CN109344438A - 一种区间演化方程的建立及求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种区间演化方程的建立及求解方法。该方法从含区间参数的结构动力学响应方程出发，首先将其改写为含区间参数的一阶微分状态空间方程。再利用典型一阶微分方程的求解方法得到结构动力学响应的区间演化方程的解析表达式。由于该表达式中包含有区间矩阵的乘方及求逆运算，因而无法直接求解得到精确的区间边界。该方法再利用混沌多项式构造原问题的近似模型，再通过辅助优化算法得到近似模型的上界及下界，从而得到某一时刻结构的区间响应边界，进而得到整个时间段内结构动力学的区间响应过程。

Description

一种区间演化方程的建立及求解方法

技术领域

本发明涉及含区间不确定参数的结构动力学响应分析的技术领域，具体涉及一种区间演化方程的建立及求解方法。

背景技术

结构分析在机械工程、航空航天、土木工程以及车辆工程中占有重要的位置。结构动力学响应分析是结构分析中重要的一环，它也是结构进行后续的动力学优化设计、损伤识别以及振动控制的先决条件。

然而，由于材料分散性、制造误差、载荷波动等不确定性因素的存在，传统的确定性分析方法得到的结果可能与实际情况完全不相符。因而在结构动力学响应分析中将不确定性因素考虑在内是十分有必要的。经典的随机振动理论将载荷考虑成一个随机过程，并采用随机过程中的方法例如伊藤积分等进行求解。然而随机振动理论并没有考虑参数的不确定性。近些年来发展的随机方法将参数不确定性考虑在内。但是为了得到参数的概率密度描述，需要进行大量的实验以获得足够的样本，实际工程，尤其是航空航天工程中没有足够的时间和金钱获得如此多的样本。因而有必要发展一种贫信息、少数据条件下的动力学响应分析方法。

而用区间表示不确定性时只需知道参数的上下界，这在贫数据、少信息的条件下能够发挥较大的作用。为了能够得结构区间随时间的演化规律，需要建立能够描述区间随时间变化的方程，同时还需要发展能够求解该方程的数值解法，以便能够在实际工程中使用。

由于结构含区间不确定性参数的动力学响应分析问题在机械、船舶、车辆和航空航天领域有着举足轻重的作用，因而建立一种计算量较小、精度较高的含区间不确定参数的动力学响应分析方法有着显著的现实意义。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：本发明提供了一种区间演化方程的建立及求解方法。该方法从含区间参数的结构动力学响应方程出发，首先将其改写为含区间参数的一阶微分状态空间方程。再利用典型一阶微分方程的求解方法得到结构动力学响应的区间演化方程的解析表达式。由于该表达式中包含有区间矩阵的乘方及求逆运算，因而无法直接求解得到精确的区间边界。该方法再利用混沌多项式构造原问题的近似模型，再通过辅助优化算法得到近似模型的上界及下界，从而得到某一时刻结构的区间响应边界，进而得到整个时间段内结构动力学的区间响应过程。

本发明采用的技术方案为：一种区间演化方程的建立及求解方法，该方法主要包括如下步骤：

第一步：确定区间不确定变量α^I以及其区间域Θ。得到结构质量矩阵M、刚度矩阵K，阻尼矩阵C的表达式，并列写含区间参数结构的动力学响应方程：

其中P表示外载荷列向量，t表示时间，P(t,α^I)表示外载荷是时间及不确定变量的函数。U^I(t)表示结构的位移响应区间，表示结构的速度响应区间，表示结构的加速度响应区间，U^I(t)|_t＝0表示0时刻的位移区间，U₀表示初始位移，表示0时刻的速度区间，表示初始速度。

第二步：将结构的动力学响应方程写成状态空间方程的形式。首先引入新的状态量其中表示将U^I(t)及组成一个行向量，上标T表示向量的转置。从而可以将第一步中的动力学响应方程改为如下状态空间方程的形式：

其中：

其中M^-1(α^I)为M(α^I)的逆矩阵，I为单位矩阵。

第三步：利用典型的微分方程的求解方法，求解该一阶微分方程，得到结构动力学区间演化方程的解析表达式：

其中τ是求解积分时引入的变量，dτ是变量τ的微分形式。

第四步：由于第三步引入的区间演化方程包含区间参量的求逆以及乘方过程，因而需要用数值分析的方法得到具体的数值结果。利用蒙特卡洛方法，在不确定变量区间内进行大量配点并计算相应样本点的响应值，配点响应值的最大以及最小值即可作为某一时刻结构的区间响应边界，进而得到整个时间段内结构动力学的区间响应过程。

本发明的原理再于：从含区间参数的结构动力学响应方程出发，首先将其改写为含区间参数的一阶微分状态空间方程。再利用典型一阶微分方程的求解方法得到结构动力学响应的区间演化方程的解析表达式。由于该解析表达式包含区间参数的乘方及求逆运算，因而需要一种数值的手段求解。利用蒙特卡洛方法，在不确定变量区间内进行大量配点并计算相应样本点的响应值，配点响应值的最大以及最小值即可作为某一时刻结构的区间响应边界，进而得到整个时间段内结构动力学的区间响应过程。

本发明与现有技术相比优点在于：本发明首次从结构动力学响应方程以及状态空间方程出发，提出了一种能够描述含区间参数结构动力学演化规律的区间演化方程及其求解方法。该发明从理论上揭示了含区间参数的结构动力学响应行为，并从数值的角都提出了一种数值求解办法。

附图说明

图1是本发明求解含区间参数结构动力学响应区间演化过程的流程图。

图2是本发明针对质量-弹簧-阻尼系统的示意图。

图3是本发明得到质量-弹簧-阻尼系统动力学演化区间的边界。

图4是本发明针对T型悬臂梁系统的示意图。

图5是本发明得到的T型悬臂梁系统C点动力学演化区间的边界。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提供了一种区间演化方程的建立及求解方法，包括以下的步骤：

(1)确定区间不确定变量α^I以及其区间域Θ。得到结构质量矩阵M、刚度矩阵K，阻尼矩阵C的表达式，并列写含区间参数结构的动力学响应方程：

其中P表示外载荷列向量，t表示时间，P(t,α^I)表示外载荷是时间及不确定变量的函数。U^I(t)表示结构的位移响应区间，表示结构的速度响应区间，表示结构的加速度响应区间，U^I(t)|_t＝0表示0时刻的位移区间，U₀表示初始位移，表示0时刻的速度区间，表示初始速度。

(2)将结构的动力学响应方程写成状态空间方程的形式。首先引入新的状态量其中表示将U^I(t)及组成一个行向量，上标T表示向量的转置。从而可以将第一步中的动力学响应方程改为如下状态空间方程的形式：

其中，

其中，M^-1(α^I)为M(α^I)的逆矩阵，I为单位矩阵。

(3)利用典型的微分方程的求解方法，求解该一阶微分方程，得到结构动力学区间演化方程的解析表达式：

其中，τ是求解积分时引入的变量，dτ是变量τ的微分形式。

(4)：由于第三步引入的区间演化方程包含区间参量的求逆以及乘方过程，因而需要用数值分析的方法得到具体的数值结果。利用蒙特卡洛方法，在不确定变量区间内进行大量配点并计算相应样本点的响应值，一般来说，在每一个不确定变量上随机取100个点，配点响应值的最大以及最小值即可作为某一时刻结构的区间响应边界，进而得到整个时间段内结构动力学的区间响应过程。

实施例1：

为了更充分地了解该发明的特点及其对解决含区间参数动力学响应问题求解的能力，本发明针对图2所示的含区间不确定参数的质量-弹簧-阻尼系统进行动力学响应分析求解。其中系统的质量m以及弹性系数k为区间数，其数值分别为k^I＝[558,682]N/m和m^I＝[27,33]kg。系统的阻尼系数为c＝6.62。施加在系统上的外载荷为F(t)＝50sin(2t)，质量块的初始位移为x₀＝0.1m，质量块的初始速度为利用本发明所提方法，可以得到该动力学系统的演化区间，如图3所示。

实施例2：

为了更充分地了解该发明的特点及其对解决含区间参数动力学响应问题求解的能力，本发明针对图4所示的含区间不确定参数的T型悬臂梁系统进行动力学响应分析求解。其中，图中的长度为L＝0.75m，T型悬臂梁系统的密度为ρ＝7800kg/m³。系统的弹性模量E、梁的截面积A以及其惯性矩I为区间数，其数值分别为E^I＝[184.8,235.2]N/m、A^I＝[1.76,2.24]×10^-3m²以及I^I＝[1.76,2.24]×10^-8m⁴。施加在系统B点上的垂直外载荷为F(t)＝10sin(2π×13.21t)+3cos(2π×15.92t)，系统在t＝0的时刻静止。利用本发明所提方法，可以得到C点的动力学系统的演化区间，如图5所示。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (5)

1.一种区间演化方程的建立及求解方法，其特征在于：该方法从含区间参数的结构动力学响应方程出发，首先将其改写为含区间参数的一阶微分状态空间方程，再利用典型一阶微分方程的求解方法得到结构动力学响应的区间演化方程的解析表达式，由于该表达式中包含有区间矩阵的乘方及求逆运算，因而无法直接求解得到精确的区间边界，该方法再利用混沌多项式构造原问题的近似模型，再通过辅助优化算法的手段得到近似模型的上界及下界，从而得到某一时刻结构的区间响应边界，进而得到整个时间段内结构动力学的区间响应过程，该方法的实现步骤如下：

第一步：确定区间不确定变量α^I以及其区间域Θ，得到结构质量矩阵M、刚度矩阵K，阻尼矩阵C的表达式，并列写含区间参数结构的动力学响应方程：

其中P表示外载荷列向量，t表示时间，P(t,α^I)表示外载荷是时间及不确定变量的函数，U^I(t)表示结构的位移响应区间，表示结构的速度响应区间，表示结构的加速度响应区间，U^I(t)|_t＝0表示0时刻的位移区间，U₀表示初始位移，表示0时刻的速度区间，表示初始速度；

第二步：将结构的动力学响应方程写成状态空间方程的形式，首先引入新的状态量其中表示将U^I(t)及组成一个行向量，上标T表示向量的转置，从而可以将第一步中的动力学响应方程改为如下状态空间方程的形式：

其中：

其中M^-1(α^I)为M(α^I)的逆矩阵，I为单位矩阵；

第三步：利用典型的微分方程的求解方法，求解该一阶微分方程，得到结构动力学区间演化方程的解析表达式：

其中τ是求解积分时引入的变量，dτ是变量τ的微分形式；

第四步：由于第三步引入的区间演化方程包含区间参量的求逆以及乘方过程，因而需要用数值分析的方法得到具体的数值结果，利用蒙特卡洛方法，在不确定变量区间内进行大量配点并计算相应样本点的响应值，配点响应值的最大以及最小值即可作为某一时刻结构的区间响应边界，进而得到整个时间段内结构动力学的区间响应过程。

2.根据权利要求1所述的一种区间演化方程的建立及求解方法，其特征在于：所述的第一步首先根据实际工程情况选择不确定变量、不确变量的取值区间以及列写的含区间参数结构的动力学响应方程。

3.根据权利要求1所述的一种区间演化方程的建立及求解方法，其特征在于：所述的第二步引入新的状态变量，在根据引入的状态量列写含区间参数的状态空间方程。

4.根据权利要求1所述的一种区间演化方程的建立及求解方法，其特征在于：所述的第三步利用典型的微分方程解法得到该结构动力学区间演化方程的解析表达式。

5.根据权利要求1所述的一种区间演化方程的建立及求解方法，其特征在于：所述的第四步利用蒙特卡洛方法，在不确定变量区间内进行大量配点并计算配点的响应值，配点最大最小值即可作为该时刻结构响应的上界及下界，从而得到某一时刻结构的区间响应边界。