定性指标计算结果，如表3：

表3两个湖区不确定性指标统计

由图2可知，a湖区的氨氮浓度实测值基本落在其不确定性区间内，对比表3的CR值可知，实测值有超过85％的点落在不确定区间内，模型在该湖区的模拟效果较好，而b湖区的实测值落在不确定性区间的概率则较小，仅达到60％；从模拟结果的范围看，a湖区氨氮、总氮的不确定性区间集中在很窄的范围内，区间宽度均小于0.1，模拟的稳定度较好，但b湖区的RI值比b湖区小得多，这是由于b湖区的氨氮、总氮值明显高于a湖区，说明RI值与水质指标的浓度有关，充分考虑了水质浓度的因素，对不确定性区间的评价更加全面，因此考虑到水质指标浓度的取值，b湖区的不确定性区间范围比a湖区更加集中。

步骤5，敏感性分析：根据水质参数的取值及取值范围，计算累计频率，并绘制累计频率分布曲线；

使用K-S检验进行分析，使用最大垂向偏离度定义敏感性指数，量化不同参数对目标指数不确定性的贡献率。

图3是以氨氮为目标，a湖区为例各参数的累计频率画出的敏感性分析图(累计频率分布曲线图)，图中颜色逐渐变浅的10条曲线分别代表确定性系数由低到高的累计频率分布曲线，曲线之间距离越大代表该参数对结果的不确定性越敏感，由图3可知参数KHNitDO、KNit2的敏感性较大。

计算敏感性分析图中各参数的最大垂向偏离度，其对两个湖区的氨氮、总氮的敏感性差异如图4，可以发现与敏感性分析图对应，参数KHNitDO、KNit2对氨氮、总氮指标不确定性贡献率较大。

步骤6，参数后验分布，将步骤5得到的敏感性水质参数KHNitDO、KNit2的取值区间等概率分为几个小区间，计算每个小区间内累计确定性系数的概率，则可以得到不同参数取值范围内确定性系数的概率密度，即参数的后验分布，如图5，在统计参数的初始分布时KHNitDO、KNit2的先验分布分别为均匀分布和正态分布，而KHNitDO的后验分布接近正态分布、KNit2的后验分布呈“三角”状，可以作为下一次参数估计的先验分布进行抽样。

以参数KNit2为例，当该参数取值在0.0036～0.0056时，发现确定性系数的累计量概率大于80％，所以可将该参数的取值范围缩小到此区间，以保证较好的模拟效果。改善后的参数取值范围如表4：

表4敏感性参数修改后的取值范围

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和优点。本行业的技术人员应该了解，上述实施例不以任何形式限制本发明，凡采用等同替换或等效变换的方式所获得的技术方案，均落在本发明的保护范围内。

Claims (9)

1.一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、参数确定：确定与水质指标对应的水质参数，并确定水质参数的先验分布和取值范围；

S2、利用拉丁超立方抽样法，从水质参数的取值范围内抽选一定量的水质参数组；

S3、模拟水质指标：将抽样得到的水质参数组输入水环境数学模型中，计算得到每组水质参数对应的水质指标模拟结果；

S4、不确定性分析：结合水质指标实测结果，选择Nash-Sutcilffe确定性系数作为目标似然函数，进行归一化计算得到似然值，并进行排序；

选取排序后似然值的特定的置信区间，作为判定不确定性区间的上下边界，定义区间覆盖率、不确定性区间宽度、相对不确定性区间宽度，并评估水环境数学模型的不确定性；

S5、敏感性分析：根据水质参数的取值及取值范围，计算累计频率，并绘制累计频率分布曲线；

使用K-S检验进行分析，使用最大垂向偏离度定义敏感性指数，量化不同水质参数对目标指数不确定性的贡献率；

S6、参数后验分布：将步骤S5确定的敏感性水质参数的取值区间分为若干组，计算每个小区间内对应的累计确定性系数的概率，则得到参数后验分布；

根据参数后验分布，可缩小敏感参数的取值范围。

2.根据权利要求1所述的一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法，其特征在于，所述步骤S1中的水质参数的确定，由参考文献资料和水质指标的控制方程得到。

3.根据权利要求1所述的一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法，其特征在于，所述步骤S2中的拉丁超立方抽样法，包括以下步骤：

A1、假设：1个水质指标对应K个水质参数(X1，X₂，···，X_k)，根据先验分布将各水质参数的取值范围均分为n个小区间，分别从每个小区间内随机取值；预抽取n组数值；

A2、将X1的n个取值与X₂的n个取值随机配对，依次类推，对K个水质参数共随机组合出n个参数组，可得到(n！)^k-1种组合。

4.根据权利要求1所述的一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法，其特征在于，所述步骤S3中的水环境数学模型包括EFDC模型，表征水质指标模拟结果好坏程度的指标为Nash-Sutcilffe确定性系数。

5.根据权利要求1所述的一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法，其特征在于，所述步骤S4中的Nash-Sutcilffe确定性系数的计算公式为：

式中，L_i为第i组参数的Nash-Stucilffe确定性系数，表示水质指标的模拟结果的误差方差，表示水质指标的实测结果的方差；

其中，模拟结果的误差方差α_i ²的计算公式为：

实测结果的方差的计算公式为：

其中，Q₀指水质指标的实测值，Q_m指水质指标的模拟值，指第t时刻水质指标的实测值，指第t时刻水质指标的模拟值，指水质指标实测值的平均值。

6.根据权利要求1所述的一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法，其特征在于，所述步骤S4中似然值的计算、排序，包括以下步骤：

B1、计算：设置阈值，保留高于阈值的确定性系数后，进行归一化处理，公式如下：

排序：式中，l_i为归一化后的似然值，和是最小和最大确定性系数；

B2、排序：将上述似然值根据数值大小排序。

7.根据权利要求1所述的一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法，其特征在于，所述步骤S4中似然值的置信区间的选取：取5％和95％对应的水质指标模拟结果作为90％置信度下不确定区间的上下边界。

8.根据权利要求1所述的一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法，其特征在于，所述步骤S4中的区间覆盖率的计算公式为：

CR＝p/q (式5)

式中CR是区间覆盖率，q是实测值的总个数，p是实测值落在90％置信度下不确定区间的实测值的个数；

所述不确定性区间平均宽度UI，为5％和95％两个边界水质指标浓度差的平均值；

所述相对不确定性区间宽度的计算公式为：

式中，RI是相对不确定性区间宽度，是水质指标实测值的平均值。

9.根据权利要求1所述的一种水环境数学模型水质参数不确定性与敏感性分析方法，其特征在于，所述步骤S5中累计频率的计算公式为：

式中，X_i是水质参数的选取值，x是水质参数的取值范围的界值；

I_[-∞，x](X_i)是指标函数，当X_i≤x时为1，否则为0；

最大垂向距离D_i，j的计算公式为：

D_i，j＝sup|F_i，n(x)-F_j，m(x)| (式8)

式中，F_i，n(x)和F_j，m(x)分别为i和j两组累计分布函数，sup代表距离的上确界；

所述最大垂向偏离度MVD为max(D_i，j)，

表示参数的敏感性指数(SI)：

SI＝MVD＝max(sup|F_i，n(x)-F_j，m(x)|) (式9)。